1、第 1页（共 22页） 2021 年湖南省张家界市中考数学试卷年湖南省张家界市中考数学试卷 一一、选择题选择题（本大题共本大题共 8 个小题个小题，每小题每小题 3 分分，满分满分 24 分分，在每个小题的四个选项中在每个小题的四个选项中，只只 有一项是符合题目要求的）有一项是符合题目要求的） 1 （3 分）2021 的绝对值是（） A2021B2021C ? ?t? D? ? ?t? 2 （3 分）我国是世界上免费为国民接种新冠疫苗最多的国家，截至 2021 年 6 月 5 日，免 费接种数量已超过 700000000 剂次，将 700000000 用科学记数法表示为（） A0.7109B0
2、.7108C7108D7109 3 （3 分）如图所示的几何体，其俯视图是（） ABCD 4 （3 分）下列运算正确的是（） Ax2+x3x5B （xy）2x2y2 C （x2）3x6Dx6x3x2 5 （3 分）某校有 4000 名学生，随机抽取了 400 名学生进行体重调查，下列说法错误的是 （） A总体是该校 4000 名学生的体重 B个体是每一个学生 C样本是抽取的 400 名学生的体重 D样本容量是 400 6 （3 分）如图，正方形 ABCD 内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部 分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，设正方形 ABCD 的面积为 S，黑色部分面
3、积为 S1，则 S1：S 的比值为（） 第 2页（共 22页） A? ? B? ? C? ? D? ? 7 （3 分）对于实数 a，b 定义运算“”如下：abab2ab，例如 3232232 6，则方程 1x2 的根的情况为（） A没有实数根B只有一个实数根 C有两个相等的实数根D有两个不相等的实数根 8 （3 分）若二次函数 yax2+bx+c（a0）的图象如图所示，则一次函数 yax+b 与反比 例函数 ? 婘? ? ?在同一个坐标系内的大致图象为（ ） AB CD 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，满分分，满分 18 分）分） 9 （3
4、分）已知方程 2x40，则 x 10 （3 分）如图是张家界市某周每天最高气温的折线统计图，则这 7 天的最高气温的中位 数是 第 3页（共 22页） 11 （3 分）如图，已知 ABCD，BC 是ABD 的平分线，若264，则3 12 （3 分）不等式 ? ?h ? ? ?的正整数解为 13 （3 分）如图，ABC 内接于O，A50，点 D 是 BC 的中点，连接 OD，OB，OC， 则BOD 14 （3 分）如图，在正方形 ABCD 外取一点 E，连接 DE，AE，CE，过点 D 作 DE 的垂线 交 AE 于点 P，若 DEDP1，PC婘?下列结论：APDCED；AECE； 点 C 到直
5、线 DE 的距离为 ?；S 正 方 形ABCD5+2 ?，其中正确结论的序号 为 三三、解答题解答题（本大题共本大题共 9 个小题个小题，满分满分 58 分分.请考生用黑色碳素笔在答题卡相应的题号后的请考生用黑色碳素笔在答题卡相应的题号后的 第 4页（共 22页） 答题区域内作答，必须写出运算步骤、推理过程或文字说明，超出答题区域的作答无效答题区域内作答，必须写出运算步骤、推理过程或文字说明，超出答题区域的作答无效.） 15 （5 分）计算：? ? ?t?h ? ? ?t? h? 16 （5 分）先化简 ? ?h?h? ? ? ?h? h ? ? ，然后从 0，1，2，3 中选一个合适的 a
6、值代 入求解 17 （6 分）2021 年是中国共产党建党 100 周年，全国各地积极开展“弘扬红色文化，重走 长征路”主题教育学习活动，我市“红二方面军长征出发地纪念馆”成为重要的活动基 地据了解，今年 3 月份该基地接待参观人数 10 万人，5 月份接待参观人数增加到 12.1 万人 （1）求这两个月参观人数的月平均增长率； （2）按照这个增长率，预计 6 月份的参观人数是多少？ 18 （6 分）如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，AOB60，对角线 AC 所在的直线绕点 O 顺时针旋转角（0120） ，所得的直线 l 分别交 AD，BC 于点 E，F （1）
7、求证：AOECOF； （2）当旋转角为多少度时，四边形 AFCE 为菱形？试说明理由 19 （8 分）为了积极响应中共中央文明办关于“文明用餐”的倡议，某校开展了“你的家 庭使用公筷了吗？”的调查活动，并随机抽取了部分学生，对他们家庭用餐使用公筷情 况进行统计，统计分类为以下四种：A（完全使用） 、B（多数时间使用） 、C（偶尔使用） 、 D（完全不使用） ，将数据进行整理后，绘制了两幅不完整的统计图 第 5页（共 22页） 根据以上信息，解答下列问题： （1）本次抽取的学生总人数共有； （2）补全条形统计图； （3）扇形统计图中 A 对应的扇形的圆心角度数是； （4） 为了了解少数学生完全不
8、使用公筷的原因， 学校决定从 D 组的学生中随机抽取两位 进行回访，若 D 组中有 3 名男生，其余均为女生，请用列表法或画树状图的方法，求抽 取的两位学生恰好是一男一女的概率 20 （6 分）如图，在 RtAOB 中，ABO90，OAB30，以点 O 为圆心，OB 为 半径的圆交 BO 的延长线于点 C，过点 C 作 OA 的平行线，交O 于点 D，连接 AD （1）求证：AD 为O 的切线； （2）若 OB2，求弧 CD 的长 21 （6 分）张家界大峡谷玻璃桥是我市又一闻名中外的五星景点某校初三年级在一次研 学活动中，数学研学小组设计以下方案测量桥的高度如图，在桥面正下方的谷底选一 观测
9、点 A，观测到桥面 B，C 的仰角分别为 30，60，测得 BC 长为 320 米，求观测点 A 到桥面 BC 的距离 （结果保留整数，参考数据： ? ?1.73） 第 6页（共 22页） 22 （6 分）阅读下面的材料： 如果函数 yf（x）满足：对于自变量 x 取值范围内的任意 x1，x2， （1）若 x1x2，都有 f（x1）f（x2） ，则称 f（x）是增函数； （2）若 x1x2，都有 f（x1）f（x2） ，则称 f（x）是减函数 例题：证明函数 f（x）x2（x0）是增函数 证明：任取 x1x2，且 x10，x20 则 f（x1）f（x2）x12x22（x1+x2） （x1x2）
10、 x1x2且 x10，x20， x1+x20，x1x20 （x1+x2） （x1x2）0，即 f（x1）f（x2）0，f（x1）f（x2） 函数 f（x）x2（x0）是增函数 根据以上材料解答下列问题： （1）函数 f（x）婘 ? ?（x0） ，f（1）婘 ? ? 婘1，f（2）婘 ? ?，f（3） ， f（4）； （2）猜想 f（x）婘 ? ?（x0）是 函数（填“增”或“减” ） ，并证明 你的猜想 23 （10 分）如图，已知二次函数 yax2+bx+c 的图象经过点 C（2，3） ，且与 x 轴交于原 点及点 B（8，0） （1）求二次函数的表达式； （2）求顶点 A 的坐标及直线 A
11、B 的表达式； （3）判断ABO 的形状，试说明理由； （4）若点 P 为O 上的动点，且O 的半径为 2 ?，一动点 E 从点 A 出发，以每秒 2 个单位长度的速度沿线段 AP 匀速运动到点 P，再以每秒 1 个单位长度的速度沿线段 PB 匀速运动到点 B 后停止运动，求点 E 的运动时间 t 的最小值 第 7页（共 22页） 第 8页（共 22页） 2021 年湖南省张家界市中考数学试卷年湖南省张家界市中考数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一一、选择题选择题（本大题共本大题共 8 个小题个小题，每小题每小题 3 分分，满分满分 24 分分，在每个小题的四个选项中在每个小题的
12、四个选项中，只只 有一项是符合题目要求的）有一项是符合题目要求的） 1 （3 分）2021 的绝对值是（） A2021B2021C ? ?t? D? ? ?t? 【解答】解：2021 的绝对值为 2021， 故选：A 2 （3 分）我国是世界上免费为国民接种新冠疫苗最多的国家，截至 2021 年 6 月 5 日，免 费接种数量已超过 700000000 剂次，将 700000000 用科学记数法表示为（） A0.7109B0.7108C7108D7109 【解答】解：7000000007108， 故选：C 3 （3 分）如图所示的几何体，其俯视图是（） ABCD 【解答】解：从上面看，是一个带
13、圆心的圆， 故选：D 4 （3 分）下列运算正确的是（） Ax2+x3x5B （xy）2x2y2 C （x2）3x6Dx6x3x2 【解答】解：Ax2与 x3不是同类项，故不符合题意； B原式x22xy+y2，故不符合题意； C原式x6，故符合题意； 第 9页（共 22页） D原式x3，故不符合题意； 故选：C 5 （3 分）某校有 4000 名学生，随机抽取了 400 名学生进行体重调查，下列说法错误的是 （） A总体是该校 4000 名学生的体重 B个体是每一个学生 C样本是抽取的 400 名学生的体重 D样本容量是 400 【解答】解：A总体是该校 4000 名学生的体重，说法正确，故
14、A 不符合题意； B个体是每一个学生的体重，原来的说法错误，故 B 符合题意； C样本是抽取的 400 名学生的体重，说法正确，故 C 不符合题意； D样本容量是 400，说法正确，故 D 不符合题意 故选：B 6 （3 分）如图，正方形 ABCD 内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部 分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，设正方形 ABCD 的面积为 S，黑色部分面 积为 S1，则 S1：S 的比值为（） A? ? B? ? C? ? D? ? 【解答】解：不妨设正方形面积 S1，则正方形边长为 1， 内切圆直径 d1，r婘 ? ?， S圆r2婘 ? ?， 根据圆的对称性得
15、：黑色部分面积 S1婘 ? ? S圆婘 ? ?， S1：S婘 ? ? ?：? 婘 ? ?， 故选：A 7 （3 分）对于实数 a，b 定义运算“”如下：abab2ab，例如 3232232 第 10页（共 22页） 6，则方程 1x2 的根的情况为（） A没有实数根B只有一个实数根 C有两个相等的实数根D有两个不相等的实数根 【解答】解：1x2， 1x21x2， x2x20， （1）241（2）90， 方程 1x2 有两个不相等的实数根 故选：D 8 （3 分）若二次函数 yax2+bx+c（a0）的图象如图所示，则一次函数 yax+b 与反比 例函数 ? 婘? ? ?在同一个坐标系内的大致图
16、象为（ ） AB CD 【解答】解：抛物线开口向下，对称轴位于 y 轴右侧，与 y 轴的交点在 y 轴正半轴上， a0，? ? ?0，c0， b0， 一次函数 yax+b 的图象经过第一、二、四象限，反比例函数 y婘? ? ?的图象在第二、 四象限 第 11页（共 22页） 故选：D 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，满分分，满分 18 分）分） 9 （3 分）已知方程 2x40，则 x2 【解答】解：2x40， 2x4， x2， 故答案为：2 10 （3 分）如图是张家界市某周每天最高气温的折线统计图，则这 7 天的最高气温的中位 数是26
17、【解答】解：根据 7 天的最高气温折线统计图，将这 7 天的最高气温按大小排列为：20， 22，24，26，28，28，30，故中位数为 26， 故答案为：26 11 （3 分）如图，已知 ABCD，BC 是ABD 的平分线，若264，则358 【解答】解：如图， ABCD，264， 第 12页（共 22页） 4264， 3+1+4180， 3+11804116， BC 是ABD 的平分线， 31婘 ? ? ?11658， 故答案为：58 12 （3 分）不等式 ? ?h ? ? ?的正整数解为 3 【解答】解：解不等式 2x+17，得：x3， 所以不等式组的解集为 2x3， 则不等式组的正整
18、数解为 3， 故答案为：3 13 （3 分）如图，ABC 内接于O，A50，点 D 是 BC 的中点，连接 OD，OB，OC， 则BOD50 【解答】解：A50， BOC100 OBOC， OBC 为等腰三角形， 又D 为 BC 中点， OD 为 BC 上中线， 根据等腰三角形三线合一性质可得 OD 为BOC 的平分线， BOD婘 ? ?BOC50 故答案为：50 14 （3 分）如图，在正方形 ABCD 外取一点 E，连接 DE，AE，CE，过点 D 作 DE 的垂线 交 AE 于点 P，若 DEDP1，PC婘?下列结论：APDCED；AECE； 第 13页（共 22页） 点 C 到直线 D
19、E 的距离为 ?；S正方形ABCD5+2 ?，其中正确结论的序号为 【解答】解：DPDE， PDE90 PDC+CDE90， 在正方形 ABCD 中，ADCADP+PDC90，ADCD， CDEADP 在APD 和CED 中， ?t 婘 ?t ?t 婘 ?th t 婘 th ， APDCED（SAS） ， 故正确； APDCED， APDCED， 又APDPDE+DEP，CEDCEA+DEP， PDECEA90 即 AECE，故正确； 过点 C 作 CFDE 的延长线于点 F，如图， DEDP，PDE90， DPEDEP45 又CEA90， CEFFCE45 DPDE1， PE婘t?h th?
20、婘? CE婘? h?婘? ? ? 婘2， 第 14页（共 22页） CFEF婘 ? ? ?h 婘?， 即点 C 到直线 DE 的距离为 ?，故错误； CFEF婘?，DE1， 在 RtCDF 中，CD2CF2+DF2婘 ? ?h ?h?婘2+3h ? ? 婘 ? h ? ?， S正方形ABCD婘 ? h ? ?， 故正确 综上所述，正确结论的序号为， 故答案为： 三三、解答题解答题（本大题共本大题共 9 个小题个小题，满分满分 58 分分.请考生用黑色碳素笔在答题卡相应的题号后的请考生用黑色碳素笔在答题卡相应的题号后的 答题区域内作答，必须写出运算步骤、推理过程或文字说明，超出答题区域的作答无效
21、答题区域内作答，必须写出运算步骤、推理过程或文字说明，超出答题区域的作答无效.） 15 （5 分）计算：? ? ?t?h ? ? ?t? h? 【解答】解：原式婘? ? h ? ? ? ? ? ? ? h ? ? 婘? 16 （5 分）先化简 ? ?h?h? ? ? ?h? h ? ? ，然后从 0，1，2，3 中选一个合适的 a 值代 入求解 【解答】解：原式婘 ?h? ?h? ?h? ? h ? ? a+a 2a， a0，1，2 时分式无意义， a3， 当 a3 时，原式236 17 （6 分）2021 年是中国共产党建党 100 周年，全国各地积极开展“弘扬红色文化，重走 长征路”主题教
22、育学习活动，我市“红二方面军长征出发地纪念馆”成为重要的活动基 地据了解，今年 3 月份该基地接待参观人数 10 万人，5 月份接待参观人数增加到 12.1 第 15页（共 22页） 万人 （1）求这两个月参观人数的月平均增长率； （2）按照这个增长率，预计 6 月份的参观人数是多少？ 【解答】解： （1）设这两个月参观人数的月平均增长率为 x， 依题意得：10（1+x）212.1， 解得：x10.110%，x22.1（不合题意，舍去） 答：这两个月参观人数的月平均增长率为 10% （2）12.1（1+10%）13.31（万人） 答：预计 6 月份的参观人数为 13.31 万人 18 （6 分
23、）如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，AOB60，对角线 AC 所在的直线绕点 O 顺时针旋转角（0120） ，所得的直线 l 分别交 AD，BC 于点 E，F （1）求证：AOECOF； （2）当旋转角为多少度时，四边形 AFCE 为菱形？试说明理由 【解答】证明： （1）四边形 ABCD 是矩形， ADBC，AOCO， AEOCFO， 在AOE 和COF 中， ?h? 婘?t? ?h 婘 ?t ? 婘 ? ， AOECOF（AAS） ； （2）当90时，四边形 AFCE 为菱形， 理由：AOECOF， OEOF， 又AOCO， 第 16页（共 22页） 四边形
24、 AFCE 为平行四边形， 又AOE90， 四边形 AFCE 为菱形 19 （8 分）为了积极响应中共中央文明办关于“文明用餐”的倡议，某校开展了“你的家 庭使用公筷了吗？”的调查活动，并随机抽取了部分学生，对他们家庭用餐使用公筷情 况进行统计，统计分类为以下四种：A（完全使用） 、B（多数时间使用） 、C（偶尔使用） 、 D（完全不使用） ，将数据进行整理后，绘制了两幅不完整的统计图 根据以上信息，解答下列问题： （1）本次抽取的学生总人数共有50 人； （2）补全条形统计图； （3）扇形统计图中 A 对应的扇形的圆心角度数是72； （4） 为了了解少数学生完全不使用公筷的原因， 学校决定从
25、 D 组的学生中随机抽取两位 进行回访，若 D 组中有 3 名男生，其余均为女生，请用列表法或画树状图的方法，求抽 取的两位学生恰好是一男一女的概率 【解答】解： （1）本次抽取的学生总人数共有：2040%50（人） ， 故答案为：50 人； （2）D 的人数为：501020164（人） ， 条形统计图补全如下： 第 17页（共 22页） （3）扇形统计图中 A 对应的扇形的圆心角度数是：360 ?t ?t 婘72， 故答案为：72； （4）列表如下： 男 1男 2男 3女 男 1男 1，男 2男 1，男 3男 1，女 男 2男 2，男 1男 2，男 3男 2，女 男 3男 3，男 1男 3，
26、男 2男 3，女 女女，男 1女，男 2女，男 3 共有 12 种等可能的结果，抽取的两位学生恰好是一男一女的结果有 6 种， 抽取的两位学生恰好是一男一女的概率为 ? ? 婘 ? ? 20 （6 分）如图，在 RtAOB 中，ABO90，OAB30，以点 O 为圆心，OB 为 半径的圆交 BO 的延长线于点 C，过点 C 作 OA 的平行线，交O 于点 D，连接 AD （1）求证：AD 为O 的切线； （2）若 OB2，求弧 CD 的长 【解答】 （1）证明；连接 OD， 第 18页（共 22页） OAB30，B90， AOB60， 又CDAO， CAOB60， 又OCOD， COD 是等边
27、三角形， COD60， AOD180606060， 又OBOD，AOAO， AOBAOD（SAS） ， ADOABO90， 又点 D 在O 上， AD 是O 的切线； （2）解：由题意得，O 的半径 OB2OC，COD60， 根据弧长公式可得，? 婘 ? ?t 婘 ?t? ?t 婘 ? ? ， 答：弧 CD 的长? ? 21 （6 分）张家界大峡谷玻璃桥是我市又一闻名中外的五星景点某校初三年级在一次研 学活动中，数学研学小组设计以下方案测量桥的高度如图，在桥面正下方的谷底选一 观测点 A，观测到桥面 B，C 的仰角分别为 30，60，测得 BC 长为 320 米，求观测点 A 到桥面 BC 的
28、距离 （结果保留整数，参考数据： ? ?1.73） 第 19页（共 22页） 【解答】解：过点 A 作 ADBC 交 BC 的延长线于点 D，如图， 根据题意得B30，ACD60，BC320m， CABCAMBAM603030， BBAC， CACB320m， 在 RtACD 中，DCA60， sinACD婘 ?t ?， 即 sin60婘 ?t ?t， AD320 ? ? 婘160 ? ?277（m） 答观测点 A 到桥面 BC 的距离是 277 米 22 （6 分）阅读下面的材料： 如果函数 yf（x）满足：对于自变量 x 取值范围内的任意 x1，x2， （1）若 x1x2，都有 f（x1）
29、f（x2） ，则称 f（x）是增函数； （2）若 x1x2，都有 f（x1）f（x2） ，则称 f（x）是减函数 例题：证明函数 f（x）x2（x0）是增函数 证明：任取 x1x2，且 x10，x20 则 f（x1）f（x2）x12x22（x1+x2） （x1x2） x1x2且 x10，x20， x1+x20，x1x20 （x1+x2） （x1x2）0，即 f（x1）f（x2）0，f（x1）f（x2） 第 20页（共 22页） 函数 f（x）x2（x0）是增函数 根据以上材料解答下列问题： （1）函数 f（x）婘 ? ?（x0） ，f（1）婘 ? ? 婘1，f（2）婘 ? ?，f（3） ? ?
30、 ，f（4） ? ? ； （2）猜想 f（x）婘 ? ?（x0）是 减函数（填“增”或“减” ） ，并证明你的猜想 【解答】解： （1）? 婘 ? ?，? 婘 ? ?， 故答案为? ?， ? ?； （2）猜想：? 婘 ? ? ?t?是减函数， 证明：任取 x1x2，x10，x20，则 ? ? ? 婘 ? ? ? ? ? 婘 ? ? ， x1x2且 x10，x20， x2x10，x1x20， ? ? 0，即 f（x1）f（x2）0， 函数 ? 婘 ? ? ?t?是减函数， 故答案为减 23 （10 分）如图，已知二次函数 yax2+bx+c 的图象经过点 C（2，3） ，且与 x 轴交于原 点及
31、点 B（8，0） （1）求二次函数的表达式； （2）求顶点 A 的坐标及直线 AB 的表达式； （3）判断ABO 的形状，试说明理由； （4）若点 P 为O 上的动点，且O 的半径为 2 ?，一动点 E 从点 A 出发，以每秒 2 个单位长度的速度沿线段 AP 匀速运动到点 P，再以每秒 1 个单位长度的速度沿线段 PB 匀速运动到点 B 后停止运动，求点 E 的运动时间 t 的最小值 第 21页（共 22页） 【解答】解： （1）二次函数 yax2+bx+c（a0）的图象经过 C（2，3） ，且与 x 轴 交于原点及点 B（8，0） ， c0，二次函数表达式可设为：yax2+bx（a0） ，
32、 将 C（2，3） ，B（8，0）代入 yax2+bx 得： ?h ? 婘? ? ? h ? 婘 t ， 解得： ? 婘 ? ? ? 婘? ? ， 二次函数的函数表达式为 ? 婘 ? ? ? ?； （2）? 婘 ? ? ? ? ? 婘 ? ?（x4） 24， 抛物线的顶点 A（4，4） ， 设直线 AB 的函数表达式为 ykx+m，将 A（4，4） ，B（8，0）代入，得： ?h 婘? ? ? h 婘 t ， 解得： 婘 ? 婘? ?， 直线 AB 的函数表达式为 yx8； （3）ABC 是等腰直角三角形 方法 1：如图 1，过点 A 作 AFOB 于点 F，则 F（4，0） ， AFOAFB
33、90，OFBFAF4， AFO、AFB 均为等腰直角三角形， OAAB4 ?，OAFBAF45， OAB90， ABC 是等腰直角三角形 方法 2：ABC 的三个顶点分别是 O（0，0） ，A（4，4） ，B（8，0） ， 第 22页（共 22页） |OB|80|8，|OA|婘?t?h t?婘? t?h ? ? ? ? t?婘 ? ?， |AB|婘?t?h ?t?婘?t ? ? ? ?h ? ? ?婘 ? ?， 且满足|OB|2|OA|2+|AB|2， ABC 是等腰直角三角形； （4）如图 2，以 O 为圆心，2 ?为半径作圆，则点 P 在圆周上，依题意知： 动点 E 的运动时间为 t婘 ? ?|AP|+|PB， 在 OA 上取点 D，使 OD婘?，连接 PD， 则在APO 和PDO 中， 满足：? ?t 婘 ? ? 婘2，AOPPOD， APO 和PDO， ? t 婘 ? ?t 婘 ? ? 婘2， 从而得：|PD|婘 ? ?|AP|， t婘 ? ?|AP|+|PB|PD|+|PB|， 当 B、P、D 三点共线时，|PD|+|PB|取得最小值， 过点 D 作 DGOB 于点 G，由于 ?t 婘?，且ABO 为等腰直角三角形， 则有 DG1，DOG45 动点 E 的运动时间 t 的最小值为：t|DB|婘t?h ?婘?h ? ?婘5 ?
