1、第 1页（共 27页） 2021 年四川省南充市中考数学试卷年四川省南充市中考数学试卷 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 10 个小题，每小题个小题，每小题 4 分，共分，共 40 分）每小题都有代号为分）每小题都有代号为 A、B、C、 D 四个答案选项，其中只有一个是正确的，请根据正确选项的代号填涂答题卡对应位置，四个答案选项，其中只有一个是正确的，请根据正确选项的代号填涂答题卡对应位置， 填涂正确记填涂正确记 4 分，不涂、错涂或多涂记分，不涂、错涂或多涂记 0 分分. 1 （4 分）满足 x3 的最大整数 x 是（） A1B2C3D4 2 （4 分）数轴上表示数 m 和 m+2
2、的点到原点的距离相等，则 m 为（） A2B2C1D1 3 （4 分）如图，点 O 是 ABCD 对角线的交点，EF 过点 O 分别交 AD，BC 于点 E，F， 下列结论成立的是（） AOEOFBAEBFCDOCOCD DCFEDEF 4 （4 分）据统计，某班 7 个学习小组上周参加“青年大学习”的人数分别为：5，5，6，6， 6，7，7下列说法错误的是（） A该组数据的中位数是 6B该组数据的众数是 6 C该组数据的平均数是 6D该组数据的方差是 6 5 （4 分）端午节买粽子，每个肉粽比素粽多 1 元，购买 10 个肉粽和 5 个素粽共用去 70 元， 设每个肉粽 x 元，则可列方程为
3、（） A10 x+5（x1）70B10 x+5（x+1）70 C10（x1）+5x70D10（x+1）+5x70 6 （4 分）下列运算正确的是（） A? ?t ?t ? ? ? B ? ?t ? ? ?t ? ? ? C ? ?t ? ? t ? ? ?t D ? tt? t ? t? ? ? t?t? 7（4 分） 如图， AB 是O 的直径， 弦 CDAB 于点 E， CD2OE， 则BCD 的度数为 （） 第 2页（共 27页） A15B22.5C30D45 8 （4 分）如图，在菱形 ABCD 中，A60，点 E，F 分别在边 AB，BC 上，AEBF 2，DEF 的周长为 3 ?，
4、则 AD 的长为（） A ?B2 ?C ? ?1 D2 ? t1 9 （4 分）已知方程 x22021x+10 的两根分别为 x1，x2，则 x12t ? ? 的值为（） A1B1C2021D2021 10 （4 分）如图，在矩形 ABCD 中，AB15，BC20，把边 AB 沿对角线 BD 平移，点 A， B分别对应点 A，B 给出下列结论： 顺次连接点 A，B，C，D 的图形是平行四边形； 点 C 到它关于直线 AA的对称点的距离为 48； ACBC 的最大值为 15； AC+BC 的最小值为 9 ?t 其中正确结论的个数是（） 第 3页（共 27页） A1 个B2 个C3 个D4 个 二
5、二、填空题填空题（本大题共本大题共 6 个小题个小题，每小题每小题 4 分分，共共 24 分分）请将答案填在答题卡对应的横线请将答案填在答题卡对应的横线 上上. 11 （4 分）如果 x24，则 x 12 （4 分）在2，1，1，2 这四个数中随机取出一个数，其倒数等于本身的概率 是 13 （4 分）如图，点 E 是矩形 ABCD 边 AD 上一点，点 F，G，H 分别是 BE，BC，CE 的 中点，AF3，则 GH 的长为 14 （4 分）若? ?t ?3，则 ? ? ? ? ? ? 15 （4 分）如图，在ABC 中，D 为 BC 上一点，BC?AB3BD，则 AD：AC 的值 为 16
6、（4 分）关于抛物线 yax22x+1（a0） ，给出下列结论： 当 a0 时，抛物线与直线 y2x+2 没有交点； 若抛物线与 x 轴有两个交点，则其中一定有一个交点在点（0，0）与（1，0）之间； 若抛物线的顶点在点（0，0） ， （2，0） ， （0，2）围成的三角形区域内（包括边界） ， 则 a1 其中正确结论的序号是 三三、解答题解答题（本大题共本大题共 9 个小题个小题，共共 86 分分）解答应写出必要的文字说明解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算证明过程或演算 步骤。步骤。 17 （8 分）先化简，再求值： （2x+1） （2x1）（2x3）2，其中 x1 18 （8 分）如
7、图，BAC90，AD 是BAC 内部一条射线，若 ABAC，BEAD 于点 第 4页（共 27页） E，CFAD 于点 F求证：AFBE 19 （8 分）某市体育中考自选项目有乒乓球、篮球和羽毛球，每个考生任选一项作为自选 考试项目 （1）求考生小红和小强自选项目相同的概率； （2） 除自选项目之外， 长跑和掷实心球为必考项目 小红和小强的体育中考各项成绩 （百 分制）的统计图表如下： 考生自选项目长跑掷实心球 小红959095 小强909595 补全条形统计图 如果体育中考按自选项目占 50%、长跑占 30%、掷实心球占 20%计算成绩（百分制） ， 分别计算小红和小强的体育中考成绩 20
8、（10 分）已知关于 x 的一元二次方程 x2（2k+1）x+k2+k0 （1）求证：无论 k 取何值，方程都有两个不相等的实数根 （2）如果方程的两个实数根为 x1，x2，且 k 与? ?都为整数，求 k 所有可能的值 21 （10 分）如图，反比例函数的图象与过点 A（0，1） ，B（4，1）的直线交于点 B 和 C （1）求直线 AB 和反比例函数的解析式； 第 5页（共 27页） （2）已知点 D（1，0） ，直线 CD 与反比例函数图象在第一象限的交点为 E，直接写出 点 E 的坐标，并求BCE 的面积 22 （10 分）如图，A，B 是O 上两点，且 ABOA，连接 OB 并延长到
9、点 C，使 BCOB， 连接 AC （1）求证：AC 是O 的切线； （2）点 D，E 分别是 AC，OA 的中点，DE 所在直线交O 于点 F，G，OA4，求 GF 的长 23 （10 分）超市购进某种苹果，如果进价增加 2 元/千克要用 300 元；如果进价减少 2 元/ 千克，同样数量的苹果只用 200 元 （1）求苹果的进价； （2）如果购进这种苹果不超过 100 千克，就按原价购进；如果购进苹果超过 100 千克， 超过部分购进价格减少 2 元/千克，写出购进苹果的支出 y（元）与购进数量 x（千克）之 间的函数关系式； （3）超市一天购进苹果数量不超过 300 千克，且购进苹果当天
10、全部销售完，据统计，销 售单价 z（元/千克）与一天销售数量 x（千克）的关系为 z?t ? ?x+12在（2）的条件 第 6页（共 27页） 下，要使超市销售苹果利润 w（元）最大，求一天购进苹果数量 （利润销售收入购 进支出） 24 （10 分）如图，点 E 在正方形 ABCD 边 AD 上，点 F 是线段 AB 上的动点（不与点 A 重 合） ，DF 交 AC 于点 G，GHAD 于点 H，AB1，DE? ? ? （1）求 tanACE； （2）设 AFx，GHy，试探究 y 与 x 的函数关系式（写出 x 的取值范围） ； （3）当ADFACE 时，判断 EG 与 AC 的位置关系并说
11、明理由 25 （12 分）如图，已知抛物线 yax2+bx+4（a0）与 x 轴交于点 A（1，0）和 B，与 y 轴交于点 C，对称轴为直线 x? ? ? （1）求抛物线的解析式； （2）如图 1，若点 P 是线段 BC 上的一个动点（不与点 B，C 重合） ，过点 P 作 y 轴的平 行线交抛物线于点 Q，连接 OQ，当线段 PQ 长度最大时，判断四边形 OCPQ 的形状并说 明理由； （3）如图 2，在（2）的条件下，D 是 OC 的中点，过点 Q 的直线与抛物线交于点 E，且 DQE2ODQ在 y 轴上是否存在点 F，得BEF 为等腰三角形？若存在，求点 F 的坐标；若不存在，请说明理
12、由 第 7页（共 27页） 第 8页（共 27页） 2021 年四川省南充市中考数学试卷年四川省南充市中考数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 10 个小题，每小题个小题，每小题 4 分，共分，共 40 分）每小题都有代号为分）每小题都有代号为 A、B、C、 D 四个答案选项，其中只有一个是正确的，请根据正确选项的代号填涂答题卡对应位置，四个答案选项，其中只有一个是正确的，请根据正确选项的代号填涂答题卡对应位置， 填涂正确记填涂正确记 4 分，不涂、错涂或多涂记分，不涂、错涂或多涂记 0 分分. 1 （4 分）满足 x3 的最大整数 x 是（
13、） A1B2C3D4 【解答】解：满足 x3 的最大整数 x 是 3， 故选：C 2 （4 分）数轴上表示数 m 和 m+2 的点到原点的距离相等，则 m 为（） A2B2C1D1 【解答】解：由题意得：|m|m+2|, mm+2 或 m(m+2), m1 故选：C 3 （4 分）如图，点 O 是 ABCD 对角线的交点，EF 过点 O 分别交 AD，BC 于点 E，F， 下列结论成立的是（） AOEOFBAEBFCDOCOCD DCFEDEF 【解答】解： ABCD 的对角线 AC，BD 交于点 O， AOCO，BODO，ADBC， EAOFCO， 在AOE 和COF 中， ?th ?h t
14、h ? h ?th? ? ?h? ， AOECOF（ASA） ， OEOF，AECF，CFEAEF， 第 9页（共 27页） 又DOCBOA， 选项 A 正确，选项 B、C、D 不正确， 故选：A 4 （4 分）据统计，某班 7 个学习小组上周参加“青年大学习”的人数分别为：5，5，6，6， 6，7，7下列说法错误的是（） A该组数据的中位数是 6B该组数据的众数是 6 C该组数据的平均数是 6D该组数据的方差是 6 【解答】解：A、把这些数从小到大排列为：5，5，6，6，6，7，7则中位数是 6，故 本选项说法正确，不符合题意； B、6 出现了 3 次，出现的次数最多， 众数是 6，故本选项
15、说法正确，不符合题意； C、平均数是（5+5+6+6+6+7+7）76，故本选项说法正确，不符合题意； D、方差为：? t ?（56）2+2（56）2+（66）2+（66）2+（66）2+（76）2+ （76）2? ? t，故本选项说法错误，符合题意； 故选：D 5 （4 分）端午节买粽子，每个肉粽比素粽多 1 元，购买 10 个肉粽和 5 个素粽共用去 70 元， 设每个肉粽 x 元，则可列方程为（） A10 x+5（x1）70B10 x+5（x+1）70 C10（x1）+5x70D10（x+1）+5x70 【解答】解：设每个肉粽 x 元，则每个素粽（x1）元， 依题意得：10 x+5(x1
16、)70 故选：A 6 （4 分）下列运算正确的是（） A? ?t ?t ? ? ? B ? ?t ? ? ?t ? ? ? C ? ?t ? ? t ? ? ?t D ? tt? t ? t? ? ? t?t? 【解答】解：? ?t ? ?t ? ? ? ?，故选项 A 错误； ? ?t ? ? ?t ? ? ?t ? ?t ? ? ? ?，故选项 B 错误； 第 10页（共 27页） ? ?t ? ? t ? ? ?t ? ? ?t ? ? ?t，故选项 C 错误； ? tt? t ? t? ? t?t?tt? ?t?tt? ? t?tt? ?t?tt? ? ? t?t?，故选项 D 正确；
17、 故选：D 7（4 分） 如图， AB 是O 的直径， 弦 CDAB 于点 E， CD2OE， 则BCD 的度数为 （） A15B22.5C30D45 【解答】解：AB 是O 的直径，弦 CDAB 于点 E， CD2ED2CE， CD2OE， DEOE， CDAB， DOEODE45， BCD? ? ?DOE22.5 故选：B 8 （4 分）如图，在菱形 ABCD 中，A60，点 E，F 分别在边 AB，BC 上，AEBF 2，DEF 的周长为 3 ?，则 AD 的长为（） A ?B2 ?C ? ?1 D2 ? t1 【解答】解：如图，连结 BD，作 DHAB,垂足为 H， 四边形 ABCD
18、是菱形， ABAD,ADBC, 第 11页（共 27页） A60， ABD 是等边三角形，ABC180A120, ADBD,ABDAADB60, DBCABCABD1206060, AEBF， ADEBDF(SAS)， DEDF,FDBADE， EDFEDB+FDBEDB+ADEADB60, DEF 是等边三角形， DEF 的周长是 3 ?， DE?, 设 AHx,则 HE2x， ADBD,DHAB, ADH? ? ?ADB30, AD2x,DH?x， 在 RtDHE 中，DH+HEDE, （ ?x）+(2x)( ?), 解得：x? ? ? ? (负值舍去） ， AD2x1?， 故选：C 9
19、（4 分）已知方程 x22021x+10 的两根分别为 x1，x2，则 x12t ? ? 的值为（） A1B1C2021D2021 【解答】解:方程 x22021x+10 的两根分别为 x1，x2， x1+x22021,x122021x1+10，x222021x2+10， 第 12页（共 27页） x20, x22021? ? ? ?0, t ? ? ?x22021, t ? ? ? ?t ?, x12t ? ? ?2021x11+2021x220212 2021(x1+x2)1+20212 20212120212 1 故选：B 10 （4 分）如图，在矩形 ABCD 中，AB15，BC20，
20、把边 AB 沿对角线 BD 平移，点 A， B分别对应点 A，B 给出下列结论： 顺次连接点 A，B，C，D 的图形是平行四边形； 点 C 到它关于直线 AA的对称点的距离为 48； ACBC 的最大值为 15； AC+BC 的最小值为 9 ?t 其中正确结论的个数是（） A1 个B2 个C3 个D4 个 【解答】解：如图 1 中，ABAB,ABAB,ABCD,ABCD, ABCD,ABCD, 四边形 ABCD 是平行四边形，故正确， 作点 C 关于直线 AA的对称点 E,连接 CE 交 AA于 T,交 BD 于点 O,则 CE4OC 四边形 ABCD 是矩形， 第 13页（共 27页） BC
21、D90,CDAB15, BD? ? ?25, ? ?BDCO? ? ?BCCD, OC? ? ? ?12, EC48,故正确， ACBCAB, ACBC15, ACBC 的最大值为 15,故正确， 如图 2 中，BCAD, AC+BCAC+AD, 作点 D 关于 AA的对称点 D,连接 DD交 AA于 J,过点 D作 DECD 交 CD 的 延长线于 E,连接 CD交 AA于 A,此时 CB+CA的值最小，最小值CD, 由AJDDAB,可得 ?t t? ? t? ?, ?t ? ? ? ?, DJ12, DD24, 由DEEDAB,可得? ?t ? ?h t? ? ?h ?, ? ? ? ?h
22、 ? ? ? ?, ED? t? ? ,DE? ? ? , CECD+DE15? ? ? ? ?t? ? , CD? ?h? ?t? ? ? ? t? ? ?9 ?t, AC+BC 的最小值为 9 ?t故正确， 故选：D 第 14页（共 27页） 二二、填空题填空题（本大题共本大题共 6 个小题个小题，每小题每小题 4 分分，共共 24 分分）请将答案填在答题卡对应的横线请将答案填在答题卡对应的横线 上上. 11 （4 分）如果 x24，则 x2 【解答】解：x24， 开平方得 x2； 故答案为：2 12 （4 分）在2，1，1，2 这四个数中随机取出一个数，其倒数等于本身的概率是 ? ? 【
23、解答】解：在2，1，1，2 这四个数中，其倒数等于本身的有1 和 1 这两个数， 所以四个数中随机取出一个数，其倒数等于本身的概率是? ? ? ? ?， 故答案为：? ? 13 （4 分）如图，点 E 是矩形 ABCD 边 AD 上一点，点 F，G，H 分别是 BE，BC，CE 的 第 15页（共 27页） 中点，AF3，则 GH 的长为3 【解答】解：在矩形 ABCD 中，BAD90， F 为 BE 的中点，AF3， BE2AF6 G，H 分别为 BC，EC 的中点， GH? ? ?BE3， 故答案为 3 14 （4 分）若? ?t ?3，则 ? ? ? ? ? ? ?t ? 【解答】解：?
24、 ?t ? ?, n2m, ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?4? ?t ? , 故答案为：?t ? 15（4 分） 如图， 在ABC 中， D 为 BC 上一点， BC?AB3BD， 则 AD： AC 的值为 ? ? 【解答】解：BC?AB3BD， ? t? ? t? ? ?， BB， ABCDBA， t t? ? ? t? ?, AD:AC? ? ? , 第 16页（共 27页） 故答案为： ? ? 16 （4 分）关于抛物线 yax22x+1（a0） ，给出下列结论： 当 a0 时，抛物线与直线 y2x+2 没有交点； 若抛物线与 x 轴有两个交点，则其中一定有一
25、个交点在点（0，0）与（1，0）之间； 若抛物线的顶点在点（0，0） ， （2，0） ， （0，2）围成的三角形区域内（包括边界） ， 则 a1 其中正确结论的序号是 【解答】解：由 ? ? ? ? ? ? t?t ? ?,消去 y 得到，ax 24x10, 16+4a,a0, 的值可能大于 0， 抛物线与直线 y2x+2 可能有交点，故错误 抛物线与 x 轴有两个交点, 44a0, a1, 抛物线经过(0,1),且 x1 时，ya10, 抛物线与 x 轴的交点一定在（0,0）与（1,0）之间故正确， 抛物线的顶点在点（0，0） ， （2，0） ， （0，2）围成的三角形区域内（包括边界） ，
26、 t t? ?t 0, a0, 1 ?tt? ?t ?0, 解得，a1,故正确， 故答案为： 三三、解答题解答题（本大题共本大题共 9 个小题个小题，共共 86 分分）解答应写出必要的文字说明解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算证明过程或演算 步骤。步骤。 17 （8 分）先化简，再求值： （2x+1） （2x1）（2x3）2，其中 x1 【解答】解：原式4x21(4x212x+9) 4x214x2+12x9 12x10 第 17页（共 27页） x1, 12x1012(1)1022 故答案为：12x10,22 18 （8 分）如图，BAC90，AD 是BAC 内部一条射线，若 ABAC，
27、BEAD 于点 E，CFAD 于点 F求证：AFBE 【解答】证明：BAC90， BAE+FAC90， BEAD，CFAD， BEAAFC90， BAE+EBA90， EBAFAC, 在ACF 和BAE 中， t? ?t ?t ? ?t t ? ?t , ACFBAE(AAS), AFBE 19 （8 分）某市体育中考自选项目有乒乓球、篮球和羽毛球，每个考生任选一项作为自选 考试项目 （1）求考生小红和小强自选项目相同的概率； （2） 除自选项目之外， 长跑和掷实心球为必考项目 小红和小强的体育中考各项成绩 （百 分制）的统计图表如下： 第 18页（共 27页） 考生自选项目长跑掷实心球 小红
28、959095 小强909595 补全条形统计图 如果体育中考按自选项目占 50%、长跑占 30%、掷实心球占 20%计算成绩（百分制） ， 分别计算小红和小强的体育中考成绩 【解答】解： （1）将乒乓球、篮球和羽毛球分别记作 A、B、C，列表如下： ABC A（A，A）（B，A）（C，A） B（A，B）（B，B）（C，B） C（A，C）（B，C）（C，C） 由表可知共有 9 种等可能结果，其中小红和小强自选项目相同的有 3 种结果， 所以小红和小强自选项目相同的概率为? ? ? ? ?； （2）补全条形统计图如下： 小红的体育中考成绩为 9550%+9030%+9520%93.5（分） ， 小
29、强的体育中考成绩为 9050%+9530%+9520%92.5（分） 第 19页（共 27页） 20 （10 分）已知关于 x 的一元二次方程 x2（2k+1）x+k2+k0 （1）求证：无论 k 取何值，方程都有两个不相等的实数根 （2）如果方程的两个实数根为 x1，x2，且 k 与? ?都为整数，求 k 所有可能的值 【解答】 （1）证明：（2k+1）24（k2+k）10， 无论 k 取何值,方程有两个不相等的实数根 (2)解:x2（2k+1）x+k2+k0，即（xk）x（k+1）0， 解得：xk 或 xk+1 一元二次方程 x2（2k+1）x+k2+k0 的两根为 k,k+1, ? ?
30、? ? ? ? ? ? ? ?或 ? ? ? ? ? ? ? t ? ?, 如果 1? ? ?为整数,则 k 为 1 的约数, k1, 如果 1t ? ?为整数,则 k+1 为 1 的约数, k+11, 则 k 为 0 或2 整数 k 的所有可能的值为1,0 或2 21 （10 分）如图，反比例函数的图象与过点 A（0，1） ，B（4，1）的直线交于点 B 和 C （1）求直线 AB 和反比例函数的解析式； （2）已知点 D（1，0） ，直线 CD 与反比例函数图象在第一象限的交点为 E，直接写出 点 E 的坐标，并求BCE 的面积 【解答】解： （1）设反比例函数解析式为 y? ? ?,直线
31、 AB 解析式为 yax+b, 反比例函数的图象过点 B（4，1）, k414, 第 20页（共 27页） 把点 A（0，1） ，B（4，1）代入 yax+b 得 ?t ? ?t? ? ?, 解得 t ? ? ? ?t ? , 直线 AB 为 y? ? ? ? t ?,反比例函数的解析式为 y? ? ?； (2)解 ? ? ? ? ? t ? ? ? ? ? 得 ? ? ? ? ? ?或 ? ?t ? ? ?t ?, C(2,2), 设直线 CD 为 ymx+n, 把 C(2,2),D(1,0)代入得 t ? ? ?t ? t ? ? ? ? , 解得 ? ? ? ? ? , 直线 CD 为
32、y2x+2, 由 ? ? ? ? ? ? ? ? 得 ? ?t ? ? ?t ?或 ? ? ? ? ? ?, E(1,4), SBCE66t ? ? ? ? ?3t ? ? ? ? ? ? t ? ? ? ? ? ? ? ?t ? 22 （10 分）如图，A，B 是O 上两点，且 ABOA，连接 OB 并延长到点 C，使 BCOB， 连接 AC （1）求证：AC 是O 的切线； （2）点 D，E 分别是 AC，OA 的中点，DE 所在直线交O 于点 F，G，OA4，求 GF 的长 第 21页（共 27页） 【解答】(1)证明:ABOAOB， OAB 是等边三角形 AOBOBAOAB60 BCO
33、B， BCAB， BACC, OBABAC+C60， BACC30 OACOAB+BAC90 OAAC， 点 A 在O 上， AC 是O 的切线； (2)解:如图，连结 OF,过点 O 作 OHGF 于点 H GF2HF，OHEOHF90 点 D,E 分别是 AC，OA 的中点， OEAE? ? ?OA? ? ? ?42,DEOC OEHAOB60,OHOEsinOEH? HF?t h?t ? ? GF2HF2 ? 第 22页（共 27页） 23 （10 分）超市购进某种苹果，如果进价增加 2 元/千克要用 300 元；如果进价减少 2 元/ 千克，同样数量的苹果只用 200 元 （1）求苹果
34、的进价； （2）如果购进这种苹果不超过 100 千克，就按原价购进；如果购进苹果超过 100 千克， 超过部分购进价格减少 2 元/千克，写出购进苹果的支出 y（元）与购进数量 x（千克）之 间的函数关系式； （3）超市一天购进苹果数量不超过 300 千克，且购进苹果当天全部销售完，据统计，销 售单价 z（元/千克）与一天销售数量 x（千克）的关系为 z?t ? ?x+12在（2）的条件 下，要使超市销售苹果利润 w（元）最大，求一天购进苹果数量 （利润销售收入购 进支出） 【解答】(1)解：设苹果的进价为 x 元/千克， 根据题意得：? ? ? ? ?t?， 解得：x10， 经检验 x10
35、是原方程的根，且符合题意， 答：苹果的进价为 10 元/千克 (2)解：当 0 x100 时，y10 x； 当 x100 时，y10100+(x100)(102)8x+200； y? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? (3)解：当 0 x100 时， w(z10)x 第 23页（共 27页） (t ? ? ? ?t ?)x ?t ? ? t ? ? ? ?， 当 x100 时，w 有最大值为 100； 当 100 x300 时， w(z10)100+(z8)(x100) (t ? ? ? ?t ?)100+(t ? ? ? ?t ?)(x100) ?t ? ? ? ? ?t ? ?t ?
36、 ? t ? ? ? ?， 当 x200 时，w 有最大值为 200； 200100， 一天购进苹果数量为 200 千克时，超市销售苹果利润最大为 200 元 答：一天购进苹果数量为 200 千克时，超市销售苹果利润最大 24 （10 分）如图，点 E 在正方形 ABCD 边 AD 上，点 F 是线段 AB 上的动点（不与点 A 重 合） ，DF 交 AC 于点 G，GHAD 于点 H，AB1，DE? ? ? （1）求 tanACE； （2）设 AFx，GHy，试探究 y 与 x 的函数关系式（写出 x 的取值范围） ； （3）当ADFACE 时，判断 EG 与 AC 的位置关系并说明理由 【
37、解答】解:(1)过点 E 作 EMAC 于点 M, 第 24页（共 27页） AMEEMC90, 四边形 ABCD 是边长为 1 的正方形,DE? ? ?, CAD45,AEADDE1t ? ? ? ? ?, EMAMAEsinCAD? ? ? ? ? ? ? ? ? ,AC?, CMACAM? t ? ? ? ? ? ? , tanACE? ?t t ? ? ? ? ? ? ? ? ?； (2)GHAD,ABAD, GHAB, DHGDAF, ? t? ? ? ?t, ? ? ? ?t? ? , yxxy, y? ? ?(0 x1)； (3)当ADFACE 时,EGAC, 理由如下: tan
38、ADFtanACE? ? ?, t? t? ? ? ? ? ? ?, x? ? ?,y? ? ?, HAGH? ? ?, 第 25页（共 27页） EHADDEAH? ? ?, EG? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? , EGEM, 又EMAC, 点 G 与点 M 重合, EGAC 25 （12 分）如图，已知抛物线 yax2+bx+4（a0）与 x 轴交于点 A（1，0）和 B，与 y 轴交于点 C，对称轴为直线 x? ? ? （1）求抛物线的解析式； （2）如图 1，若点 P 是线段 BC 上的一个动点（不与点 B，C 重合） ，过点 P 作 y 轴的平 行线交抛物线于点 Q，连接
39、 OQ，当线段 PQ 长度最大时，判断四边形 OCPQ 的形状并说 明理由； （3）如图 2，在（2）的条件下，D 是 OC 的中点，过点 Q 的直线与抛物线交于点 E，且 DQE2ODQ在 y 轴上是否存在点 F，得BEF 为等腰三角形？若存在，求点 F 的坐标；若不存在，请说明理由 【解答】解： （1）由题意得： t ? ? ? ? ? t ?t ? ? ? ，解得 t ? ? ?t ?， 故抛物线的表达式为 yx25x+4； （2）对于 yx25x+4，令 yx25x+40，解得 x1 或 4，令 x0，则 y4， 故点 B 的坐标为（4,0） ，点 C（0,4） ， 第 26页（共 2
40、7页） 设直线 BC 的表达式为 ykx+t，则 ? ? ? ? ? ? ?，解得 ? ?t ? ? ? ? ， 故直线 BC 的表达式为 yx+4， 设点 P 的坐标为（x，x+4） ，则点 Q 的坐标为（x，x25x+4） ， 则 PQ（x+4）（x25x+4）x2+4x， 10， 故 PQ 有最大值，当 x2 时，PQ 的最大值为 4CO， 此时点 Q 的坐标为（2，2） ； PQCO，PQOC， 故四边形 OCPQ 为平行四边形； （3）D 是 OC 的中点，则点 D（0,2） ， 由点 D、Q 的坐标，同理可得，直线 DQ 的表达式为 y2x2， 过点 Q 作 QHx 轴于点 H，
41、则 QHCO，故AQHODA， 而DQE2ODQ HQAHQE， 则直线 AQ 和直线 QE 关于直线 QH 对称， 故设直线 QE 的表达式为 y2x+r， 将点 Q 的坐标代入上式并解得 r6， 故直线 QE 的表达式为 y2x6， 联立并解得 ? ? ? ? ? ?（不合题意的值已舍去） ， 故点 E 的坐标为（5,4） ， 第 27页（共 27页） 设点 F 的坐标为（0，m） ， 由点 B、E 的坐标得：BE2（54）2+（40）217， 同理可得，当 BEBF 时，即 16+m217，解得 m1； 当 BEEF 时，即 25+（m4）217，方程无解； 当 BFEF 时，即 16+m225+（m4）2，解得 m? ? ? ； 故点 F 的坐标为（0,1）或（0，1）或（0，? ? ）
