1、第 1页（共 28页） 2021 年四川省内江市中考数学试卷年四川省内江市中考数学试卷 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 36 分。在每小题给出的四个选项中，只分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的）有一项是符合题目要求的） 1 （3 分）2021 的绝对值是（） A2021B ? ? C2021D? ? ? 2 （3 分）从 2021 年 5 月 26 日在南昌召开的第十二届中国卫星导航年会上获悉，至 2020 年，我国卫星导航产业总值突破 4000 亿元，年均增长 20%以上，其中 4000 亿用科学记 数法表示为
2、（） A0.41012B41010C41011D0.41011 3 （3 分）下列几何体中，其主视图、左视图和俯视图完全相同的是（） AB CD 4 （3 分）某中学七（1）班的 6 位同学在课间体育活动时进行一分钟跳绳比赛，成绩（单 位：个）如下：122，146，134，146，152，121这组数据的众数和中位数分别是（） A152，134B146，146C146，140D152，140 5 （3 分）如图，ABCD，145，235，则3 的度数为（） A55B75C80D105 6 （3 分）下列计算正确的是（） 第 2页（共 28页） Aa2+a3a5B2a3bb2a3 C （2a2）
3、48a8D （ab）2a2b2 7 （3 分）在同一时刻，物体的高度与它在阳光下的影长成正比在某一时刻，有人测得一 高为 1.8m 的竹竿的影长为 3m，某一高楼的影长为 60m，那么这幢高楼的高度是（） A18mB20mC30mD36m 8 （3 分）函数 y? ? l ? ? l?中，自变量 x 的取值范围是（ ） Ax2Bx2 且 x1Cx2Dx2 且 x1 9 （3 分）如图，O 是ABC 的外接圆，BAC60，若O 的半径 OC 为 2，则弦 BC 的长为（） A4B2 ?C3D ? 10 （3 分）某商品经过两次降价，售价由原来的每件 25 元降到每件 16 元，已知两次降价 的百
4、分率相同，则每次降价的百分率为（） A20%B25%C30%D36% 11 （3 分）如图，在边长为 a 的等边ABC 中，分别取ABC 三边的中点 A1，B1，C1，得 A1B1C1；再分别取A1B1C1三边的中点 A2，B2，C2，得A2B2C2；这样依次下去， 经过第 2021 次操作后得A2021B2021C2021，则A2021B2021C2021的面积为（） A ? ? B ? ? C ? ? D ? ? 12 （3 分）如图，菱形 ABCD 的顶点分别在反比例函数 y? ? l 和 y? ? l 的图象上，若BCD 第 3页（共 28页） 60，则? ?的值为（ ） A ?B?
5、? C? ? ? D? ? ? 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.） 13 （5 分）分解因式：3a327ab2 14 （5 分）有背面完全相同，正面分别画有等腰三角形、平行四边形、矩形、菱形、等腰 梯形的卡片 5 张，现正面朝下放置在桌面上，将其混合后，并从中随机抽取一张，则抽 中正面的图形一定是轴对称图形的卡片的概率为 15 （5 分）若关于 x 的一元二次方程 ax2+4x20 有实数根，则 a 的取值范围 为 16 （5 分）如图，矩形 ABCD 中，AB6，BC8，对角线 BD 的垂直平分线 EF 交 AD 于 点
6、E、交 BC 于点 F，则线段 EF 的长为 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 5 小题，共小题，共 44 分。解答应写出必要的文字说明或推演步骤）分。解答应写出必要的文字说明或推演步骤） 17 （7 分）计算：6sin45|1?|? ?（2021）0（? ?） 2 18 （9 分）如图，点 A、D、C、B 在同一条直线上，ACBD，AEBF，AEBF 求证： （1）ADEBCF； 第 4页（共 28页） （2）四边形 DECF 是平行四边形 19 （9 分）某学校为了解全校学生对电视节目（新闻、体育、动画、娱乐、戏曲）的喜爱 情况，从全校学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，并把调查结
7、果绘制成两幅不完整 的统计图 请根据以上信息，解答下列问题 （1）这次被调查的学生共有多少名？ （2）请将条形统计图补充完整； （3）若该校有 3000 名学生，估计全校学生中喜欢体育节目的约有多少名？ （4）该校宣传部需要宣传干事，现决定从喜欢新闻节目的甲、乙、丙、丁四名同学中选 取 2 名，用树状图或列表法求恰好选中甲、乙两位同学的概率 20 （9 分）在一次课外活动中，某数学兴趣小组测量一棵树 CD 的高度如图所示，测得 斜坡 BE 的坡度 i1： 4， 坡底 AE 的长为 8 米， 在 B 处测得树 CD 顶部 D 的仰角为 30， 在 E 处测得树 CD 顶部 D 的仰角为 60，求
8、树高 CD （结果保留根号） 第 5页（共 28页） 21 （10 分）如图，一次函数 yk1x+b 的图象与反比例函数 y? ? l 的图像相交于 A（1，2） 、 B（2，n）两点 （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）根据图象，直接写出满足 k1x+b ? l 的 x 的取值范围； （3）若点 P 在线段 AB 上，且 SAOP：SBOP1：4，求点 P 的坐标 四、填空题（本大题共四、填空题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 6 分，共分，共 24 分分.） 22 （6 分）若实数 x 满足 x2x10，则 x32x2+2021 23（6 分） 已知， 在ABC 中， A
9、45， AB4 ?， BC5， 则ABC 的面积为 24 （6 分）已知非负实数 a，b，c 满足? ? ? ? ? ? ? ? ，设 Sa+2b+3c 的最大值为 m， 最小值为 n，则 ? ?的值为 25 （6 分）如图，矩形 ABCD，AB1，BC2，点 A 在 x 轴正半轴上，点 D 在 y 轴正半轴 上当点 A 在 x 轴上运动时，点 D 也随之在 y 轴上运动，在这个运动过程中，点 C 到原 第 6页（共 28页） 点 O 的最大距离为 五、解答题（本大题共五、解答题（本大题共 3 小题，每小题小题，每小题 12 分，共分，共 36 分分.） 26 （12 分）为迎接“五一”小长假
10、购物高潮，某品牌专卖店准备购进甲、乙两种衬衫，其 中甲、乙两种衬衫的进价和售价如下表： 衬衫价格甲乙 进价（元/ 件） mm10 售价（元/ 件） 260180 若用 3000 元购进甲种衬衫的数量与用 2700 元购进乙种衬衫的数量相同 （1）求甲、乙两种衬衫每件的进价； （2） 要使购进的甲、 乙两种衬衫共 300 件的总利润不少于 34000 元， 且不超过 34700 元， 问该专卖店有几种进货方案； （3）在（2）的条件下，专卖店准备对甲种衬衫进行优惠促销活动，决定对甲种衬衫每 件优惠 a 元（60a80）出售，乙种衬衫售价不变，那么该专卖店要获得最大利润应如 何进货？ 27 （12
11、 分）如图，AB 是O 的直径，C、D 是O 上两点，且?t ? ? ?t ?，过点 D 的直线 DEAC 交 AC 的延长线于点 E，交 AB 的延长线于点 F，连结 AD、OE 交于点 G （1）求证：DE 是O 的切线； （2）若t若 ?若 ? ? ?，O 的半径为 2，求阴影部分的面积； （3）连结 BE，在（2）的条件下，求 BE 的长 第 7页（共 28页） 28 （12 分）如图，抛物线 yax2+bx+c 与 x 轴交于 A（2，0） 、B（6，0）两点，与 y 轴 交于点 C直线 l 与抛物线交于 A、D 两点，与 y 轴交于点 E，点 D 的坐标为（4，3） （1）求抛物线
12、的解析式与直线 l 的解析式； （2）若点 P 是抛物线上的点且在直线 l 上方，连接 PA、PD，求当PAD 面积最大时点 P 的坐标及该面积的最大值； （3）若点 Q 是 y 轴上的点，且ADQ45，求点 Q 的坐标 第 8页（共 28页） 2021 年四川省内江市中考数学试卷年四川省内江市中考数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 36 分。在每小题给出的四个选项中，只分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的）有一项是符合题目要求的） 1 （3 分）2021 的绝对值是（）
13、 A2021B ? ? C2021D? ? ? 【解答】解：2021 的绝对值是 2021， 故选：A 2 （3 分）从 2021 年 5 月 26 日在南昌召开的第十二届中国卫星导航年会上获悉，至 2020 年，我国卫星导航产业总值突破 4000 亿元，年均增长 20%以上，其中 4000 亿用科学记 数法表示为（） A0.41012B41010C41011D0.41011 【解答】解：4000 亿40000000000041011， 故选：C 3 （3 分）下列几何体中，其主视图、左视图和俯视图完全相同的是（） AB CD 【解答】解：A圆柱的主视图和左视图都是矩形，但俯视图是一个圆形，不
14、符合题意； B圆锥的主视图和左视图都是等腰三角形，俯视图是圆（带圆心） ，不符合题意； C长方体的三视图都是长方形，但这些矩形的长与宽不尽相同，不符合题意； D球的三视图都是大小相同的圆，符合题意 故选：D 4 （3 分）某中学七（1）班的 6 位同学在课间体育活动时进行一分钟跳绳比赛，成绩（单 第 9页（共 28页） 位：个）如下：122，146，134，146，152，121这组数据的众数和中位数分别是（） A152，134B146，146C146，140D152，140 【解答】解：146 出现了 2 次，出现的次数最多， 这组数据的众数是 146 个； 把这些数从小到大排列为：121，
15、122，134，146，146，152， 则中位数是? ? ?140（个） 故选：C 5 （3 分）如图，ABCD，145，235，则3 的度数为（） A55B75C80D105 【解答】解：如图， ABCD，145，235， 4145， 34+2， 345+3580 故选：C 6 （3 分）下列计算正确的是（） Aa2+a3a5B2a3bb2a3 C （2a2）48a8D （ab）2a2b2 【解答】解：A、a2与 a3不是同类项，故 A 不符合题意 B、原式2a3，故 B 符合题意 第 10页（共 28页） C、原式16a8，故 C 不符合题意 D、原式a2+2ab+b2，故 D 不符合题
16、意 故选：B 7 （3 分）在同一时刻，物体的高度与它在阳光下的影长成正比在某一时刻，有人测得一 高为 1.8m 的竹竿的影长为 3m，某一高楼的影长为 60m，那么这幢高楼的高度是（） A18mB20mC30mD36m 【解答】解：设这幢高楼的高度为 x 米，依题意得：?t? ? ? l ?， 解得：x36 故这幢高楼的高度为 36 米 故选：D 8 （3 分）函数 y? ? l ? ? l?中，自变量 x 的取值范围是（ ） Ax2Bx2 且 x1Cx2Dx2 且 x1 【解答】解：由题意得：2x0，x+10， 解得：x2 且 x1， 故选：B 9 （3 分）如图，O 是ABC 的外接圆，
17、BAC60，若O 的半径 OC 为 2，则弦 BC 的长为（） A4B2 ?C3D ? 【解答】解：过点 O 作 OMBC，交 BC 于点 M， O 是ABC 的外接圆，BAC60， 第 11页（共 28页） BOC2BAC120， 又OBOC，OMBC， COM? ? ?BOC60，MBMC， 在 RtCOM 中，OCM30， OM? ? ?OC1，CM? ?OM?， BC2CM2 ?， 故选：B 10 （3 分）某商品经过两次降价，售价由原来的每件 25 元降到每件 16 元，已知两次降价 的百分率相同，则每次降价的百分率为（） A20%B25%C30%D36% 【解答】解：设每次降价的百
18、分率为 x， 依题意得：25（1x）216， 解得：x10.220%，x21.8（不合题意，舍去） 故选：A 11 （3 分）如图，在边长为 a 的等边ABC 中，分别取ABC 三边的中点 A1，B1，C1，得 A1B1C1；再分别取A1B1C1三边的中点 A2，B2，C2，得A2B2C2；这样依次下去， 经过第 2021 次操作后得A2021B2021C2021，则A2021B2021C2021的面积为（） A ? ? B ? ? C ? ? D ? ? 【解答】解：点 A1，B1分别为 BC，AC 的中点， AB2A1B1， 点 A2，B2分别为 B1C1，A2C2的中点， A1B12A2
19、B2， A2B2（? ?） 2a， 第 12页（共 28页） AnBn（? ?） na， A2021B2021（? ?） 2021a A2021B2021C2021的面积? ? ? （? ?） 2021a2? ? ?， 故选：D 12 （3 分）如图，菱形 ABCD 的顶点分别在反比例函数 y? ? l 和 y? ? l 的图象上，若BCD 60，则? ?的值为（ ） A ?B? ? C? ? ? D? ? ? 【解答】解：连接 AC、BD， 四边形 ABCD 是菱形， ACBD， 菱形 ABCD 的顶点分别在反比例函数 y? ? l 和 y? ? l 的图象上， A 与 C、B 与 D 关于
20、原点对称， AC、BD 经过点 O， BOC90， BCO? ? ?BCD30， tan30? ? ? ? ? ? ， 第 13页（共 28页） 作 BMx 轴于 M，CNx 轴于 N， BOM+NOC90NOC+NCO， BOMNCO， OMBCNO90， OMBCNO， ?h ? ?（? ?） 2， ? ? ? ? ? ? ?， ? ? ? ? ?， 故选：D 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.） 13 （5 分）分解因式：3a327ab23a（a+3b） （a3b） 【解答】解：原式3a（a29b2） 3a（a+3b）
21、（a3b） ， 故答案为：3a（a+3b） （a3b） 14 （5 分）有背面完全相同，正面分别画有等腰三角形、平行四边形、矩形、菱形、等腰 梯形的卡片 5 张，现正面朝下放置在桌面上，将其混合后，并从中随机抽取一张，则抽 中正面的图形一定是轴对称图形的卡片的概率为 ? ? 【解答】解：卡片中，轴对称图形有等腰三角形、矩形、菱形、等腰梯形， 第 14页（共 28页） 根据概率公式，P（轴对称图形）? ? ? 故答案为? ? 15 （5 分）若关于 x 的一元二次方程 ax2+4x20 有实数根，则 a 的取值范围为a2 且 a0 【解答】解：根据题意得 a0 且424a（2）0， 解得 a2
22、且 a0 故答案为 a2 且 a0 16 （5 分）如图，矩形 ABCD 中，AB6，BC8，对角线 BD 的垂直平分线 EF 交 AD 于 点 E、交 BC 于点 F，则线段 EF 的长为 ? ? 【解答】解：四边形 ABCD 是矩形， A90，又 AB6，ADBC8， BD? ?t?10， EF 是 BD 的垂直平分线， OBOD5，BOF90，又C90， BOFBCD， ?t ?t ? ? ?， ?t ? ? ? ?， 解得，OF? ? ? ， 四边形 ABCD 是矩形， ADBC，A90， EDOFBO， EF 是 BD 的垂直平分线， BODO，EFBD， 在DEO 和BFO 中，
23、第 15页（共 28页） ?t? ?t? ? ? t? ?t ? ?t? ， DEOBFO（ASA） ， OEOF， EF2OF? ? ? 故答案为：? ? 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 5 小题，共小题，共 44 分。解答应写出必要的文字说明或推演步骤）分。解答应写出必要的文字说明或推演步骤） 17 （7 分）计算：6sin45|1?|? ?（2021）0（? ?） 2 【解答】解：原式6 ? ? ?（ ? ?1）2 ? ?14 3 ? ? ?12 ? ?4 3 18 （9 分）如图，点 A、D、C、B 在同一条直线上，ACBD，AEBF，AEBF 求证： （1）ADEBCF；
24、（2）四边形 DECF 是平行四边形 【解答】证明： （1）ACBD， ACCDBDCD， 即 ADBC， 第 16页（共 28页） AEBF， AB， 在ADE 与BCF 中， ?t ? ? ? ? ? ? ? ?t ， ADEBCF（SAS） ； （2）由（1）得：ADEBCF， DECF，ADEBCF， EDCFCD， DECF， 四边形 DECF 是平行四边形 19 （9 分）某学校为了解全校学生对电视节目（新闻、体育、动画、娱乐、戏曲）的喜爱 情况，从全校学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，并把调查结果绘制成两幅不完整 的统计图 请根据以上信息，解答下列问题 （1）这次被调查的学生共
25、有多少名？ （2）请将条形统计图补充完整； （3）若该校有 3000 名学生，估计全校学生中喜欢体育节目的约有多少名？ （4）该校宣传部需要宣传干事，现决定从喜欢新闻节目的甲、乙、丙、丁四名同学中选 取 2 名，用树状图或列表法求恰好选中甲、乙两位同学的概率 【解答】解： （1）这次被调查的学生人数为 1530%50（名） ； （2）喜爱“体育”的人数为 50（4+15+18+3）10（名） ， 补全图形如下： 第 17页（共 28页） （3）估计全校学生中喜欢体育节目的约有 3000 ? ? ?600（名） ； （4）列表如下： 甲乙丙丁 甲（乙，甲）（丙，甲）（丁，甲） 乙（甲，乙）（丙，
26、乙）（丁，乙） 丙（甲，丙）（乙，丙）（丁，丙） 丁（甲，丁）（乙，丁）（丙，丁） 所有等可能的结果为 12 种，恰好选中甲、乙两位同学的有 2 种结果， 所以恰好选中甲、乙两位同学的概率为 ? ? ? ? ? 20 （9 分）在一次课外活动中，某数学兴趣小组测量一棵树 CD 的高度如图所示，测得 斜坡 BE 的坡度 i1： 4， 坡底 AE 的长为 8 米， 在 B 处测得树 CD 顶部 D 的仰角为 30， 在 E 处测得树 CD 顶部 D 的仰角为 60，求树高 CD （结果保留根号） 【解答】解：作 BFCD 于点 F，设 DFx 米， 第 18页（共 28页） 在 RtDBF 中，t
27、anDBF? tt ?t， 则 BF? tt ? ?x（米） ， 在直角DCE 中，DCx+CF（2+x）米， 在直角DCE 中，tanDEC? t? ?， EC? ? ? （x+2）米 BFCEAE，即 ?x? ? ? （x+2）8 解得：x4 ? ?1， 则 CD4 ? ?1+2（4 ? ?3）米 答：CD 的高度是（4 ? ?3）米 21 （10 分）如图，一次函数 yk1x+b 的图象与反比例函数 y? ? l 的图像相交于 A（1，2） 、 B（2，n）两点 （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）根据图象，直接写出满足 k1x+b ? l 的 x 的取值范围； （3）若点 P
28、 在线段 AB 上，且 SAOP：SBOP1：4，求点 P 的坐标 第 19页（共 28页） 【解答】解： （1）反比例函数 y? ? l 经过 A（1，2） ， k2122， 反比例函数解析式为 y? ? l， B（2，n）在比例函数 y? ? l的图象上， n? ? ? ?1， B（2，1） ， 直线 yk1x+b 经过 A（1，2） ，B（2，1） ， ? ? ? ? ? ? ? ? ?，解得 ? ? ? ? ? ， 一次函数的解析式为 yx+1； （2）观察图象，k1x+b ? l 的 x 的取值范围是2x0 或 x1； （3）设 P（x，x+1） ， SAOP：SBOP1：4， AP
29、：PB1：4， 即 PB4PA， （x+2）2+（x+1+1）216（x1）2+（x+12）2， 解得 x1? ? ?，x22（舍去） ， P 点坐标为（? ?， ? ?） 第 20页（共 28页） 四、填空题（本大题共四、填空题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 6 分，共分，共 24 分分.） 22 （6 分）若实数 x 满足 x2x10，则 x32x2+20212020 【解答】解法一：x2x10， x2x+1，x2x1， x32x2+2021 xx22x2+2021 x（x+1）2x2+2021 x2+x2x2+2021 x2+x+2021 1+2021 2020 解法二：x2x
30、10， x2x+1，x2x1， 原式x2（x2）+2021 （x+1） （x2）+2021 xx2+2021 12+2021 2020， 故答案为 2020 23 （6 分）已知，在ABC 中，A45，AB4 ?，BC5，则ABC 的面积为2 或 14 【解答】解：过点 B 作 AC 边的高 BD， RtABD 中，A45，AB4 ?， BDAD4， 在 RtBDC 中，BC4， CD? ?5， ABC 是钝角三角形时， ACADCD1， SABC? ? ?ACBD? ? ? ? ? ? ? ?2； 第 21页（共 28页） ABC 是锐角三角形时， ACAD+CD7， SABC? ? ?AC
31、BD? ? ? ?7414， 故答案为：2 或 14 24 （6 分）已知非负实数 a，b，c 满足? ? ? ? ? ? ? ? ，设 Sa+2b+3c 的最大值为 m， 最小值为 n，则 ? ?的值为 ? ? 【解答】解：设? ? ? ? ? ? ? ? ?k，则 a2k+1，b3k+2，c34k， Sa+2b+3c2k+1+2（3k+2）+3（34k）4k+14 a，b，c 为非负实数， ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ， 解得：? ? ? ?k? ? ? 当 k? ? ?时，S 取最大值，当 k? ? ?时，S 取最小值 m4（? ? ?）+1416， n4 ? ?
32、 ?1411 ? ? ? ? ? 故答案为：? ? 25 （6 分）如图，矩形 ABCD，AB1，BC2，点 A 在 x 轴正半轴上，点 D 在 y 轴正半轴 上当点 A 在 x 轴上运动时，点 D 也随之在 y 轴上运动，在这个运动过程中，点 C 到原 点 O 的最大距离为? ?1 第 22页（共 28页） 【解答】解：如图，取 AD 的中点 H，连接 CH，OH， 矩形 ABCD，AB1，BC2， CDAB1，ADBC2， 点 H 是 AD 的中点， AHDH1， CH?t? ? ?t? ? ? ? ?， AOD90，点 H 是 AD 的中点， OH? ? ?AD1， 在OCH 中，COO
33、H+CH， 当点 H 在 OC 上时，COOH+CH， CO 的最大值为 OH+CH? ?1， 故答案为： ? ?1 五、解答题（本大题共五、解答题（本大题共 3 小题，每小题小题，每小题 12 分，共分，共 36 分分.） 26 （12 分）为迎接“五一”小长假购物高潮，某品牌专卖店准备购进甲、乙两种衬衫，其 中甲、乙两种衬衫的进价和售价如下表： 衬衫价格甲乙 进价（元/mm10 第 23页（共 28页） 件） 售价（元/ 件） 260180 若用 3000 元购进甲种衬衫的数量与用 2700 元购进乙种衬衫的数量相同 （1）求甲、乙两种衬衫每件的进价； （2） 要使购进的甲、 乙两种衬衫共
34、 300 件的总利润不少于 34000 元， 且不超过 34700 元， 问该专卖店有几种进货方案； （3）在（2）的条件下，专卖店准备对甲种衬衫进行优惠促销活动，决定对甲种衬衫每 件优惠 a 元（60a80）出售，乙种衬衫售价不变，那么该专卖店要获得最大利润应如 何进货？ 【解答】解： （1）依题意得：? ? ? ? ?， 整理，得：3000（m10）2700m， 解得：m100， 经检验，m100 是原方程的根， 答：甲种衬衫每件进价 100 元，乙种衬衫每件进价 90 元； （2）设购进甲种衬衫 x 件，乙种衬衫（300 x）件， 根据题意得： ? ?l? ? ? ? l ? ? ? ?
35、l? ? ? ? l ? ?， 解得：100 x110， x 为整数，110100+111， 答：共有 11 种进货方案； （3）设总利润为 w，则 w（260100a）x+（18090） （300 x）（70a）x+27000（100 x110） ， 当 60a70 时，70a0，w 随 x 的增大而增大， 当 x110 时，w 最大， 此时应购进甲种衬衫 110 件，乙种衬衫 190 件； 当 a70 时，70a0，w27000， （2）中所有方案获利都一样，但不满足总利润不少于 34000 元，且不超过 34700 元， 当 70a80 时，70a0，w 随 x 的增大而减小， 当 x1
36、00 时，w 最大， 第 24页（共 28页） 此时应购进甲种衬衫 100 件，乙种衬衫 200 件 综上：当 60a70 时，应购进甲种衬衫 110 件，乙种衬衫 190 件；当 70a80 时， 购进甲种衬衫 100 件，乙种衬衫 200 件 27 （12 分）如图，AB 是O 的直径，C、D 是O 上两点，且?t ? ? ?t ?，过点 D 的直线 DEAC 交 AC 的延长线于点 E，交 AB 的延长线于点 F，连结 AD、OE 交于点 G （1）求证：DE 是O 的切线； （2）若t若 ?若 ? ? ?，O 的半径为 2，求阴影部分的面积； （3）连结 BE，在（2）的条件下，求 B
37、E 的长 【解答】 （1）证明：如图，连接 OD， ?t ? ? ?t ?， CADDAB， OAOD， DABODA， CADODA， ODAE， DEAC， ODDE， 第 25页（共 28页） OD 是O 的半径， DE 是O 的切线； （2）解：ODAE， OGDEGA， t若 ?若 ? ?t ?， t若 ?若 ? ? ?，O 的半径为 2， ? ? ? ? ?， AE3， 如图，连接 BD， AB 是O 的直径，DEAE， AEDADB90， CADDAB， AEDADB， ? ?t ? ?t ?， 即 ? ?t ? ?t ? ， AD2 ?， 在 RtADB 中，cosDAB? ?
38、t ? ? ? ? ， DAB30， EAF60，DOB60， F30， OD2， 第 26页（共 28页） DF? ? ? ? ? ? ? ?2 ?， S阴影SDOFS扇形DOB? ? ? ?22 ? ? ? ? ?2 ? ? ? ? ； （3）如图，过点 E 作 EMAB 于点 M，连接 BE， 在 RtAEM 中，AMAEcos603 ? ? ? ? ?，EMAEsin60? ? ? ? ， MBABAM4? ? ? ? ? ?， BE?h? h? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 28 （12 分）如图，抛物线 yax2+bx+c 与 x 轴交于 A（2，0） 、B（6，0）两点，与
39、 y 轴 交于点 C直线 l 与抛物线交于 A、D 两点，与 y 轴交于点 E，点 D 的坐标为（4，3） （1）求抛物线的解析式与直线 l 的解析式； （2）若点 P 是抛物线上的点且在直线 l 上方，连接 PA、PD，求当PAD 面积最大时点 P 的坐标及该面积的最大值； （3）若点 Q 是 y 轴上的点，且ADQ45，求点 Q 的坐标 【解答】解： （1）抛物线 yax2+bx+c 与 x 轴交于 A（2，0） 、B（6，0）两点， 设抛物线的解析式为 ya（x+2） （x6） ， D（4，3）在抛物线上， 3a（4+2）（46） ， 第 27页（共 28页） 解得 a? ? ?， 抛物
40、线的解析式为 y? ? ?（x+2） （x6）? ? ?x 2+x+3， 直线 l 经过 A（2，0） 、D（4，3） ， 设直线 l 的解析式为 ykx+m（k0） ， 则 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ， 解得， ? ? ? ? ? ? ? ， 直线 l 的解析式为 y? ? ?x+1； （2） 如图 1 中， 过点 P 作 PEy 轴交 AD 于点 E 设 P （m， ? ? ?m 2+m+3） ， 则 E （m， ? ?m+1） SPAD? ? ?（xDxA）PE3PE， PE 的值最大值时，PAD 的面积最大， PE? ? ?m 2+m+3? ?m1? ? ?m 2? ?m+2
41、? ? ?（m1） 2? ?， ? ? ? 0， m1 时，PE 的值最大，最大值为 ?，此时PAD 的面积的最大值为 ? ? ，P（1，? ? ） （3）如图 2 中，将线段 AD 绕点 A 逆时针旋转 90得到 AT，则 T（5，6） ， 第 28页（共 28页） 设 DT 交 y 轴于点 Q，则ADQ45， D（4，3） ， 直线 DT 的解析式为 y? ? ?x? ? ? ， Q（0，? ? ） ， 作点 T 关于 AD 的对称点 T（1，6） ， 则直线 DT的解析式为 y3x9， 设 DQ交 y 轴于点 Q，则ADQ45， Q（0，9） ， 综上所述，满足条件的点 Q 的坐标为（0，? ? ）或（0，9）
