1、第 1页，共 4页江苏省 2021-2022 学年度第一学期南通市如东县期中数学试卷一、单选题（本大题共 8 小题，共 40 分）1.点 ? ?到直线 4 ? 0 的距离为?A.1B.C.?D.?2.圆?1：2? ?2? 2 0 ?2 ? ?与圆?2：2? ?2? 4 0 4 ?2 ?的位置关系是?A.相交B.外切C.内切D.外离3.在中国古代诗词中，有一道“八子分绵”的名题：“九百九十六斤绵赠分八子做盘缠，次第每人分十七要作第八数来言”.题意是把 ? 斤绵分给 ? 个儿子做盘缠按照年龄从大到小的顺序依次分绵，年龄小的比年龄大的多分 1? 斤绵则年龄最大的儿子分到的绵是?A.? 斤B.?2 斤
2、C.1? 斤D.1?4 斤4.过直线 0 21 ?4 ?上一点 ? 作圆 ?： 2? ?2? 2 0 的切线， 切点为 ?， ?，则四边形 ? 的面积的最小值为?A.?B.2 2C.D.2 5.下列四个命题：经过定点?00?0的直线都可以用方程 ? ? ?0 ? 0表示；经过定点 ? 0? 的直线都可以用方程 ? kx ? ? 表示；不经过原点的直线都可以用方程? 1 表示；经过任意两个不同的点?11?1、?22?2的直线都可以用方程 ? ? ?12?1 ? 1?2? ?1表示，其中真命题的个数为 ?A.0B.1C.2D.6.椭圆24?2?2 1 与双曲线2?22 1 有相同的焦点，则 ? 的
3、值为 ?A.1B.2C.2D.?.过抛物线 ?：?2 ? 的焦点且垂直于 轴的直线被双曲线 ?：2?2? ?2 1? 0?所截得线段的长度为 2 2，则双曲线的离心率为第 2页，共 4页A.2B.?12C.?2D.218.已知抛物线 ?：?2 2px? 0?的焦点 ? 与双曲线42? 4?2 1 的右焦点相同，过点? 分别作两条直线?1?2， 直线?1与抛物线 ? 交于 ?， ? 两点， 直线 ?2与抛物线 ? 交于 ?，? 两点，若?1?2斜率的平方和为 1，则|AB| ? |DE|的最小值为?A.1?B.20C.24D.2二、多选题（本大题共 4 小题，共 20.0 分）9.抛物线?1：?
4、2 2px? 0?与双曲线?2：2?2 1 具有共同的焦点 ?，过 ? 作?2的一条渐近线的垂线 ?，垂足为 ?，? 与?1交于 ?、? 两点，? 为坐标原点，则有A.? ?B.?2的渐近线方程为 ? C.OH D.? 的倾斜角为锐角，则经过 ?、? 且与直线 ? 相切的圆的标准方程为? 2? ? 12 410.若经过 ?1? ?1? ?和 ?的直线的倾斜角为钝角， 则实数 ? 的值不可能为?A.? 2B.0C.1D.211.已知等差数列?中，|?| |?|，公差 ? ? 0，则使其前 ? 项和?取得最大值的自然数 ? 是?A.4B.?C.?D.?12.已知椭圆 ? 2?2?2?2 1? ?
5、0?的左，右两焦点分别是?1，?2，其中?1?22t.直线 ? ? ?t? ?与椭圆交于 ?，? 两点则下列说法中正确的有 ?A.? ABF2的周长为 4?B.若 AB 的中点为 ?，则OM ?2?2C.若?1? ?2? t2，则椭圆的离心率的取值范围是?12D.若 AB 的最小值为 t，则椭圆的离心率 ? 1三、单空题（本大题共 3 小题，共 15.0 分）13.双曲线2?2?2?2 1? 0? 0?的离心率为102，则其渐近线的斜率是_14.数列?满足?1 1 ?1?，?4 2，则?2021_第 页，共 4页15.已知 ? 为坐标原点，?，? 为抛物线 ?2 2? ? 0?上异于点 ? 的
6、两个动点，且? ?0?，若点 ? 到直线 ? 的距离的最大值为 ?，则 ? 的值为_16.已知圆2? ?2 ? 01 ? 2? ?2 ?4 交于 ? 两点，? 在第一象限，则AB ;若过点 ? 的弦交两圆于 ?，且 AC AD ，则直线 CD 的斜率是五、解答题（本大题共 6 小题，共 72.0 分）17.已知直线 ? 经过12?1?当直线的倾斜角为 ?0?时，求直线 ? 的方程；2?当直线 ? 在两坐标轴上的截距相等时，求直线 ? 的方程18.已知?是公差为 ? 的无穷等差数列，其前 ? 项和为?.又_，且? 40，是否存在大于 1 的正整数 ，使得? ?1？若存在，求 的值；若不存在，说明
7、理由从?1 4，? ? 2 这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答19.已知圆 ?：?2 ?2? ? ?2 1? 与直线 ?：2? ? ?1? 2? ? ? 12 01?证明：直线 ? 过定点，并求出其坐标；2?若直线 ? 和圆 ? 交于 ?，? 两点，求? ? 面积的最大值20.已知双曲线 ? 的中心是原点，右焦点为 ? 0?，一条渐近线方程为 ? 2? 0，直线 ?:? ? ? 0 与双曲线交于点 ?，? 两点.记 FA，FB 的斜率分别为12.1?求双曲线 ? 的方程;2?求11?12的值21.某高速公路隧道设计为单向三车道，每条车道宽 4 米，要求通行车辆限高 ? 米，隧道全长 1.? 千米，隧道的断面轮廓线近似地看成半个椭圆形状如图所示?若最大拱高 ? 为 ? 米，则隧道设计的拱宽 ? 至少是多少米？结果取整数?如何设计拱高 ? 和拱宽 ?，才能使半个椭圆形隧道的土方工程量最小？结果取整数?第 4页，共 4页参考数据： 11 .，椭圆的面积公式为 ? ?，其中 ?，? 分别为椭圆的长半轴和短半轴长22.已知椭圆 ?：2?2?2?2 1? ? 0?的离心率为2，长轴长为 4?求椭圆 ? 的方程；?设? 是椭圆? 上一点， 且不与顶点重合， 若直线?1? 与直线?2? 交于点?， 直线?1?与直线?2? 交于点 ?.求证：? BPQ 为等腰三角形第 ?页，共 1页
