1、1 / 4、谈话引入1实话实说请吃糖【为了活跃气氛，拉近与学生的感情，更主要地为了引入“次品”的概念，课前与学生这样谈话】师：同学们非常善于观察，这么短的时间就发现了老师这么多的特点。既然如此聪明，请允许我请教第二个问题，你们必须实话实说，说实话的本老师奖励吃糖。（拿出一瓶真的木糖醇， 此时学生都好奇地等着老师会出什么问题或者看着老师手里的木糖醇， 老师故意矜持一会才说出问题。 ）老师的问题是：你觉得我和你们原来的数学老师相比，谁更像一位优秀的数学老师？（听课老师有的发出了笑声，学生们也都面面相觑，微笑着不知如何作答）师：（笑着说）瞎说！你还没听过老师上课呢。师：（笑着说）不许都选，只能选一个
2、。师：说得对！咱们今天表现的如此优秀，一定是原来老师的功劳。请吃糖！（从木糖醇瓶中倒出一粒放入该学生手中，继续面向其他同学）谁还想吃糖，请实话数说。师：（紧紧握着该学生的手）真是一个懂得感恩的孩子，说得对，请吃糖！（从木糖醇瓶中再倒出一粒放入该学生手中）师：（笑着说）同学们不用说了，老师已经知道结果了，应该是你们原来的老师更优秀。（话锋一转）当某个人或某项事物不足够好时，我们可以称之为（拖长音，表示疑问）生：次品师：对，次品。（随机板书）师：（很认真地说）在今天在座的这么多优秀教师中找出我这样的次品老师是很容易的，可有些时候，找次品就不那么容易了。刚才谁吃我糖了，请给我站起来！（假装生气）【吃
3、糖的学生刚才还美滋滋的呢，现在被迫站起来。】师：（继续假装生气）谁让你们吃糖的？（学生苦笑）瞧瞧你们惹麻烦了吧。老师刚刚买了 3 瓶一样的木糖醇，其中一瓶就被你们“偷吃了”两粒，（老师出示 3 瓶一样的木糖醇），吃掉两粒的那一瓶重量自然就变得轻一些。重量变轻了我们就可以称之为（拖长音，表示疑问。）师：对。怎样很快地知道哪一瓶是次品呢？（示意吃糖的学生坐下）如果用天平称来称，至少几次才能保证找到呢？请独立思考。（学生独立思考约 30 秒钟）2初步建立基本思维模型。师：谁来说说至少要几次才能保证找到？师：你见过天平吗？师：天平长什么样子？（学生茫然。老师走过去示意学生把双手向左右两边伸平，笑曰：这
4、就是一架美丽的天平。该生不自然地笑了，全体同学则会心地一笑。）师：别人都认为要 2 次，你说 1 次就行了。别瞎说！怎么称的？称给我们瞧瞧！（该生演示：任意拿两瓶放在天平左右两边，两手伸平）生：如果是这种情况，剩下的那一瓶就是次品。师：如果天平左右两边不平呢？（该生再演示：天平左高右低的情况。）生：如果是这种情况，左边高的那一瓶就是次品。师：还有一种情况呢？（该生马上反应过来，立刻演示：天平左低右高的情况。）生：如果是这种情况，右边高的那一瓶就是次品。（面向全体同学）师：大家看明白了吗？刚才这位同学任意从 3 瓶中拿出 2 瓶放在天平的左右两边，如果平衡了，次品在哪？众生：剩下的那一瓶。师：如
5、果天平有一边翘起呢？师：不管是哪一种情况，几次就可以找到次品了呀？众生：1 次。师：1 次果然就可以找到次品是哪一瓶了，表扬给我们带来这样思考的那位同学。2 / 4我们一起再把刚才那位同学的演示回访一下，请看大屏幕师：开始认为需要 2 次的同学，现在清楚了吗？3 瓶当中有 1 瓶次品，用天平称称，至少几次就可以保证找到？众生响亮回答：1 次。如果一边放 2 瓶，一边放 1 瓶行吗由于正品和次品的差距往往很小，所以当瓶数不等时，用天平称量时是无法判断的。所以在每一次称的时候，天平左右两边始终保持瓶数一样3拓展延伸，引导猜想。师：3 瓶当中有 1 瓶次品，用天平称称，至少 1 次就可以保证找到。如
6、果不是 3 瓶，我们实验小学的全体师生每人 1 瓶，大概有两千多瓶吧。我们暂且估计有 2187 瓶。（随机板书）如果 2187 瓶中也有 1 瓶次品（轻），用天平称称，至少几次才能保证找到呢？请你猜一猜！（停顿约 20 秒，找两三个同学回答）生 4：729 次。师：2187 瓶中有 1 瓶次品，用天平称称，怎么也要好两千多次、一千多次或好几百次，都是这么认为吗？众生点头：是。师：如果你们都是这么认为，今天这节课就非常有研究的必要。我们今天这节课就来研究，如果真有 2187 瓶木糖醇，其中 1瓶是次品（轻），用天平称称，究竟至少几次才能保证找到，好吗？二、组织探究1.体会化繁为简师：要解决这个问
7、题，大家觉得 2187 这个数据是不是有点大呀？师：解决问题时，面对一些比较庞大的数据，我们往往可以采取一种策略，谁知道是什么？师：对！解决问题时，面对一些比较庞大的数据，我们往往可以采取一种策略化繁为简（随机板书），也就是把数据转化地小一些，就是两位同学说的化简。简到什么程度呢？3 瓶刚才我们研究过了，现在我们研究几瓶好呢？2.第一次探究师：我们研究一位数中的两个大数，8 和 9，如果 8 瓶当中有 1 瓶次品，用天平称称，究竟至少几次才能保证找到呢？以小组为单位，拿出硬币动手试一试幻灯，同时完成试验记录卡一思考。（1）你把待测物品分成几份？每份是多少？ （2）假如天平平衡，次品在哪里？（3
8、）假如天平不平衡，次品又在哪里？ （4）至少称几次就一定能找出次品？3.第二次探究师我们来研究 9 瓶好不好？（师：谁再来明确一下问题？生：9 瓶木糖醇中有 1 瓶是次品（轻），用天平称称，至少几次保证找到？师：问题已经很明确，请先独立思考。可以拿 9 枚硬币分组试一试，也可以像老师一样用数学符号画一画。（师静静地巡视约 1 分钟）师：请前后桌 4 位同学一组，讨论交流你们认为至少几次才能找到次品？（师参与讨论约 2 分钟）师：老师刚才在下面听到有的同学说要 4 次，有的说要 3 次，还有的说 2 次就行。到底至少要几次呢？看来需要交流交流。先从多的来，谁刚才说要 4 次的？请说说你是怎样称的
9、？生：我天平左右两边各放 1 个，每次称 2 个，这样 4 次就一定可以找到。（师随着学生的表述相机板书）9（1、1、1、1、1、1、1、1、1） 4 次师：他的称法可行吗？生：可行但不是次数最少的。师：好！让我们一起来听听次数再少一些的称法。3 次该怎样称？生：我把 9 分成 4、4、1 三组，先称两个 4，如果天平平衡了，剩下的 1 瓶就是次品，但这是很幸运的。如果不平，把翘起的那 4 瓶再 2 个对 2 个称，如果平（老师礼貌地打断学生的话）师：这时会出现平衡吗？（提醒：次品就在这 4 瓶里，天平左右两边各放 2 瓶）生：（明白后立刻改口）一定会有一边翘起，然后再把翘起的 2 瓶天平两边
10、各放 1 个，再称 1 次，共 3 次就可以找到次品是哪一瓶。（师随着学生的表述相机板书）3 / 49（4、4、1）（2、2）（1、1） 3 次师：他的称法可行吗？生：可行。我也是 3 次，但称法与他不一样。师：真的吗？同样是 3 次，称法还可以不一样？赶快说给我们听听。生：我把 9 分成 2、2、2、2、1 五组，先称两个 2，如果有一边翘起，再称 1 次就可以了，但这是幸运的；如果天平平衡了，再称剩下的两个 2，如果天平还是平衡了，剩下的 1 瓶就是次品，但这也是很幸运的。如果不平衡，再把翘起的 2 个分开，天平左右两边各 1 个，再称 1 次就一定找到次品了。这样也是 3 次保证找到了次
11、品。（师随着学生的表述相机板书）9（2、2、2、2、1）（2、2、2、2、1 ）（1、1） 3 次师：还真不错！同样是 3 次保证找到，称法还真不一样。师：刚才好像还有人说 2 次就够了，不太可能吧？是谁说的？（说 2 次的学生起立）师：别人都是 4 次、3 次的，你说 2 次就行，还坚持吗？（学生坚持）师：好！我们大家刚才辛苦了老半天才弄明白至少要 3 次才能保证找到次品，他竟然坚持说 2 次就够了，难道我们请认真听听他是怎么称的！如果他说错了，我们要罚他唱首歌。（故意这样说，以引起学生都来关注他的 2 次是怎样称的）生：我把 9 分成三组，每组 3 个。先称两个 3，如果天平有一边翘起，次
12、品就在翘起的那 3 瓶里；如果天平平衡了，次品就在剩下的 3 瓶里。不管怎样，接下来就只要研究 3 瓶就可以了。前面刚学过，从 3 瓶里找 1 瓶次品，称 1 次就够了。这样 2 次就保证找到了次品。（师随着学生的表述相机板书）9（3、3、3）（1、1、1 ） 2 次师：听得懂他的称法吗？（有部分学生不敢大声回答，请刚才的学生再重复一遍）师：现在都听懂了吧！这个同学的称法完全可行，称 2 次就解决了问题。为什么我们别的称法次数就比他多呢？我们的问题出在哪儿？这个同学的高明又在哪呢？请仔细观察黑板上的四种称法，看谁能最快发现其中的奥秘？9（1、1、1、1、1、1、1、1、1） 4 次9（4、4、
13、1）（2、2）（1、1） 3 次9（2、2、2、2、1）（2、2、2、2、1 ）（1、1） 3 次9（3、3、3）（1、1、1 ） 2 次（学生观察思考约 1 分钟，老师给予适当暗示）生：2 次的称法一开始把 9 瓶分成了 3 组，每组 3 个。这样称 1 次，就可以断定次品在哪一组里。师：说得好！把 9 瓶分成了 3 组，每组 3 个，也就是把物品总数均分 3 份，这样称 1 次，就可以淘汰 2 份 6 瓶，从而让剩下的瓶数变得最少，自然总的次数就会少下来。而 4 次的称法，称 1 次后，最多只能淘汰 2 瓶；3 次的两种称法，称第一次后，也最多只能淘汰 4 瓶，所以最终的次数就会相对多起来
14、。4第三次探究师：刚才 9 瓶中找 1 瓶次品（轻），那位同学一开始把 9 瓶平均分成 3 份来称，最后的次数最少。是不是所有的可以均分成 3份的物品总数，一开始都平均分成 3 份来称，最后的次数也是最少呢？刚才那位同学是否偶然呢？我们还需要怎么办？生：继续验证。师：（握着同学的手）说得好！仅仅一个例子不足以推广，我们还需要进一步验证。众生：物品总数如果能均分 3 份，就把物品尽量平均分成 3 份来操作。师：为什么呢？生：把物品总数平均分成 3 份来操作，这样称 1 次就可以断定次品在哪一份里，每一次都最大限度地淘汰，最后的次数自然就会少下来。三、强化训练师：通过刚才的探究，我们已经找到了内在
15、的思维规律，现在老师想考验一下咱们班同学的数学感觉如何，看看谁的反应快？如果不是 12 瓶，而是 27 瓶中有 1 瓶次品（轻），用天平称称，至少几次保证找到？4 / 4（提醒运用刚才发现的思维模式，马上有学生举手）生：3 次。师：（故作惊讶！）别乱说，不可能吧？27 瓶呀蛮多的，3 次怎么可以保证找到？生：我把 27 瓶平均分成 3 份，每份 9 瓶；称 1 次就可以推断次品在哪个 9 瓶里。然后 9 瓶就像刚才那位同学那样再均分 3 份来称，2 次就够了。我这里只增加了 1 次，所以 3 次就找到了。（师随着学生的表述相机板书）27（9、9、9）（3、3、3）（1、1、1） 3 次师：真聪
16、明！把 27 瓶平均分成 3 份，每份的 9 瓶，也可以假设看成一个超大瓶。这样，27 瓶就转化为了 3 个超大瓶，称 1 次，自然就可以断定次品在哪个超大瓶里，也就是哪个 9 里。然后把 9 再平均分成 3 份，以此类推，每称 1 次，都淘汰两份，剩下一份。最后的次数一定就是至少的。师：如果不是 27 瓶，而是 81 瓶呢？（有学生脱口说要 9 次，可能是想到了九九八十一）师：（不动声色）嗯！有可能。是至少吗？（马上有学生反应过来）师：（微笑着）请问怎么称？生：把 81 瓶平均分成 3 份，每份 27 瓶，称 1 次就可以知道次品在哪个超大大瓶 27 里。27 瓶刚才是 3 次，所以 81
17、瓶中有 1瓶次品，用天平称称，4 次就够了。师：真了不起！他也学会转化了。如果不是 81 瓶，而是 243 瓶呢？上面一样，把 243 均分 3 份，只比 81 瓶多称了 1 次。所以是 5 次。师：反应真快！有没有哪位同学猜到老师接下来会出哪个数？生：729。师：（握着学生举的手表扬他）真是英雄所见略同！老师真的要出 729，如果真有 729 瓶，其中 1 瓶是次品（轻）用天平称称，至少几次保证找到？众生：6 次。师：接下来就到哪个数了？众生：2187。师：现在大声地告诉老师，如果真有 2187 瓶，其中 1 瓶是次品，用天平称称，至少几次保证找到？众生：7 次。师：课刚开始时猜需要 218
18、6 次的是那位同学，请问此时此刻有什么想说的吗？（该生起立，笑着无言以对）师：是什么让这位同学无言以对？从两千多瓶中找一瓶次品，起初我们本能地感觉怎么也要两千多、一千多或好几百次，其实 7次足矣。前后相差之大，远远超出了我们的想像。这就是数学思考的魅力。也正是这种无穷的魅力，才让我们这位同学感觉无言以对。其实不止是这位同学，刚开始时，我们都没有想到啊！（轻轻摸摸该生的头，示意他坐下）四、全课总结师：（指着板书上的“次品”俩字）请问我们今天上的什么课？全体学生：（自然地答道）次品课。师：（故作生气状）瞎说！你才上次品课呢。（顺手在“次品”前写上一个大大的“找”字，全体听课老师则会心地哈哈大笑）今天我们找次品的物品总数不管是 9、12，还是 27、81、243，都是 3 的倍数，也就是可以直接均分三份来操作，如果物品总数不是 3 的倍数，又该怎样操作呢？这个问题，需要我们下节课来继续研究。
