1、第 1页（共 38页） 2021 年四川省广元市中考数学试卷年四川省广元市中考数学试卷 一、选择题一、选择题.（每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题意的每小题（每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题意的每小题 3 分，共分，共 30 分分） 1 （3 分）计算|3|（2）的最后结果是（） A1B1C5D5 2 （3 分）下列图形均表示医疗或救援的标识，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是 （） A医疗废物B中国红十字会 C医疗卫生服务机构D国际急救 3 （3 分）下列运算正确的是（） A （a? ? ?） 2a2? ? B （a+3） （a3）a29 C2（3a+1）6a1D （a+b
2、） （a2b）a22b2 4 （3 分）一组数据：1，2，2，3，若添加一个数据 3，则不发生变化的统计量是（） A平均数B中位数C众数D方差 5 （3 分）下列命题中，真命题是（） A2x 1? ? B对角线互相垂直的四边形是菱形 C顺次连接矩形各边中点的四边形是正方形 D已知抛物线 yx24x5，当1x5 时，y0 6 （3 分）观察下列作图痕迹，所作线段 CD 为ABC 的角平分线的是（） 第 2页（共 38页） A B C D 7 （3 分）如图，从一块直径是 2 的圆形铁片上剪出一个圆心角为 90的扇形，将剪下来的 扇形围成一个圆锥那么这个圆锥的底面圆的半径是（） A? ? B ?
3、? C? ? D1 8 （3 分）将二次函数 yx2+2x+3 的图象在 x 轴上方的部分沿 x 轴翻折后，所得新函数的 图象如图所示当直线 yx+b 与新函数的图象恰有 3 个公共点时，b 的值为（） 第 3页（共 38页） A? ? ? 或3B? ? ? 或3C? ? 或3D? ? 或3 9 （3 分）如图，在边长为 2 的正方形 ABCD 中，AE 是以 BC 为直径的半圆的切线，则图 中阴影部分的面积为（） A? ? B2C1D? ? 10 （3 分）如图，在ABC 中，ACB90，ACBC4，点 D 是 BC 边的中点，点 P 是 AC 边上一个动点， 连接 PD， 以 PD 为边在
4、 PD 的下方作等边三角形 PDQ， 连接 CQ 则 CQ 的最小值是（） A ? ? B1C ?D? ? 二、填空题（把正确答案直接写在答题卡对应题目的横线上每小题二、填空题（把正确答案直接写在答题卡对应题目的横线上每小题 4 分，共分，共 24 分）分） 第 4页（共 38页） 11 （4 分）实数 ?的算术平方根是 12 （4 分）中国杂交水稻之父、中国工程院院士、共和国勋章获得者袁隆平于 2021 年 5 月 22 日因病去世，享年 91 岁，袁隆平的去世是中国乃至全世界的重大损失袁隆平一生致 力于水稻杂交技术研究，为提高我国水稻亩产量做出了巨大贡献截至 2021 年， “种三 产四”
5、丰产工程项目累计示范推广面积达 2000 多万亩，增产 20 多亿公斤将 20 亿这个 数据用科学记数法表示为 13 （4 分）如图，实数?， ?，m 在数轴上所对应的点分别为 A，B，C，点 B 关于原 点 O 的对称点为 D若 m 为整数，则 m 的值为 14 （4 分）如图，在 44 的正方形网格图中，已知点 A、B、C、D、O 均在格点上，其中 A 、 B 、 D 又 在 O 上 ， 点 E 是 线 段 CD 与 O 的 交 点 则 BAE 的 正 切 值 为 15 （4 分）如图，点 A（2，2）在反比例函数 y? ? 的图象上，点 M 在 x 轴的正半轴上， 点 N 在 y 轴的负
6、半轴上，且 OMON5点 P（x，y）是线段 MN 上一动点，过点 A 和 P 分别作 x 轴的垂线，垂足为点 D 和 E，连接 OA、OP当 SOADSOPE时，x 的取值 范围是 第 5页（共 38页） 16 （4 分）如图，在正方形 ABCD 中，点 O 是对角线 BD 的中点，点 P 在线段 OD 上，连 接 AP 并延长交 CD 于点 E，过点 P 作 PFAP 交 BC 于点 F，连接 AF、EF，AF 交 BD 于 G，现有以下结论：APPF；DE+BFEF；PBPD?BF；SAEF为定 值；S四边形PEFGSAPG以上结论正确的有（填入正确的序号即可） 三、解答题（三、解答题（
7、96 分）要求写出必要的解答步骤或证明过程分）要求写出必要的解答步骤或证明过程 17 （6 分）解方程：? ? ? ? ? ?4 18 （8 分）先化简，再求值： （ ? ? ? ? ?） ? ?其中 x? ?，y1 19 （8 分）如图，在平行四边形 ABCD 中，E 为 DC 边的中点，连接 AE，若 AE 的延长线 和 BC 的延长线相交于点 F （1）求证：BCCF； （2）连接 AC 和 BE 相交于点为 G，若GEC 的面积为 2，求平行四边形 ABCD 的面积 第 6页（共 38页） 20 （9 分）为增强学生体质，丰富学生课余活动，学校决定添置一批篮球和足球甲、乙 两家商场以相
8、同的价格出售同种品牌的篮球和足球，已知篮球价格为 200 元/个，足球价 格为 150 元/个 （1）若学校计划用不超过 3550 元的总费用购买这款篮球和足球共 20 个，且购买篮球的 数量多于购买足球数量的? ?学校有哪几种购买方案？ （2） 若甲、 乙两商场各自推出不同的优惠方案： 甲商场累计购物超过 500 元后， 超出 500 元的部分按90%收费； 乙商场累计购物超过2000元后， 超出2000元的部分按80%收费 若 学校按（1）中的方案购买，学校到哪家商场购买花费少？ 21 （9 分） “此生无悔入华夏，来世再做中国人！ ”自疫情暴发以来，我国科研团队经过不 懈努力，成功地研发
9、出了多种“新冠”疫苗，并在全国范围内免费接种截止 2021 年 5 月 18 日 16：20，全球接种“新冠”疫苗的比例为 18.29%；中国累计接种 4.2 亿剂，占 全国人口的 29.32%以下是某地甲、乙两家医院 5 月份某天各年龄段接种疫苗人数的频 数分布表和接种总人数的扇形统计图： 甲医院乙医院 年龄段频数频率频数频率 1829 周岁9000.154000.1 3039 周岁a0.2510000.25 4049 周岁2100bc0.225 5059 周岁12000.212000.3 60 周岁以上3000.055000.125 （1）根据上面图表信息，回答下列问题： 填空：a，b，c
10、； 第 7页（共 38页） 在甲、乙两医院当天接种疫苗的所有人员中，4049 周岁年龄段人数在扇形统计图中 所占圆心角为； （2）若 A、B、C 三人都于当天随机到这两家医院接种疫苗，求这三人在同一家医院接 种的概率 22 （10 分）如图，某无人机爱好者在一小区外放飞无人机，当无人机飞行到一定高度 D 点 处时， 无人机测得操控者A的俯角为75， 测得小区楼房BC顶端点C处的俯角为45 已 知操控者 A 和小区楼房 BC 之间的距离为 45 米，小区楼房 BC 的高度为 15 ?米 （1）求此时无人机的高度； （2）在（1）条件下，若无人机保持现有高度沿平行于 AB 的方向，并以 5 米/秒
11、的速度 继续向前匀速飞行问：经过多少秒时，无人机刚好离开了操控者的视线？（假定点 A， B，C，D 都在同一平面内参考数据：tan752?，tan152?计算结果保 留根号） 23 （10 分）如图，直线 ykx+2 与双曲线 y? ?t? 相交于点 A、B，已知点 A 的横坐标为 1 （1）求直线 ykx+2 的解析式及点 B 的坐标； （2）以线段 AB 为斜边在直线 AB 的上方作等腰直角三角形 ABC求经过点 C 的双曲线 第 8页（共 38页） 的解析式 24 （10 分）如图，在 RtABC 中，ACB90，AD 是BAC 的平分线，以 AD 为直径 的O 交 AB 边于点 E，连
12、接 CE，过点 D 作 DFCE，交 AB 于点 F （1）求证：DF 是O 的切线； （2）若 BD5，sinB? ? ?，求线段 DF 的长 25 （12 分）如图 1，在ABC 中，ACB90，ACBC，点 D 是 AB 边上一点（含端点 A、B） ，过点 B 作 BE 垂直于射线 CD，垂足为 E，点 F 在射线 CD 上，且 EFBE，连接 AF、BF 第 9页（共 38页） （1）求证：ABFCBE； （2）如图 2，连接 AE，点 P、M、N 分别为线段 AC、AE、EF 的中点，连接 PM、MN、 PN求PMN 的度数及? ?的值； （3）在（2）的条件下，若 BC?，直接写出
13、PMN 面积的最大值 26 （14 分）如图 1，在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 yax2+bx+c 与 x 轴分别相交于 A、 B 两点，与 y 轴相交于点 C，下表给出了这条抛物线上部分点（x，y）的坐标值： x10123 y03430 （1）求出这条抛物线的解析式及顶点 M 的坐标； （2）PQ 是抛物线对称轴上长为 1 的一条动线段（点 P 在点 Q 上方） ，求 AQ+QP+PC 的 最小值； （3）如图 2，点 D 是第四象限内抛物线上一动点，过点 D 作 DFx 轴，垂足为 F， ABD 的外接圆与 DF 相交于点 E试问：线段 EF 的长是否为定值？如果是，请求出这个 定
14、值；如果不是，请说明理由 第 10页（共 38页） 第 11页（共 38页） 2021 年四川省广元市中考数学试卷年四川省广元市中考数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题一、选择题.（每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题意的每小题（每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题意的每小题 3 分，共分，共 30 分分） 1 （3 分）计算|3|（2）的最后结果是（） A1B1C5D5 【解答】解：|3|（2）3+25 故选：C 2 （3 分）下列图形均表示医疗或救援的标识，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是 （） A医疗废物B中国红十字会 C医疗卫生服务机构D国际急救 【
15、解答】解：A是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意； B是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意； C既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项符合题意； D不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意 故选：C 3 （3 分）下列运算正确的是（） A （a? ? ?） 2a2? ? B （a+3） （a3）a29 C2（3a+1）6a1D （a+b） （a2b）a22b2 【解答】解： （a? ? ?） 2a2a? ?，故选项 A 错误； （a+3） （a3）a29，故选项 B 正确； 2（3a+1）6a2，故选项 C 错误； （a+b） （a2b）a2ab2b2，故
16、选项 D 错误； 第 12页（共 38页） 故选：B 4 （3 分）一组数据：1，2，2，3，若添加一个数据 3，则不发生变化的统计量是（） A平均数B中位数C众数D方差 【解答】解：A、原来数据的平均数是 2，添加数字 3 后平均数为? ? ，故不符合题意； B、原来数据的中位数是 2，添加数字 3 后中位数仍为 2，故符合题意； C、原来数据的众数是 2，添加数字 3 后众数为 2 和 3，故不符合题意； D、原来数据的方差? ? ?（12） 2+2（22）2+（32）2? ?， 添加数字 3 后的方差? ? ?（1? ? ? ）2+2（2? ? ? ）2+2（3? ? ? ）2? ? ?
17、，故方差发生 了变化，故不符合题意； 故选：B 5 （3 分）下列命题中，真命题是（） A2x 1? ? B对角线互相垂直的四边形是菱形 C顺次连接矩形各边中点的四边形是正方形 D已知抛物线 yx24x5，当1x5 时，y0 【解答】解：A、2x 1? ， 选项 A 不符合题意； B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形（菱形的判定定理） ， 选项 B 不符合题意； C、顺次连接矩形各边中点的四边形是菱形，理由如下： 在矩形 ABCD 中，连接 AC、BD，如图： 四边形 ABCD 为矩形， ACBD， AHHD，AEEB， EH 是ABD 的中位线， EH? ? ?BD， 同理，FG? ? ?B
18、D，HG? ? ?AC，EF? ? ?AC， 第 13页（共 38页） EHHGGFFE， 四边形 EFGH 为菱形， 选项 C 不符合题意； D、抛物线 yx24x5 的开口向上，与 x 轴的两个交点为（1，0） 、 （5，0） ， 当1x5 时，y0， 选项 D 符合题意； 故选：D 6 （3 分）观察下列作图痕迹，所作线段 CD 为ABC 的角平分线的是（） A B C 第 14页（共 38页） D 【解答】解：根据基本作图，A、D 选项中为过 C 点作 AB 的垂线，B 选项作 AB 的垂直 平分线得到 AB 边上的中线 CD，C 选项作 CD 平分ACB 故选：C 7 （3 分）如图
19、，从一块直径是 2 的圆形铁片上剪出一个圆心角为 90的扇形，将剪下来的 扇形围成一个圆锥那么这个圆锥的底面圆的半径是（） A? ? B ? ? C? ? D1 【解答】解：O 的直径为 2，则半径是：1， SO12， 连接 BC、AO，根据题意知 BCAO，AOBO1， 在 RtABO 中，AB? ?， 即扇形的对应半径 R?， 弧长 l? ? ? ?t? ? ? ? ?， 设圆锥底面圆半径为 r，则有 2r? ? ? ?， 解得：r? ? ? 故选：B 第 15页（共 38页） 8 （3 分）将二次函数 yx2+2x+3 的图象在 x 轴上方的部分沿 x 轴翻折后，所得新函数的 图象如图所
20、示当直线 yx+b 与新函数的图象恰有 3 个公共点时，b 的值为（） A? ? ? 或3B? ? ? 或3C? ? 或3D? ? 或3 【解答】解：二次函数解析式为 yx2+2x+3（x1）2+4， 抛物线 yx2+2x+3 的顶点坐标为（1，4） ， 当 y0 时，x22x30，解得 x11，x23， 则抛物线 yx2+2x+3 与 x 轴的交点为 A（1，0） ，B（3，0） ， 把抛物线 yx2+2x+3 图象 x 轴上方的部分沿 x 轴翻折到 x 轴下方，则翻折部分的抛物 线解析式为 y（x1）24（1x3） ，顶点坐标 M（1，4） ， 如图，当直线 yx+b 过点 B 时，直线
21、yx+b 与该新图象恰好有三个公共点， 3+b0，解得 b3； 当直线 yx+b 与抛物线 y（x1）24（3x1）相切时，直线 yx+b 与该新图 象恰好有三个公共点， 即（x1）24x+b 有相等的实数解，整理得 x23xb30，324（b3） 0，解得 b? ? ? ， 第 16页（共 38页） 所以 b 的值为3 或? ? ? ， 故选：A 9 （3 分）如图，在边长为 2 的正方形 ABCD 中，AE 是以 BC 为直径的半圆的切线，则图 中阴影部分的面积为（） A? ? B2C1D? ? 【解答】解：假设 AE 与 BC 为直径的半圆切于点 F，则 ABAF， 四边形 ABCD 为
22、正方形， BCD90， EC 与 BC 为直径的半圆相切， ECEF， DE2CE，AE2+CE， 在 RtADE 中，AE2AD2+DE2，即（2+CE）222+（2CE）2， 解得：CE? ? ?， DE2? ? ? ? ? ?， 阴影部分的面积22? ? ? ?12? ? ? ?2 ? ? ? ? ? ， 第 17页（共 38页） 故选：D 10 （3 分）如图，在ABC 中，ACB90，ACBC4，点 D 是 BC 边的中点，点 P 是 AC 边上一个动点， 连接 PD， 以 PD 为边在 PD 的下方作等边三角形 PDQ， 连接 CQ 则 CQ 的最小值是（） A ? ? B1C ?
23、D? ? 【解答】解：如图在 CD 的下方作等边CDT，作射线 TQ CDTQDP60，DPDQ，DCDT， CDPQDT， 在CDP 和TDQ 中， ? ? ? ? ? ? ? ? ? ， CDPTDQ（SAS） ， DCPDTQ90， CTD60， CTQ30， 点 Q 在射线 TQ 上运动（点 T 是定点，CTQ 是定值） ， 第 18页（共 38页） 当 CQTQ 时，CQ 的值最小，最小值CTsin30? ? ?CT? ? ?CD? ? ?BC1， 解法二：如图，CD 的上方，作等边CDM，连接 PM，过点 M 作 MHCB 于 H DPQ，DCM 都是等边三角形， CDMPDQ60
24、， DPDQ，DMDC， DPMDQC（SAS） ， PMCQ， PM 的值最小时，CQ 的值最小， 当 PMMH 时，PM 的值最小最小值CH? ? ?CD1， CQ 的最小值为 1 故选：B 二、填空题（把正确答案直接写在答题卡对应题目的横线上每小题二、填空题（把正确答案直接写在答题卡对应题目的横线上每小题 4 分，共分，共 24 分）分） 11 （4 分）实数 ?的算术平方根是2 【解答】解： ? ? ?， 第 19页（共 38页） 4 的算术平方根是 2， 所以实数 ?的算术平方根是 2 故答案为：2 12 （4 分）中国杂交水稻之父、中国工程院院士、共和国勋章获得者袁隆平于 2021
25、 年 5 月 22 日因病去世，享年 91 岁，袁隆平的去世是中国乃至全世界的重大损失袁隆平一生致 力于水稻杂交技术研究，为提高我国水稻亩产量做出了巨大贡献截至 2021 年， “种三 产四”丰产工程项目累计示范推广面积达 2000 多万亩，增产 20 多亿公斤将 20 亿这个 数据用科学记数法表示为2109 【解答】解：20 亿20000000002109 故答案为：2109 13 （4 分）如图，实数?， ?，m 在数轴上所对应的点分别为 A，B，C，点 B 关于原 点 O 的对称点为 D若 m 为整数，则 m 的值为3 【解答】解：点 B 表示的数是 ?，点 B 关于原点 O 的对称点是
26、点 D， 点 D 表示的数是?， 点 C 在点 A、D 之间， ?m?， 4?3，3?2， ?3?， m 为整数， m 的值为3 答案为：3 14 （4 分）如图，在 44 的正方形网格图中，已知点 A、B、C、D、O 均在格点上，其中 A、B、D 又在O 上，点 E 是线段 CD 与O 的交点则BAE 的正切值为 ? ? 第 20页（共 38页） 【解答】解：由题意可得，BDEBAE， 在 RtBDC 中，DBC90， tanBDC? ? ? ? ? ? ? ? ?， tanBAE? ? ? 故答案为：? ? 15 （4 分）如图，点 A（2，2）在反比例函数 y? ? 的图象上，点 M 在
27、 x 轴的正半轴上， 点 N 在 y 轴的负半轴上，且 OMON5点 P（x，y）是线段 MN 上一动点，过点 A 和 P 分别作 x 轴的垂线，垂足为点 D 和 E，连接 OA、OP当 SOADSOPE时，x 的取值 范围是1x4 【解答】解：过点 B 作 BFON 于 F，连接 OB，过点 C 作 CGOM 于点 G，连接 OC， 如图， 第 21页（共 38页） 点 A（2，2）在反比例函数 y? ? 的图象上， k4 y? ? 点 A（2，2） ， ADOD2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 设 B（a，b） ，则 ab4，OFb，BFa ?h? ? ? ? ?h ? ?h ? ?
28、 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?2 同理：SOCG2 从图中可以看出当点 P 在线段 BC 上时，SOPESOBF， 即当点 P 在线段 BC 上时，满足满足 SOADSOPE OMON5， N（0，5） ，M（5，0） 设直线 MN 的解析式为 ymx+n，则： ? ? ? ? ? ? ? ? ， 解得： ? ? ? ? ? ? 直线 MN 的解析式为 yx5 ? ? ? ? ? ? ? ， 第 22页（共 38页） 解得： ? ? ? ?， ? ? ? ? B（1，4） ，C（4，1） x 的取值范围为 1x4 16 （4 分）如图，在正方形 ABCD 中，点 O 是对
29、角线 BD 的中点，点 P 在线段 OD 上，连 接 AP 并延长交 CD 于点 E，过点 P 作 PFAP 交 BC 于点 F，连接 AF、EF，AF 交 BD 于 G，现有以下结论：APPF；DE+BFEF；PBPD?BF；SAEF为定 值； S四边形PEFGSAPG 以上结论正确的有 （填入正确的序号即可） 【解答】解：取 AF 的中点 T，连接 PT，BT APPF，四边形 ABCD 是正方形， ABFAPF90，ABDCBD45， ATTF， BTATTFPT， A，B，F，P 四点共圆， PAFPBF45， PAFPFA45， PAPF，故正确， 将ADE 绕点 A 顺时针旋转 9
30、0得到ABM， ADEABM90，ABC90， ABC+ABM180， C，B，M 共线， EAF45， MAFFAB+BAMFAB+DAE45， FAEFAM， 第 23页（共 38页） 在FAM 和FAE 中， h? ? h? ?h? ? ?h?h ? ? ?h ， FAMFAE（SAS） ， FMEF， FMBF+BMBF+DE， EFDE+BF，故正确， 连接 PC，过点 P 作 PGCF 于 G，过点 P 作 PWCD 于 W，则四边形 PGCW 是矩形， 在PBA 和 PCB 中， ? ? ? ? ? ? ? ? ? ， PBAPBC（SAS） ， PAPC， PFPA， PFPC
31、， PGCF， FGGC， PB?BG，PD?PW?CG?FG， PBPD?（BGFG）?BF，故正确， AEFAMF， SAEFSAMF? ? ?FMAB， FM 的长度是变化的， AEF 的面积不是定值，故错误， A，B，F，P 四点共圆， APGAFB， AFEAFM， AFEAFB， APGAFE， PAGEAF， 第 24页（共 38页） PAGFAE， ? ?hh ?（? ?h） 2（ ? ?） 2? ?， S四边形PEFGSAPG，故正确， 故答案为： 三、解答题（三、解答题（96 分）要求写出必要的解答步骤或证明过程分）要求写出必要的解答步骤或证明过程 17 （6 分）解方程：
32、? ? ? ? ? ?4 【解答】解：? ? ? ? ? ?4， 3（x3）+2（x1）24， 3x9+2x224， 3x+2x24+9+2， 5x35， x7 18 （8 分）先化简，再求值： （ ? ? ? ? ?） ? ?其中 x? ?，y1 【解答】解： （ ? ? ? ? ?） ? ? ? ? ?x（x+y） ? ? ?x ? ? ?， 当 x?，y1 时，原式? ? ? ? ?4 ? ?4 19 （8 分）如图，在平行四边形 ABCD 中，E 为 DC 边的中点，连接 AE，若 AE 的延长线 和 BC 的延长线相交于点 F 第 25页（共 38页） （1）求证：BCCF； （2）
33、连接 AC 和 BE 相交于点为 G，若GEC 的面积为 2，求平行四边形 ABCD 的面积 【解答】 （1）证明：四边形 ABCD 是平行四边形， ADCB，ADBC， DFCE； E 为 DC 中点， EDEC， 在ADE 与FCE 中， ? ?h?h h? ? h? ?h? ? ?hh? ， ADEFCE（ASA） ， ADCF， BCCF （2）解：四边形 ABCD 是平行四边形， ABCD，ABDC， ABGCEG， ? h? ? ? h?， ? ?h? ? ? ? h? ?， DECE， AB2CE， ? h? ?2，? ?h? ?4， GEC 的面积为 2， SBGC2SCEG4
34、，SABG4SCEG8， SABCSBGC+SABG4+812， 第 26页（共 38页） 平行四边形 ABCD 的面积2SABC24 20 （9 分）为增强学生体质，丰富学生课余活动，学校决定添置一批篮球和足球甲、乙 两家商场以相同的价格出售同种品牌的篮球和足球，已知篮球价格为 200 元/个，足球价 格为 150 元/个 （1）若学校计划用不超过 3550 元的总费用购买这款篮球和足球共 20 个，且购买篮球的 数量多于购买足球数量的? ?学校有哪几种购买方案？ （2） 若甲、 乙两商场各自推出不同的优惠方案： 甲商场累计购物超过 500 元后， 超出 500 元的部分按90%收费； 乙商
35、场累计购物超过2000元后， 超出2000元的部分按80%收费 若 学校按（1）中的方案购买，学校到哪家商场购买花费少？ 【解答】解： （1）设购买篮球 x 个，购买足球（20 x）个，由题意得， ? ? ? ? ? ? ， 解得 8x11， x 取正整数， x9，10，11， 20 x11，10，9， 答：一共有 3 种方案： 方案一：购买篮球 9 个，购买足球 11 个； 方案二：购买篮球 10 个，购买足球 10 个； 方案三：购买篮球 11 个，购买足球 9 个 （2）1当购买篮球 9 个，购买足球 11 个时， 甲商场的费用：500+0.9（2009+15011500）3155 元，
36、 乙商场的费用：2000+0.8（2009+150112000）3160 元， 31553160， 学校到甲商场购买花费少； 2当购买篮球 10 个，购买足球 10 个时， 甲商场的费用：500+0.9（20010+15010500）3200 元， 乙商场的费用：2000+0.8（20010+150102000）3200 元， 32003200， 第 27页（共 38页） 学校到甲商场和乙商场购买花费一样； 3当购买篮球 11 个，购买足球 9 个时， 甲商场的费用：500+0.9（20011+1509500）3245 元， 乙商场的费用：2000+0.8（20011+15092000）324
37、0 元， 32453240， 学校到乙商场购买花费少 21 （9 分） “此生无悔入华夏，来世再做中国人！ ”自疫情暴发以来，我国科研团队经过不 懈努力，成功地研发出了多种“新冠”疫苗，并在全国范围内免费接种截止 2021 年 5 月 18 日 16：20，全球接种“新冠”疫苗的比例为 18.29%；中国累计接种 4.2 亿剂，占 全国人口的 29.32%以下是某地甲、乙两家医院 5 月份某天各年龄段接种疫苗人数的频 数分布表和接种总人数的扇形统计图： 甲医院乙医院 年龄段频数频率频数频率 1829 周岁9000.154000.1 3039 周岁a0.2510000.25 4049 周岁210
38、0bc0.225 5059 周岁12000.212000.3 60 周岁以上3000.055000.125 （1）根据上面图表信息，回答下列问题： 填空：a1500，b0.35，c900； 在甲、乙两医院当天接种疫苗的所有人员中，4049 周岁年龄段人数在扇形统计图中 所占圆心角为108； （2）若 A、B、C 三人都于当天随机到这两家医院接种疫苗，求这三人在同一家医院接 种的概率 第 28页（共 38页） 【解答】解： （1）在甲医院接种人数为：9000.156000（人） ， a60000.251500，b210060000.35， 在乙医院的接种人数为：4000.14000（人） ， c
39、40000.225900， 故答案为：1500，0.35，900； （2）在甲、乙两医院当天接种疫苗的所有人员中，4049 周岁年龄段人数为：2100+900 3000（人） ， 4049 周岁年龄段人数在扇形统计图中所占圆心角为：360 ? ? ?108， 故答案为：108； （3）画树状图如图： 共有 8 种等可能的结果，A、B、C 三人在同一家医院接种的结果有 2 种， 三人在同一家医院接种的概率为? t ? ? ? 22 （10 分）如图，某无人机爱好者在一小区外放飞无人机，当无人机飞行到一定高度 D 点 处时， 无人机测得操控者A的俯角为75， 测得小区楼房BC顶端点C处的俯角为45
40、 已 知操控者 A 和小区楼房 BC 之间的距离为 45 米，小区楼房 BC 的高度为 15 ?米 （1）求此时无人机的高度； （2）在（1）条件下，若无人机保持现有高度沿平行于 AB 的方向，并以 5 米/秒的速度 继续向前匀速飞行问：经过多少秒时，无人机刚好离开了操控者的视线？（假定点 A， 第 29页（共 38页） B，C，D 都在同一平面内参考数据：tan752?，tan152?计算结果保 留根号） 【解答】解： （1）过点 D 作 DEAB 于点 E，过点 C 作 CFDE 于点 F，如图所示： 则四边形 BCFE 是矩形， 由题意得：AB45 米，DAE75，DCF45， 在 Rt
41、ADE 中，AED90， tanDAE? ?h ?h， AE? ?h ? ? ?h ? ?， 四边形 BCFE 是矩形， EFBC15 ?米，FCBE， 在 RtDCF 中，DFC90， CDFDCF45， CFDFDE15 ?， ABAE+BE? ?h ? ? ?DE15 ? ?45， DE15（2?） （米） ， 答：此时无人机的高度为 15（2?）米 （2）DE15（2?）米， AE? ?h ? ? ? ? ? ? ? ?15（米） ， 过 D 点作 DGAB，交 AC 的延长线于 G，作 GHAB 于 H， 在 RtABC 中，ABC90，AB45 米，BC15 ?米， 第 30页（共
42、 38页） tanBAC? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ， 在 RtAGH 中，GHDE15（2?）米， AH? ? ? ? ? ? ? ? ?（30 ? ?45）米， DGEHAHAE（30 ? ?45）15（30 ? ?30）米， （30 ? ?30）5（6 ? ?6） （秒） ， 答：经过（6 ? ?6）秒时，无人机刚好离开了操控者的视线 23 （10 分）如图，直线 ykx+2 与双曲线 y? ?t? 相交于点 A、B，已知点 A 的横坐标为 1 （1）求直线 ykx+2 的解析式及点 B 的坐标； （2）以线段 AB 为斜边在直线 AB 的上方作等腰直角三角形 ABC求经过点
43、 C 的双曲线 的解析式 【解答】解： （1）点 A 在双曲线 y? ?t? 上，且点 A 的横坐标为 1， 第 31页（共 38页） 点 A 的纵坐标为?t? ? ? ? ?， 点 A（1，? ?） ， 点 A（1，? ?）在直线 ykx+2 上， k+2? ? ?， ? ? ? ?， 直线 AB 的解析式为 y? ? ?x+2， 联立直线 AB 和双曲线的解析式得， ? ? ?t? ? ? ? ? ? ? ， 解得， ? ? ? ? ? ? （点 A 的纵横坐标）或 ? ? ? ? ? ? ， B（3，? ?） ； （2）如图，过点 A 作 x 轴的垂线，过点 B 作 y 轴的垂线，两线相
44、交于点 F，过点 C 作 CDAF，交 AF 于 D，过点 C 作 CEBF 于 E， DFCEFCEB90， 四边形 CDFE 是矩形， DCE90， ACB90， ACDBCE， 以线段 AB 为斜边在直线 AB 的上方作等腰直角三角形 ABC， ACBC， ACDBCE（AAS） ， ADBE，CDCE， 设点 C（m，n） ， A（1，? ?） ，B（3， ? ?） ， ADn? ? ?，CDm1，BE3m，CEn? ? ?， 第 32页（共 38页） ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ， ? ? ? ? ? ? ? ， C（? ?，2） ， 设过点 C
45、的双曲线的解析式为 y? ? ， k2 ? ? ?5， 过点 C 的双曲线的解析式为 y? ? 24 （10 分）如图，在 RtABC 中，ACB90，AD 是BAC 的平分线，以 AD 为直径 的O 交 AB 边于点 E，连接 CE，过点 D 作 DFCE，交 AB 于点 F （1）求证：DF 是O 的切线； （2）若 BD5，sinB? ? ?，求线段 DF 的长 【解答】解： （1）证明：AD 是BAC 的平分线， 第 33页（共 38页） BADCAD h? ? ? ? ? ODEC DFCE， ODDF DF 是O 的切线 （2）连接 DE，如图， h? ? ? ? ?， EDDC
46、AD 是O 的直径， DEAE BED90 sinB? ? ?，sinB? ?h ?，BD5， DE3 BE? ?h? ?，DCDE3 BCBD+CD5+38 BB，BEDBCA90， BEDBCA ?h ? ? ? ? ? ?h ? BA2BD10，AC2DE6 AEABBE1046 ADF90，DEAF， 第 34页（共 38页） DEFAED ?h hh ? ?h ?h EF? ?h? ?h ? ? ? ? ? ? FD?hh? ?h? ? ? ? ? ? ? ? 25 （12 分）如图 1，在ABC 中，ACB90，ACBC，点 D 是 AB 边上一点（含端点 A、B） ，过点 B 作
47、 BE 垂直于射线 CD，垂足为 E，点 F 在射线 CD 上，且 EFBE，连接 AF、BF （1）求证：ABFCBE； （2）如图 2，连接 AE，点 P、M、N 分别为线段 AC、AE、EF 的中点，连接 PM、MN、 PN求PMN 的度数及? ?的值； （3）在（2）的条件下，若 BC?，直接写出PMN 面积的最大值 【解答】 （1）证明：如图 1 中， CACB，ACB90，EFEB，BEF90， CBAEBF45，AB?BC，BF?BE， 第 35页（共 38页） CBEABF，? ? ? ?h ?h ?， ABFCBE （2）解：如图 2 中，延长 PM 交 AF 于 T BEC
48、F， CEB90， ABFCBE， CEBAFB90，?h h? ? ? ? ?， AF?EC， EFB45， AFC45， APPC，AMME， PTCF，PM? ? ?EC， AMME，ENNF， MNAF，MN? ? ?AF， 四边形 MNFT 是平行四边形，MN?PM， TMNAFC45， PMN135， ? ? ? （3）解：MN?PM，PMN135，PM? ? ?EC， 第 36页（共 38页） 当 EC 的值最大时，PM 的值最大，此时PMN 的面积最大， 当点 E 与 B 重合时，EC 的值最大，EC 的最大值为 ?， 此时 PM? ? ? ，MN?PM1， PMN 的面积的最
49、大值为? ? ? ? ? ?1 ? ? ? ? ? 26 （14 分）如图 1，在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 yax2+bx+c 与 x 轴分别相交于 A、 B 两点，与 y 轴相交于点 C，下表给出了这条抛物线上部分点（x，y）的坐标值： x10123 y03430 （1）求出这条抛物线的解析式及顶点 M 的坐标； （2）PQ 是抛物线对称轴上长为 1 的一条动线段（点 P 在点 Q 上方） ，求 AQ+QP+PC 的 最小值； （3）如图 2，点 D 是第四象限内抛物线上一动点，过点 D 作 DFx 轴，垂足为 F， ABD 的外接圆与 DF 相交于点 E试问：线段 EF 的长是否
50、为定值？如果是，请求出这个 定值；如果不是，请说明理由 【解答】解： （1）根据表格可得出 A（1，0） ，B（3，0） ，C（0，3） ， 设抛物线解析式为 ya（x+1） （x3） ， 将 C（0，3）代入，得：3a（0+1） （03） ， 解得：a1， y（x+1） （x3）x2+2x+3（x1）2+4， 第 37页（共 38页） 该抛物线解析式为 yx2+2x+3，顶点坐标为 M（1，4） ； （2）如图 1，将点沿 y 轴向下平移 1 个单位得 C（0，2） ，连接 BC交抛物线对称轴 x1 于点 Q， 过点 C 作 CPBC，交对称轴于点 P，连接 AQ， A、B 关于直线 x1
