1、第 1页（共 23页） 2021 年湖北省孝感市中考数学试卷年湖北省孝感市中考数学试卷 一一、精心选一选精心选一选（本大题共本大题共 8 小题小题，每小题每小题 3 分分，满分满分 24 分分，在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目要求的，请在答题卡上把正确答案的代号涂黑。只有一项是符合题目要求的，请在答题卡上把正确答案的代号涂黑。 1 （3 分）3 的相反数是（） A3B? ? C? ? ? D3 2 （3 分）2021 年 5 月 15 日 07 时 18 分，我国首个火星探测器“天问一号”经过 470000000 公里旅程成功着陆在火星上，从此，火星上留下中
2、国的脚印，同时也为我国的宇宙探测 之路迈出重要一步将 470000000 用科学记数法表示为（） A47107B4.7107C4.7108D0.47109 3 （3 分）下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（） A正三角形B正方形C正六边形D圆 4 （3 分）下列计算正确的是（） Aa3+a2a5Ba3a2a C3a32a26a6D （a2）2a24 5 （3 分）如图是由四个相同的正方体组成的几何体，其俯视图是（） AB CD 6 （3 分）高尔基说： “书，是人类进步的阶梯” 阅读可以丰富知识，拓展视野，充实生活， 给我们带来愉快英才中学计划在各班设立图书角，为合理搭配各类书籍，
3、学校团委以 “我最喜爱的书籍”为主题，对全校学生进行抽样调查，收集整理喜爱的书籍类型（A科 普，B文学，C体育，D其他）数据后，绘制出两幅不完整的统计图，则下列说法 错误的是（） 第 2页（共 23页） A样本容量为 400 B类型 D 所对应的扇形的圆心角为 36 C类型 C 所占百分比为 30% D类型 B 的人数为 120 人 7 （3 分）如图，O 是 RtABC 的外接圆，OEAB 交O 于点 E，垂足为点 D，AE，CB 的延长线交于点 F若 OD3，AB8，则 FC 的长是（） A10B8C6D4 8 （3 分）如图，AC 为矩形 ABCD 的对角线，已知 AD3，CD4，点 P
4、 沿折线 CAD 以每秒 1 个单位长度的速度运动（运动到 D 点停止） ，过点 P 作 PEBC 于点 E，则 CPE 的面积 y 与点 P 运动的路程 x 间的函数图象大致是（） AB CD 第 3页（共 23页） 二二、细心填一填细心填一填（本大题共本大题共 8 小题小题，每小题每小题 3 分分，满分满分 24 分分.请把答案填在答题卡相应题号请把答案填在答题卡相应题号 的横线上）的横线上）. 9 （3 分）式子 ? o l在实数范围内有意义，则 a 的取值范围是 10 （3 分）正五边形的一个内角是度 11 （3 分）东方红学校举行“学党史，听党话，跟党走”讲故事比赛，七位评委对其中一
5、 位选手的评分分别为：85，87，89，91，85，92，90则这组数据的中位数为 12 （3 分）若关于 x 的一元二次方程 x22x+m0 有两个不相等的实数根，则 m 的值可以 是 （写出一个即可） 13 （3 分）在 RtABC 中，C90，B30，以顶点 A 为圆心，适当长为半径画弧， 分别交 AC，AB 于点 E，F；再分别以点 E，F 为圆心，大于? lEF 的长为半径画弧，两弧 交于点 P，作射线 AP 交 BC 于点 D则 CD 与 BD 的数量关系是 14 （3 分）如图，建筑物 BC 上有一高为 8m 的旗杆 AB，从 D 处观测旗杆顶部 A 的仰角为 53，观测旗杆底部
6、 B 的仰角为 45，则建筑物 BC 的高约为m（结果保留 小数点后一位） （参考数据：sin530.80，cos530.60，tan531.33） 15 （3 分）人们把 ? l 这个数叫做黄金分割数，著名数学家华罗庚优选法中的 0.618 法就 应 用 了 黄 金 分 割 数 设 a ? ? l ， b ? ?o? l ， 得 ab 1 ， 记 S1? ? ?o? o ? ?o ， S2? ? ?o?l o ? ?ol，S10? ? ?o? o ? ?o?，则 S1+S2+S10 16 （3 分）如图，正方形 ABCD 中，AB1，连接 AC，ACD 的平分线交 AD 于点 E，在 第 4
7、页（共 23页） AB 上截取 AFDE，连接 DF，分别交 CE，CA 于点 G，H，点 P 是线段 GC 上的动点， PQAC 于点 Q，连接 PH下列结论：CEDF；DE+DCAC；EA?AH； PH+PQ 的最小值是 l l ，其中所正结论的序号是 三三、专心解一解专心解一解（本大题共本大题共 8 小题小题，满分满分 72 分分，请认真读题请认真读题，冷静思考冷静思考，解答题应写出必解答题应写出必 要的文字说明、证明过程或演算步骤，请把解题过程写在答题卡相应题号的位置要的文字说明、证明过程或演算步骤，请把解题过程写在答题卡相应题号的位置. 17 （7 分）计算：? ? lffff? o
8、 ? ? ?h0 18 （7 分）如图，在ABC 和DEC 中，AD，BCEACD （1）求证：ABCDEC； （2）若 SABC：SDEC4：9，BC6，求 EC 的长 19 （8 分）2021 年，黄冈、咸宁、孝感三市实行中考联合命题，为确保联合命题的公平性， 决定采取三轮抽签的方式来确定各市选派命题组长的学科第一轮，各市从语文、数学、 英语三个学科中随机抽取一科；第二轮，各市从物理、化学、历史三个学科中随机抽取 一科；第三轮，各市从道德与法治、地理、生物三个学科中随机抽取一科 （1）黄冈在第一轮抽到语文学科的概率是； （2）用画树状图或列表法求黄冈在第二轮和第三轮抽签中，抽到的学科恰好是
9、历史和地 理的概率 20 （9 分）如图，反比例函数 y? ? ?的图象与一次函数 ymx+n 的图象相交于 A（a，1） ， B（1，3）两点 （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）设直线 AB 交 y 轴于点 C，点 N（t，0）是 x 轴正半轴上的一个动点，过点 N 作 NM 第 5页（共 23页） x 轴交反比例函数 y? ? ?的图象于点 M，连接 CN，OM若 S 四边形COMN3，求 t 的取值 范围 21 （9 分）如图，在 RtABC 中，ACB90，O 与 BC，AC 分别相切于点 E，F， BO 平分ABC，连接 OA （1）求证：AB 是O 的切线； （2）若
10、BEAC3，O 的半径是 1，求图中阴影部分的面积 22 （10 分）2021 年是中国共产党建党 100 周年，红旗中学以此为契机，组织本校师生参加 红色研学实践活动，现租用甲、乙两种型号的大客车（每种型号至少一辆）送 549 名学 生和 11 名教师参加此次实践活动，每辆汽车上至少要有一名教师 甲、乙两种型号的大客车的载客量和租金如表所示： 甲种客车乙种客车 载客量/（人/辆）4055 租金/（元/辆）500600 （1）共需租辆大客车； （2）最多可以租用多少辆甲种型号大客车？ （3）有几种租车方案？哪种租车方案最节省钱？ 第 6页（共 23页） 23 （10 分）红星公司销售一种成本为
11、 40 元/件的产品，若月销售单价不高于 50 元/件，一 个月可售出 5 万件；月销售单价每涨价 1 元，月销售量就减少 0.1 万件其中月销售单价 不低于成本设月销售单价为 x（单位：元/件） ，月销售量为 y（单位：万件） （1）直接写出 y 与 x 之间的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围； （2）当月销售单价是多少元时，月销售利润最大，最大利润是多少万元？ （3）为响应国家“乡村振兴”政策，该公司决定在某月每销售 1 件产品便向大别山区捐 款 a 元 已知该公司捐款当月的月销售单价不高于 70 元/件， 月销售最大利润是 78 万元， 求 a 的值 24 （12 分）已知抛物线
12、 yax2+bx3 与 x 轴相交于 A（1，0） ，B（3，0）两点，与 y 轴 交于点 C，点 N（n，0）是 x 轴上的动点 （1）求抛物线的解析式； （2）如图 1，若 n3，过点 N 作 x 轴的垂线交抛物线于点 P，交直线 BC 于点 G过点 P 作 PDBC 于点 D，当 n 为何值时，PDGBNG； （3）如图 2，将直线 BC 绕点 B 顺时针旋转，它恰好经过线段 OC 的中点，然后将它向 上平移? l个单位长度，得到直线 OB1 tanBOB1； 当点 N 关于直线 OB1的对称点 N1落在抛物线上时，求点 N 的坐标 第 7页（共 23页） 2021 年湖北省孝感市中考数
13、学试卷年湖北省孝感市中考数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一一、精心选一选精心选一选（本大题共本大题共 8 小题小题，每小题每小题 3 分分，满分满分 24 分分，在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目要求的，请在答题卡上把正确答案的代号涂黑。只有一项是符合题目要求的，请在答题卡上把正确答案的代号涂黑。 1 （3 分）3 的相反数是（） A3B? ? C? ? ? D3 【解答】解：3 的相反数是 3， 故选：D 2 （3 分）2021 年 5 月 15 日 07 时 18 分，我国首个火星探测器“天问一号”经过 470000000 公里旅程成功着陆
14、在火星上，从此，火星上留下中国的脚印，同时也为我国的宇宙探测 之路迈出重要一步将 470000000 用科学记数法表示为（） A47107B4.7107C4.7108D0.47109 【解答】解：4700000004.7108， 故选：C 3 （3 分）下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（） A正三角形B正方形C正六边形D圆 【解答】解：A正三角形是轴对称图形但不是中心对称图形，故本选项符合题意； B正方形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项不合题意； C正六边形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项不合题意； D圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项不合题意 故选
15、：A 4 （3 分）下列计算正确的是（） Aa3+a2a5Ba3a2a C3a32a26a6D （a2）2a24 【解答】解：a3、a2不是同类项，因此不能用加法进行合并，故 A 项不符合题意， 根据同底数幂的除法运算法则 a3a2a，故 B 项符合题意， 根据单项式乘单项式的运算法则可得 3a32a26a5，故 C 项不符合题意， 根据完全平方公式展开（a2）2a24a+4，故 D 项不符合题意 故选：B 第 8页（共 23页） 5 （3 分）如图是由四个相同的正方体组成的几何体，其俯视图是（） AB CD 【解答】解：从上面看，是一行三个小正方形 故选：C 6 （3 分）高尔基说： “书，
16、是人类进步的阶梯” 阅读可以丰富知识，拓展视野，充实生活， 给我们带来愉快英才中学计划在各班设立图书角，为合理搭配各类书籍，学校团委以 “我最喜爱的书籍”为主题，对全校学生进行抽样调查，收集整理喜爱的书籍类型（A科 普，B文学，C体育，D其他）数据后，绘制出两幅不完整的统计图，则下列说法 错误的是（） A样本容量为 400 B类型 D 所对应的扇形的圆心角为 36 C类型 C 所占百分比为 30% D类型 B 的人数为 120 人 【解答】解：10025%400（人） ， 样本容量为 400， 故 A 正确， 36010%36， 第 9页（共 23页） 类型 D 所对应的扇形的圆心角为 36，
17、 故 B 正确， 140400100%35%， 类型 C 所占百分比为 35%， 故 C 错误， 40010014040010%120（人） ， 类型 B 的人数为 120 人， 故 D 正确， 说法错误的是 C， 故选：C 7 （3 分）如图，O 是 RtABC 的外接圆，OEAB 交O 于点 E，垂足为点 D，AE，CB 的延长线交于点 F若 OD3，AB8，则 FC 的长是（） A10B8C6D4 【解答】解：由题知，AC 为直径， ABC90， OEAB， ODBC， OAOC， OD 为三角形 ABC 的中位线， AD? ? lAB? ? l ?84， 又OD3， OA?lo ?l?
18、lo ?l?5， OEOA5， OECF，点 O 是 AC 中点， OE 是三角形 ACF 的中位线， 第 10页（共 23页） CF2OE2510， 故选：A 8 （3 分）如图，AC 为矩形 ABCD 的对角线，已知 AD3，CD4，点 P 沿折线 CAD 以每秒 1 个单位长度的速度运动（运动到 D 点停止） ，过点 P 作 PEBC 于点 E，则 CPE 的面积 y 与点 P 运动的路程 x 间的函数图象大致是（） AB CD 【解答】解：BCAD， ACBDAC， PECD90， PCECAD， ? ? ? ?t ? ? ?t ?， AD3，CD4， AC? lo ?l ?5， 当
19、P 在 CA 上时，即当 0 x5 时， PE? ? ? ? ? ?x， CE? ? ? ? ? ?x， y? ? lPECE? ? l ? ? ? ? ? ? ? ? ? f l?x 2， 当 P 在 AD 上运动时，即当 5x8 时， PECD4， CE8x， 第 11页（共 23页） y? ? lPECE? ? l ?4（8x）162x， 综上，当 0 x5 时，函数图象为二次函数图象，且 y 随 x 增大而增大，当 5x8 时， 函数图象为一次函数图象，且 y 随 x 增大而减小， 故选：D 二二、细心填一填细心填一填（本大题共本大题共 8 小题小题，每小题每小题 3 分分，满分满分
20、24 分分.请把答案填在答题卡相应题号请把答案填在答题卡相应题号 的横线上）的横线上）. 9 （3 分）式子 ? o l在实数范围内有意义，则 a 的取值范围是a2 【解答】解：由题意得，a+20， 解得 a2 故答案为：a2 10 （3 分）正五边形的一个内角是108度 【解答】解： （52）180540，5405108，所以正五边形的一个内角的度 数是 108 度 11 （3 分）东方红学校举行“学党史，听党话，跟党走”讲故事比赛，七位评委对其中一 位选手的评分分别为：85，87，89，91，85，92，90则这组数据的中位数为89 【解答】解：将这组数据重新排列为：85，85，87，89
21、，90，91，92， 所以这组数据的中位数为 89， 故答案为：89 12 （3 分）若关于 x 的一元二次方程 x22x+m0 有两个不相等的实数根，则 m 的值可以 是1 （写出一个即可） 【解答】解：关于 x 的一元二次方程 x22x+m0 有两个不相等的实数根， （2）241m44m0， 解得：m1， 取 m1， 故答案为：1 13 （3 分）在 RtABC 中，C90，B30，以顶点 A 为圆心，适当长为半径画弧， 分别交 AC，AB 于点 E，F；再分别以点 E，F 为圆心，大于? lEF 的长为半径画弧，两弧 交于点 P，作射线 AP 交 BC 于点 D则 CD 与 BD 的数量
22、关系是BD2CD 第 12页（共 23页） 【解答】解：C90,B30， CAB903060， 由作图可知 AD 平分CAB， CADBAD30， AD2CD， BADB30， ADDB， BD2CD， 故答案为：BD2CD 14 （3 分）如图，建筑物 BC 上有一高为 8m 的旗杆 AB，从 D 处观测旗杆顶部 A 的仰角为 53，观测旗杆底部 B 的仰角为 45，则建筑物 BC 的高约为24.2m（结果保留小 数点后一位） （参考数据：sin530.80，cos530.60，tan531.33） 【解答】解：在 RtBCD 中，BDC45， 则 BCCD， 设 BCCDx，则 ACx+8
23、， 在 RtACD 中，tanADC? ? ? ? ?oh ? ， 则 x+8xtan53， x+81.33x， x24.2（m） ， 第 13页（共 23页） 故建筑物 BC 的高约为 24.2m， 故答案为：24.2 15 （3 分）人们把 ? l 这个数叫做黄金分割数，著名数学家华罗庚优选法中的 0.618 法就 应 用 了 黄 金 分 割 数 设 a ? ? l ， b ? ?o? l ， 得 ab 1 ， 记 S1? ? ?o? o ? ?o ， S2? ? ?o?l o ? ?ol，S10? ? ?o? o ? ?o?，则 S1+S2+S10 10 【解答】解：S1? ? ?o?
24、o ? ?o ? ?oo?o? ?o?h?oh ? lo?o ?o?oo? ? lo?o lo?o ?1，S2? ? ?o?l o ? ?ol ? ?o lo?o?l ?o? lolo?ll ?1， S10? ? ?o? o ? ?o? ? ?o? ?o?o? ?o? ?o?o? ?1， S1+S2+S101+1+110， 故答案为 10 16 （3 分）如图，正方形 ABCD 中，AB1，连接 AC，ACD 的平分线交 AD 于点 E，在 AB 上截取 AFDE，连接 DF，分别交 CE，CA 于点 G，H，点 P 是线段 GC 上的动点， PQAC 于点 Q，连接 PH下列结论：CEDF；
25、DE+DCAC；EA?AH； PH+PQ 的最小值是 l l ，其中所正结论的序号是 【解答】解：正方形 ABCD， CDAD，CDEDAF90， ADF+CDF90， 在CDE 和DAF 中， ? ? ? ?t ? ? ?t ? ? ， CDEDAF（ASA） ， DCEADF， DCF+CDF90， 第 14页（共 23页） DGC90， CEDF，故正确； CE 平分ACD， DCEHCG， 在GCD 和GCH 中， ?t ?h ?h ? ?h ?h? ? ?h? ? g? ， GCDGCH（ASA） ， CDCH，CDHCHD， 正方形 ABCD， CDAB， CDFAFD， CHDA
26、FD， CHDAHF， AFDAHF， AFAH， ACAH+CHAF+CDDE+CD，故正确， 设 DEAFAHa， AHFDHC，CDFAFH， DHCFHA， ? ? ? ? ?， ? ? ? ? l?， a?l ?1， DEAFAH?l ?1， AE1DE2?l， EA?AH，故错误； GCDGCH， DGGH， CEDF， 第 15页（共 23页） CG 垂直平分 DH， DPPH， 当 DQHC 时，PH+PQDP+PQ 有最小值， 过点 D 作 DMHC， 则 DM 的长度为 PH+PQ 的最小值， SADC? ? l ? ? ? ? ? l ? ? ?， DM? l l ，故正
27、确 故答案为： 三三、专心解一解专心解一解（本大题共本大题共 8 小题小题，满分满分 72 分分，请认真读题请认真读题，冷静思考冷静思考，解答题应写出必解答题应写出必 要的文字说明、证明过程或演算步骤，请把解题过程写在答题卡相应题号的位置要的文字说明、证明过程或演算步骤，请把解题过程写在答题卡相应题号的位置. 17 （7 分）计算：? ? lffff? o ? ? ?h0 【解答】解：原式? ?12 ? l o1 ? ?1? o1 0 18 （7 分）如图，在ABC 和DEC 中，AD，BCEACD （1）求证：ABCDEC； （2）若 SABC：SDEC4：9，BC6，求 EC 的长 【解答
28、】证明： （1）BCEACD BCE+ACEACD+ACE， 第 16页（共 23页） DCEACB， 又AD， ABCDEC； （2）ABCDEC； ? ? ? ?t? ?（? ?t） 2? g， 又BC6， CE9 19 （8 分）2021 年，黄冈、咸宁、孝感三市实行中考联合命题，为确保联合命题的公平性， 决定采取三轮抽签的方式来确定各市选派命题组长的学科第一轮，各市从语文、数学、 英语三个学科中随机抽取一科；第二轮，各市从物理、化学、历史三个学科中随机抽取 一科；第三轮，各市从道德与法治、地理、生物三个学科中随机抽取一科 （1）黄冈在第一轮抽到语文学科的概率是 ? ? ； （2）用画树
29、状图或列表法求黄冈在第二轮和第三轮抽签中，抽到的学科恰好是历史和地 理的概率 【解答】解： （1）黄冈在第一轮抽到语文学科的概率是? ?， 故答案为：? ?； （2）列表如下： 物理化学历史 道法（物理，道法）（化学，道法）（历史，道法） 地理（物理，地理）（化学，地理）（历史，地理） 生物（物理，生物）（化学，生物）（历史，生物） 由表可知共有 9 种等可能结果，其中抽到的学科恰好是历史和地理的只有 1 种结果， 所以抽到的学科恰好是历史和地理的概率为? g 20 （9 分）如图，反比例函数 y? ? ?的图象与一次函数 ymx+n 的图象相交于 A（a，1） ， B（1，3）两点 （1）求
30、反比例函数和一次函数的解析式； （2）设直线 AB 交 y 轴于点 C，点 N（t，0）是 x 轴正半轴上的一个动点，过点 N 作 NM 第 17页（共 23页） x 轴交反比例函数 y? ? ?的图象于点 M，连接 CN，OM若 S 四边形COMN3，求 t 的取值 范围 【解答】解： （1）反比例函数 y? ? ?的图象与一次函数 ymx+n 的图象相交于 A（a， 1） ，B（1，3）两点， k13a（1） ， k3，a3， 点 A（3，1） ，反比例函数的解析式为 y? ? ? ， 由题意可得： ? ? ? o f ? ? ? ?o f， 解得： ? ? ? f ? l ， 一次函数解
31、析式为 yx+2； （2）直线 AB 交 y 轴于点 C， 点 C（0，2） ， S四边形COMNSOMN+SOCN? ? l o ? l ?2t， S四边形COMN3， ? l o ? l ?2t3， t ? l 21 （9 分）如图，在 RtABC 中，ACB90，O 与 BC，AC 分别相切于点 E，F， BO 平分ABC，连接 OA （1）求证：AB 是O 的切线； （2）若 BEAC3，O 的半径是 1，求图中阴影部分的面积 第 18页（共 23页） 【解答】 （1）证明： 连接 OE，OF，过点 O 作 ODAB 于点 D， BC 与O 相切于点 E， OEBC， BO 是ABC
32、的平分线， ODOE，OE 是圆的一条半径， AB 是O 的切线， 故：AB 是O 的切线 （2）BC、AC 与圆分别相切于点 E、点 F， OEBC，OFAC， 四边形 OECF 是正方形， OEOFECFC1， BCBE+EC4，又 AC3， S阴影? l（SABCS 正方形OECF优弧所对的 S扇形EDF） ? l ?（? l ?4311? lt?l ?f ） ? l ? ? h 第 19页（共 23页） 故图中阴影部分的面积是：? l ? ? h 22 （10 分）2021 年是中国共产党建党 100 周年，红旗中学以此为契机，组织本校师生参加 红色研学实践活动，现租用甲、乙两种型号的
33、大客车（每种型号至少一辆）送 549 名学 生和 11 名教师参加此次实践活动，每辆汽车上至少要有一名教师 甲、乙两种型号的大客车的载客量和租金如表所示： 甲种客车乙种客车 载客量/（人/辆）4055 租金/（元/辆）500600 （1）共需租11辆大客车； （2）最多可以租用多少辆甲种型号大客车？ （3）有几种租车方案？哪种租车方案最节省钱？ 【解答】解： （1）549+11560（人） ，5605510（辆）10（人） ，10+111（辆） ， 且共有 11 名教师，每辆汽车上至少要有一名教师， 共需租 11 辆大客车 故答案为：11 （2）设租用 x 辆甲种型号大客车，则租用（11x）辆
34、乙种型号大客车， 依题意得：40 x+55（11x）560， 解得：x3 答：最多可以租用 3 辆甲种型号大客车 （3）x3，且 x 为正整数， x1 或 2 或 3， 有 3 种租车方案， 方案 1：租用 1 辆甲种型号大客车，10 辆乙种型号大客车； 方案 2：租用 2 辆甲种型号大客车，9 辆乙种型号大客车； 方案 3：租用 3 辆甲种型号大客车，8 辆乙种型号大客车 选择方案 1 所需租车费用为 5001+600106500（元） ， 选择方案 2 所需租车费用为 5002+60096400（元） ， 选择方案 3 所需租车费用为 5003+60086300（元） 6500640063
35、00， 第 20页（共 23页） 租车方案 3 最节省钱 23 （10 分）红星公司销售一种成本为 40 元/件的产品，若月销售单价不高于 50 元/件，一 个月可售出 5 万件；月销售单价每涨价 1 元，月销售量就减少 0.1 万件其中月销售单价 不低于成本设月销售单价为 x（单位：元/件） ，月销售量为 y（单位：万件） （1）直接写出 y 与 x 之间的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围； （2）当月销售单价是多少元时，月销售利润最大，最大利润是多少万元？ （3）为响应国家“乡村振兴”政策，该公司决定在某月每销售 1 件产品便向大别山区捐 款 a 元 已知该公司捐款当月的月销售单价
36、不高于 70 元/件， 月销售最大利润是 78 万元， 求 a 的值 【解答】解： （1）由题知，当 40 x50 时，y5， 当 50 x100 时，y5（x50）0.1100.1x， y 与 x 之间的函数关系式为： ? ? ? ? ? ? ?h ? ? ? ? ? ?h； （2）设月销售利润为 z，由题知， 当 40 x50 时，x50 时利润最大， 此时 z（5040）550（万元） ， 当 50 x100 时，z（x40）y（x40） （100.1x）0.1x2+14x4000.1 （x70）2+90， 当 x70 时，z 有最大值为 90 万元， 即当月销售单价是 70 元时，月销
37、售利润最大，最大利润是 90 万元； （3）由题知，利润 z（x40a） （100.1x）0.1x2+（14+0.1a）x40010a， 此函数的对称轴为：直线 x? ?o? l?h ?70+0.5a70， 当月销售单价是 70 元时，月销售利润最大， 即（7040a）（100.170）78， 解得 a4， a 的值为 4 24 （12 分）已知抛物线 yax2+bx3 与 x 轴相交于 A（1，0） ，B（3，0）两点，与 y 轴 交于点 C，点 N（n，0）是 x 轴上的动点 （1）求抛物线的解析式； （2）如图 1，若 n3，过点 N 作 x 轴的垂线交抛物线于点 P，交直线 BC 于点
38、 G过点 第 21页（共 23页） P 作 PDBC 于点 D，当 n 为何值时，PDGBNG； （3）如图 2，将直线 BC 绕点 B 顺时针旋转，它恰好经过线段 OC 的中点，然后将它向 上平移? l个单位长度，得到直线 OB1 tanBOB1 ? l ； 当点 N 关于直线 OB1的对称点 N1落在抛物线上时，求点 N 的坐标 【解答】解： （1）设抛物线的表达式为 ya（xx1） （xx2） ， 则 ya（x3） （x+1）ax22ax3a， 故3a3，解得 a1， 故抛物线的表达式为 yx22x3； （2）当点 N 在 y 轴右侧时， 由抛物线的表达式知，点 C（0，3） ， 故 O
39、BOC3，则OBCOCB45， 则 NB3nNG，则 BG?l（3n） ， PDGBNG， 故 PGBG?l（3n） ， 则 PN3nol（3n）（3n） （1ol） ， 故点 P 的坐标为（n，（3n） （1ol） ） ， 将点 P 的坐标代入抛物线表达式得： （n3） （ l o1）n22n3， 解得 n3（舍去）或 l， 故 n?l； 第 22页（共 23页） 当点 N 在 y 轴左侧时， 同理可得：n?l， 综上，n?l； （3）设 OC 的中点为 R（0，? ? l） ， 由 B、R 的坐标得，直线 BR 的表达式为 y? ? lx? ? l， 则将它向上平移? l个单位长度，得到直
40、线 OB1， 此时函数的表达式为 y? ? lx， 故 tanBOB1? ? l， 故答案为? l； 设线段 NN1交 AB1于点 H，则 AB1是 NN1的中垂线， tanBOB1? ? l，则 tanN1NB2， 直线 NN1的过点 N（n，0） ， 故直线 NN1的表达式为 y2（xn）， 联立并解得 ? ? ?f ? ? ? lf ? ， 故点 H 的坐标为（?f ? ，lf ? ） ， 点 H 是 NN1的中点， 由中点坐标公式得：点 N1的坐标为（?f ? ，?f ? ） ， 第 23页（共 23页） 将点 N1的坐标代入抛物线表达式得：?f ? ?（?f ? ）22 ?f ? ?3， 解得 n? l? ? g ， 故点 N 的坐标为（l?o? ? g ，0）或（l? ? g ，0）
