1、第 1页（共 27页） 2021 年江苏省连云港市中考数学试卷年江苏省连云港市中考数学试卷 一一、选择题选择题（本大题共有本大题共有 8 小题小题，每小题每小题 3 分分，共共 24 分分.在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中，只有只有 一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1 （3 分）3 的相反数是（） A3B? ? C3D? ? ? 2 （3 分）下列运算正确的是（） A3a+2b5abB5a22b23 C7a+a7a2D （x1）2x2+12x 3 （3 分）2021 年
2、 5 月 18 日上午，江苏省人民政府召开新闻发布会，公布了全省最新人口 数据， 其中连云港市的常住人口约为4600000人 把 “4600000” 用科学记数法表示为 （） A0.46107B4.6107C4.6106D46105 4 （3 分）正五边形的内角和是（） A360B540C720D900 5 （3 分）如图，将矩形纸片 ABCD 沿 EF 折叠后，点 D、C 分别落在点 D1、C1的位置， ED1的延长线交 BC 于点 G，若EFG64，则EGB 等于（） A128B130C132D136 6 （3 分）关于某个函数表达式，甲、乙、丙三位同学都正确地说出了该函数的一个特征 甲：
3、函数图象经过点（1，1） ； 乙：函数图象经过第四象限； 丙：当 x0 时，y 随 x 的增大而增大 则这个函数表达式可能是（） AyxBy? ? ? Cyx2Dy? ? ? 第 2页（共 27页） 7 （3 分）如图，ABC 中，BDAB，BD、AC 相交于点 D，AD? ? ?AC，AB2，ABC 150，则DBC 的面积是（） A? ? ? B? ? ? C? ? ? D? ? ? 8 （3 分）如图，正方形 ABCD 内接于O，线段 MN 在对角线 BD 上运动，若O 的面积 为 2，MN1，则AMN 周长的最小值是（） A3B4C5D6 二二、填空题填空题（本大题共有本大题共有 8
4、小题小题，每小题每小题 3 分分，共共 24 分分.不需要写出解答过程不需要写出解答过程，请把答案直请把答案直 接填写在答题卡相应位置上）接填写在答题卡相应位置上） 9 （3 分）一组数据 2，1，3，1，2，4 的中位数是 10 （3 分）计算： ? ? h? 11 （3 分）分解因式：9x2+6x+1 12 （3 分）若关于 x 的方程 x23x+k0 有两个相等的实数根，则 k 13 （3 分）如图，OA、OB 是O 的半径，点 C 在O 上，AOB30，OBC40， 则OAC 14 （3 分）如图，菱形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O，OEAD，垂足为 E，AC8， 第
5、3页（共 27页） BD6，则 OE 的长为 15 （3 分）某快餐店销售 A、B 两种快餐，每份利润分别为 12 元、8 元，每天卖出份数分 别为 40 份、80 份该店为了增加利润，准备降低每份 A 种快餐的利润，同时提高每份 B 种快餐的利润售卖时发现，在一定范围内，每份 A 种快餐利润每降 1 元可多卖 2 份， 每份 B 种快餐利润每提高 1 元就少卖 2 份如果这两种快餐每天销售总份数不变，那么 这两种快餐一天的总利润最多是元 16 （3 分） 如图， BE 是ABC 的中线， 点 F 在 BE 上， 延长 AF 交 BC 于点 D 若 BF3FE， 则? ?t ? 三三、解答题解
6、答题（本大题共本大题共 11 小题小题，共共 102 分分.请在答题卡指定区域内作答请在答题卡指定区域内作答，解答时写出必要的解答时写出必要的 文字说明、证明过程或演算步骤）文字说明、证明过程或演算步骤） 17 （6 分）计算： ? ? ?|6|22 18 （6 分）解不等式组： ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 19 （6 分）解方程：? ? ? ? ? ?1 20（8 分） 端午节吃粽子是中华民族的传统习俗 某食品厂为了解市民对去年销量较好的 A、 B、C、D 四种粽子的喜爱情况，在端午节前对某小区居民进行抽样调查（每人只选一种 粽子） ，并将调查情况绘制成两幅尚不完整的统计图 第
7、4页（共 27页） 根据以上信息，解答下列问题： （1）补全条形统计图； （2）扇形统计图中，D 种粽子所在扇形的圆心角是； （3）这个小区有 2500 人，请你估计爱吃 B 种粽子的人数为 21 （10 分）为了参加全市中学生“党史知识竞赛” ，某校准备从甲、乙 2 名女生和丙、丁 2 名男生中任选 2 人代表学校参加比赛 （1）如果已经确定女生甲参加，再从其余的候选人中随机选取 1 人，则女生乙被选中的 概率是； （2）求所选代表恰好为 1 名女生和 1 名男生的概率 22 （10 分）如图，点 C 是 BE 的中点，四边形 ABCD 是平行四边形 （1）求证：四边形 ACED 是平行四边
8、形； （2）如果 ABAE，求证：四边形 ACED 是矩形 23 （10 分）为了做好防疫工作，学校准备购进一批消毒液已知 2 瓶 A 型消毒液和 3 瓶 B 型消毒液共需 41 元，5 瓶 A 型消毒液和 2 瓶 B 型消毒液共需 53 元 （1）这两种消毒液的单价各是多少元？ （2）学校准备购进这两种消毒液共 90 瓶，且 B 型消毒液的数量不少于 A 型消毒液数量 的? ?，请设计出最省钱的购买方案，并求出最少费用 第 5页（共 27页） 24 （10 分）如图，RtABC 中，ABC90，以点 C 为圆心，CB 为半径作C，D 为 C 上一点，连接 AD、CD，ABAD，AC 平分BA
9、D （1）求证：AD 是C 的切线； （2）延长 AD、BC 相交于点 E，若 SEDC2SABC，求 tanBAC 的值 25 （10 分）我市的前三岛是众多海钓人的梦想之地小明的爸爸周末去前三岛钓鱼，将鱼 竿 AB 摆成如图 1 所示已知 AB4.8m，鱼竿尾端 A 离岸边 0.4m，即 AD0.4m海面 与地面 AD 平行且相距 1.2m，即 DH1.2m （1）如图 1，在无鱼上钩时，海面上方的鱼线 BC 与海面 HC 的夹角BCH37，海 面下方的鱼线 CO 与海面 HC 垂直，鱼竿 AB 与地面 AD 的夹角BAD22求点 O 到 岸边 DH 的距离； （2）如图 2，在有鱼上钩时
10、，鱼竿与地面的夹角BAD53，此时鱼线被拉直，鱼线 BO5.46m，点 O 恰好位于海面求点 O 到岸边 DH 的距离 （参考数据：sin37cos53? ? h，cos37sin53? ? h，tan37? ? ?，sin22? ? ?， cos22? ?h ?，tan22? ? h） 第 6页（共 27页） 26 （12 分）如图，抛物线 ymx2+（m2+3）x（6m+9）与 x 轴交于点 A、B，与 y 轴交于 点 C，已知 B（3，0） （1）求 m 的值和直线 BC 对应的函数表达式； （2）P 为抛物线上一点，若 SPBCSABC，请直接写出点 P 的坐标； （3）Q 为抛物线上
11、一点，若ACQ45，求点 Q 的坐标 27 （14 分）在数学兴趣小组活动中，小亮进行数学探究活动 （1）ABC 是边长为 3 的等边三角形，E 是边 AC 上的一点，且 AE1，小亮以 BE 为 边作等边三角形 BEF，如图 1求 CF 的长； （2）ABC 是边长为 3 的等边三角形，E 是边 AC 上的一个动点，小亮以 BE 为边作等 边三角形 BEF，如图 2在点 E 从点 C 到点 A 的运动过程中，求点 F 所经过的路径长； （3）ABC 是边长为 3 的等边三角形，M 是高 CD 上的一个动点，小亮以 BM 为边作等 边三角形 BMN，如图 3在点 M 从点 C 到点 D 的运动
12、过程中，求点 N 所经过的路径长； （4）正方形 ABCD 的边长为 3，E 是边 CB 上的一个动点，在点 E 从点 C 到点 B 的运动 第 7页（共 27页） 过程中，小亮以 B 为顶点作正方形 BFGH，其中点 F、G 都在直线 AE 上，如图 4当点 E 到达点 B 时， 点 F、 G、 H 与点 B 重合 则点 H 所经过的路径长为， 点 G 所经过的路径长为 第 8页（共 27页） 2021 年江苏省连云港市中考数学试卷年江苏省连云港市中考数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一一、选择题选择题（本大题共有本大题共有 8 小题小题，每小题每小题 3 分分，共共 24 分
13、分.在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中，只有只有 一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1 （3 分）3 的相反数是（） A3B? ? C3D? ? ? 【解答】解：互为相反数相加等于 0， 3 的相反数是 3 故选：A 2 （3 分）下列运算正确的是（） A3a+2b5abB5a22b23 C7a+a7a2D （x1）2x2+12x 【解答】解：A.3a 和 2b 不是同类项，不能合并，A 错误，故选项 A 不符合题意； B.5a2和 2b2不是同类项，不能合并，B 错误，故
14、选项 B 不符合题意； C.7a+a8a，C 错误，故选项 C 不符合题意； D （x1）2x22x+1，D 正确，选项 D 符合题意 故选：D 3 （3 分）2021 年 5 月 18 日上午，江苏省人民政府召开新闻发布会，公布了全省最新人口 数据， 其中连云港市的常住人口约为4600000人 把 “4600000” 用科学记数法表示为 （） A0.46107B4.6107C4.6106D46105 【解答】解：46000004.6106 故选：C 4 （3 分）正五边形的内角和是（） A360B540C720D900 【解答】解：正五边形的内角和是： （52）1803180540， 故选：
15、B 5 （3 分）如图，将矩形纸片 ABCD 沿 EF 折叠后，点 D、C 分别落在点 D1、C1的位置， ED1的延长线交 BC 于点 G，若EFG64，则EGB 等于（） 第 9页（共 27页） A128B130C132D136 【解答】解：如图，在矩形 ABCD 中， ADBC， DEFEFG64，EGBDEG， 由折叠可知GEFDEF64， DEG128， EGBDEG128， 故选：A 6 （3 分）关于某个函数表达式，甲、乙、丙三位同学都正确地说出了该函数的一个特征 甲：函数图象经过点（1，1） ； 乙：函数图象经过第四象限； 丙：当 x0 时，y 随 x 的增大而增大 则这个函数
16、表达式可能是（） AyxBy? ? ? Cyx2Dy? ? ? 【解答】解：把点（1，1）分别代入四个选项中的函数表达式，可得，选项 B 不符合 题意； 又函数过第四象限，而 yx2只经过第一、二象限，故选项 C 不符合题意； 对于函数 yx，当 x0 时，y 随 x 的增大而减小，与丙给出的特征不符合，故选项 C 不符合题意 故选：D 7 （3 分）如图，ABC 中，BDAB，BD、AC 相交于点 D，AD? ? ?AC，AB2，ABC 150，则DBC 的面积是（） 第 10页（共 27页） A? ? ? B? ? ? C? ? ? D? ? ? 【解答】解：如图，过点 C 作 BD 的垂
17、线，交 BD 的延长线于点 E， 则E90， BDAB，CEBD， ABCE，ABD90， ABDCED， ? t? ? ? t? ? ? ?， AD? ? ?AC， ? t? ? ? ?， ? t? ? ? t? ? ? ? ? ? ?，则 CE? ? ?， ABC150，ABD90， CBE60， BE? ? ? CE? ? ? ， BD? ? ?BE? ? ? ? ， SBCD? ? ?BDCE? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 故选：A 8 （3 分）如图，正方形 ABCD 内接于O，线段 MN 在对角线 BD 上运动，若O 的面积 为 2，MN1，则AMN 周长的
18、最小值是（） 第 11页（共 27页） A3B4C5D6 【解答】解：O 的面积为 2，则圆的半径为 ?，则 BD2 ? ?AC， 由正方形的性质，知点 C 是点 A 关于 BD 的对称点， 过点 C 作 CABD，且使 CA1， 连接 AA交 BD 于点 N，取 NM1，连接 AM、CM，则点 M、N 为所求点， 理由：ACMN，且 ACMN，则四边形 MCAN 为平行四边形， 则 ANCMAM， 故AMN 的周长AM+AN+MNAA+1 为最小， 则 AA? ? ?3， 则AMN 的周长的最小值为 3+14， 故选：B 二二、填空题填空题（本大题共有本大题共有 8 小题小题，每小题每小题
19、3 分分，共共 24 分分.不需要写出解答过程不需要写出解答过程，请把答案直请把答案直 接填写在答题卡相应位置上）接填写在答题卡相应位置上） 9 （3 分）一组数据 2，1，3，1，2，4 的中位数是2 【解答】解：将这组数据从小到大的顺序排列：1，1，2，2，3，4，处于中间位置的两 个数是 2，2，那么由中位数的定义可知，这组数据的中位数是（2+2）22 故答案为：2 第 12页（共 27页） 10 （3 分）计算： ? ? h?5 【解答】解：原式?h ?5 故答案为：5 11 （3 分）分解因式：9x2+6x+1（3x+1）2 【解答】解：原式（3x+1）2， 故答案为： （3x+1）
20、2 12 （3 分）若关于 x 的方程 x23x+k0 有两个相等的实数根，则 k ? ? 【解答】解：关于 x 的方程 x23x+k0 有两个相等的实数根， （3）241k0， 解得：k? ? ? 故答案为：? ? 13 （3 分）如图，OA、OB 是O 的半径，点 C 在O 上，AOB30，OBC40， 则OAC25 【解答】解：连接 OC， OCOB， OCBOBC40， BOC180402100， AOCBOC+AOB100+30130， 第 13页（共 27页） OCOA， OACOCA? ? ? ?（180AOC）? ? ? ? ? ? ?）25， 故答案为：25 14 （3 分）
21、如图，菱形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O，OEAD，垂足为 E，AC8， BD6，则 OE 的长为 ? h 【解答】解：四边形 ABCD 是菱形， ACBD，AOCO，DOBO， AC8，BD6， AO4，DO3， AD? ? ?5， 又OEAD， ? ? ? ? ? ， ? ? ? h? ? ， 解得 OE? ? h ， 故答案为：? h 15 （3 分）某快餐店销售 A、B 两种快餐，每份利润分别为 12 元、8 元，每天卖出份数分 别为 40 份、80 份该店为了增加利润，准备降低每份 A 种快餐的利润，同时提高每份 B 种快餐的利润售卖时发现，在一定范围内，每份 A 种
22、快餐利润每降 1 元可多卖 2 份， 每份 B 种快餐利润每提高 1 元就少卖 2 份如果这两种快餐每天销售总份数不变，那么 这两种快餐一天的总利润最多是1264元 【解答】解：设每份 A 种快餐降价 a 元，则每天卖出（40+2a）份，每份 B 种快餐提高 b 元，则每天卖出（802b）份， 第 14页（共 27页） 由题意可得，40+2a+802b40+80， 解 ab， 总利润 W（12a） （40+2a）+（8+a） （802a） 4a2+48a+1120 4（a6）2+1264， 40， 当 a6 时，W 取得最大值 1264， 即两种快餐一天的总利润最多为 1264 元 故答案为：
23、1264 16 （3 分） 如图， BE 是ABC 的中线， 点 F 在 BE 上， 延长 AF 交 BC 于点 D 若 BF3FE， 则? ?t ? ? ? 【解答】解：如图，BE 是ABC 的中线， 点 E 是 AC 的中点， ? ?t ? ? ?， 过点 E 作 EGDC 交 AD 于 G， AGEADC，AECC， AGEADC， ? ?t ? ? ?t ? ? ?， DC2GE， BF3FE， ? ? ? ? ?， GEBD， GEFFBD，EGFBDF， 第 15页（共 27页） GFEDFB， ? ? ? ? ? ? ? ?， ?t ? ? ? ?， ? ?t ? ? ?， 故答
24、案为：? ? 三三、解答题解答题（本大题共本大题共 11 小题小题，共共 102 分分.请在答题卡指定区域内作答请在答题卡指定区域内作答，解答时写出必要的解答时写出必要的 文字说明、证明过程或演算步骤）文字说明、证明过程或演算步骤） 17 （6 分）计算： ? ? ?|6|22 【解答】解：原式2+64 4 18 （6 分）解不等式组： ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 【解答】解：解不等式 3x1x+1，得：x1， 解不等式 x+44x2，得：x2， 不等式组的解集为 x2 19 （6 分）解方程：? ? ? ? ? ?1 【解答】解：方程两边同乘（x+1） （x1） ，得 （x+1）
25、24（x+1） （x1） ， 整理得 2x20， 解得 x1 检验：当 x1 时， （x+1） （x1）0， 所以 x1 是增根，应舍去 原方程无解 第 16页（共 27页） 20（8 分） 端午节吃粽子是中华民族的传统习俗 某食品厂为了解市民对去年销量较好的 A、 B、C、D 四种粽子的喜爱情况，在端午节前对某小区居民进行抽样调查（每人只选一种 粽子） ，并将调查情况绘制成两幅尚不完整的统计图 根据以上信息，解答下列问题： （1）补全条形统计图； （2）扇形统计图中，D 种粽子所在扇形的圆心角是108； （3）这个小区有 2500 人，请你估计爱吃 B 种粽子的人数为500 【解答】解： （
26、1）抽样调查的总人数：24040%600（人） ， 喜欢 B 种粽子的人数为：60024060180120（人） ， 补全条形统计图，如图所示； （2）? ? ?100%30%， 36030%108， 故答案为：108； （3）140%10%30%20%， 250020%500（人） ， 故答案为：500 第 17页（共 27页） 21 （10 分）为了参加全市中学生“党史知识竞赛” ，某校准备从甲、乙 2 名女生和丙、丁 2 名男生中任选 2 人代表学校参加比赛 （1）如果已经确定女生甲参加，再从其余的候选人中随机选取 1 人，则女生乙被选中的 概率是 ? ? ； （2）求所选代表恰好为 1
27、 名女生和 1 名男生的概率 【解答】解： （1）已确定甲参加比赛，再从其余 3 名同学中随机选取 1 名有 3 种结果， 其中恰好选中乙的只有 1 种， 恰好选中乙的概率为：? ? 故答案为：? ? （2）画树状图如下图： 共有 12 种等可能的结果数，其中恰好有 1 名女生和 1 名男生的结果数为 8， P（1 女 1 男）? ? ? ? ? ? 所选代表恰好为 1 名女生和 1 名男生的概率是? ? 22 （10 分）如图，点 C 是 BE 的中点，四边形 ABCD 是平行四边形 （1）求证：四边形 ACED 是平行四边形； （2）如果 ABAE，求证：四边形 ACED 是矩形 【解答】
28、解： （1）证明：四边形 ABCD 是平行四边形， ADBC，且 ADBC 第 18页（共 27页） 点 C 是 BE 的中点， BCCE， ADCE， ADCE， 四边形 ACED 是平行四边形； （2）证明：四边形 ABCD 是平行四边形， ABDC， ABAE， DCAE， 四边形 ACED 是平行四边形， 四边形 ACED 是矩形 23 （10 分）为了做好防疫工作，学校准备购进一批消毒液已知 2 瓶 A 型消毒液和 3 瓶 B 型消毒液共需 41 元，5 瓶 A 型消毒液和 2 瓶 B 型消毒液共需 53 元 （1）这两种消毒液的单价各是多少元？ （2）学校准备购进这两种消毒液共 9
29、0 瓶，且 B 型消毒液的数量不少于 A 型消毒液数量 的? ?，请设计出最省钱的购买方案，并求出最少费用 【解答】解： （1）设 A 型消毒液的单价是 x 元，B 型消毒液的单价是 y 元， ? ?b ? ? h? ?b ? h?， 解得 ? ? ? b ? ?， 答：A 型消毒液的单价是 7 元，B 型消毒液的单价是 9 元； （2）设购进 A 型消毒液 a 瓶，则购进 B 型消毒液（90a）瓶，费用为 w 元， 依题意可得：w7a+9（90a）2a+810， w 随 a 的增大而减小， B 型消毒液的数量不少于 A 型消毒液数量的? ?， 90a? ? ?a， 解得 a67? ?， 当
30、x67 时，w 取得最小值，此时 w267+810676，90a23， 答： 最省钱的购买方案是购进 A 型消毒液 67 瓶， 购进 B 型消毒液 23 瓶， 最低费用为 676 第 19页（共 27页） 元 24 （10 分）如图，RtABC 中，ABC90，以点 C 为圆心，CB 为半径作C，D 为 C 上一点，连接 AD、CD，ABAD，AC 平分BAD （1）求证：AD 是C 的切线； （2）延长 AD、BC 相交于点 E，若 SEDC2SABC，求 tanBAC 的值 【解答】解： （1）证明：AC 平分BAD， BACDAC 又ABAD，ACAC， BACDAC（SAS） ， AD
31、CABC90， CDAD， 即 AD 是C 的切线； （2）由（1）可知，EDCABC90， 又EE， EDCEBA SEDC2SABC，且BACDAC， SEDC：SEBA1：2， DC：BA1： ? DCCB， CB：BA1： ? .tanBAC? t? ? ? ? ? 第 20页（共 27页） 25 （10 分）我市的前三岛是众多海钓人的梦想之地小明的爸爸周末去前三岛钓鱼，将鱼 竿 AB 摆成如图 1 所示已知 AB4.8m，鱼竿尾端 A 离岸边 0.4m，即 AD0.4m海面 与地面 AD 平行且相距 1.2m，即 DH1.2m （1）如图 1，在无鱼上钩时，海面上方的鱼线 BC 与海
32、面 HC 的夹角BCH37，海 面下方的鱼线 CO 与海面 HC 垂直，鱼竿 AB 与地面 AD 的夹角BAD22求点 O 到 岸边 DH 的距离； （2）如图 2，在有鱼上钩时，鱼竿与地面的夹角BAD53，此时鱼线被拉直，鱼线 BO5.46m，点 O 恰好位于海面求点 O 到岸边 DH 的距离 （参考数据：sin37cos53? ? h，cos37sin53? ? h，tan37? ? ?，sin22? ? ?， cos22? ?h ?，tan22? ? h） 【解答】解： （1）过点 B 作 BFCH，垂足为 F，延长 AD 交 BF 于 E，则 AEBF，垂 足为 E， 由 cosBAE
33、? ? ?， cos22? ? ?， ?h ? ? ? ?，即 AE4.5m， DEAEAD4.50.44.1（m） ， 由 sinBAE? ? ?， ?th? ? ?， ? ? ? ? ?，即 BE1.8m， BFBE+EF1.8+1.23（m） ， 第 21页（共 27页） 又 ?h?t ? ? t， ?h? ? t，即 CF4m， CHCF+HFCF+DE4+4.18.1（m） ，即 C 到岸边的距离为 8.1m； （2）过点 B 作 BNOH，垂足为 N，延长 AD 交 BN 于点 M，垂足为 M， 由 cosBAM? ? ?， ?h? ?t ?， ? h ? ?t ?， 即 AM2.
34、88m， DMAMAD2.880.42.48（m） ， 由 sinBAM? ?t ?， ?thh? ?t ?， ? h ? ?t ?，即 BM3.84m， BNBM+MN3.84+1.25.04（m） ， ? ? ?h? h? ? ?（m） ， OHON+HNON+DM4.58，即点 O 到岸边的距离为 4.58m 26 （12 分）如图，抛物线 ymx2+（m2+3）x（6m+9）与 x 轴交于点 A、B，与 y 轴交于 点 C，已知 B（3，0） （1）求 m 的值和直线 BC 对应的函数表达式； （2）P 为抛物线上一点，若 SPBCSABC，请直接写出点 P 的坐标； （3）Q 为抛物
35、线上一点，若ACQ45，求点 Q 的坐标 第 22页（共 27页） 【解答】解： （1）将 B（3，0）代入 ymx2+（m2+3）x（6m+9） ，化简得，m2+m0， 则 m0（舍）或 m1， m1， yx2+4x3 C（0，3） ， 设直线 BC 的函数表达式为 ykx+b， 将代入 B（3，0） ，C（0，3） ，可得， ? ?i? r ? ? ? r ，解得， i ? ? r ? ?， 直线 BC 的函数表达式为 yx3 （2）如图，过点 A 作 AP1BC，设直线 AP1交 y 轴于点 G，将直线 BC 向下平移 GC 个 单位，得到直线 P3P4 由（1）得直线 BC 的表达式为
36、 yx3，A（1，0） 第 23页（共 27页） 直线 AG 的表达式为 yx1， 联立 b ? ? ? ? b ? ? ? ?，解得 ? ? ? b ? ，或 ? ? ? b ? ?， P1（2，1） ， 由直线 AG 的表达式可得 G（1，0） ， GC2，CH2， 直线 P3P4的表达式为：yx5， 联立 b ? ? ? h b ? ? ? ?， 解得， ? ? ? ? ? b ? ? ? ? ，或， ? ? ? ? ? b ? ? ? ? ， P2（? ? ? ，? ? ? ） ，P3（? ? ? ，? ? ? ） ， ； 综上可得， 符合题意的点 P 的坐标为： （2，1） ， （?
37、 ? ? ， ? ? ? ） ， （? ? ? ， ? ? ? ） ； （3）如图，取点 Q 使ACQ45，作直线 CQ，过点 A 作 ADCQ 于点 D，过点 D 作 DFx 轴于点 F，过点 C 作 CEDF 于点 E， 则ACD 是等腰直角三角形， ADCD， CDEDAF（AAS） ， AFDE，CEDF 设 DEAFa，则 CEDFa+1， 由 OC3，则 DF3a， a+13a，解得 a1 第 24页（共 27页） D（2，2） ，又 C（0，3） ， 直线 CD 对应的表达式为 y? ? ?x3， 设 Q（n，? ?n3） ，代人 yx 2+4x3， ? ?n3n 2+4n3，整
38、理得 n2? ?n0 又 n0，则 n? ? ? Q（? ?，? h ?） 27 （14 分）在数学兴趣小组活动中，小亮进行数学探究活动 （1）ABC 是边长为 3 的等边三角形，E 是边 AC 上的一点，且 AE1，小亮以 BE 为 边作等边三角形 BEF，如图 1求 CF 的长； （2）ABC 是边长为 3 的等边三角形，E 是边 AC 上的一个动点，小亮以 BE 为边作等 边三角形 BEF，如图 2在点 E 从点 C 到点 A 的运动过程中，求点 F 所经过的路径长； （3）ABC 是边长为 3 的等边三角形，M 是高 CD 上的一个动点，小亮以 BM 为边作等 边三角形 BMN，如图
39、3在点 M 从点 C 到点 D 的运动过程中，求点 N 所经过的路径长； （4）正方形 ABCD 的边长为 3，E 是边 CB 上的一个动点，在点 E 从点 C 到点 B 的运动 过程中，小亮以 B 为顶点作正方形 BFGH，其中点 F、G 都在直线 AE 上，如图 4当点 E 到达点 B 时，点 F、G、H 与点 B 重合则点 H 所经过的路径长为 ? ? ，点 G 所经 过的路径长为 ? ? ? 第 25页（共 27页） 【解答】解： （1）如图，ABC 和BEF 是等边三角形， BABC，BEBF，ABCEBF60， ABE+CBECBF+CBE， ABECBF， ABECBF（SAS）
40、 ， CFAE1； （2）如图 2，连接 CF， 由（1）ABECBF， CFAE，BCFBAE60， ABC60， BCFABC， CFAB， 又点 E 在点 C 处时，CFAC， 点 E 在 A 处时，点 F 与点 C 重合 点 F 运动的路径长AC3 （3）如图 3，取 BC 的中点 H，连接 HN， BH? ? ?BC， BH? ? ?AB， CDAB， 第 26页（共 27页） BD? ? ?AB， BHBD， ABC 和BMN 是等边三角形， BMBN，ABCMBN60， DBM+MBHHBN+MBH， DBMHBN， DBMHBN（SAS） ， HNDM，BHNBDM90， NH
41、BC， 又点 M 在 C 处时，HNCD? ? ? ? ， 点 M 在 D 处时，点 N 与点 H 重合 点 N 所经过的路径的长CD? ? ? ? ； （4）如图，连接 AC，BD，相交于点 O，取 AB 的中点 M，BC 的中点 N，连接 MF，NH， MFBMBN? ? ?AB， 点 F 的运动轨迹为以点 M 为圆心，BM 长为半径的圆上； ABCFBH90， ABCFBCFBHFBC，即ABFCBH， MBFNBH（SAS） ， NHMFBMBN， 点 H 在以点 N 为圆心，BN 长为半径的圆上； 当点 E 在 B 处时，点 F，B，H 重合，点 G 和点 B 重合； 当点 E 在点 C 处时，点 F 和点 O 重合，点 G 与点 C 重合； 点 G 在以点 O 为圆心，OB 长为半径的圆上； 第 27页（共 27页） 点 H 所经过的路径长? ? ? ? ? ? ?； 点 G 所经过的路径长? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 故答案为：? ? ?，? ? ? ?
