1、第 1页（共 27页） 2021 年四川省乐山市中考数学试卷年四川省乐山市中考数学试卷 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 10 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，共分，共 30 分分. 1 （3 分）如果规定收入为正，那么支出为负，收入 2 元记作+2，支出 5 元记作（） A5 元B5 元C3 元D7 元 2 （3 分）在一次心理健康教育活动中，张老师随机抽取了 40 名学生进行了心理健康测试， 并将测试结果按“健康、亚健康、不健康”绘制成下列表格，其中测试结果为“健康” 的频率是（） 类型健康亚健康不健康 数据（人）3271 A32B7C ? ? D? ? 3 （3 分）某种商
2、品 m 千克的售价为 n 元，那么这种商品 8 千克的售价为（） A? ? （元）B ? ?（元） C? ? （元）D ? ?（元） 4 （3 分）如图，已知直线 l1、l2、l3两两相交，且 l1l3，若50，则的度数为（） A120B130C140D150 5 （3 分）如图，已知直线 l1：y2x+4 与坐标轴分别交于 A、B 两点，那么过原点 O 且 将AOB 的面积平分的直线 l2的解析式为（） Ay? ? ?x ByxCy? ? ?x Dy2x 6 （3 分）如图是由 4 个相同的小正方体堆成的物体，将它在水平面内顺时针旋转 90后， 第 2页（共 27页） 其主视图是（） ABC
3、D 7 （3 分）七巧板起源于我国先秦时期，古算书周髀算经中有关于正方形的分割术，经 历代演变而成七巧板，如图 1 所示.19 世纪传到国外，被称为“唐图” （意为“来自中国 的拼图” ） ，图 2 是由边长为 4 的正方形分割制作的七巧板拼摆而成的“叶问蹬”图，则 图中抬起的“腿” （即阴影部分）的面积为（） A3B? ? C2D? ? 8 （3 分）如图，已知点 P 是菱形 ABCD 的对角线 AC 延长线上一点，过点 P 分别作 AD、 DC 延长线的垂线，垂足分别为点 E、F若ABC120，AB2，则 PEPF 的值为 （） A? ? B ?C2D? ? 9 （3 分）如图，已知 OA
4、6，OB8，BC2，P 与 OB、AB 均相切，点 P 是线段 AC 与抛物线 yax2的交点，则 a 的值为（） 第 3页（共 27页） A4B? ? C? ? D5 10 （3 分）如图，直线 l1与反比例函数 y? ? ?（x0）的图象相交于 A、B 两点，线段 AB 的 中点为点 C，过点 C 作 x 轴的垂线，垂足为点 D直线 l2过原点 O 和点 C若直线 l2上 存在点 P（m，n） ，满足APBADB，则 m+n 的值为（） A3?B3 或? ? C3?或 3?D3 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 6 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，共分，共 18 分分. 11
5、 （3 分） （2021）0 12 （3 分）因式分解：4a29 13 （3 分）如图是根据甲、乙两人 5 次射击的成绩（环数）制作的折线统计图你认为谁 的成绩较为稳定？（填“甲”或“乙” ） 14 （3 分）如图，为了测量“四川大渡河峡谷”石碑的高度，佳佳在点 C 处测得石碑顶 A 第 4页（共 27页） 点的仰角为 30，她朝石碑前行 5 米到达点 D 处，又测得石碑顶 A 点的仰角为 60， 那么石碑的高度 AB 的长米 （结果保留根号） 15 （3 分）在 RtABC 中，C90，有一个锐角为 60，AB4若点 P 在直线 AB 上（不与点 A，B 重合） ，且PCB30，则 CP 的
6、长为 16 （3 分）如图，已知点 A（4，3） ，点 B 为直线 y2 上的一动点，点 C（0，n） ，2 n3，ACBC 于点 C，连接 AB若直线 AB 与 x 正半轴所夹的锐角为，那么当 sin 的值最大时，n 的值为 三、本大题共三、本大题共 3 个小题，每小题个小题，每小题 9 分，共分，共 27 分分. 17 （9 分）当 x 取何正整数值时，代数式? ? 与? ? 的值的差大于 1 18 （9 分） 如图 已知 ABDC， AD， AC 与 DB 相交于点 O， 求证： OBCOCB 19 （9 分）已知 ? ? ? ? ? ? ? ?，求 A、B 的值 四、本大题共四、本大题
7、共 3 个小题，每小题个小题，每小题 10 分，共分，共 30 分分. 第 5页（共 27页） 20 （10 分）已知关于 x 的一元二次方程 x2+xm0 （1）若方程有两个不相等的实数根，求 m 的取值范围； （2）二次函数 yx2+xm 的部分图象如图所示，求一元二次方程 x2+xm0 的解 21 （10 分）某中学全校师生听取了“禁毒”宣传报告后，对禁毒人员肃然起敬学校德育 处随后决定在全校 1000 名学生中开展“我为禁毒献爱心”的捐款活动张老师在周五随 机调查了部分学生随身携带零花钱的情况，并将收集的数据进行整理，绘制了如图所示 的条形统计图 （1）求这组数据的平均数和众数； （2
8、）经调查，当学生身上的零花钱多于 15 元时，都愿捐出零花钱的 20%，其余学生不 参加捐款请你估计周五这一天该校可能收到学生自愿捐款多少元？ （3）捐款最多的两人将和另一个学校选出的两人组成一个“禁毒”知识宣讲小组，若从 4 人中随机指定两人担任正、副组长，求这两人来自不同学校的概率 22 （10 分）如图，直线 l 分别交 x 轴、y 轴于 A、B 两点，交反比例函数 y? ? ?（k0）的 图象于 P、Q 两点若 AB2BP，且AOB 的面积为 4 （1）求 k 的值； （2）当点 P 的横坐标为1 时，求POQ 的面积 第 6页（共 27页） 五、本大题共五、本大题共 2 个小题，每小
9、题个小题，每小题 10 分，共分，共 20 分分. 23 （10 分）通过实验研究发现：初中生在数学课上听课注意力指标随上课时间的变化而变 化，上课开始时，学生兴趣激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开始 分散学生注意力指标 y 随时间 x（分钟）变化的函数图象如图所示，当 0 x10 和 10 x20 时，图象是线段；当 20 x45 时，图象是反比例函数的一部分 （1）求点 A 对应的指标值； （2）张老师在一节课上讲解一道数学综合题需要 17 分钟，他能否经过适当的安排，使 学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标都不低于 36？请说明理由 24 （10 分）如图，已知点 C
10、是以 AB 为直径的半圆上一点，D 是 AB 延长线上一点，过点 D 作 BD 的垂线交 AC 的延长线于点 E，连结 CD，且 CDED （1）求证：CD 是O 的切线； （2）若 tanDCE2，BD1，求O 的半径 第 7页（共 27页） 六、本大题共六、本大题共 2 个小题，第个小题，第 25 题题 12 分，第分，第 26 题题 13 分，共分，共 25 分分. 25 （12 分）在等腰ABC 中，ABAC，点 D 是 BC 边上一点（不与点 B、C 重合） ，连结 AD （1）如图 1， 若C60，点 D 关于直线 AB 的对称点为点 E，连结 AE，DE，则BDE ； （2）若C
11、60，将线段 AD 绕点 A 顺时针旋转 60得到线段 AE，连结 BE 在图 2 中补全图形； 探究 CD 与 BE 的数量关系，并证明； （3）如图 3，若? ?晦 ? ? ? ?k，且ADEC试探究 BE、BD、AC 之间满足的数量关 系，并证明 26 （13 分）已知二次函数 yax2+bx+c 的图象开口向上，且经过点 A（0， ? ?） ，B（2，? ? ?） （1）求 b 的值（用含 a 的代数式表示） ； （2）若二次函数 yax2+bx+c 在 1x3 时，y 的最大值为 1，求 a 的值； （3）将线段 AB 向右平移 2 个单位得到线段 AB若线段 AB与抛物线 y ax
12、2+bx+c+4a1 仅有一个交点，求 a 的取值范围 第 8页（共 27页） 2021 年四川省乐山市中考数学试卷年四川省乐山市中考数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 10 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，共分，共 30 分分. 1 （3 分）如果规定收入为正，那么支出为负，收入 2 元记作+2，支出 5 元记作（） A5 元B5 元C3 元D7 元 【解答】解：如果规定收入为正，那么支出为负，收入 2 元记作+2，支出 5 元记作5 元 故选：B 2 （3 分）在一次心理健康教育活动中，张老师随机抽取了 40 名学生进行了心理健康
13、测试， 并将测试结果按“健康、亚健康、不健康”绘制成下列表格，其中测试结果为“健康” 的频率是（） 类型健康亚健康不健康 数据（人）3271 A32B7C ? ? D? ? 【解答】解：抽取了 40 名学生进行了心理健康测试，测试结果为“健康”的有 32 人， 测试结果为“健康”的频率是：? ? ? ? ? 故选：D 3 （3 分）某种商品 m 千克的售价为 n 元，那么这种商品 8 千克的售价为（） A? ? （元）B ? ?（元） C? ? （元）D ? ?（元） 【解答】解：根据题意，得： ? ? ?8? ? ?（元） ， 故选：A 4 （3 分）如图，已知直线 l1、l2、l3两两相交
14、，且 l1l3，若50，则的度数为（） A120B130C140D150 第 9页（共 27页） 【解答】解：如图，根据对顶角相等得：150， l1l3， 290 是三角形的外角， 1+250+90140， 故选：C 5 （3 分）如图，已知直线 l1：y2x+4 与坐标轴分别交于 A、B 两点，那么过原点 O 且 将AOB 的面积平分的直线 l2的解析式为（） Ay? ? ?x ByxCy? ? ?x Dy2x 【解答】解：如图，当 y0，2x+40，解得 x2，则 A（2，0） ； 当 x0，y2x+44，则 B（0，4） ， AB 的中点坐标为（1，2） ， 直线 l2把AOB 面积平分
15、 以 l2经过 AB 的中点； 直线 l2过 AB 的中点， 设直线 l2的解析式为 ykx， 把（1，2）代入得 2k，解得 k2， l2的解析式为 y2x， 故选：D 第 10页（共 27页） 6 （3 分）如图是由 4 个相同的小正方体堆成的物体，将它在水平面内顺时针旋转 90后， 其主视图是（） ABCD 【解答】解：顺时针旋转 90后，从正面看第一列有一层，第二列有两层， 故选：C 7 （3 分）七巧板起源于我国先秦时期，古算书周髀算经中有关于正方形的分割术，经 历代演变而成七巧板，如图 1 所示.19 世纪传到国外，被称为“唐图” （意为“来自中国 的拼图” ） ，图 2 是由边长
16、为 4 的正方形分割制作的七巧板拼摆而成的“叶问蹬”图，则 图中抬起的“腿” （即阴影部分）的面积为（） A3B? ? C2D? ? 【解答】解：由题意，阴影部分的平行四边形的面积212， 阴影部分的三角形的面积? ? ? ?211， 阴影部分的面积2+13， 故选：A 8 （3 分）如图，已知点 P 是菱形 ABCD 的对角线 AC 延长线上一点，过点 P 分别作 AD、 DC 延长线的垂线，垂足分别为点 E、F若ABC120，AB2，则 PEPF 的值为 （） 第 11页（共 27页） A? ? B ?C2D? ? 【解答】解：设 AC 交 BD 于 O，如图： 菱形 ABCD，ABC12
17、0，AB2， BADBCD60，DACDCA30，ADAB2，BDAC， RtAOD 中，OD? ? ?AD1，OA? ? ?， AC2OA2 ?， RtAPE 中，DAC30，PE? ? ?AP， RtCPF 中，PCFDCA30，PF? ? ?CP， PEPF? ? ?AP? ? ?CP? ? ?（APCP）? ? ?AC， PEPF?， 故选：B 9 （3 分）如图，已知 OA6，OB8，BC2，P 与 OB、AB 均相切，点 P 是线段 AC 与抛物线 yax2的交点，则 a 的值为（） A4B? ? C? ? D5 第 12页（共 27页） 【解答】解：设P 与 OB、AB 分别相切
18、于点 M、N，连接 PM、PN， 设圆的半径为 x，则 PNPMx， 由题意知，OCAO6，则直线 BA 与 y 轴的夹角为 45，则 CMMPx， 由点 A、C 的坐标得，直线 AC 的表达式为 yx+6， 则点 P 的坐标为（x，x+6） ， 由点 P、A 的坐标得，PA?（6x） ， 则 AN? ? ? ?， P 与 OB、AB 分别相切于点 M、N，故 BNBMBC+CM2+x， 在 RtABO 中，OA6，OB8，则 AB10BN+AN， 即 10? ? ?2+x，解得 x1， 故点 P 的坐标为（1，5） ， 将点 P 的坐标代入 yax2得 5a， 故选：D 10 （3 分）如图
19、，直线 l1与反比例函数 y? ? ?（x0）的图象相交于 A、B 两点，线段 AB 的 中点为点 C，过点 C 作 x 轴的垂线，垂足为点 D直线 l2过原点 O 和点 C若直线 l2上 存在点 P（m，n） ，满足APBADB，则 m+n 的值为（） A3?B3 或? ? C3?或 3?D3 【解答】解：如图，作ABD 的外接圆J,交直线 l2于 P,连接 AP,PB,则APBADB 第 13页（共 27页） 满足条件。 由题意 A(1,3),B(3,1), ACBC, C(2,2), CDx 轴， D(2,0), AD? ?,AB? ?2 ?,BD? ?, AD2AB2+BD2, ABD
20、 是直角三角形， J 是 AD 的中点，J(? ?, ? ?), 直线 OC 的解析式为 yx, P(m,n), PJJA? ? ? ,OJ? ? ? ? , OP? ? ? ? ? ? ? , m? ? ? ? ? ? , mn? ? ? ? ? ? , m+n3?,此时 P(? ? ? ? ? ,? ? ? ? ? ), 根据对称性可知，点 P 关于点 C 的对称点 P(? ? ? ? ? ,? ? ? ? ? ), m+n3?, 综上所述，m+n 的值为 3?或 3?， 故选：C 第 14页（共 27页） 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 6 个小题，每小题个小题，每小题 3 分
21、，共分，共 18 分分. 11 （3 分） （2021）01 【解答】解： （2021）01 故答案为：1 12 （3 分）因式分解：4a29（2a+3） （2a3） 【解答】解：4a29（2a+3） （2a3） 故答案为： （2a+3） （2a3） 13 （3 分）如图是根据甲、乙两人 5 次射击的成绩（环数）制作的折线统计图你认为谁 的成绩较为稳定？甲（填“甲”或“乙” ） 【 解 答 】 解 ： 甲 的 平 均 成 绩 为 ?甲? ? ? ? 7 ， 乙 的 平 均 成 绩 为 ?乙? ? ? ?7， 甲的方差为 s甲21.2， 乙的方差为 s乙22， s甲2s乙2， 甲的成绩较稳定 故
22、答案为：甲 14 （3 分）如图，为了测量“四川大渡河峡谷”石碑的高度，佳佳在点 C 处测得石碑顶 A 点的仰角为 30，她朝石碑前行 5 米到达点 D 处，又测得石碑顶 A 点的仰角为 60， 那么石碑的高度 AB 的长 ? ? ?米 （结果保留根号） 第 15页（共 27页） 【解答】解：设石碑的高度 AB 的长为 x 米， RtABC 中，BC? ? ? ?x， RtABD 中，BD? ? ? ? ? ?， CD5， BCBD5， 即 ?x? ? ? ?5， 解得 x? ? ? ?， 故答案为：? ? ? 15 （3 分）在 RtABC 中，C90，有一个锐角为 60，AB4若点 P 在
23、直线 AB 上（不与点 A，B 重合） ，且PCB30，则 CP 的长为2 或 ? 【解答】解： （1）当ABC60时，则 BC? ? ?AB2， 当点 P 在线段 AB 上时， PCB30，故 CPAB， 第 16页（共 27页） 则 PCBCcos302 ? ? ?； 当点 P（P）在 AB 的延长线上时， PCB30，ABC60， 则PBC 为的等腰三角形 则 BPBC2， （2）当ABC30时， 同理可得，PC2； 故答案为 2 或 ? 16 （3 分）如图，已知点 A（4，3） ，点 B 为直线 y2 上的一动点，点 C（0，n） ，2 n3，ACBC 于点 C，连接 AB若直线 A
24、B 与 x 正半轴所夹的锐角为，那么当 sin 的值最大时，n 的值为 ? ? 【解答】解：过点 A 作 AMy 轴于点 M，作 ANBN 交于点 N， 直线 y2x 轴，故ABN， 当 sin的值最大时，则 tan? ? ? ? ? ?值最大， 故 BN 最小，即 BG 最大时，tan最大， 第 17页（共 27页） 即当 BG 最大时，sin的值最大， 设 BGy， 则 AM4，GCn+2，CM4n， ACM+MAC90，ACM+BCG90， CAMBCG， tanCAMtanBCG， 晦t ?t ? ? 晦?，即 ? ? ? ? ?， y? ? ?（n3） （n+2） ， ? ? ? 0
25、， 故当 n? ? ?（32）? ? ?时，y 取得最大值， 故 n? ? ?， 故答案为：? ? 三、本大题共三、本大题共 3 个小题，每小题个小题，每小题 9 分，共分，共 27 分分. 17 （9 分）当 x 取何正整数值时，代数式? ? 与? ? 的值的差大于 1 【解答】解：依题意得：? ? ? ? ? 1， 去分母，得：3（x+3）2（2x1）6， 去括号，得：3x+94x+26， 移项，得：3x4x629， 合并同类项，得：x5， 系数化为 1，得：x5 18 （9 分） 如图 已知 ABDC， AD， AC 与 DB 相交于点 O， 求证： OBCOCB 【解答】证明：在AOB
26、 与COD 中， AD，AOBDOC，ABDC， 第 18页（共 27页） AOBCOD（AAS） ， OBOC， OBCOCB 19 （9 分）已知 ? ? ? ? ? ? ? ?，求 A、B 的值 【解答】解： ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， 解得 ? ? ? ? ? ? 四、本大题共四、本大题共 3 个小题，每小题个小题，每小题 10 分，共分，共 30 分分. 20 （10 分）已知关于 x 的一元二次方程 x2+xm0 （1）若方程有两个不相等的实数根，求 m 的取值范围； （2）二次函数 yx2+xm 的部分图象如
27、图所示，求一元二次方程 x2+xm0 的解 【解答】解： （1）一元二次方程 x2+xm0 有两个不相等的实数根， 0，即 1+4m0， m? ? ?； （2）二次函数 yx2+xm 图象的对称轴为直线 x? ? ?， 抛物线与 x 轴两个交点关于直线 x? ? ?对称， 由图可知抛物线与 x 轴一个交点为（1，0） ， 另一个交点为（2，0） ， 一元二次方程 x2+xm0 的解为 x11，x22 21 （10 分）某中学全校师生听取了“禁毒”宣传报告后，对禁毒人员肃然起敬学校德育 处随后决定在全校 1000 名学生中开展“我为禁毒献爱心”的捐款活动张老师在周五随 第 19页（共 27页）
28、机调查了部分学生随身携带零花钱的情况，并将收集的数据进行整理，绘制了如图所示 的条形统计图 （1）求这组数据的平均数和众数； （2）经调查，当学生身上的零花钱多于 15 元时，都愿捐出零花钱的 20%，其余学生不 参加捐款请你估计周五这一天该校可能收到学生自愿捐款多少元？ （3）捐款最多的两人将和另一个学校选出的两人组成一个“禁毒”知识宣讲小组，若从 4 人中随机指定两人担任正、副组长，求这两人来自不同学校的概率 【解答】 解：（1） 这组数据的平均数? ? ? ?20.5 （元） ， 其中 20 元出现的次数最多， 这组数据的众数为 20 元； （2）调查的 20 人中，身上的零花钱多于 1
29、5 元的有 12 人， 估计周五这一天该校可能收到学生自愿捐款为：1000 ? ? ?2020%+1000 ? ? ?25 20%+1000 ? ? ?3020%+1000 ? ? ?4020%3150（元） ； （3）把捐款最多的两人记为 A、B，另一个学校选出的两人记为 C、D， 画树状图如图： 共有 12 种等可能的结果，两人来自不同学校的结果有 8 种， 两人来自不同学校的概率为 ? ? ? ? ? 第 20页（共 27页） 22 （10 分）如图，直线 l 分别交 x 轴、y 轴于 A、B 两点，交反比例函数 y? ? ?（k0）的 图象于 P、Q 两点若 AB2BP，且AOB 的面
30、积为 4 （1）求 k 的值； （2）当点 P 的横坐标为1 时，求POQ 的面积 【解答】解： （1）AB2BP，且AOB 的面积为 4， POB 的面积为 2， 作 PMy 轴于 M, PMOA, PBMABO, ?t ? ?(? ?) 2,即?t ? ? ? ? ? ?, PBM 的面积为 1， SPOM1+23, SPOM? ? ?|k|, |k|6， k0, k6; (2)点 P 的横坐标为1, PM1, PBMABO, ?t ? ? ? ?,即 ? ? ? ? ?, 第 21页（共 27页） OA2, A(2,0), 把 x1 代入 y? ? ?得，y6, P(1,6), 设直线
31、AB 为 ymx+n, 把 P、A 的坐标代入得 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ,解得 ? ? ? ? ? ? , 直线 AB 为 y2x+4, 解 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 得 ? ? ? ? ? ?或 ? ? ? ? ? ? , Q(3,2), SPOQSPOA+SQOA? ? ? ?26? ? ? ? ? ?28 五、本大题共五、本大题共 2 个小题，每小题个小题，每小题 10 分，共分，共 20 分分. 23 （10 分）通过实验研究发现：初中生在数学课上听课注意力指标随上课时间的变化而变 化，上课开始时，学生兴趣激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开始
32、 分散学生注意力指标 y 随时间 x（分钟）变化的函数图象如图所示，当 0 x10 和 10 x20 时，图象是线段；当 20 x45 时，图象是反比例函数的一部分 （1）求点 A 对应的指标值； （2）张老师在一节课上讲解一道数学综合题需要 17 分钟，他能否经过适当的安排，使 学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标都不低于 36？请说明理由 第 22页（共 27页） 【解答】解： （1）设当 20 x45 时，反比例函数的解析式为 y? ? ?，将 C（20，45）代 入得： 45? ? ?，解得 k900， 反比例函数的解析式为 y? ? ? ， 当 x45 时，y? ? ? ?20，
33、D（45，20） ， A（0，20） ，即 A 对应的指标值为 20； （2）设当 0 x10 时，AB 的解析式为 ymx+n，将 A（0，20） 、B（10，45）代入得： ? ? ? ? ? ? ?，解得 ? ? ? ? ? ? ? ， AB 的解析式为 y? ? ?x+20， 当 y36 时，? ?x+2036，解得 x? ? ? ， 由（1）得反比例函数的解析式为 y? ? ? ， 当 y36 时，? ? ?36，解得 x25， ? ? ?x25 时，注意力指标都不低于 36， 而 25? ? ? ? ? ? 17， 张老师能经过适当的安排， 使学生在听这道综合题的讲解时， 注意力指
34、标都不低于 36 24 （10 分）如图，已知点 C 是以 AB 为直径的半圆上一点，D 是 AB 延长线上一点，过点 D 作 BD 的垂线交 AC 的延长线于点 E，连结 CD，且 CDED （1）求证：CD 是O 的切线； 第 23页（共 27页） （2）若 tanDCE2，BD1，求O 的半径 【解答】解： （1）连接 OC，如图： CDDE，OCOA， DCEE，OCAOAC， EDAD， ADE90，OAC+E90， OCA+DCE90， DCO90， OCCD， CD 是O 的切线； （2）连接 BC，如图： CDDE， DCEE， tanDCE2， tanE2， EDAD， 第
35、24页（共 27页） RtEDA 中，? ? ?2， 设O 的半径为 x，则 OAOBx， BD1， AD2x+1， ? ? ?2， EDx? ? ? ?CD， CD 是O 的切线， CD2BDAD， （x? ? ?）21（2x+1） ，解得 x? ? ?或 x? ? ?（舍去） ， O 的半径为? ? 六、本大题共六、本大题共 2 个小题，第个小题，第 25 题题 12 分，第分，第 26 题题 13 分，共分，共 25 分分. 25 （12 分）在等腰ABC 中，ABAC，点 D 是 BC 边上一点（不与点 B、C 重合） ，连结 AD （1）如图 1， 若C60，点 D 关于直线 AB
36、的对称点为点 E，连结 AE，DE，则BDE 30； （2）若C60，将线段 AD 绕点 A 顺时针旋转 60得到线段 AE，连结 BE 在图 2 中补全图形； 探究 CD 与 BE 的数量关系，并证明； （3）如图 3，若? ?晦 ? ? ? ?k，且ADEC试探究 BE、BD、AC 之间满足的数量关 系，并证明 【解答】解： （1）ABAC，C60， 第 25页（共 27页） ABC 是等边三角形， B60， 点 D 关于直线 AB 的对称点为点 E， DEAB， BDE180609030； 故答案为：30； （2）补全图形如下： CDBE，证明如下： ABAC，C60， ABC 是等边三
37、角形， ABAC，BAC60， 线段 AD 绕点 A 顺时针旋转 60得到线段 AE， ADAE，EAD60， BACEAD60， BACBADEADBAD，即EABDAC， 在EAB 和DAC 中， ? ? ?晦 ? ? ?晦 ? ? ? ， EABDAC（SAS） ， CDBE； （3）ACk（BD+BE） ，证明如下： 连接 AE，如图： 第 26页（共 27页） ABAC， CABC， ADEC， ABCADE， ? ?晦 ? ? ?， ABCADE， DAEBAC，? ? ? ?晦 ?， DAEBADBACBAD，即EABDAC， ABAC， AEAD， 在EAB 和DAC 中， ?
38、 ? ?晦 ? ? ?晦 ? ? ? ， EABDAC（SAS） ， CDBE， BCBD+CDBD+BE， 而? ?晦 ? ?晦 ?晦 ?k， ?晦 ? ?k，即 ACk（BD+BE） 26 （13 分）已知二次函数 yax2+bx+c 的图象开口向上，且经过点 A（0， ? ?） ，B（2，? ? ?） （1）求 b 的值（用含 a 的代数式表示） ； （2）若二次函数 yax2+bx+c 在 1x3 时，y 的最大值为 1，求 a 的值； （3）将线段 AB 向右平移 2 个单位得到线段 AB若线段 AB与抛物线 y ax2+bx+c+4a1 仅有一个交点，求 a 的取值范围 第 27页
39、（共 27页） 【解答】解： （1）二次函数 yax2+bx+c 的图象开口向上，经过点 A（0，? ?） ，B（2， ? ? ?） ， ? ? ? ? ? ? ?b? ? ? ? ? , b2a1(a0) (2)二次函数 yax2(2a+1)x? ? ?,a0,在 1x3 时，y 的最大值为 1, x1 时，y1x3 时，y1, 1a(2a+1)? ? ?或 19a3(2a+1)? ? ?, 解得 a? ? ?(舍弃）或 a? ? ? a? ? ? (3)线段 AB 向右平移 2 个单位得到线段 AB, A(2,? ?),B(4,? ? ?) 线段 AB与抛物线 yax2(2a+1)x? ? ? ?4a 仅有一个交点, ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? , 解得，? ? ?a? ? ? 或 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 不等式组无解， ? ? ?a? ? ?
