1、第 1页（共 25页） 2021 年山东省济宁市中考数学试卷年山东省济宁市中考数学试卷 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 10 小题小题,每小题每小题 3 分分,共共 30 分分.在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中,只有一项只有一项 符合题目要求。符合题目要求。 1 （3 分）若盈余 2 万元记作+2 万元，则2 万元表示（） A盈余 2 万元B亏损 2 万元 C亏损2 万元D不盈余也不亏损 2 （3 分）一个圆柱体如图所示，下面关于它的左视图的说法其中正确的是（） A既是轴对称图形，又是中心对称图形 B既不是轴对称图形，又不是中心对称图形 C是轴对称图形，但不是中心对称
2、图形 D是中心对称图形，但不是轴对称图形 3 （3 分）下列各式中，正确的是（） Ax+2x3x2B（xy）xy C （x2）3x5Dx5x3x2 4 （3 分）如图，ABCD，BCDE，若B7228，那么D 的度数是（） A7228B10128C10732D12732 5 （3 分）计算? ?t ? ?（a+1? ?t ? ）的结果是（） A? ? B? ? C? ? D? ? 第 2页（共 25页） 6 （3 分）不等式组 ? ? h ? ? ?h ? ? ? ?的解集在数轴上表示正确的是（ ） A B C D 7 （3 分）如图，正五边形 ABCDE 中，CAD 的度数为（） A72B4
3、5C36D35 8 （3 分）已知 m，n 是一元二次方程 x2+x20210 的两个实数根，则代数式 m2+2m+n 的 值等于（） A2019B2020C2021D2022 9 （3 分）如图，已知ABC （1）以点 A 为圆心，以适当长为半径画弧，交 AC 于点 M，交 AB 于点 N （2）分别以 M，N 为圆心，以大于h ?MN 的长为半径画弧，两弧在BAC 的内部相交于 点 P （3）作射线 AP 交 BC 于点 D （4）分别以 A，D 为圆心，以大于h ?AD 的长为半径画弧，两弧相交于 G，H 两点 （5）作直线 GH，交 AC，AB 分别于点 E，F 依据以上作图，若 AF
4、2，CE3，BD? h ?，则 CD 的长是（ ） 第 3页（共 25页） A ? h? B1C? t D4 10 （3 分）按规律排列的一组数据：h ?， h ?， ? h?， ? ?， hh h?，其中内应填的数是 （） A? h B ? hh C? ? Dh ? 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 5 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 15 分。分。 11 （3 分）数字 6100000 用科学记数法表示是 12 （3 分） 如图， 四边形 ABCD 中， BACDAC， 请补充一个条件， 使ABCADC 13 （3 分）已知一组数据 0，1，x，3，6 的平均数是 y，
5、则 y 关于 x 的函数解析式 是 14 （3 分）如图，ABC 中，ABC90，AB2，AC4，点 O 为 BC 的中点，以 O 为 圆 心 ， 以 OB 为 半 径 作 半 圆 ， 交 AC 于 点 D ， 则 图 中 阴 影 部 分 的 面 积 是 15 （3 分）如图，二次函数 yax2+bx+c（a0）的图象与 x 轴的正半轴交于点 A，对称轴 为直线 x1下面结论： 第 4页（共 25页） abc0； 2a+b0； 3a+c0； 方程 ax2+bx+c0（a0）必有一个根大于1 且小于 0 其中正确的是 （只填序号） 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 7 小题，共小题，共
6、55 分。分。 16 （5 分）计算：| ? ?1|+cos45（ ?） 3? ? 17 （7 分）某校为了解九年级学生体质健康情况，随机抽取了部分学生进行体能测试，并 根据测试结果绘制了不完整的条形统计图和扇形统计图，请回答下列问题 （1）在这次调查中， “优秀”所在扇形的圆心角的度数是； （2）请补全条形统计图； （3）若该校九年级共有学生 1200 人，则估计该校“良好”的人数是； （4）已知“不及格”的 3 名学生中有 2 名男生、1 名女生，如果从中随机抽取两名同学 进行体能加试，请用列表法或画树状图的方法，求抽到两名男生的概率是多少？ 18 （7 分）如图，RtABC 中，ACB9
7、0，ACBC，点 C（2，0） ，点 B（0，4） ，反 比例函数 y? ? ?（x0）的图象经过点 A （1）求反比例函数的解析式； 第 5页（共 25页） （2）将直线 OA 向上平移 m 个单位后经过反比例函数 y? ? ?（x0）图象上的点（1，n） ， 求 m，n 的值 19 （8 分）如图，点 C 在以 AB 为直径的O 上，点 D 是 BC 的中点，连接 OD 并延长交 O 于点 E，作EBPEBC，BP 交 OE 的延长线于点 P （1）求证：PB 是O 的切线； （2）若 AC2，PD6，求O 的半径 20 （8 分）某商场购进甲、乙两种商品共 100 箱，全部售完后，甲商品
8、共盈利 900 元，乙 商品共盈利 400 元，甲商品比乙商品每箱多盈利 5 元 （1）求甲、乙两种商品每箱各盈利多少元？ （2）甲、乙两种商品全部售完后，该商场又购进一批甲商品，在原每箱盈利不变的前提 下，平均每天可卖出 100 箱如调整价格，每降价 1 元，平均每天可多卖出 20 箱，那么 当降价多少元时，该商场利润最大？最大利润是多少？ 21 （9 分）研究立体图形问题的基本思路是把立体图形问题转化为平面图形问题 （1）阅读材料 立体图形中既不相交也不平行的两条直线所成的角， 就是将直线平移使其相交所成的角 例如，正方体 ABCDABCD（图 1） ，因为在平面 AACC 中，CCAA，
9、 AA与 AB 相交于点 A，所以直线 AB 与 AA所成的BAA就是既不相交也不平行的 第 6页（共 25页） 两条直线 AB 与 CC所成的角 解决问题 如图 1，已知正方体 ABCDABCD，求既不相交也不平行的两直线 BA与 AC 所 成角的大小 （2）如图 2，M，N 是正方体相邻两个面上的点； 下列甲、 乙、 丙三个图形中， 只有一个图形可以作为图 2 的展开图， 这个图形是； 在所选正确展开图中，若点 M 到 AB，BC 的距离分别是 2 和 5，点 N 到 BD，BC 的距 离分别是 4 和 3，P 是 AB 上一动点，求 PM+PN 的最小值 22（11 分） 如图， 直线
10、y? h ?x? h ?分别交 x 轴、 y 轴于点 A， B， 过点 A 的抛物线 yx 2+bx+c 与 x 轴的另一交点为 C，与 y 轴交于点 D（0，3） ，抛物线的对称轴 l 交 AD 于点 E，连接 OE 交 AB 于点 F （1）求抛物线的解析式； （2）求证：OEAB； （3）P 为抛物线上的一动点，直线 PO 交 AD 于点 M，是否存在这样的点 P，使以 A，O， M 为顶点的三角形与ACD 相似？若存在，求点 P 的横坐标；若不存在，请说明理由 第 7页（共 25页） 第 8页（共 25页） 2021 年山东省济宁市中考数学试卷年山东省济宁市中考数学试卷 参考答案与试题
11、解析参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 10 小题小题,每小题每小题 3 分分,共共 30 分分.在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中,只有一项只有一项 符合题目要求。符合题目要求。 1 （3 分）若盈余 2 万元记作+2 万元，则2 万元表示（） A盈余 2 万元B亏损 2 万元 C亏损2 万元D不盈余也不亏损 【解答】解：2 万元表示亏损 2 万元， 故选：B 2 （3 分）一个圆柱体如图所示，下面关于它的左视图的说法其中正确的是（） A既是轴对称图形，又是中心对称图形 B既不是轴对称图形，又不是中心对称图形 C是轴对称图形，但不是中心对称图形 D是中
12、心对称图形，但不是轴对称图形 【解答】解：圆柱体的左视图是长方形，而长方形既是轴对称图形，也是中心对称图形， 故选：A 3 （3 分）下列各式中，正确的是（） Ax+2x3x2B（xy）xy C （x2）3x5Dx5x3x2 【解答】解：A、应为 x+2x3x，故本选项错误； B、应为（xy）x+y，故本选项错误； C、 （x2）3x2 3x6， ，故本选项错误； D、x5x3x5 3x2，故本选项正确 故选：D 4 （3 分）如图，ABCD，BCDE，若B7228，那么D 的度数是（） 第 9页（共 25页） A7228B10128C10732D12732 【解答】解：ABCD，B7228，
13、 CB7228， BCDE， D+C180， D180C10732， 故选：C 5 （3 分）计算? ?t ? ?（a+1? ?t ? ）的结果是（） A? ? B? ? C? ? D? ? 【解答】解：原式? ?t ? ?h?t? ? ? ? ? ? ?t ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， 故选：A 6 （3 分）不等式组 ? ? h ? ? ?h ? ? ? ?的解集在数轴上表示正确的是（ ） A B C 第 10页（共 25页） D 【解答】解： ? ? h ? ? ?h ? ? ? ?， 解不等式，得 x1， 解不等式，得 x3， 所以不等式组的解集是1x3， 在数轴上表示出来
14、为： ， 故选：B 7 （3 分）如图，正五边形 ABCDE 中，CAD 的度数为（） A72B45C36D35 【解答】解：根据正多边形内角和公式可得， 正五边形 ABCDE 的内角和180（52）540， 则BAEBE? ?t? ? ?108， 根据正五边形的性质，ABCAED， CABDAE? h ?（180108）36， CAD108363636， 故选：C 8 （3 分）已知 m，n 是一元二次方程 x2+x20210 的两个实数根，则代数式 m2+2m+n 的 值等于（） A2019B2020C2021D2022 【解答】解：m 是一元二次方程 x2+x20210 的实数根， 第
15、11页（共 25页） m2+m20210， m2+m2021， m2+2m+nm2+m+m+n2021+m+n， m，n 是一元二次方程 x2+x20210 的两个实数根， m+n1， m2+2m+n202112020 故选：B 9 （3 分）如图，已知ABC （1）以点 A 为圆心，以适当长为半径画弧，交 AC 于点 M，交 AB 于点 N （2）分别以 M，N 为圆心，以大于h ?MN 的长为半径画弧，两弧在BAC 的内部相交于 点 P （3）作射线 AP 交 BC 于点 D （4）分别以 A，D 为圆心，以大于h ?AD 的长为半径画弧，两弧相交于 G，H 两点 （5）作直线 GH，交
16、AC，AB 分别于点 E，F 依据以上作图，若 AF2，CE3，BD? h ?，则 CD 的长是（ ） A ? h? B1C? t D4 【解答】解：由作法得 AD 平分BAC，EF 垂直平分 AD， EADFAD，EAED，FAFD， EAED， EADEDA， FADEDA， DEAF， 同理可得 AEDF， 第 12页（共 25页） 四边形 AEDF 为平行四边形， 而 EAED， 四边形 AEDF 为菱形， AEAF2， DEAB， ?t tt ? ?t t?，即 ?t h ? ? h ?， CD? ? t 故选：C 10 （3 分）按规律排列的一组数据：h ?， h ?， ? h?，
17、 ? ?， hh h?，其中内应填的数是 （） A? h B ? hh C? ? Dh ? 【解答】解：观察这排数据发现：分子为连续的奇数，分母为序号的平方+1， 第 n 个数据为：?h ?h 当 n3 时，的分子为 5，分母32+110， 这个数为 ? h? ? h ?， 故选：D 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 5 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 15 分。分。 11 （3 分）数字 6100000 用科学记数法表示是6.1106 【解答】解：用科学记数法表示 6100000，应记作 6.1106， 故答案是：6.1106 12 （3 分）如图，四边形 ABCD 中，
18、BACDAC，请补充一个条件ADAB（答案 不唯一），使ABCADC 第 13页（共 25页） 【解答】解：添加的条件是 ADAB， 理由是：在ABC 和ADC 中 ? ? ? ?t? ? ?t? ?t ? ?t ， ABCADC（SAS） ， 故答案为：ADAB（答案不唯一） 13（3 分） 已知一组数据 0， 1， x， 3， 6 的平均数是 y， 则 y 关于 x 的函数解析式是y? ? ? ?2 【解答】解：根据题意得： y（0+1+x+3+6）5 ? ? ? ?2 故答案为：y? ? ? ?2 14 （3 分）如图，ABC 中，ABC90，AB2，AC4，点 O 为 BC 的中点，以
19、 O 为 圆心，以 OB 为半径作半圆，交 AC 于点 D，则图中阴影部分的面积是 ? h t ? ? ? 【解答】解，连接 OD，过 D 作 DEBC 于 E， 在ABC 中，ABC90，AB2，AC4， sinC? ?t ? ? ? t ? h ?，BC? ? ?t?t? ?2 h， C30， DOB60， OD? h ?BC? h， 第 14页（共 25页） DE? h ?， 阴影部分的面积是：h ? ?22 h ? h ? ?h ? h ? ? ?h h? ? ? h t ? ? ?， 故答案为：? h t ? ? ? 15 （3 分）如图，二次函数 yax2+bx+c（a0）的图象与
20、 x 轴的正半轴交于点 A，对称轴 为直线 x1下面结论： abc0； 2a+b0； 3a+c0； 方程 ax2+bx+c0（a0）必有一个根大于1 且小于 0 其中正确的是 （只填序号） 【解答】解：由图象可得， a0，b0，c0， 则 abc0，故正确； ? ? ? ?1， b2a， 2a+b0，故正确； 函数图象与 x 轴的正半轴交点在点（2，0）和（3，0）之间，对称轴是直线 x1， 函数图象与 x 轴的另一个交点在点（0，0）和点（1，0）之间，故正确； 当 x1 时，yab+c0， 第 15页（共 25页） ya+2a+c0， 3a+c0，故错误； 故答案为： 三、解答题：本大题共
21、三、解答题：本大题共 7 小题，共小题，共 55 分。分。 16 （5 分）计算：| ? ?1|+cos45（ ?） 3? ? 【解答】解：原式? ?1? ? ? ? h ? ? ?2 ? ? ?1? ? ? ? ? t ?2 ? 1? hh t ? 17 （7 分）某校为了解九年级学生体质健康情况，随机抽取了部分学生进行体能测试，并 根据测试结果绘制了不完整的条形统计图和扇形统计图，请回答下列问题 （1）在这次调查中， “优秀”所在扇形的圆心角的度数是108； （2）请补全条形统计图； （3）若该校九年级共有学生 1200 人，则估计该校“良好”的人数是510 人； （4）已知“不及格”的
22、3 名学生中有 2 名男生、1 名女生，如果从中随机抽取两名同学 进行体能加试，请用列表法或画树状图的方法，求抽到两名男生的概率是多少？ 【解答】解： （1）在这次调查中， “优秀”所在扇形的圆心角的度数是：36030% 108， 故答案为：108； （2）这次调查的人数为：1230%40（人） ， 则及格的人数为：40317128（人） ，补全条形统计图如下： 第 16页（共 25页） （3）估计该校“良好”的人数为：1200 h? t? ?510（人） ， 故答案为：510 人； （4）画树状图如图： 共有 6 种等可能的结果，抽到两名男生的结果有 2 种， 抽到两名男生的概率为? ? ?
23、 h h 18 （7 分）如图，RtABC 中，ACB90，ACBC，点 C（2，0） ，点 B（0，4） ，反 比例函数 y? ? ?（x0）的图象经过点 A （1）求反比例函数的解析式； （2）将直线 OA 向上平移 m 个单位后经过反比例函数 y? ? ?（x0）图象上的点（1，n） ， 求 m，n 的值 第 17页（共 25页） 【解答】解： （1）过 A 作 ADx 轴于 D，如图： ACB90， OBC90BCOACD， 在BOC 和CDA 中， t? ?t? ? ? ?t? ? ?t t? ? ? ， BOCCDA（AAS） ， OBCD，OCAD， C（2，0） ，B（0，4）
24、 ， AD2，CD4， A（6，2） ， 反比例函数 y? ? ?（x0）的图象经过点 A， 2? ? ?，解得 k12， 反比例函数的解析式为 y? h? ? ； （2）由（1）得 A（6，2） ， 设直线 OA 解析式为 ytx， 则 26t，解得 t? h h， 直线 OA 解析式为 y? h hx， 将直线 OA 向上平移 m 个单位后所得直线解析式为 y? h hx+m， 点（1，n）在反比例函数 y? h? ? （x0）图象上， 第 18页（共 25页） n? h? h ?12， 直线 OA 向上平移 m 个单位后经过的点是（1，12） ， 12? h h ?m， m? h? h
25、19 （8 分）如图，点 C 在以 AB 为直径的O 上，点 D 是 BC 的中点，连接 OD 并延长交 O 于点 E，作EBPEBC，BP 交 OE 的延长线于点 P （1）求证：PB 是O 的切线； （2）若 AC2，PD6，求O 的半径 【解答】解： （1）证明：AB 为直径， ACB90， 又 D 为 BC 中点，O 为 AB 中点， 故 OD? h ? ?，ODAC， ODBACB90 OBOE， OEBOBE， 又OEBP+EBP，OBEOBD+EBC， P+EBPOBD+EBC， 又EBPEBC， POBD BOD+OBD90， BOD+P90， OBP90 又 OB 为半径，
26、第 19页（共 25页） 故 PB 是O 的切线 （2）AC2， 由（1）得 OD? h ? ?1， 又 PD6， POPD+OD6+17 PP，BDPOBP90， BDPOBP t? ? ? t? t?，即 BP 2OPDP7642， BP?t? OB? t?t? t? ? 故O 的半径为 ? 20 （8 分）某商场购进甲、乙两种商品共 100 箱，全部售完后，甲商品共盈利 900 元，乙 商品共盈利 400 元，甲商品比乙商品每箱多盈利 5 元 （1）求甲、乙两种商品每箱各盈利多少元？ （2）甲、乙两种商品全部售完后，该商场又购进一批甲商品，在原每箱盈利不变的前提 下，平均每天可卖出 10
27、0 箱如调整价格，每降价 1 元，平均每天可多卖出 20 箱，那么 当降价多少元时，该商场利润最大？最大利润是多少？ 【解答】解： （1）设甲种商品每箱盈利 x 元，则乙种商品每箱盈利（x5）元， 根据题意得：? ? ? t? ? ?100， 整理得：x218x+450， 解得：x15 或 x3（舍去） ， 经检验，x15 是原分式方程的解，符合实际， x515510（元） ， 第 20页（共 25页） 答：甲种商品每箱盈利 15 元，则乙种商品每箱盈利 10 元； （2）设甲种商品降价 a 元，则每天可多卖出 20a 箱，利润为 w 元， 由题意得：w（15a） （100+20a）20a2+
28、200a+150020（a5）2+2000， a20， 当 a5 时，函数有最大值，最大值是 2000 元， 答：当降价 5 元时，该商场利润最大，最大利润是 2000 元 21 （9 分）研究立体图形问题的基本思路是把立体图形问题转化为平面图形问题 （1）阅读材料 立体图形中既不相交也不平行的两条直线所成的角， 就是将直线平移使其相交所成的角 例如，正方体 ABCDABCD（图 1） ，因为在平面 AACC 中，CCAA， AA与 AB 相交于点 A，所以直线 AB 与 AA所成的BAA就是既不相交也不平行的 两条直线 AB 与 CC所成的角 解决问题 如图 1，已知正方体 ABCDABCD
29、，求既不相交也不平行的两直线 BA与 AC 所 成角的大小 （2）如图 2，M，N 是正方体相邻两个面上的点； 下列甲、 乙、 丙三个图形中， 只有一个图形可以作为图 2 的展开图， 这个图形是丙； 在所选正确展开图中，若点 M 到 AB，BC 的距离分别是 2 和 5，点 N 到 BD，BC 的距 离分别是 4 和 3，P 是 AB 上一动点，求 PM+PN 的最小值 第 21页（共 25页） 【解答】解： （1）如图 1 中，连接 BC ABBCAC， ABC是等边三角形， BAC60， ACAC， CAB 是两条直线 AC 与 BA所成的角， 两直线 BA与 AC 所成角为 60 （2）
30、观察图形可知，图形丙是图 2 的展开图， 故答案为：丙 如图丙中，作点 N 关于 AD 的对称点 K，连接 MK 交 AD 于 P，连接 PN，此时 PM+PN 的值最小，最小值为线段 MK 的值，过点 M 作 MJNK 于 J 由题意在 RtMKJ 中，MJK90，MJ5+38，JK8（42）6， 第 22页（共 25页） MK? ? ?10， PM+PN 的最小值为 10 22（11 分） 如图， 直线 y? h ?x? h ?分别交 x 轴、 y 轴于点 A， B， 过点 A 的抛物线 yx 2+bx+c 与 x 轴的另一交点为 C，与 y 轴交于点 D（0，3） ，抛物线的对称轴 l
31、交 AD 于点 E，连接 OE 交 AB 于点 F （1）求抛物线的解析式； （2）求证：OEAB； （3）P 为抛物线上的一动点，直线 PO 交 AD 于点 M，是否存在这样的点 P，使以 A，O， M 为顶点的三角形与ACD 相似？若存在，求点 P 的横坐标；若不存在，请说明理由 【解答】解： （1）直线 y? h ?x? h ?分别交 x 轴、y 轴于点 A，B， A（3，0） ，B（0，h ?） ， 抛物线 yx2+bx+c 经过 A（3，0） ，D（0，3） ， ? ? h? h? ? h ? ? ? ? ? ， 解得： ? ? ? ? ? h， 该抛物线的解析式为 yx2+2x+3
32、； （2）yx2+2x+3（x1）2+4， 抛物线的对称轴为直线 x1， 设直线 AD 的解析式为 ykx+a，将 A（3，0） ，D（0，3）代入， 得： h? ? ? ? ? ? h ， 解得： ? ? h ? ? h ， 第 23页（共 25页） 直线 AD 的解析式为 yx+3， E（1，2） ， G（1，0） ，EGO90， tanOEG? ? t? ? h ?， OA3，OB? h ?，AOB90， tanOAB? ?t ? ? h ? h ? h ?， tanOABtanOEG， OABOEG， OEG+EOG90， OAB+EOG90， AFO90， OEAB； （3）存在 A
33、（3，0） ，抛物线的对称轴为直线 x1， C（1，0） ， AC3（1）4， OAOD3，AOD90， AD?OA3 ?， 设直线 CD 解析式为 ymx+n， C（1，0） ，D（0，3） ， ? a ? ? ? ? h ， 解得： a ? h ? h ， 直线 CD 解析式为 y3x+3， 当AOMACD 时，AOMACD，如图 2， OMCD， 直线 OM 的解析式为 y3x， 结合抛物线的解析式为 yx2+2x+3，得：3xx2+2x+3， 解得：x1? ?h? hh ? ，x2? ?h? hh ? ， 第 24页（共 25页） 当AMOACD 时，如图 3， ? ? ? ? ?t， AM? ? ?t ? t?h h ? ?2 ?， 过点 M 作 MGx 轴于点 G，则AGM90， OAD45， AGMGAMsin452 ? ? ? ? ?2， OGOAAG321， M（1，2） ， 设直线 OM 解析式为 ym1x，将 M（1，2）代入， 得：m12， 直线 OM 解析式为 y2x， 结合抛物线的解析式为 yx2+2x+3，得：2xx2+2x+3， 解得：x h， 综上所述，点 P 的横坐标为 h或?h? hh ? 第 25页（共 25页）
