1、第 1页（共 26页） 2021 年湖南省衡阳市中考数学试卷年湖南省衡阳市中考数学试卷 一、选择题（本题共一、选择题（本题共 12 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，满分分，满分 36 分，在每小题给出的四个选项中，分，在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的只有一项是符合题目要求的.） 1 （3 分）8 的相反数是（） A8B8C? ? ? D8 2 （3 分）2021 年 2 月 25 日，习近平总书记庄严宣告，我国脱贫攻坚战取得全面胜利现 标准下，98990000 农村贫困人口全部脱贫数 98990000 用科学记数法表示为（） A98.99106B9.899107 C9
2、899104D0.09899108 3 （3 分）在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（） ABCD 4 （3 分）下列运算结果为 a6的是（） Aa2a3Ba12a2C （a3）2D （? ?a 3）2 5 （3 分）下列计算正确的是（） A ?t ?4B （2）01C ? ? ?D ? ? ?3 6 （3 分）为了向建党一百周年献礼，我市中小学生开展了红色经典故事演讲比赛某参赛 小组 6 名同学的成绩（单位：分）分别为：85，82，86，82，83，92关于这组数据， 下列说法错误的是（） A众数是 82B中位数是 84C方差是 84D平均数是 85 7 （3 分）
3、如图是由 6 个相同的正方体堆成的物体，它的左视图是（） 第 2页（共 26页） AB CD 8 （3 分）如图是某商场营业大厅自动扶梯的示意图自动扶梯 AB 的倾斜角为 37，大厅 两层之间的距离BC为6米， 则自动扶梯AB的长约为 （sin370.6， cos370.8， tan37 0.75） （） A7.5 米B8 米C9 米D10 米 9 （3 分）下列命题是真命题的是（） A正六边形的外角和大于正五边形的外角和 B正六边形的每一个内角为 120 C有一个角是 60的三角形是等边三角形 D对角线相等的四边形是矩形 10 （3 分）不等式组 ? ? ? ? ? ? t的解集在数轴上可表
4、示为（ ） A B C D 11 （3 分）下列说法正确的是（） 第 3页（共 26页） A为了解我国中学生课外阅读情况，应采取全面调查方式 B某彩票的中奖机会是 1%，买 100 张一定会中奖 C从装有 3 个红球和 4 个黑球的袋子里摸出 1 个球是红球的概率是? ? D某校有 3200 名学生，为了解学生最喜欢的课外体育运动项目，随机抽取了 200 名学 生，其中有 85 名学生表示最喜欢的项目是跳绳，估计该校最喜欢的课外体育运动项目为跳 绳的有 1360 人 12 （3 分）如图，矩形纸片 ABCD，AB4，BC8，点 M、N 分别在矩形的边 AD、BC 上， 将矩形纸片沿直线 MN
5、折叠，使点 C 落在矩形的边 AD 上，记为点 P，点 D 落在 G 处， 连接 PC，交 MN 于点 Q，连接 CM下列结论：四边形 CMPN 是菱形；点 P 与点 A 重合时，MN5；PQM 的面积 S 的取值范围是 4S5其中所有正确结论的序 号是（） ABCD 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 3 分，满分分，满分 18 分分.） 13 （3 分）若二次根式 ? ? ?有意义，则 x 的取值范围是 14 （3 分）计算：? ? ? ? ? ? 15 （3 分）因式分解：3a29ab 16 （3 分）底面半径为 3，母线长为 4 的圆锥的侧面积为 （
6、结果保留） 17 （3 分） “绿水青山就是金山银山” 某地为美化环境，计划种植树木 6000 棵由于志愿 者的加入，实际每天植树的棵树比原计划增加了 25%，结果提前 3 天完成任务则实际 每天植树棵 18 （3 分）如图 1，菱形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于点 O，P、Q 两点同时从 O 点出 发，以 1 厘米/秒的速度在菱形的对角线及边上运动点 P 的运动路线为 OADO， 点 Q 的运动路线为 OCBO设运动的时间为 x 秒，P、Q 间的距离为 y 厘米，y 与 x 的函数关系的图象大致如图 2 所示，当点 P 在 AD 段上运动且 P、Q 两点间的距离最 短时，P、Q
7、 两点的运动路程之和为厘米 第 4页（共 26页） 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 8 个小题，个小题，1920 题每题题每题 6 分，分，2124 题每题题每题 8 分，分，25 题题 10 分，分， 26 题题 12 分，满分分，满分 66 分分.解答应写出文字说明、证明过程或盐酸步骤解答应写出文字说明、证明过程或盐酸步骤.） 19 （6 分）计算： （x+2y）2+（x2y） （x+2y）+x（x4y） 20 （6 分）如图，点 A、B、D、E 在同一条直线上，ABDE，ACDF，BCEF求证： ABCDEF 21 （8 分） “垃圾分类工作就是新时尚” ，为了改善生态环境，有
8、效利用垃圾剩余价值，2020 年起，我市将生活垃圾分为四类：厨余垃圾、有害垃圾、可回收垃圾、其他垃圾某学 习研究小组在对我市垃圾分类实施情况的调查中，绘制了生活垃圾分类扇形统计图，如 图所示 （1）图中其他垃圾所在的扇形的圆心角度数是度； （2）据统计，生活垃圾中可回收物每吨可创造经济总价值约为 0.2 万元若我市某天生 活垃圾清运总量为 500 吨，请估计该天可回收物所创造的经济总价值是多少万元？ （3）为了调查学生对垃圾分类知识的了解情况，某校开展了相关知识竞赛，要求每班派 2 名学生参赛 甲班经选拔后， 决定从 2 名男生和 2 名女生中随机抽取 2 名学生参加比赛， 求所抽取的学生中恰
9、好一男一女的概率 第 5页（共 26页） 22 （8 分）如图，点 E 为正方形 ABCD 外一点，AEB90，将 RtABE 绕 A 点逆时针 方向旋转 90得到ADF，DF 的延长线交 BE 于 H 点 （1）试判定四边形 AFHE 的形状，并说明理由； （2）已知 BH7，BC13，求 DH 的长 23 （8 分）如图是一种单肩包，其背带由双层部分、单层部分和调节扣构成小文购买时， 售货员演示通过调节扣加长或缩短单层部分的长度，可以使背带的长度（单层部分与双 层部分长度的和， 其中调节扣所占长度忽略不计） 加长或缩短， 设双层部分的长度为 xcm， 单层部分的长度为 ycm经测量，得到表
10、中数据 双层部分长度 x（cm）281420 单层部分长度 y（cm）148136124112 （1）根据表中数据规律，求出 y 与 x 的函数关系式； （2）按小文的身高和习惯，背带的长度调为 130cm 时为最佳背带长请计算此时双层部 分的长度； （3）设背带长度为 Lcm，求 L 的取值范围 第 6页（共 26页） 24 （8 分）如图，AB 是O 的直径，D 为O 上一点，E 为? ?的中点，点 C 在 BA 的延长 线上，且CDAB （1）求证：CD 是O 的切线； （2）若 DE2，BDE30，求 CD 的长 25 （10 分）如图，OAB 的顶点坐标分别为 O（0，0） ，A（3
11、，4） ，B（6，0） ，动点 P、 Q 同时从点 O 出发，分别沿 x 轴正方向和 y 轴正方向运动，速度分别为每秒 3 个单位和 每秒 2 个单位，点 P 到达点 B 时点 P、Q 同时停止运动过点 Q 作 MNOB 分别交 AO、 AB 于点 M、N，连接 PM、PN设运动时间为 t（秒） （1）求点 M 的坐标（用含 t 的式子表示） ； （2）求四边形 MNBP 面积的最大值或最小值； （3）是否存在这样的直线 l，总能平分四边形 MNBP 的面积？如果存在，请求出直线 l 的解析式；如果不存在，请说明理由； （4）连接 AP，当OAPBPN 时，求点 N 到 OA 的距离 26（1
12、2 分） 在平面直角坐标系中， 如果一个点的横坐标与纵坐标相等， 则称该点为 “雁点” 例 第 7页（共 26页） 如（1，1） ， （2021，2021）都是“雁点” （1）求函数 y? ? ?图象上的“雁点”坐标； （2）若抛物线 yax2+5x+c 上有且只有一个“雁点”E，该抛物线与 x 轴交于 M、N 两 点（点 M 在点 N 的左侧） 当 a1 时 求 c 的取值范围； 求EMN 的度数； （3）如图，抛物线 yx2+2x+3 与 x 轴交于 A、B 两点（点 A 在点 B 的左侧） ，P 是抛 物线 yx2+2x+3 上一点，连接 BP，以点 P 为直角顶点，构造等腰 RtBPC
13、，是否存 在点 P，使点 C 恰好为“雁点”？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 第 8页（共 26页） 2021 年湖南省衡阳市中考数学试卷年湖南省衡阳市中考数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本题共一、选择题（本题共 12 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，满分分，满分 36 分，在每小题给出的四个选项中，分，在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的只有一项是符合题目要求的.） 1 （3 分）8 的相反数是（） A8B8C? ? ? D8 【解答】解：相反数指的是只有符号不同的两个数，因此 8 的相反数是8 故选：A 2 （3 分）20
14、21 年 2 月 25 日，习近平总书记庄严宣告，我国脱贫攻坚战取得全面胜利现 标准下，98990000 农村贫困人口全部脱贫数 98990000 用科学记数法表示为（） A98.99106B9.899107 C9899104D0.09899108 【解答】解：989900009.899107， 故选：B 3 （3 分）在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（） AB CD 【解答】解：A是轴对称图形，故本选项符合题意； B不是轴对称图形，故本选项不合题意； C不是轴对称图形，故本选项不合题意； D不是轴对称图形，故本选项不合题意 故选：A 4 （3 分）下列运算结果为
15、a6的是（） Aa2a3Ba12a2C （a3）2D （? ?a 3）2 第 9页（共 26页） 【解答】解：Aa2a3a5,故此选项不合题意； Ba12a2a10,故此选项不合题意； C （a3）2a6,故此选项符合题意； D （? ?a 3）2? ?a 6,故此选项不合题意； 故选：C 5 （3 分）下列计算正确的是（） A ?t ?4B （2）01C ? ? ?D ? ? ?3 【解答】解：16 的算术平方根为 4，即 ?t ? ?，故 A 不符合题意； 根据公式 a01(a0)可得（2）01，故 B 符合题意； ?、 ?无法运用加法运算化简，故 ? ? ?，故 C 不符合题意； ? ?
16、 ?，故 D 不符合题意； 故选：B 6 （3 分）为了向建党一百周年献礼，我市中小学生开展了红色经典故事演讲比赛某参赛 小组 6 名同学的成绩（单位：分）分别为：85，82，86，82，83，92关于这组数据， 下列说法错误的是（） A众数是 82B中位数是 84C方差是 84D平均数是 85 【解答】解：将数据重新排列为 82，82，83，85，86，92， A、数据的众数为 82，此选项正确，不符合题意； B、数据的中位数为? ? ?84，此选项正确，不符合题意； C、数据的平均数为?t? t ?85， 所以方差为? t ?（8585）2+（8385）2+2（8285）2+（8685）2
17、+（9285）2 12，此选项错误，符合题意； D、由 C 选项知此选项正确； 故选：C 7 （3 分）如图是由 6 个相同的正方体堆成的物体，它的左视图是（） 第 10页（共 26页） AB CD 【解答】解：这个组合体的三视图如下： 故选：A 8 （3 分）如图是某商场营业大厅自动扶梯的示意图自动扶梯 AB 的倾斜角为 37，大厅 两层之间的距离BC为6米， 则自动扶梯AB的长约为 （sin370.6， cos370.8， tan37 0.75） （） A7.5 米B8 米C9 米D10 米 【解答】解：在 RtABC 中，ACB90，BC6 米， sinBAC? ? ? ?sin370.
18、6? ? ?， AB? ? ?BC? ? ? ?610（米） ， 故选：D 9 （3 分）下列命题是真命题的是（） A正六边形的外角和大于正五边形的外角和 B正六边形的每一个内角为 120 C有一个角是 60的三角形是等边三角形 第 11页（共 26页） D对角线相等的四边形是矩形 【解答】解：A每个多边形的外角和都是 360，故错误，假命题； B正六边形的内角和是 720，每个内角是 120，故正确，真命题； C有一个角是 60的等腰三角形是等边三角形，故错误，假命题； D对角线相等的平行四边形是矩形，故错误，假命题 故选：B 10 （3 分）不等式组 ? ? ? ? ? ? t的解集在数轴
19、上可表示为（ ） A B C D 【解答】解：解不等式 x+10 得，x1, 解不等式2x6 得，x3， 不等式组的解集为：3x1,在数轴上表示为： 故选：A 11 （3 分）下列说法正确的是（） A为了解我国中学生课外阅读情况，应采取全面调查方式 B某彩票的中奖机会是 1%，买 100 张一定会中奖 C从装有 3 个红球和 4 个黑球的袋子里摸出 1 个球是红球的概率是? ? D某校有 3200 名学生，为了解学生最喜欢的课外体育运动项目，随机抽取了 200 名学 生，其中有 85 名学生表示最喜欢的项目是跳绳，估计该校最喜欢的课外体育运动项目为跳 绳的有 1360 人 【解答】解：全国中学
20、生人数很大，应采用抽样调查方式， 第 12页（共 26页） A 选项错误， 彩票的中奖机会是 1%说的是可能性，和买的数量无关， B 选项错误， 根据概率的计算公式，C 选项中摸出红球的概率为? ?， C 选项错误， 200 名学生中有 85 名学生喜欢跳绳， 跳绳的占比为 ? ? ? ? ? ?， 320042.51360(人)， D 选项正确， 故选：D 12 （3 分）如图，矩形纸片 ABCD，AB4，BC8，点 M、N 分别在矩形的边 AD、BC 上， 将矩形纸片沿直线 MN 折叠，使点 C 落在矩形的边 AD 上，记为点 P，点 D 落在 G 处， 连接 PC，交 MN 于点 Q，连
21、接 CM下列结论：四边形 CMPN 是菱形；点 P 与点 A 重合时，MN5；PQM 的面积 S 的取值范围是 4S5其中所有正确结论的序 号是（） ABCD 【解答】解：PMCN， PMNMNC， MNCPNM， PMNPNM， PMPN， NCNP， PMCN， MPCN， 四边形 CNPM 是平行四边形， 第 13页（共 26页） CNNP， 四边形 CNPM 是菱形， 故正确； 如图 1，当点 P 与 A 重合时，设 BNx，则 ANNC8x， 在 RtABN 中，AB+BNAN， 即 4+x(8x)， 解得 x3， CN835， AB4，BC8， AC? ?4 ?， CQ? ? ?A
22、C2 ?， QN? ?， MN2QN2 ?， 故不正确； 由题知，当 MN 过点 D 时，CN 最短，如图 2，四边形 CMPN 的面积最小， 此时 S? ? ?S 菱形CMPN? ? ? ?444， 当 P 点与 A 点重合时，CN 最长，如图 1，四边形 CMPN 的面积最大， 此时 S? ? ? ?545， 4S5 正确， 故选：C 第 14页（共 26页） 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 3 分，满分分，满分 18 分分.） 13 （3 分）若二次根式 ? ? ?有意义，则 x 的取值范围是x3 【解答】解：根据题意，得 x30， 解得，x3；
23、故答案为：x3 14 （3 分）计算：? ? ? ? ? ?1 【解答】解：原式? ? ? ?1 故答案为：1 15 （3 分）因式分解：3a29ab3a（a3b） 【解答】解：3a29ab 3a（a3b） ， 故答案为：3a（a3b） 16 （3 分）底面半径为 3，母线长为 4 的圆锥的侧面积为12 （结果保留） 【解答】解：圆锥的侧面积234212 故答案为：12 17 （3 分） “绿水青山就是金山银山” 某地为美化环境，计划种植树木 6000 棵由于志愿 者的加入，实际每天植树的棵树比原计划增加了 25%，结果提前 3 天完成任务则实际 每天植树500棵 【解答】解：设原计划每天植树
24、 x 棵，则实际每天植树（1+25%）x 棵， 依题意得：t? ? ? t? ? ?3， 解得：x400， 经检验，x400 是原方程的解，且符合题意， 第 15页（共 26页） （1+25%）x500 故答案为：500 18 （3 分）如图 1，菱形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于点 O，P、Q 两点同时从 O 点出 发，以 1 厘米/秒的速度在菱形的对角线及边上运动点 P 的运动路线为 OADO， 点 Q 的运动路线为 OCBO设运动的时间为 x 秒，P、Q 间的距离为 y 厘米，y 与 x 的函数关系的图象大致如图 2 所示，当点 P 在 AD 段上运动且 P、Q 两点间的距
25、离最 短时，P、Q 两点的运动路程之和为(2 ? ?3)厘米 【解答】解：由图分析易知：当点 P 从 OA 运动时，点 Q 从 OC 运动时，y 不断增大， 当点 P 运动到 A 点，点 Q 运动到 C 点时，由图象知此时 yPQ2 ?cm， AC2 ?cm， 四边形 ABCD 为菱形， ACBD，OAOC? ? ? ? ?cm， 当点 P 运动到 D 点，Q 运动到 B 点，结合图象，易知此时，yBD2cm， ODOB? ? ?BD1cm， 在 RtADO 中，AD? ? ? ?2(cm)， ADABBCDC2cm， 如图，当点 P 在 AD 段上运动，点 P 运动到点 E 处，点 Q 在
26、CB 段上运动，点 Q 运 动到点 F 处时，P、Q 两点的最短， 第 16页（共 26页） 此时，OEOF? ? ? ? ? ? ? ? ? ， AEAF? ? ? ? ? ? ? ?, 当点 P 在 AD 段上运动且 P、Q 两点间的距离最短时，P、Q 两点的运动路程之和为： ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（cm） 故答案为：(2 ? ?3) 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 8 个小题，个小题，1920 题每题题每题 6 分，分，2124 题每题题每题 8 分，分，25 题题 10 分，分， 26 题题 12 分，满分分，满分 66 分分.解答应写出文字说明、证明
27、过程或盐酸步骤解答应写出文字说明、证明过程或盐酸步骤.） 19 （6 分）计算： （x+2y）2+（x2y） （x+2y）+x（x4y） 【解答】解：原式(x2+4xy+4y2)+(x24y2)+(x24xy) x2+4xy+4y2+x24y2+x24xy 3x2 20 （6 分）如图，点 A、B、D、E 在同一条直线上，ABDE，ACDF，BCEF求证： ABCDEF 【解答】证明：ACDF， CABFDE(两直线平行，同位角相等), 又BCEF， CBAFED(两直线平行，同位角相等), 在ABC 和DEF 中， ? ? ? ? ? ? ? ? , ABCDEF(ASA) 21 （8 分）
28、 “垃圾分类工作就是新时尚” ，为了改善生态环境，有效利用垃圾剩余价值，2020 年起，我市将生活垃圾分为四类：厨余垃圾、有害垃圾、可回收垃圾、其他垃圾某学 习研究小组在对我市垃圾分类实施情况的调查中，绘制了生活垃圾分类扇形统计图，如 图所示 第 17页（共 26页） （1）图中其他垃圾所在的扇形的圆心角度数是64.8度； （2）据统计，生活垃圾中可回收物每吨可创造经济总价值约为 0.2 万元若我市某天生 活垃圾清运总量为 500 吨，请估计该天可回收物所创造的经济总价值是多少万元？ （3）为了调查学生对垃圾分类知识的了解情况，某校开展了相关知识竞赛，要求每班派 2 名学生参赛 甲班经选拔后，
29、 决定从 2 名男生和 2 名女生中随机抽取 2 名学生参加比赛， 求所抽取的学生中恰好一男一女的概率 【解答】解： （1）由题意可知，其他垃圾所占的百分比为：120%7%55%18%， 其他垃圾所在的扇形的圆心角度数是：36018%64.8， 故答案为：64.8； （2）50020%100（吨） ， 1000.220（万元） ， 答：该天可回收物所创造的经济总价值是 20 万元； （3）由题意可列树状图： P（一男一女）? ? ? ? ? ? 22 （8 分）如图，点 E 为正方形 ABCD 外一点，AEB90，将 RtABE 绕 A 点逆时针 方向旋转 90得到ADF，DF 的延长线交 B
30、E 于 H 点 （1）试判定四边形 AFHE 的形状，并说明理由； （2）已知 BH7，BC13，求 DH 的长 第 18页（共 26页） 【解答】解： （1）四边形 AFHE 是正方形，理由如下： RtABE 绕 A 点逆时针方向旋转 90得到ADF， RtABERtADF， AEBAFD90， AFH90， RtABERtADF， DAFBAE, 又DAF+FAB90， BAE+FAB90， FAE90， 在四边形 AFHE 中，FAE90，AEB90，AFH90， 四边形 AFHE 是矩形， 又AEAF， 矩形 AFHE 是正方形； （2）设 AEx则由（1）以及题意可知：AEEHFHA
31、Fx,BH7,BCAB13, 在 RtAEB 中，AB2AE2+BE2， 即 132x2+(x+7)2, 解得：x5, BEBH+EH5+712, DFBE12, 又DHDF+FH， 第 19页（共 26页） DH12+517 23 （8 分）如图是一种单肩包，其背带由双层部分、单层部分和调节扣构成小文购买时， 售货员演示通过调节扣加长或缩短单层部分的长度，可以使背带的长度（单层部分与双 层部分长度的和， 其中调节扣所占长度忽略不计） 加长或缩短， 设双层部分的长度为 xcm， 单层部分的长度为 ycm经测量，得到表中数据 双层部分长度 x（cm）281420 单层部分长度 y（cm）1481
32、36124112 （1）根据表中数据规律，求出 y 与 x 的函数关系式； （2）按小文的身高和习惯，背带的长度调为 130cm 时为最佳背带长请计算此时双层部 分的长度； （3）设背带长度为 Lcm，求 L 的取值范围 【解答】解： （1）设 y 与 x 的函数关系式为 ykx+b， 由题知 ? ? ?r? ? ?t ? ?r ? ?， 解得 r ? ? ? ? ?， y 与 x 的函数关系式为 y2x+152； （2）根据题意知 ? ? l ? ? l ? ? ?， 解得 ? ? ? l ? ?， 双层部分的长度为 22cm； （3）由题知，当 x0 时，y152， 当 y0 时，x76，
33、 76L152 24 （8 分）如图，AB 是O 的直径，D 为O 上一点，E 为? ?的中点，点 C 在 BA 的延长 第 20页（共 26页） 线上，且CDAB （1）求证：CD 是O 的切线； （2）若 DE2，BDE30，求 CD 的长 【解答】解： （1）证明：连结 OD，如图所示： AB 是直径， BDA90， BDO+ADO90， 又OBOD，CDAB， BBDOCDA， CDA+ADO90， ODCD，且 OD 为O 半径， CD 是O 的切线； （2）连结 OE，如图所示： BDE30， BOE2BDE60， 又E 为? ?的中点， EOD60, EOD 为等边三角形， 第
34、21页（共 26页） EDEOOD2, 又BODBOE+EOD120， DOC180BOD18012060, 在 RtDOC 中，DOC60,OD2， tanDOCtan60? ? ? ? ? ? ?, CD2 ? 25 （10 分）如图，OAB 的顶点坐标分别为 O（0，0） ，A（3，4） ，B（6，0） ，动点 P、 Q 同时从点 O 出发，分别沿 x 轴正方向和 y 轴正方向运动，速度分别为每秒 3 个单位和 每秒 2 个单位，点 P 到达点 B 时点 P、Q 同时停止运动过点 Q 作 MNOB 分别交 AO、 AB 于点 M、N，连接 PM、PN设运动时间为 t（秒） （1）求点 M
35、 的坐标（用含 t 的式子表示） ； （2）求四边形 MNBP 面积的最大值或最小值； （3）是否存在这样的直线 l，总能平分四边形 MNBP 的面积？如果存在，请求出直线 l 的解析式；如果不存在，请说明理由； （4）连接 AP，当OAPBPN 时，求点 N 到 OA 的距离 【解答】解： （1）过点 A 作 x 轴的垂线，交 MN 于点 E，交 OB 于点 F， 由题意得：OQ2t，OP3t,PB63t， O（0，0） ，A（3，4） ，B（6，0） ， OFFB3，AF4，OAAB? ? ?， MNOB， OQMOFA，OMQAOF， OQMAFO， ? ? ? ? ?， 第 22页（共
36、 26页） ? ? ? ? ? ， QM? ? ?， 点 M 的坐标是（? ? ?，?） （2）MNOB， 四边形 QEFO 是矩形， QEOF， MEOFQM3? ? ?， OAAB， MENE， MN2ME63t， S四边形MNBPSMNP+SBNP ? ? ?MNOQ? ? ?BPOQ ? ? ?t? ? ? ? ? ? ? ? ?t? ? ? ? 6t2+12t 6(t1)2+6， 点 P 到达点 B 时，P、Q 同时停止， 0t2， t1 时，四边形 MNBP 的最大面积为 6 （3）MN63t，BP63t， MNBP， MNBP， 四边形 MNBP 是平行四边形， 平分四边形 MN
37、BP 面积的直线经过四边形的中心，即 MB 的中点， 设中点为 H（x，y） ， M(? ? ?t?)，B（6，0） ， x? ? ? ? ? ? ? ?t? ? ? ? ? ?， y? ? ? ? ? 第 23页（共 26页） x? ? ? l ? ?， 化简得：y? ? ? ? ?， 直线 l 的解析式为：y? ? ? ? ? ? （4）OAAB， AOBPBN， 又OAPBPN， AOPPBN， ? ? ? ? ?， ? t? ? ? ? ? ， 解得：t? ? ? MN63t，AEAFOQ,ME3? ? ?， MN63 ? ? ? ? t ， AE? ? ? ? ? ? ? ? ? ，
38、 ME? ? ? ? ? ? ? ? ?， AM? ? ? ? ? ? ? ? ? ?t 设点 N 到 OA 得距离为 h， SAMN? ? ?MNAE? ? ?AMh， ? ? ? ? t ? ? ? ? ? ? ? ? ?t ? ?， 解得：h? ? ? 点 N 到 OA 得距离为? ? 第 24页（共 26页） 26（12 分） 在平面直角坐标系中， 如果一个点的横坐标与纵坐标相等， 则称该点为 “雁点” 例 如（1，1） ， （2021，2021）都是“雁点” （1）求函数 y? ? ?图象上的“雁点”坐标； （2）若抛物线 yax2+5x+c 上有且只有一个“雁点”E，该抛物线与 x
39、 轴交于 M、N 两 点（点 M 在点 N 的左侧） 当 a1 时 求 c 的取值范围； 求EMN 的度数； （3）如图，抛物线 yx2+2x+3 与 x 轴交于 A、B 两点（点 A 在点 B 的左侧） ，P 是抛 物线 yx2+2x+3 上一点，连接 BP，以点 P 为直角顶点，构造等腰 RtBPC，是否存 在点 P，使点 C 恰好为“雁点”？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 【解答】解： （1）由题意得：x? ? ?，解得 x2， 当 x2 时，y? ? ? ?2， 第 25页（共 26页） 故“雁点”坐标为（2,2）或（2，2） ； （2）“雁点”的横坐标与纵坐标相等，
40、 故“雁点”的函数表达式为 yx， 物线 yax2+5x+c 上有且只有一个“雁点”E， 则 ax2+5x+cx， 则254ac0，即 ac4， a1， 故 c4； ac4，则 ax2+5x+c0 为 ax2+5x? ? ? ?0， 解得 x? ? ?或? ? ?，即点 M 的坐标为（? ? ?，0） ， 由 ax2+5x+cx，ac4， 解得 x? ? ?，即点 E 的坐标为（? ? ?，? ? ?） ， 故点 E 作 EHx 轴于点 H， 则 HE? ? ?，MHxExM? ? ? ?（? ? ?）? ? ? ?HE， 故EMN 的度数为 45； （3）存在，理由： 由题意知，点 C 在直
41、线 yx 上，故设点 C 的坐标为（t，t） ， 过点 P 作 x 轴的平行线交过点 C 与 y 轴的平行线于点 M，交过点 B 与 y 轴的平行线于点 N， 第 26页（共 26页） 设点 P 的坐标为（m，m2+2m+3） ， 则 BNm2+2m+3,PN3m,PMmt,CMm2+2m+3t, NPB+MPC90,MPC+CPM90, NPBCPM, CMPPNB90,PCPB, CMPPNB（AAS） ， PMBN，CMPN， 即 mt|m2+2m+3|，m2+2m+3t|3m|， 解得 m1? ? ? 或 1? ? ? 或? ?， 故点 P 的坐标为（? ? ? ，? ?）或（ ? ?， ? ? ）或（1? ? ? ，? ?）
