1、第 1页（共 25页） 2021 年河南省中考数学试卷年河南省中考数学试卷 一、选择题（每小题一、选择题（每小题 3 分，共分，共 30 分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的。 1 （3 分）2 的绝对值是（） A2B2C? ? D? ? ? 2 （3 分）河南省人民济困最“给力” ！据报道，2020 年河南省人民在济困方面捐款达到 2.94 亿元数据“2.94 亿”用科学记数法表示为（） A2.94107B2.94108C0.294108D0.294109 3 （3 分）如图是由 8 个相同的小正方体组成的几何体，其主视图是（） A
2、BCD 4 （3 分）下列运算正确的是（） A （a）2a2B2a2a22 Ca2aa3D （a1）2a21 5 （3 分）如图，ab，160，则2 的度数为（） A90B100C110D120 6 （3 分）关于菱形的性质，以下说法不正确的是（） A四条边相等B对角线相等 C对角线互相垂直D是轴对称图形 7 （3 分）若方程 x22x+m0 没有实数根，则 m 的值可以是（） A1B0C1D ? 第 2页（共 25页） 8 （3 分）现有 4 张卡片，正面图案如图所示，它们除此之外完全相同，把这 4 张卡片背面 朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片正面图案恰好是“天问”和“九章”的概 率
3、是（） A? ? B? ? C ? ?t D ? ? 9 （3 分）如图， OABC 的顶点 O（0，0） ，A（1，2） ，点 C 在 x 轴的正半轴上，延长 BA 交 y 轴于点 D 将ODA 绕点 O 顺时针旋转得到ODA， 当点 D 的对应点 D落在 OA 上时，DA的延长线恰好经过点 C，则点 C 的坐标为（） A （2 ?，0）B （2 ?，0）C （2 ? ?1，0）D （2 ? ?1，0） 10 （3 分）如图 1，矩形 ABCD 中，点 E 为 BC 的中点，点 P 沿 BC 从点 B 运动到点 C，设 B，P 两点间的距离为 x，PAPEy，图 2 是点 P 运动时 y 随
4、 x 变化的关系图象，则 BC 的长为（） A4B5C6D7 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 3 分，共分，共 15 分）分） 11 （3 分）若代数式 ? ?有意义，则实数 x 的取值范围是 12 （3 分）请写出一个图象经过原点的函数的解析式 第 3页（共 25页） 13 （3 分）某外贸公司要出口一批规格为 200 克/盒的红枣，现有甲、乙两个厂家提供货源， 它们的价格相同，品质也相近质检员从两厂产品中各随机抽取 15 盒进行检测，测得它 们的平均质量均为 200 克，每盒红枣的质量如图所示，则产品更符合规格要求的厂家是 （填“甲”或“乙” ） 14 （3 分）如图所示的网格中，每
5、个小正方形的边长均为 1，点 A，B，D 均在小正方形的 顶点上，且点 B，C 在? ?上，BAC22.5，则?t?的长为 15 （3 分） 小华用一张直角三角形纸片玩折纸游戏， 如图 1， 在 RtABC 中， ACB90， B30，AC1第一步，在 AB 边上找一点 D，将纸片沿 CD 折叠，点 A 落在 A处， 如图 2；第二步，将纸片沿 CA折叠，点 D 落在 D处，如图 3当点 D恰好落在原直 角三角形纸片的边上时，线段 AD的长为 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 8 个小题，共个小题，共 75 分）分） 16 （10 分） （1）计算：3 1? ? ?（3?）0； （2）
6、化简： （1? ? ?） ? ? 第 4页（共 25页） 17 （9 分）2021 年 4 月，教育部印发关于进一步加强中小学生睡眠管理工作的通知 ，明 确要求初中生每天睡眠时间应达到 9 小时某初级中学为了解学生睡眠时间的情况，从 本校学生中随机抽取 500 名进行问卷调查，并将调查结果用统计图描述如下 调查问卷 1近两周你平均每天睡眠时间大约是_小时 如果你平均每天睡眠时间不足 9 小时，请回答第 2 个问题 2影响你睡眠时间的主要原因是_（单选） A校内课业负担重 B校外学习任务重 C学习效率低 D其他 平均每天睡眠时间 x（时）分为 5 组：5x6；6x7；7x8；8x 9；9x10
7、根据以上信息，解答下列问题： （1）本次调查中，平均每天睡眠时间的中位数落在第（填序号）组，达到 9 小时 的学生人数占被 调查人数的百分比为； （2）请对该校学生睡眠时间的情况作出评价，并提出两条合理化建议 18 （9 分）如图，大、小两个正方形的中心均与平面直角坐标系的原点 O 重合，边分别与 坐标轴平行，反比例函数 y? ? ?的图象与大正方形的一边交于点 A（1，2） ，且经过小正方 形的顶点 B （1）求反比例函数的解析式； 第 5页（共 25页） （2）求图中阴影部分的面积 19 （9 分）开凿于北魏孝文帝年间的龙门石窟是中国石刻艺术瑰宝，卢舍那佛像是石窟中 最大的佛像某数学活动小
8、组到龙门石窟景区测量这尊佛像的高度如图，他们选取的 测量点 A 与佛像 BD 的底部 D 在同一水平线上已知佛像头部 BC 为 4m，在 A 处测得佛 像头顶部 B 的仰角为 45，头底部 C 的仰角为 37.5，求佛像 BD 的高度（结果精确到 0.1m参考数据：sin37.50.61，cos37.50.79，tan37.50.77） 20 （9 分）在古代，智慧的劳动人民已经会使用“石磨” ，其原理为在磨盘的边缘连接一个 固定长度的“连杆” ，推动“连杆”带动磨盘转动，将粮食磨碎，物理学上称这种动力传 输工具为“曲柄连杆机构” 小明受此启发设计了一个“双连杆机构” ，设计图如图 1，两个固
9、定长度的“连杆”AP， BP 的连接点 P 在O 上，当点 P 在O 上转动时，带动点 A，B 分别在射线 OM，ON 上滑动，OMON当 AP 与O 相切时，点 B 恰好落在O 上，如图 2 请仅就图 2 的情形解答下列问题 （1）求证：PAO2PBO； （2）若O 的半径为 5，AP? ?t ? ，求 BP 的长 第 6页（共 25页） 21 （9 分）猕猴嬉戏是王屋山景区的一大特色，猕猴玩偶非常畅销小李在某网店选中 A， B 两款猕猴玩偶，决定从该网店进货并销售两款玩偶的进货价和销售价如下表： 类别 价格 A 款玩偶B 款玩偶 进货价（元/个）4030 销售价（元/个）5645 （1）第
10、一次小李用 1100 元购进了 A，B 两款玩偶共 30 个，求两款玩偶各购进多少个 （2）第二次小李进货时，网店规定 A 款玩偶进货数量不得超过 B 款玩偶进货数量的一 半小李计划购进两款玩偶共 30 个，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润 是多少？ （3）小李第二次进货时采取了（2）中设计的方案，并且两次购进的玩偶全部售出，请 从利润率的角度分析，对于小李来说哪一次更合算？ （注：利润率? 利润 成本 ?100%） 22 （10 分）如图，抛物线 yx2+mx 与直线 yx+b 相交于点 A（2，0）和点 B （1）求 m 和 b 的值； （2）求点 B 的坐标，并结合图象写出不
11、等式 x2+mxx+b 的解集； （3）点 M 是直线 AB 上的一个动点，将点 M 向左平移 3 个单位长度得到点 N，若线段 MN 与抛物线只有一个公共点，直接写出点 M 的横坐标 xM的取值范围 第 7页（共 25页） 23 （10 分）下面是某数学兴趣小组探究用不同方法作一个角的平分线的讨论片段，请仔细 阅读，并完成相应的任务 小明：如图 1， （1）分别在射线 OA，OB 上截取 OCOD，OEOF（点 C，E 不重合） ； （2）分别作线段 CE，DF 的垂直平分线 l1，l2，交点为 P，垂足分别为点 G，H； （3）作 射线 OP，射线 OP 即为AOB 的平分线 简述理由如下
12、： 由作图知，PGOPHO90，OGOH，OPOP，所以 RtPGORtPHO， 则POGPOH，即射线 OP 是AOB 的平分线 小军：我认为小明的作图方法很有创意，但是太麻烦了，可以改进如下，如图 2， （1） 分别在射线 OA，OB 上截取 OCOD，OEOF（点 C，E 不重合） ； （2）连接 DE，CF， 交点为 P； （3）作射线 OP射线 OP 即为AOB 的平分线 任务： （1）小明得出 RtPGORtPHO 的依据是（填序号） SSSSASAASASAHL （2）小军作图得到的射线 OP 是AOB 的平分线吗？请判断并说明理由 （3） 如图 3， 已知AOB60， 点 E，
13、 F 分别在射线 OA， OB 上， 且 OEOF? ?1 点 C，D 分别为射线 OA，OB 上的动点，且 OCOD，连接 DE，CF，交点为 P，当CPE 30时，直接写出线段 OC 的长 第 8页（共 25页） 2021 年河南省中考数学试卷年河南省中考数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（每小题一、选择题（每小题 3 分，共分，共 30 分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的。 1 （3 分）2 的绝对值是（） A2B2C? ? D? ? ? 【解答】解：2 的绝对值是 2， 即|2|2 故选：A 2 （3
14、 分）河南省人民济困最“给力” ！据报道，2020 年河南省人民在济困方面捐款达到 2.94 亿元数据“2.94 亿”用科学记数法表示为（） A2.94107B2.94108C0.294108D0.294109 【解答】解：2.94 亿2940000002.94108， 故选：B 3 （3 分）如图是由 8 个相同的小正方体组成的几何体，其主视图是（） ABCD 【解答】解：该几何体的主视图有三层，从上而下第一层主视图为一个正方形，第二层 主视图为两个正方形，第三层主视图为三个正方形，且左边是对齐的 故选：A 4 （3 分）下列运算正确的是（） A （a）2a2B2a2a22 Ca2aa3D
15、（a1）2a21 【解答】解：A （a）2a2，故本选项不符合题意； B.2a2a2a2，故本选项不符合题意； 第 9页（共 25页） Ca2aa3，故本选项符合题意； D （a1）2a22a+1，故本选项不符合题意； 故选：C 5 （3 分）如图，ab，160，则2 的度数为（） A90B100C110D120 【解答】解：由图得2 的补角和1 是同位角， 160且 ab， 1 的同位角也是 60， 218060120， 故选：D 6 （3 分）关于菱形的性质，以下说法不正确的是（） A四条边相等B对角线相等 C对角线互相垂直D是轴对称图形 【解答】解：A菱形的四条边相等，正确，不符合题意，
16、 B菱形的对角线互相垂直且平分，对角线不一定相等，不正确，符合题意， C菱形的对角线互相垂直且平分，正确，不符合题意， D菱形是轴对称图形，正确，不符合题意， 故选：B 7 （3 分）若方程 x22x+m0 没有实数根，则 m 的值可以是（） A1B0C1D ? 【解答】解：关于 x 的方程 x22x+m0 没有实数根， （2）241m44m0， 解得：m1， m 只能为 ?， 故选：D 8 （3 分）现有 4 张卡片，正面图案如图所示，它们除此之外完全相同，把这 4 张卡片背面 第 10页（共 25页） 朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片正面图案恰好是“天问”和“九章”的概 率是（）
17、A? ? B? ? C ? ?t D ? ? 【解答】解：把 4 张卡片分别记为：A、B、C、D， 画树状图如图： 共有 12 种等可能的结果，两张卡片正面图案恰好是“天问”和“九章”的结果有 2 种， 两张卡片正面图案恰好是“天问”和“九章”的概率为 ? ? ? ? ?， 故选：A 9 （3 分）如图， OABC 的顶点 O（0，0） ，A（1，2） ，点 C 在 x 轴的正半轴上，延长 BA 交 y 轴于点 D 将ODA 绕点 O 顺时针旋转得到ODA， 当点 D 的对应点 D落在 OA 上时，DA的延长线恰好经过点 C，则点 C 的坐标为（） A （2 ?，0）B （2 ?，0）C （2
18、 ? ?1，0）D （2 ? ?1，0） 【解答】解：延长 AD交 y 轴于点 E，延长 DA，由题意 DA的延长线经过点 C，如图， 第 11页（共 25页） A（1，2） ， AD1，OD2， OA? ? ? 由题意：OADOAD， ADAD1，OAOA?，ODOD2，ADOADO90， AODDOD 则 ODAE，OA 平分AOE， AOE 为等腰三角形 OEOA?，EDAD1 EOOC，ODEC， OEDCEO ? ? ? ? ?t ? ? ? ? ?t OC2 ? C（2 ?，0） 故选：B 10 （3 分）如图 1，矩形 ABCD 中，点 E 为 BC 的中点，点 P 沿 BC 从
19、点 B 运动到点 C，设 B，P 两点间的距离为 x，PAPEy，图 2 是点 P 运动时 y 随 x 变化的关系图象，则 BC 的长为（） A4B5C6D7 第 12页（共 25页） 【解答】解：由函数图象知：当 x0，即 P 在 B 点时，BABE1 利用两点之间线段最短，得到 PAPEAE y 的最大值为 AE， AE5 在 RtABE 中，由勾股定理得：BA2+BE2AE225， 设 BE 的长度为 t， 则 BAt+1， （t+1）2+t225， 即：t2+t120， （t+4） （t3）0， 由于 t0， t+40， t30， t3 BC2BE2t236 故选：C 二、填空题（每小
20、题二、填空题（每小题 3 分，共分，共 15 分）分） 11 （3 分）若代数式 ? ?有意义，则实数 x 的取值范围是 x1 【解答】解：依题意得：x10， 解得 x1， 故答案为：x1 12 （3 分）请写出一个图象经过原点的函数的解析式yx（答案不唯一） 【解答】解：依题意，正比例函数的图象经过原点， 如 yx（答案不唯一） 故答案为：yx （答案不唯一） 13 （3 分）某外贸公司要出口一批规格为 200 克/盒的红枣，现有甲、乙两个厂家提供货源， 它们的价格相同，品质也相近质检员从两厂产品中各随机抽取 15 盒进行检测，测得它 们的平均质量均为 200 克，每盒红枣的质量如图所示，则
21、产品更符合规格要求的厂家是 甲（填“甲”或“乙” ） 第 13页（共 25页） 【解答】解：从图中折线可知，乙的起伏大，甲的起伏小， 所以乙的方差大于甲的方差， 因为方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小， 所以产品更符合规格要求的厂家是甲 故答案为：甲 14 （3 分）如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为 1，点 A，B，D 均在小正方形的 顶点上，且点 B，C 在? ?上，BAC22.5，则?t?的长为 ? ? 【解答】解：如图，圆心为 O，连接 OA，OB，OC，OD OAOBOD5，BOC2BAC45， ?t ?的长? ? ?t ? ? ? 故答案为：? ? 15
22、 （3 分） 小华用一张直角三角形纸片玩折纸游戏， 如图 1， 在 RtABC 中， ACB90， B30，AC1第一步，在 AB 边上找一点 D，将纸片沿 CD 折叠，点 A 落在 A处， 第 14页（共 25页） 如图 2；第二步，将纸片沿 CA折叠，点 D 落在 D处，如图 3当点 D恰好落在原直 角三角形纸片的边上时，线段 AD的长为 ? ? 或 2? 【解答】 解： 点 D恰好落在直角三角形纸片的 AB 边上时， 设 AC 交 AB 边于点 E， 如图， 由题意：ADCADCADC，AC 垂直平分线段 DD 则DACDACA60，ACAC1 ACB90，B30，AC1， BCACta
23、nA1tan60? AB2AC2， ?t? ? ? ?t ? ?t ? ? ? ? t?， CE? ? ? AEACCE1? ? ? 在 RtADE 中， cosDAE? ? ?， ? ? ? ? ?， AD2AE2? 点 D恰好落在直角三角形纸片的 BC 边上时，如图， 第 15页（共 25页） 由题意：ADCADCADC，ACDACDACD? ? ?ACB 30； 则DACDACA60，ACAC1 DAC60，ACD30， ADC90， AD? ? ?C? ? ? ? ? ? ? ? 综上，线段 AD的长为：? ? 或 2? 故答案为：? ? 或 2? 三、解答题（本大题共三、解答题（本大
24、题共 8 个小题，共个小题，共 75 分）分） 16 （10 分） （1）计算：3 1? ? ?（3?）0； （2）化简： （1? ? ?） ? ? 【解答】解： （1）原式? ? ? ? ? ? ?1 1； （2）原式? ? ? ? ?r ? ? ? 17 （9 分）2021 年 4 月，教育部印发关于进一步加强中小学生睡眠管理工作的通知 ，明 确要求初中生每天睡眠时间应达到 9 小时某初级中学为了解学生睡眠时间的情况，从 本校学生中随机抽取 500 名进行问卷调查，并将调查结果用统计图描述如下 调查问卷 1近两周你平均每天睡眠时间大约是_小时 如果你平均每天睡眠时间不足 9 小时，请回答第
25、 2 个问题 第 16页（共 25页） 2影响你睡眠时间的主要原因是_（单选） A校内课业负担重 B校外学习任务重 C学习效率低 D其他 平均每天睡眠时间 x（时）分为 5 组：5x6；6x7；7x8；8x 9；9x10 根据以上信息，解答下列问题： （1）本次调查中，平均每天睡眠时间的中位数落在第（填序号）组，达到 9 小 时的学生人数占被 调查人数的百分比为17%； （2）请对该校学生睡眠时间的情况作出评价，并提出两条合理化建议 【解答】解： （1）由统计图可知，抽取的这 500 名学生平均每天睡眠时间的中位数为第 250 个和第 251 个数据的平均数， 故落在第组； 睡眠达到 9 小时
26、的学生人数占被调查人数的百分比为： ? ?tt ?100%17%， 故答案为：，17% （2）答案不唯一，言之有理即可 例如：该校大部分学生睡眠时间没有达到通知要求；建议：该校各学科授课老师精简 家庭作业内容，师生一起提高在校学习效率；建议：建议学生减少参加校外培训班， 校外辅导机构严禁布置课后作业 18 （9 分）如图，大、小两个正方形的中心均与平面直角坐标系的原点 O 重合，边分别与 第 17页（共 25页） 坐标轴平行，反比例函数 y? ? ?的图象与大正方形的一边交于点 A（1，2） ，且经过小正方 形的顶点 B （1）求反比例函数的解析式； （2）求图中阴影部分的面积 【解答】解：
27、（1）反比例函数 y? ? ?的图象经过点 A（1，2） ， 2? ? ?， k2， 反比例函数的解析式为 y? ? ?； （2）小正方形的中心与平面直角坐标系的原点 O 重合，边分别与坐标轴平行， 设 B 点的坐标为（m，m） ， 反比例函数 y? ? ?的图象经过 B 点， m? ? ?， m22， 小正方形的面积为 4m28， 大正方形的中心与平面直角坐标系的原点 O 重合， 边分别与坐标轴平行， 且 A（1，2） ， 大正方形在第一象限的顶点坐标为（2，2） ， 大正方形的面积为 42216， 图中阴影部分的面积大正方形的面积小正方形的面积1688 19 （9 分）开凿于北魏孝文帝年间
28、的龙门石窟是中国石刻艺术瑰宝，卢舍那佛像是石窟中 最大的佛像某数学活动小组到龙门石窟景区测量这尊佛像的高度如图，他们选取的 测量点 A 与佛像 BD 的底部 D 在同一水平线上已知佛像头部 BC 为 4m，在 A 处测得佛 像头顶部 B 的仰角为 45，头底部 C 的仰角为 37.5，求佛像 BD 的高度（结果精确到 0.1m参考数据：sin37.50.61，cos37.50.79，tan37.50.77） 第 18页（共 25页） 【解答】解：根据题意可知：DAB45， BDAD， 在 RtADC 中，DCBDBC（AD4）m，DAC37.5， tanDAC? ?t ?， tan37.5?
29、? ? ?0.77， 解得 AD17.4m， 答：佛像的高度约为 17.4 m 20 （9 分）在古代，智慧的劳动人民已经会使用“石磨” ，其原理为在磨盘的边缘连接一个 固定长度的“连杆” ，推动“连杆”带动磨盘转动，将粮食磨碎，物理学上称这种动力传 输工具为“曲柄连杆机构” 小明受此启发设计了一个“双连杆机构” ，设计图如图 1，两个固定长度的“连杆”AP， BP 的连接点 P 在O 上，当点 P 在O 上转动时，带动点 A，B 分别在射线 OM，ON 上滑动，OMON当 AP 与O 相切时，点 B 恰好落在O 上，如图 2 请仅就图 2 的情形解答下列问题 （1）求证：PAO2PBO； （
30、2）若O 的半径为 5，AP? ?t ? ，求 BP 的长 【解答】 （1）证明：如图， 第 19页（共 25页） 连接 OP，延长 BO 与圆交于点 C，则 OPOBOC， AP 与O 相切于点 P， APO90， PAO+AOP90， MOCN， AOP+POC90， PAOPOC， OPOB， OPBPBO， POCOPB+PBO2PBO， PAO2PBO， （2）解：如图所示， 连接 OP，延长 BO 与圆交于点 C，连接 PC，过点 P 作 PDOC 于点 D， 则有：AO?t? ?t? ? ? ， 由（1）可知POCPAO， RtPODRtOAP， t? t? ? t? ? ? ?
31、 ?t，即 t? ? ? ? ? ? ? ? ?t ? ，解得 PD3，OD4， CDOCOD1， 第 20页（共 25页） 在 RtPDC 中，PC?t? t?t， CB 为圆的直径， BPC90， BP?t? tt?tt? ?t ?3 ?t， 故 BP 长为 3 ?t 21 （9 分）猕猴嬉戏是王屋山景区的一大特色，猕猴玩偶非常畅销小李在某网店选中 A， B 两款猕猴玩偶，决定从该网店进货并销售两款玩偶的进货价和销售价如下表： 类别 价格 A 款玩偶B 款玩偶 进货价（元/个）4030 销售价（元/个）5645 （1）第一次小李用 1100 元购进了 A，B 两款玩偶共 30 个，求两款玩
32、偶各购进多少个 （2）第二次小李进货时，网店规定 A 款玩偶进货数量不得超过 B 款玩偶进货数量的一 半小李计划购进两款玩偶共 30 个，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润 是多少？ （3）小李第二次进货时采取了（2）中设计的方案，并且两次购进的玩偶全部售出，请 从利润率的角度分析，对于小李来说哪一次更合算？ （注：利润率? 利润 成本 ?100%） 【解答】解： （1）设 A 款玩偶购进 x 个，B 款玩偶购进（30 x）个， 由题意，得 40 x+30（30 x）1100， 解得：x20 302010（个） 答：A 款玩偶购进 20 个，B 款玩偶购进 10 个； （2）设 A
33、款玩偶购进 a 个，B 款玩偶购进（30a）个，获利 y 元， 由题意，得 y（5640）a+（4530） （30a）a+450 A 款玩偶进货数量不得超过 B 款玩偶进货数量的一半 a? ? ?（30a） ， a10， 第 21页（共 25页） ya+450 k10， y 随 a 的增大而增大 a10 时，y最大460 元 B 款玩偶为：301020（个） 答：按照 A 款玩偶购进 10 个、B 款玩偶购进 20 个的方案进货才能获得最大利润，最大 利润是 460 元； （3）第一次的利润率? ?t?tr?t?tr ?tt ?100%42.7%， 第二次的利润率? ?t ?t?t?t?t ?
34、100%46%， 46%42.7%， 对于小李来说第二次的进货方案更合算 22 （10 分）如图，抛物线 yx2+mx 与直线 yx+b 相交于点 A（2，0）和点 B （1）求 m 和 b 的值； （2）求点 B 的坐标，并结合图象写出不等式 x2+mxx+b 的解集； （3）点 M 是直线 AB 上的一个动点，将点 M 向左平移 3 个单位长度得到点 N，若线段 MN 与抛物线只有一个公共点，直接写出点 M 的横坐标 xM的取值范围 【解答】解： （1）将点 A 的坐标代入抛物线表达式得：04+2m，解得：m2， 将点 A 的坐标代入直线表达式得：02+b，解得 b2； 故 m2，b2；
35、（2）由（1）得，直线和抛物线的表达式为：yx+2，yx22x， 联立上述两个函数表达式并解得 ? ? ? ? ? ? （不合题意的值已舍去） ， 即点 B 的坐标为（1，3） ， 第 22页（共 25页） 从图象看，不等式 x2+mxx+b 的解集为 x1 或 x2； （3）当点 M 在线段 AB 上时，线段 MN 与抛物线只有一个公共点， MN 的距离为 3，而 A、B 的水平距离是 3，故此时只有一个交点，即1xM2； 当点 M 在点 B 的左侧时，线段 MN 与抛物线没有公共点； 当点 M 在点 A 的右侧时，当 xM3 时，抛物线和 MN 交于抛物线的顶点（1，1） ，即 xM3 时
36、，线段 MN 与抛物线只有一个公共点， 综上，1xM2 或 xM3 23 （10 分）下面是某数学兴趣小组探究用不同方法作一个角的平分线的讨论片段，请仔细 阅读，并完成相应的任务 小明：如图 1， （1）分别在射线 OA，OB 上截取 OCOD，OEOF（点 C，E 不重合） ； （2）分别作线段 CE，DF 的垂直平分线 l1，l2，交点为 P，垂足分别为点 G，H； （3）作 射线 OP，射线 OP 即为AOB 的平分线 简述理由如下： 由作图知，PGOPHO90，OGOH，OPOP，所以 RtPGORtPHO， 则POGPOH，即射线 OP 是AOB 的平分线 小军：我认为小明的作图方法
37、很有创意，但是太麻烦了，可以改进如下，如图 2， （1） 分别在射线 OA，OB 上截取 OCOD，OEOF（点 C，E 不重合） ； （2）连接 DE，CF， 交点为 P； （3）作射线 OP射线 OP 即为AOB 的平分线 任务： （1）小明得出 RtPGORtPHO 的依据是（填序号） SSSSASAASASAHL 第 23页（共 25页） （2）小军作图得到的射线 OP 是AOB 的平分线吗？请判断并说明理由 （3） 如图 3， 已知AOB60， 点 E， F 分别在射线 OA， OB 上， 且 OEOF? ?1 点 C，D 分别为射线 OA，OB 上的动点，且 OCOD，连接 DE，
38、CF，交点为 P，当CPE 30时，直接写出线段 OC 的长 【解答】解： （1）如图 1，由作图得，OCOD，OEOF，PG 垂直平分 CE，PH 垂直 平分 DF， PGOPHO90， OEOCOFOD， CEDF， CG? ? ?CE，DH? ? ?DF， CGDH， OC+DGOD+DH， OGOH， OPOP， RtPGORtPHO（HL） ， 故答案为： （2）射线 OP 是AOB 的平分线，理由如下： 如图 2，OCOD，DOECOF，OEOF， DOECOF（SAS） ， PECPFD， CPECPF，CEDF， CPEDPF（AAS） ， PEPF， OEOF，PEOPFO，
39、PEPF， OPEOPF（SAS） ， POEPOF，即POAPOB， 射线 OP 是AOB 的平分线 （3）如图 3，OCOE，连接 OP，作 PMOA，则PMOPME90， 由（2）得，OP 平分AOB，PECPFD， 第 24页（共 25页） PEC+30PFD+30， AOB60， POEPOF? ? ?AOB30， CPE30， OCPPEC+CPEPEC+30，OPCPFD+POFPFD+30， OCPOPC? ? ?（180POE）? ? ? ?（18030）75， OCOP，OPE75+30105， OPM903060， MPE1056045， MEP904545， MPME， 设 MPMEm，则 OMMPtan60?m， 由 OE? ?1，得 m?m? ?1，解得 m1， MPME1， OP2MP2， OCOP2； 如图 4，OCOE，连接 OP，作 PMOA，则PMOPMC90， 同理可得，POEPOF? ? ?AOB30，OEPOPE75，OPM60， MPCMCP45， OEOP? ?1， MCMP? ? ?OP? ? ?OE? ? ? ， OMMPtan60? ? ? ? ? ? ? ? ， OCOM+MC? ? ? ? ? ? ? ?2? 综上所述，OC 的长为 2 或 2? 第 25页（共 25页）
