1、第 1页（共 25页） 2021 年青海省中考数学试卷年青海省中考数学试卷 一一、选择题选择题（本大题共本大题共 8 小题小题，每小题每小题 3 分分，共共 24 分分.在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中，只有一只有一 项是符合要求的）项是符合要求的） 1 （3 分）若 a2? ?，则实数 a 在数轴上对应的点的位置是（ ） A B C D 2 （3 分）一个两位数，它的十位数字是 x，个位数字是 y，那么这个两位数是（） Ax+yB10 xyC10（x+y）D10 x+y 3 （3 分）已知 a，b 是等腰三角形的两边长，且 a，b 满足 ? 灄 漾 灄（2a+3b13）2 0
2、，则此等腰三角形的周长为（） A8B6 或 8C7D7 或 8 4 （3 分）如图所示的几何体的左视图是（） ABCD 5 （3 分）如图，在四边形 ABCD 中，A90，AD3，BC5，对角线 BD 平分ABC， 则BCD 的面积为（） 第 2页（共 25页） A8B7.5C15D无法确定 6 （3 分）如图是一位同学从照片上剪切下来的海上日出时的画面， “图上”太阳与海平线 交于 A，B 两点，他测得“图上”圆的半径为 10 厘米，AB16 厘米若从目前太阳所处 位置到太阳完全跳出海平面的时间为 16 分钟，则“图上”太阳升起的速度为（） A1.0 厘米/分B0.8 厘米/分C1.2 厘米
3、/分D1.4 厘米/分 7 （3 分）如图，一根 5m 长的绳子，一端拴在围墙墙角的柱子上，另一端拴着一只小羊 A （羊只能在草地上活动）那么小羊 A 在草地上的最大活动区域面积是（） A?t ?m 2 Btt ?m 2 C?漾 ? m2D?t ? m2 8（3 分） 新龟兔赛跑的故事： 龟兔从同一地点同时出发后， 兔子很快把乌龟远远甩在后头 骄 傲自满的兔子觉得自己遥遥领先，就躺在路边呼呼大睡起来当它一觉醒来，发现乌龟 已经超过它，于是奋力直追，最后同时到达终点用 S1、S2分别表示乌龟和兔子赛跑的 路程，t 为赛跑时间，则下列图象中与故事情节相吻合的是（） AB CD 二、填空题（本大题共
4、二、填空题（本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 2 分，共分，共 24 分）分） 9 （2 分）已知 m 是一元二次方程 x2+x60 的一个根，则代数式 m2+m 的值等于 10 （2 分）5 月 11 日，第七次人口普查结果发布数据显示，全国人口共 14.1178 亿人， 第 3页（共 25页） 同 2010 年第六次全国人口普查数据相比，我国人口 10 年来继续保持低速增长态势其 中数据“14.1178 亿”用科学记数法表示为 11 （2 分）已知单项式 2a4b 2m+7 与 3a2mbn+2是同类项，则 m+n 12 （2 分）已知点 A（2m5，62m）在第四象限，则 m 的
5、取值范围是 13 （2 分）已知点 A（1，y1）和点 B（4，y2）在反比例函数 y? ? ?的图象上，则 y1 与 y2的大小关系是 14 （2 分）如图，ABCD，EFDB，垂足为点 E，150，则2 的度数是 15 （2 分）如图所示的图案由三个叶片组成，绕点 O 旋转 120后可以和自身重合若每 个叶片的面积为 4cm2，AOB 为 120，则图中阴影部分的面积之和为cm2 16 （2 分）点 P 是非圆上一点，若点 P 到O 上的点的最小距离是 4cm，最大距离是 9cm， 则O 的半径是 17 （2 分）如图，在ABC 中，D，E，F 分别是边 AB，BC，CA 的中点，若DEF
6、 的周长 为 10，则ABC 的周长为 18 （2 分）如图，在 ABCD 中，对角线 BD8cm，AEBD，垂足为 E，且 AE3cm，BC 4cm，则 AD 与 BC 之间的距离为 第 4页（共 25页） 19 （2 分）如图，正方形 ABCD 的边长为 8，点 M 在 DC 上且 DM2，N 是 AC 上的一动 点，则 DN+MN 的最小值是 20 （2 分）观察下列各等式： ? ? ? ? 灄 ? ?； ? ? ? ? 灄 ? ?； ? ? ?漾 ? 灄 ? ?漾； 根据以上规律，请写出第 5 个等式： 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 7 小题，共小题，共 72 分分.解答应
7、写出必要的文字说明证明过程或演算步骤解答应写出必要的文字说明证明过程或演算步骤） 21 （7 分）先化简，再求值： （a ? ） ?灄? ，其中 a? 灄1 22 （10 分）如图，DB 是 ABCD 的对角线 （1）尺规作图（请用 2B 铅笔） ：作线段 BD 的垂直平分线 EF，交 AB，DB，DC 分别于 E，O，F，连接 DE，BF（保留作图痕迹，不写作法） （2）试判断四边形 DEBF 的形状并说明理由 23 （10 分）如图，在ABC 中，AD 是 BC 边上的中线，以 AB 为直径的O 交 BC 于点 D， 过 D 作 MNAC 于点 M，交 AB 的延长线于点 N，过点 B 作
8、 BGMN 于 G （1）求证：BGDDMA； （2）求证：直线 MN 是O 的切线 第 5页（共 25页） 24 （10 分）如图 1 是某中学教学楼的推拉门，已知门的宽度 AD2 米，且两扇门的大小 相同 （即 ABCD） ， 将左边的门 ABB1A1绕门轴 AA1向里面旋转 35， 将右边的门 CDD1C1 绕门轴 DD1向外面旋转 45，其示意图如图 2，求此时 B 与 C 之间的距离（结果保留一 位小数） （参考数据：sin350.6，cos350.8， ? ?1.4） 25 （12 分）为了倡导“节约用水，从我做起” ，某市政府决定对该市直属机关 200 户家庭 用水情况进行调查市
9、政府调查小组随机抽查了其中部分家庭一年的月平均用水量（单 位：吨） ，调查中发现，每户家庭月平均用水量在 37 吨范围内，并将调查结果制成了 如下尚不完整的统计表： 月平均用 水量（吨） 34567 频数（户 数） 4a9107 频率0.080.40bc0.14 请根据统计表中提供的信息解答下列问题： （1）填空：a，b，c （2）这些家庭中月平均用水量数据的平均数是，众数是，中位数 第 6页（共 25页） 是 （3）根据样本数据，估计该市直属机关 200 户家庭中月平均用水量不超过 5 吨的约有多 少户？ （4）市政府决定从月平均用水量最省的甲、乙、丙、丁四户家庭中，选取两户进行“节 水”经
10、验分享请用列表或画树状图的方法，求出恰好选到甲、丙两户的概率，并列出 所有等可能的结果 26 （10 分）在我们学习过的数学教科书中，有一个数学活动，若身旁没有量角器或三角尺， 又需要作 60，30，15等大小的角，可以采用如下方法： 操作感知： 第一步：对折矩形纸片 ABCD，使 AD 与 BC 重合，得到折痕 EF，把纸片展开（如图 1 ） 第二步：再一次折叠纸片，使点 A 落在 EF 上，并使折痕经过点 B，得到折痕 BM，同时 得到线段 BN （如图 2） 猜想论证： （1）若延长 MN 交 BC 于点 P，如图 3 所示，试判定BMP 的形状，并证明你的结论 拓展探究： （2）在图
11、3 中，若 ABa，BCb，当 a，b 满足什么关系时，才能在矩形纸片 ABCD 中剪出符合（1）中结论的三角形纸片 BMP？ 27 （13 分）如图，在平面直角坐标系中，直线 yx+2 与坐标轴交于 A，B 两点，点 A 在 x 轴上，点 B 在 y 轴上，C 点的坐标为（1，0） ，抛物线 yax2+bx+c 经过点 A，B，C （1）求抛物线的解析式； （2）根据图象写出不等式 ax2+（b1 ）x+c2 的解集； （3）点 P 是抛物线上的一动点，过点 P 作直线 AB 的垂线段，垂足为 Q 点当 PQ? ? ? 时，求 P 点的坐标 第 7页（共 25页） 第 8页（共 25页） 2
12、021 年青海省中考数学试卷年青海省中考数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一一、选择题选择题（本大题共本大题共 8 小题小题，每小题每小题 3 分分，共共 24 分分.在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中，只有一只有一 项是符合要求的）项是符合要求的） 1 （3 分）若 a2? ?，则实数 a 在数轴上对应的点的位置是（ ） A B C D 【解答】解：a2? ? ?（+2 ? ?） ， 只有 A 选项符合， 故选：A 2 （3 分）一个两位数，它的十位数字是 x，个位数字是 y，那么这个两位数是（） Ax+yB10 xyC10（x+y）D10 x+y 【解答】解：一
13、个两位数，它的十位数字是 x，个位数字是 y，这个两位数 10 x+y 故选：D 3 （3 分）已知 a，b 是等腰三角形的两边长，且 a，b 满足 ? 灄 漾 灄（2a+3b13）2 0，则此等腰三角形的周长为（） A8B6 或 8C7D7 或 8 【解答】解： ? 灄 漾 灄（2a+3b13）20， ? 灄 漾 ? ? ?灄 ? ? ? ， 解得： ? ? ? ?， 当 b 为底时，三角形的三边长为 2，2，3，周长为 7； 当 a 为底时，三角形的三边长为 2，3，3，则周长为 8， 等腰三角形的周长为 7 或 8 故选：D 4 （3 分）如图所示的几何体的左视图是（） 第 9页（共 2
14、5页） ABCD 【解答】解：该几何体的左视图如图所示： 故选：C 5 （3 分）如图，在四边形 ABCD 中，A90，AD3，BC5，对角线 BD 平分ABC， 则BCD 的面积为（） A8B7.5C15D无法确定 【解答】解：过 D 点作 DEBC 于 E，如图， BD 平分ABC，DEBC，DAAB， DEDA3， BCD 的面积? ? ? ?537.5 故选：B 第 10页（共 25页） 6 （3 分）如图是一位同学从照片上剪切下来的海上日出时的画面， “图上”太阳与海平线 交于 A，B 两点，他测得“图上”圆的半径为 10 厘米，AB16 厘米若从目前太阳所处 位置到太阳完全跳出海平
15、面的时间为 16 分钟，则“图上”太阳升起的速度为（） A1.0 厘米/分B0.8 厘米/分C1.2 厘米/分D1.4 厘米/分 【解答】解：设“图上”圆的圆心为 O，连接 OA，过点 O 作 ODAB 于 D，如图所示： AB16 厘米， AD? ? ?AB8（厘米） ， OA10 厘米， OD? ? ?6（厘米） ， 海平线以下部分的高度OA+OD10+616（厘米） ， 太阳从所处位置到完全跳出海平面的时间为 16 分钟， “图上”太阳升起的速度16161.0（厘米/秒） ， 故选：A 7 （3 分）如图，一根 5m 长的绳子，一端拴在围墙墙角的柱子上，另一端拴着一只小羊 A （羊只能在
16、草地上活动）那么小羊 A 在草地上的最大活动区域面积是（） A?t ?m 2 Btt ?m 2 C?漾 ? m2D?t ? m2 第 11页（共 25页） 【解答】解：大扇形的圆心角是 90 度，半径是 5， 所以面积? ?漾 ? ? ?漾 ? （m2） ； 小扇形的圆心角是 18012060，半径是 1m， 则面积? ? ? ? ? ?（m 2） ， 则小羊 A 在草地上的最大活动区域面积? ?漾 ? 灄 ? ? ? tt ?（m 2） 故选：B 8（3 分） 新龟兔赛跑的故事： 龟兔从同一地点同时出发后， 兔子很快把乌龟远远甩在后头 骄 傲自满的兔子觉得自己遥遥领先，就躺在路边呼呼大睡起来
17、当它一觉醒来，发现乌龟 已经超过它，于是奋力直追，最后同时到达终点用 S1、S2分别表示乌龟和兔子赛跑的 路程，t 为赛跑时间，则下列图象中与故事情节相吻合的是（） AB CD 【解答】解：A此函数图象中，S2先达到最大值，即兔子先到终点，不符合题意； B此函数图象中，S2第 2 段随时间增加其路程一直保持不变，与“当它一觉醒来，发现 乌龟已经超过它，于是奋力直追”不符，不符合题意； C此函数图象中，乌龟和兔子同时到达终点，符合题意； D此函数图象中，S1先达到最大值，即乌龟先到终点，不符合题意 故选：C 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 2 分，共分，
18、共 24 分）分） 9 （2 分）已知 m 是一元二次方程 x2+x60 的一个根，则代数式 m2+m 的值等于6 【解答】解：将 xm 代入方程 x2+x60， 第 12页（共 25页） 得 m2+m60， 即 m2+m6， 故答案为：6 10 （2 分）5 月 11 日，第七次人口普查结果发布数据显示，全国人口共 14.1178 亿人， 同 2010 年第六次全国人口普查数据相比，我国人口 10 年来继续保持低速增长态势其 中数据“14.1178 亿”用科学记数法表示为1.41178109 【解答】解：14.1178 亿 14.1178108 1.41178109， 故答案为：1.4117
19、8109 11 （2 分）已知单项式 2a4b 2m+7 与 3a2mbn+2是同类项，则 m+n3 【解答】解：根据同类项的定义得： ? ? ? ? 灄 t ? ? 灄 ?， ? ? ? ? ? ? ， m+n2+13， 故答案为：3 12 （2 分）已知点 A（2m5，62m）在第四象限，则 m 的取值范围是m3 【解答】解：A（2m5，62m）在第四象限， ? 漾? ? ? ?， 解得 m3， 故答案为：m3 13 （2 分）已知点 A（1，y1）和点 B（4，y2）在反比例函数 y? ? ?的图象上，则 y1 与 y2的大小关系是y1y2 【解答】解：反比例函数 y? ? ?中，k60
20、， 此函数在每个象限内，y 随 x 的增大而减小， 点 A（1，y1）和点 B（4，y2）在反比例函数 y? ? ?的图象上，14， y1y2， 故答案为 y1y2 第 13页（共 25页） 14 （2 分）如图，ABCD，EFDB，垂足为点 E，150，则2 的度数是40 【解答】解：在DEF 中，150，DEF90， D180DEF140 ABCD， 2D40 故答案为：40 15 （2 分）如图所示的图案由三个叶片组成，绕点 O 旋转 120后可以和自身重合若每 个叶片的面积为 4cm2，AOB 为 120，则图中阴影部分的面积之和为4cm2 【解答】解：三个叶片组成，绕点 O 旋转 1
21、20后可以和自身重合， 而AOB 为 120， 图中阴影部分的面积之和? ? ?（4+4+4）4（cm 2） 故答案为 4 16 （2 分）点 P 是非圆上一点，若点 P 到O 上的点的最小距离是 4cm，最大距离是 9cm， 则O 的半径是6.5cm 或 2.5cm 【解答】解：分为两种情况： 当点在圆内时，如图 1， 点到圆上的最小距离 PB4cm，最大距离 PA9cm， 直径 AB4cm+9cm13cm， 第 14页（共 25页） 半径 r6.5cm； 当点在圆外时，如图 2， 点到圆上的最小距离 PB4cm，最大距离 PA9cm， 直径 AB9cm4cm5cm， 半径 r2.5cm；
22、故答案为：6.5cm 或 2.5cm 17 （2 分）如图，在ABC 中，D，E，F 分别是边 AB，BC，CA 的中点，若DEF 的周长 为 10，则ABC 的周长为20 【解答】解：点 D，E，F 分别是ABC 的 AB，BC，CA 边的中点， EF、DE、DF 为ABC 的中位线， EF? ? ?AB，DF? ? ?BC，DE? ? ?AC， AB2EF，BC2DF，AC2DE， DEF 的周长为 10， EF+DE+DF10， 2EF+2DE+2DF20， AB+BC+AC20， ABC 的周长为 20 故答案为：20 18 （2 分）如图，在 ABCD 中，对角线 BD8cm，AEB
23、D，垂足为 E，且 AE3cm，BC 4cm，则 AD 与 BC 之间的距离为6cm 【解答】解： 第 15页（共 25页） 四边形 ABCD 为平行四边形， ABCD，ADBC， 在ABD 和BCD 中 ?C ? ? C? ? ?C ? ? C? ABDCDB（SSS） ， AEBD，AE3cm，BD8cm， SABD? ? ?BDAE? ? ? ?8312（cm2） ， S四边形ABCD2SABD24cm2， 设 AD 与 BC 之间的距离为 h， BC4cm， S四边形ABCDBCh4h， 4h24， 解得 h6cm， 故答案为：6cm 19 （2 分）如图，正方形 ABCD 的边长为
24、8，点 M 在 DC 上且 DM2，N 是 AC 上的一动 点，则 DN+MN 的最小值是10 【解答】解：正方形是轴对称图形，点 B 与点 D 是关于直线 AC 为对称轴的对称点， 连接 BN， BNND， DN+MNBN+MN， 连接 BM 交 AC 于点 P， 点 N 为 AC 上的动点， 由三角形两边和大于第三边， 知当点 N 运动到点 P 时， BN+MNBP+PMBM， 第 16页（共 25页） BN+MN 的最小值为 BM 的长度， 四边形 ABCD 为正方形， BCCD8，CM826，BCM90， BM?灄 ?10， DN+MN 的最小值是 10 故答案为：10 20 （2 分
25、）观察下列各等式： ? ? ? ? 灄 ? ?； ? ? ? ? 灄 ? ?； ? ? ?漾 ? 灄 ? ?漾； 根据以上规律，请写出第 5 个等式：6 ? ?漾 ? 灄 ? ?漾 【解答】解：第 5 个等式，等号左边根号外面是 6，被开方数的分子也是 6，分母是 62 1，等号右边是这个整数与这个分数的和的算术平方根， 故答案为：6 ? ?漾 ? 灄 ? ?漾 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 7 小题，共小题，共 72 分分.解答应写出必要的文字说明证明过程或演算步骤解答应写出必要的文字说明证明过程或演算步骤） 21 （7 分）先化简，再求值： （a ? ） ?灄? ，其中 a?
26、灄1 【解答】解：原式? ? ? ? ? ?灄? ? ? ? 灄? ?， a? 灄1， ? ? ? ? ?灄? ? ?灄?灄? ?灄? ?1灄? 22 （10 分）如图，DB 是 ABCD 的对角线 （1）尺规作图（请用 2B 铅笔） ：作线段 BD 的垂直平分线 EF，交 AB，DB，DC 分别于 第 17页（共 25页） E，O，F，连接 DE，BF（保留作图痕迹，不写作法） （2）试判断四边形 DEBF 的形状并说明理由 【解答】解： （1）如图，DE、BF 为所作； （2）四边形 DEBF 为菱形 理由如下：如图， EF 垂直平分 BD， EBED，FBFD，OBOD， 四边形 ABC
27、D 为平行四边形， CDAB， FDBEBD， 在ODF 和OBE 中， ? ?C? ? ? ?C ? ? ?C? ， ODFOBE（ASA） ， DFBE， DEEBBFDF， 四边形 DEBF 为菱形 23 （10 分）如图，在ABC 中，AD 是 BC 边上的中线，以 AB 为直径的O 交 BC 于点 D， 过 D 作 MNAC 于点 M，交 AB 的延长线于点 N，过点 B 作 BGMN 于 G （1）求证：BGDDMA； （2）求证：直线 MN 是O 的切线 第 18页（共 25页） 【解答】证明： （1）MNAC，BGMN， BGDDMA90， 以 AB 为直径的O 交 BC 于点
28、 D， ADBC，即ADC90， ADM+CDM90， DBG+BDG90，CDMBDG， DBGADM， BGDDMA； （2）连接 OD BOOA，BDDC， OD 是ABC 的中位线， ODAC， 又MNAC， ODMN， 直线 MN 是O 的切线 24 （10 分）如图 1 是某中学教学楼的推拉门，已知门的宽度 AD2 米，且两扇门的大小 相同 （即 ABCD） ， 将左边的门 ABB1A1绕门轴 AA1向里面旋转 35， 将右边的门 CDD1C1 绕门轴 DD1向外面旋转 45，其示意图如图 2，求此时 B 与 C 之间的距离（结果保留一 位小数） （参考数据：sin350.6，co
29、s350.8， ? ?1.4） 第 19页（共 25页） 【解答】解：作 BEAD 于点 E，作 CFAD 于点 F，延长 FC 到点 M，使得 BECM， ABCD，AB+CDAD2， ABCD1， 在 RtABE 中，A35，AB1， BEABsinA1sin350.6， AEABcosA1cos350.8， 在 RtCDF 中，D45，CD1， CFCDsinD1sin450.7， DFCDcosD1cos450.7， BEAD，CFAD， BECM， 又BECM， 四边形 BEMC 是平行四边形， BCEM， 在 RtMEF 中，FMCF+CM1.3，EFADAEFD0.5， 第 20
30、页（共 25页） EM?灄 ?t? ?1.4， 答：B 与 C 之间的距离约为 1.4 米 25 （12 分）为了倡导“节约用水，从我做起” ，某市政府决定对该市直属机关 200 户家庭 用水情况进行调查市政府调查小组随机抽查了其中部分家庭一年的月平均用水量（单 位：吨） ，调查中发现，每户家庭月平均用水量在 37 吨范围内，并将调查结果制成了 如下尚不完整的统计表： 月平均用 水量（吨） 34567 频数（户 数） 4a9107 频率0.080.40bc0.14 请根据统计表中提供的信息解答下列问题： （1）填空：a20，b0.18，c0.20 （2）这些家庭中月平均用水量数据的平均数是4.
31、93，众数是4，中位数是 5 （3）根据样本数据，估计该市直属机关 200 户家庭中月平均用水量不超过 5 吨的约有多 少户？ （4）市政府决定从月平均用水量最省的甲、乙、丙、丁四户家庭中，选取两户进行“节 水”经验分享请用列表或画树状图的方法，求出恰好选到甲、丙两户的概率，并列出 所有等可能的结果 【解答】解： （1）抽查的户数为：40.0850（户） ， a500.4020，b9500.18，c10500.20， 故答案为：20，0.18，0.20； （2） 这些家庭中月平均用水量数据的平均数? ?灄?灄漾?灄?灄t?t 漾? ?4.92 （吨） ， 众数是 4 吨，中位数为漾灄漾 ? ?
32、5（吨） ， 故答案为：4.92，4，5； （3）4+20+933（户） ， 估计该市直属机关 200 户家庭中月平均用水量不超过 5 吨的约有： 200 ? 漾? ?132 （户） ； 第 21页（共 25页） （4）画树状图如图： 共有 12 种等可能的结果，恰好选到甲、丙两户的结果有 2 种， 恰好选到甲、丙两户的概率为 ? ? ? ? ?，所有等可能的结果分别为（甲，乙） 、 （甲，丙） 、 （甲，丁） 、 （乙，甲） 、 （乙，丙） 、 （乙，丁） 、 （丙，甲） 、 （丙，乙） 、 （丙，丁） 、 （丁， 甲） 、 （丁，乙） 、 （丁，丙） 26 （10 分）在我们学习过的数学教
33、科书中，有一个数学活动，若身旁没有量角器或三角尺， 又需要作 60，30，15等大小的角，可以采用如下方法： 操作感知： 第一步：对折矩形纸片 ABCD，使 AD 与 BC 重合，得到折痕 EF，把纸片展开（如图 1 ） 第二步：再一次折叠纸片，使点 A 落在 EF 上，并使折痕经过点 B，得到折痕 BM，同时 得到线段 BN （如图 2） 猜想论证： （1）若延长 MN 交 BC 于点 P，如图 3 所示，试判定BMP 的形状，并证明你的结论 拓展探究： （2）在图 3 中，若 ABa，BCb，当 a，b 满足什么关系时，才能在矩形纸片 ABCD 中剪出符合（1）中结论的三角形纸片 BMP？
34、 【解答】解： （1）BMP 是等边三角形， 理由如下：如图 3，连接 AN， 第 22页（共 25页） 由折叠的性质可得 AEBE，EFAB，ABBN，ABMNBM，BAMBNM 90， ANBN， ANBNAB， ABN 是等边三角形， ABN60， ABMNBM30PBN， BMNBPM60， BMP 是等边三角形； （2）ABa，ABM30， BM? ?C ?th? ? ? ? ? a， BMP 是等边三角形， BPBM? ? ? ? a， 在矩形纸片 ABCD 中剪出符合（1）中结论的三角形纸片 BMP， BCBP， b? ? ? ? a 27 （13 分）如图，在平面直角坐标系中，
35、直线 yx+2 与坐标轴交于 A，B 两点，点 A 在 x 轴上，点 B 在 y 轴上，C 点的坐标为（1，0） ，抛物线 yax2+bx+c 经过点 A，B，C （1）求抛物线的解析式； （2）根据图象写出不等式 ax2+（b1 ）x+c2 的解集； （3）点 P 是抛物线上的一动点，过点 P 作直线 AB 的垂线段，垂足为 Q 点当 PQ? ? ? 时，求 P 点的坐标 第 23页（共 25页） 【解答】解： （1）当 x0，y0+22， 当 y0 时，x+20， 解得 x2， A（2，0） ，B（0，2） ， 把 A（2，0） ，C（1，0） ，B（0，2）代入抛物线解析式， 得 ? 灄
36、 ? ? ? 灄 灄 ? ? ? ? ? ? ， 解得 ? ? ? ? ? ， 该抛物线的解析式为：yx2x+2； （2）方法一：ax2+（b1 ）x+c2， 即x22x+22， 当函数 yx22x+22 时， 解得 x0 或 x2， 由图象知，当2x0 时函数值大于 2， 不等式 ax2+（b1 ）x+c2 的解集为：2x0； 方法二：ax2+（b1 ）x+c2， 即x2x+2x+2， 观察函数图象可知当2x0 时 yx2x+2 的函数值大于 yx+2 的函数值， 不等式 ax2+（b1 ）x+c2 的解集为：2x0； （3）作 PEx 轴于点 E，交 AB 于点 D，作 PQAB 于 Q，
37、 如图 1，当 P 在 AB 上方时， 在 RtOAB 中， 第 24页（共 25页） OAOB2， OAB45， PDQADE45， 在 RtPDQ 中，DPQPDQ45， PQDQ? ? ? ， PD?灄 ?1， 设点 P（x，x2x+2） ，则点 D（x，x+2） ， PDx2x+2（x+2）x22x， 即x22x1， 解得 x1， 此时 P 点的坐标为（1，2） ， 如图 2，当 P 点在 A 点左侧时， 同理可得 PD1， 设点 P（x，x2x+2） ，则点 D（x，x+2） ， PD（x+2）（x2x+2）x2+2x， 即 x2+2x1， 解得 x ? ，1 由图象知此时 P 点在第三象限， x? ，1 此时 P 点的坐标为（? ，1?） ， 如图 3，当 P 点在 B 点右侧时， 在 RtOAB 中， OAOB2， OAB45， PDQDPQ45， 在 RtPDQ 中，DPQPDQ45， PQDQ? ? ? ， PD?灄 ?1， 第 25页（共 25页） 设点 P（x，x2x+2） ，则点 D（x，x+2） ， PD（x+2）（x2x+2）x2+2x， 即 x2+2x1， 解得 x ? ，1 由图象知此时 P 点在第一象限， x? ，1 此时 P 点的坐标为（ ? ， ）? ，1 综上，P 点的坐标为（1，2）或（? ，1?）或（ ? ）? ，1
