1、（四）相似三角形（四）相似三角形（2 2）XXXXXX学校：学校：XXXXXX日期：日期：XXXXXXXX年年XXXX月月XXXX日日目录CONTENTS要点 考点聚焦相似三角形的性质基本图形的形成、变化及发展过程 练习题解析12345提高拓展训练（选用）1要点 考点聚焦 要点、考点聚焦要点、考点聚焦（1 1）相似三角形的定义。）相似三角形的定义。（2 2）预备定理）预备定理. .（3 3）判定）判定1 1：两角对应相等的两个三角形相似：两角对应相等的两个三角形相似. .（4 4）判定）判定2 2：两边对应成比例且夹角相等，两个三角：两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似形相似. .（5 5
2、）判定）判定3 3：三边对应成比例的两个三角形相似。：三边对应成比例的两个三角形相似。（6 6）相似形的传递性。）相似形的传递性。（7 7）如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另）如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似么这两个直角三角形相似. .相似三角形的判定方法：相似三角形的判定方法：2相似三角形的性质相似三角形的性质相似三角形的性质：定义定义: :相似三角形对应角相等，对应边成比例相似三角形对应角相等，对应边成比例. .相似三角形性质定理相似三角形性质定理: : 相似三角
3、形对应角平分线之比、对应中线之比、相似三角形对应角平分线之比、对应中线之比、对应高之比都等于相似比对应高之比都等于相似比. .相似三角形性质定理相似三角形性质定理: :相似三角形周长之比等于相似比相似三角形周长之比等于相似比. .相似三角形性质定理相似三角形性质定理: : 相似三角形面积之比等于相似比的平方相似三角形面积之比等于相似比的平方.3基本图形的形成、变化及发展过程 基本图形的形成、变化及发展过程：基本图形的形成、变化及发展过程： 平行型平行型 斜交型斜交型. . . . . . . . . . 垂直型垂直型. . . . 4练习题解析 证明：证明：CDAB， E为为AC的中点的中点
4、DE=AE EDA=A EDA=FDB A=FDB ACB= Rt A=FCD FDB=FCD FDBFCD BD：CD=DF：CF BDCF=CDDF 例例1 如图，如图，CD是是RtABC斜边上的高，斜边上的高，E为为AC的的中点，中点，ED交交CB的延长线于的延长线于F。CEADFB这个图形中有几个相似三角形的基本图形这个图形中有几个相似三角形的基本图形(1)求证：求证：BDCF=CDDF（2）求证：）求证：BCCF=ACDF例例2 如图，已知如图，已知EM AM，交交AC于于D，CE=DE，求证：求证：2ED DM=AD CD。ECDMAECDMAFG例例3 3. .找一找找一找: :
5、(1) 如图如图1,已知已知:DEBC,EF AB,则图中共有则图中共有_对三角形相似对三角形相似.(2) 如图如图2,已知已知:ABC中中, ACB=Rt ,CD AB于于D,DEBC于于E,则图中共有则图中共有_个三角形和个三角形和ABC相似相似.ABCDEF如图如图(1)3EABCD如图如图(2)4（3 3）如图，）如图，ADADBCBC于点于点D D，CECEABAB于点于点E E交交ADAD于点于点F F，则图中有（则图中有（ ）对相似三角形。）对相似三角形。A A、3 3B B、4 C4 C、5 5 D D、6 6CADBEFD（4 4）如图，点）如图，点P P是是RtRtABCA
6、BC的斜边的斜边BCBC上异于上异于B B，C C的一的一点，过点，过P P点作直线截点作直线截ABCABC，使截得的三角形与，使截得的三角形与ABCABC相似，满足这样条件的直线共有（）条。相似，满足这样条件的直线共有（）条。A A、1 1B B、2 2 C C、3 3D D、4 4 A C P BC（5 5）如图，在平行四边形）如图，在平行四边形ABCDABCD中，点中，点G G是是BCBC延长延长线上一点，线上一点，AGAG与与BDBD交于点交于点E E，与，与DCDC交于点交于点F F，则图，则图中相似三角形共有中相似三角形共有 ( )( )对对. . A.3 B.4 C.5 D.6
7、A.3 B.4 C.5 D.6（6 6）在直角坐标系中，点）在直角坐标系中，点A A（2 2，0 0），），B B（0 0，4 4），）， C C（0 0，3 3）。过点作直线交）。过点作直线交x x轴于点，使以、轴于点，使以、为顶点的三角形与、为顶点的三角形与AOBAOB相似，这样的直线最相似，这样的直线最多可以作（多可以作（ ）条）条 A .2 B .3 C . 4 D. 6 A .2 B .3 C . 4 D. 6ABCDDODDCADEBC(1)若若AD:BD=2:3,则则CADE: CABC_；S ADE: S ABC=_(2) 若直线若直线DE将将ABC 的面积分成相等的两部分，则
8、的面积分成相等的两部分，则DE:BC=_FG例例4. 算一算算一算:如图如图:ABC中，中，DE/BC(4) 若连结若连结DC,BE交于点交于点O，且，且 ,则则梯形梯形，.916DOEBOCSS，O(3)若点若点D、F是是AB的三的三 等分点，等分点，DEFG BC，则则C ADE: CAFG : C ABC =S ADE: S AFG : S ABC =S ADE: S 梯形梯形DFGE: S 梯形梯形FBC =例例5.5.填空选择题填空选择题: :1.(1) ABC中，中，D、E分别是分别是AB、AC上的点，且上的点，且AED= B，那么，那么 AED ABC，从而，从而 (2) ABC
9、中，中，AB的中点为的中点为E，AC的中点为的中点为D，连结，连结ED， 则则 AED与与 ABC的相似比为的相似比为_.2.如图，如图，DEBC, AD:DB=2:3, 则则 AED和和 ABC的相似比为的相似比为.3. 已知三角形甲各边的比为已知三角形甲各边的比为3:4:6， 和它相似的三角形乙的最大边和它相似的三角形乙的最大边为为10cm， 则三角形乙的最短边为则三角形乙的最短边为_cm.4.等腰三角形等腰三角形ABC的腰长为的腰长为18cm，底边长为，底边长为6cm,在腰在腰AC上取点上取点D, 使使ABC BDC, 则则DC=_.AD( ) =DEBC ABCDEAC2:552cm1
10、:25. 如图，如图，ADE ACB, 则则DE:BC=_ 。6. 如图，如图，D是是ABC一边一边BC 上一点，连接上一点，连接AD,使使 ABC DBA的条件是（的条件是（ ）. A. AC:BC=AD:BD B. AC:BC=AB:AD C. AB2=CDBC D. AB2=BDBC7.D、E分别为分别为ABC 的的AB、AC上的点，且上的点，且DEBC，DCB= A，把每两个相似的三角形称为一组，把每两个相似的三角形称为一组，那么图中共有相似三角形那么图中共有相似三角形_组。组。DACBABEDCACBDE27331:3D4ADBEC132 8.ABCABC,如果如果BC=3,BC=1
11、.5,那么那么ABC与与 ABC的相似比为的相似比为_.9.两个相似三角形的面积比为两个相似三角形的面积比为m,周长比为周长比为2,则则m=_.10.边长为边长为2的正三角形被平行一边的直线分成等积的两部分的正三角形被平行一边的直线分成等积的两部分,其中一部分是梯形其中一部分是梯形,则这个梯形的中位线长为则这个梯形的中位线长为_.16例例6.6.证明题：证明题：1. D1. D为为ABCABC中中ABAB边上一点，边上一点，ACD= ABC.ACD= ABC. 求证：求证：ACAC2 2=ADAB.=ADAB.2. 2. ABCABC中中, BAC, BAC是直角，过斜是直角，过斜 边中点边中
12、点M M而垂直于斜边而垂直于斜边BCBC的直线的直线 交交CACA的延长线于的延长线于E E，交，交ABAB于于D D， 连连AM.AM. 求证：求证： MAD MAD MEAMEA AM AM2 2=MD ME=MD ME3. 3. 如图，如图，ABCDABCD，AO=OBAO=OB， DF=FBDF=FB，DFDF交交ACAC于于E E， 求证：求证：EDED2 2=EO EC.=EO EC.ABCDABCDEMABCDEFO4. 4. 已知在已知在ABCABC中，中，BAC=90BAC=90， ADBC,EADBC,E是是ACAC的中点，的中点，EDED交交 ABAB的延长线于的延长线于
13、F.F. 求证求证: AB:AC=DF:AF.: AB:AC=DF:AF.ADEFBC 解解:AED=B, A=A AED ABC（两角对（两角对 应相等，两三角形相似）应相等，两三角形相似） ADAC =DEBC ABCDE1.(1) ABC中，中，D、E分别是分别是AB、AC上的点，上的点， 且且AED= B，那么，那么 AED ABC， 从而从而AD( ) =DEBC 解 :D、E分别为AB、AC的中点 DEBC，且 ADEABC 即ADE与ABC的相似比为1:2 ADAB =AEAC =12 ABCDE(2) ABC中，AB的中点为D，AC的中点为E，连结DE， 则 ADE与 ABC的
14、相似比为_2. 解: DEBC ADEABC AD:DB=2:3 DB:AD=3:2 (DB+AD):AD=(2+3):3 即 AB:AD=5:2 AD:AB=2:5 即ADE与ABC的相似比为2:5 ABCDE如图，DEBC, AD:DB=2:3, 则 AED和 ABC 的相似比为.3.已知三角形甲各边的比为已知三角形甲各边的比为3:4:6， 和它相似的三角形乙和它相似的三角形乙 的最大边为的最大边为10cm， 则三角形乙的最短边为则三角形乙的最短边为_cm.DEFABC解解: 设三角形甲为设三角形甲为ABC ，三角，三角形乙为形乙为 DEF，且，且DEF的最大的最大边为边为DE，最短边为，
15、最短边为EF DEFABC DE:EF=6:3即即 10:EF=6:3 EF=5cm4.等腰三角形等腰三角形ABC的腰长为的腰长为18cm，底边长为，底边长为6cm,在在 腰腰AC上取点上取点D, 使使ABC BDC, 则则DC=_.ABCD解解: ABC BDC 即即 DC=2cm186 =6DC ACBC =BCDC 5.ABCDE3327AEAB =ADAC =13 解解: ADEACB 且且 如图，如图，ADE ACB, 则则DE:BC=_ 。DEBC =AEAB =13 7. D、E分别为分别为ABC 的的AB、AC上的点，上的点，DEBC， DCB= A，把每两个相似的三角形称为一
16、组，把每两个相似的三角形称为一组， 那么图中共有相似三角形那么图中共有相似三角形_组。组。ABEDC解解: DEBC ADE= B, EDC=DCB=A DEBC ADE ABC A= DCB, ADE= B ADE CBD ADE ABC ADE CBD ABC CBD DCA= DCE, A= EDC ADC DEC1. D为为ABC中中AB边上一点，边上一点，ACD= ABC. 求证：求证：AC2=ADABABCD分析分析:要证明要证明AC2=ADAB，需，需要先将乘积式改写为比例要先将乘积式改写为比例式式 ，再证明，再证明AC、AD、AB所在的两个三角形相所在的两个三角形相似。由已知两
17、个三角形有二个似。由已知两个三角形有二个角对应相等，所以两三角形相角对应相等，所以两三角形相似，本题可证。似，本题可证。ACAD =ABAC 证明证明: ACD= ABC A = A ABC ACD AC2=ADABACAD =ABAC 2. ABC中， BAC是直角，过斜边中点M而垂直于 斜边BC的直线交CA的延长线于E， 交AB于D，连AM. 求证： MAD MEA AM2=MD MEABCDEM分析：已知中与线段有关的条件仅有AM=BC/2=BM=MC,所以首先考虑用两个角对应相等去判定两个三角形相似。AM是 MAD 与 MEA 的公共边，故是对应边MD、ME的比例中项。证明：BAC=9
18、0 M为斜边BC中点 AM=BM=BC/2 B= MAD又 B+ BDM=90 E+ ADE= 90 BDM= ADEB=EMAD= E又 DMA= AMEMAD MEA MAD MEA 即AM2=MDMEAMMD =MEAM 3.如图，如图，ABCD，AO=OB，DF=FB，DF交交AC于于E， 求证：求证：ED2=EO EC.ABCDEFO分析：欲证 ED2=EOEC，即证： ，只需证DE、EO、EC所在的三角形相似。EDEO =ECED 证明： ABCD C=A AO=OB，DF=FB A= B， B= FDB C= FDB 又 DEO= DEC EDCEOD ，即 ED2=EO ECE
19、DEO =ECED 4. 已知在已知在ABC中，中，BAC=90，ADBC，E是是AC的的中点，中点，ED交交AB的延长线于的延长线于F. 求证求证: AB:AC=DF:AF.ADEFBC分析：分析：因因ABCABD，所以，所以 ， 要证要证 即证即证 ， 需证需证BDFDAF.证明：证明： BAC=90 ADBC ABC+C= 90 ABC+BAD= 90 BAD= C ADC= 90 E是是AC的中点，的中点，ED=EC EDC= C EDC = BDF AFDFADBD BDF= C= BAD又又 F =F BDFDAF. BAC=90， ADBC ABCABD ADBDACABAFDF
20、ACAB5提高拓展训练（选用）例例7.如图：已知如图：已知ABCCDB90，ACa，BC=b，当，当BD与与a、b之间满足怎样的关系式之间满足怎样的关系式时，两三角形相似时，两三角形相似DABCab解解: 1D90当当 时，即当时，即当 时，时，ABC CDB, 1D90当当 时，即当时，即当 时，时，ABC BDC， 答：略答：略.BDBCBCACBDbbaBDABBCACBDbaba22abBD2ababBD22例例8.将两块完全相同的等腰直角三角板摆成如图的样子，将两块完全相同的等腰直角三角板摆成如图的样子，假设图形中的所有点、线都在同一平面内，则图中有相假设图形中的所有点、线都在同一平
21、面内，则图中有相似（不包括全等）三角形吗？如有，把它们一似（不包括全等）三角形吗？如有，把它们一 一写出一写出来来.解：有相似三角形，它们是：解：有相似三角形，它们是：ADE BAE, BAE CDA ，ADE CDA（ ADE BAE CDA）CABDEGF2例例9.在在ABC中，中，ABAC，过，过AB上一点上一点D作直线作直线DE交另一边于交另一边于E，使所得三角形与原三角形相，使所得三角形与原三角形相似，画出满足条件的图形似，画出满足条件的图形.EDABCDABCDABCDABCEEE这类题型的特征是有条件而无结论，要确定这类题型的特征是有条件而无结论，要确定这些条件下可能出现的结论这
22、些条件下可能出现的结论解题思路是：从所给条件出发，通过分析、比较、解题思路是：从所给条件出发，通过分析、比较、猜想、寻求多种解法和结论，再进行证明猜想、寻求多种解法和结论，再进行证明. . 例例10. 如图如图, DE是是ABC的中位线，在射线的中位线，在射线AF上是否上是否存在点存在点M，使，使MEC与与ADE相似相似,若存在若存在,请先确定请先确定点点 M,再证明这两个三角形相似，若不存在，请说明理再证明这两个三角形相似，若不存在，请说明理由由.ADBCEF证明：联结证明：联结MC，DE是是ABC的中位线，的中位线，DEBC，AEEC，又又MEAC, AMCM， 1= 2 ，B=90， 4
23、 B= 90， AF BC，AM DE, 1= 2 ， 3= 2 , ADE MEC=90 ， ADE MECADBCEF123M解解:存在存在.过点过点E作作AC的垂线的垂线,与与AF交于一点交于一点,即即M点点(或作或作MCA= AED).4 例例11.如图：在如图：在ABC中，中，C= 90,BC=8,AC=6.点点P从点从点B出发，沿着出发，沿着BC向点向点C以以2cm/秒的速度移动秒的速度移动;点点Q从点从点C出发，沿着出发，沿着CA向点向点A以以1cm/秒的速度移秒的速度移动。如果动。如果P、Q分别从分别从B、C同时出发，问：同时出发，问：AQPCBAQPCB经过多少秒时以经过多少
24、秒时以C、P、Q为顶点的三角形恰好与为顶点的三角形恰好与ABC相似？相似？Q8例例12. 如图，在矩形如图，在矩形ABCDABCD中，中，AB=6AB=6米，米，BC=8BC=8米，动点米，动点P P以以2 2米米/ /秒的速度从点秒的速度从点A A出发，沿出发，沿ACAC向点向点C C移动，同时动点移动，同时动点Q Q以以1 1米米/ /秒的秒的速度从点速度从点C C出发，沿出发，沿CBCB向点向点B B移动，设移动，设P P、Q Q两点移动两点移动t t秒（秒（0t5)0t5)后后, , 四边形四边形ABQPABQP的面积为的面积为S S平方米。平方米。分别求出面积分别求出面积S S与时间与时间t t的关系式的关系式B BCDPA6H探究探究: :在在P P、Q Q两点移动的过程中，四边形两点移动的过程中，四边形ABQPABQP与与CPQCPQ的面积能否相等？若能，求出此时点的面积能否相等？若能，求出此时点P P的位置；的位置；若不能，请说明理由。若不能，请说明理由。BACPDHQ谢谢 谢谢XXXXXX学校：学校：XXXXXX日期：日期：XXXXXXXX年年XXXX月月XXXX日日
