综合与实践-猜想、证明与拓广-ppt课件-(含教案)-市级公开课-北师大版九年级上册数学(编号：e002d).zip

1 定义：通过观察、类比、归纳,发现问题中的数学对象所具有的规律性的一类问题.属于猜想题的一类。 2 数学思想：“由特殊到一般” 3 分类：（1）数式类 （2）图形类 （3） 坐标系内点的变化题 律律探探究究型型题 题命题预测1.解决这类问题的一般途径:发现 归纳 猜想 验证 运用2.规律探究的基本原则:(1)遵循类推原则,项找项的规律,和找和的规律,差找差的规律,积找积的规律.(2)遵循有序原则,从特殊开始,从简单开始,先找3个,发现规律,再验证运用规律.方法指导类型一类型一数式的变化规律数式的变化规律例例1(2017安徽,19)【阅读理解】我们知道,1+2+3+n= ,那么12+22+32+n2结果等于多少呢?在图1所示的三角形数阵中,第1行圆圈中的数为1,即12;第2行两个圆圈中数的和为2+2,即22;第n行n个圆圈中数的和为类型一【规律探究】将三角形数阵型经过两次旋转可得如图2所示的三角形数阵型,观察这三个三角形数阵各行同一位置圆圈中的数(如第n-1行的第1个圆圈中的数分别为n-1,2,n),发现每个位置上三个圆圈中数的和均为.由此可得,这三个三角形数阵所有圆圈中数的总和为:3(12+22+32+n2)=.因此12+22+32+n2=.【解决问题】 类型一解:【规律探究】由题意知,每个位置上三个圆圈中数的和均为n-1+2+n=2n+1,由此可得,这三个三角形数阵所有圆圈中数的总和为:3(12+22+32+n2)【解决问题】 类型一练习： (2014安徽,16)观察下列关于自然数的等式:32-412=5;52-422=9;72-432=13;根据上述规律解决下列问题:(1)完成第四个等式:92-42=;(2)写出你猜想的第n个等式(用含n的式子表示),并验证其正确性.分析:通过观察变化的数字与序号的关系,得出第四个等式:92-442=17;通过归纳总结可得出第n个等式为(2n+1)2-4n2=2(2n+1)-1并证明.类型一解:(1)417 (2)猜想:(2n+1)2-4n2=2(2n+1)-1.证明如下:左边=(2n+1)2-4n2=4n2+4n+1-4n2=4n+1,右边=2(2n+1)-1=4n+2-1=4n+1.左边=右边,故(2n+1)2-4n2=2(2n+1)-1.类型二类型二图形的变化规律图形的变化规律例例2(2016安徽,18)(1)观察下列图形与等式的关系,并填空:分析:(1)根据1+3+5+7=16可得出16=42;从图形的行数看或从连续奇数的个数看：1+3+5+(2n-1)=n2”,依此规律即可解决问题;类型二(2)观察下图,根据(1)中结论,计算图中黑球的个数,用含n的代数式填空:1+3+5+(2n-1)+()+(2n-1)+5+3+1=.分析:(2)观察(1)可将(2)图中的黑球分三部分,1到n行,第n+1行,n+2行到2n+1行,再结合(1)的规律即可得出结论.类型二解析:(1)1+3+5+7=16=42, 1+3+5+(2n-1)=n2.(2)观察图形发现:图中黑球可分三部分,1到n行,第n+1行,n+2行到2n+1行,即1+3+5+(2n-1)+(2n+1)+(2n-1)+5+3+1=n2+2n+1+n2=2n2+2n+1.答案:(1)4n2(2)2n+12n2+2n+1类型二练习(2012安徽,17)在由mn(mn1)个小正方形组成的矩形网格中,研究它的一条对角线所穿过的小正方形个数f,(1)当m,n互质(m,n除1外无其他公因数)时,观察下列图形并完成下表:类型二猜想:当m,n互质时,在mn的矩形网格中,一条对角线所穿过的小正方形的个数f与m,n的关系式是(不需要证明);(2)当m,n不互质时,请画图验证你猜想的关系式是否依然成立.分析:(1)通过题中所给网格图形,先计算出25,34,对角线所穿过的小正方形个数f,再对照表中数值归纳f与m,n的关系式.(2)根据题意,画出当m,n不互质时,结论不成立的反例即可.类型二解:(1)如表:f=m+n-1(2)当m,n不互质时,上述结论不成立,如图.例例3.(2017湖南衡阳)正方形A1B1C1O,A2B2C2C1,A3B3C3C2,按如图的方式放置,点A1,A2,A3,和点C1,C2,C3,分别在直线y=x+1和x轴上,则点B2 018的纵坐标是 .解析: 由图知,点B1的坐标为(1,1);点A2的坐标为(1,2);点B2的坐标为(3,2);点A3的坐标为(3,4);点B3的坐标为(7,4);A4的坐标为(7,8),寻找规律知B2 018的纵坐标为22 017,故填22 017.类型三：坐标系中点的坐标变化类型三：坐标系中点的坐标变化83.(2017浙江温州)我们把1,1,2,3,5,8,13,21这组数称为斐波那契数列.为了进一步研究,依次以这列数为半径作90圆弧P1P2,P2P3,P3P4,得到斐波那契螺旋线,然后顺次连接P1P2,P2P3,P3P4得到螺旋折线(如图),已知点P1(0,1),P2(-1,0),P3(0,-1),则该折线上点P9的坐标为( )A.(-6,24)B.(-6,25)C.(-5,24)D.(-5,25)解析: 找准图形规律,依次可得P6(-6,-1),P7(2,-9),P8(15,4),P9(-6,25).小结小结：1 1、规律题一般有几种形式？、规律题一般有几种形式？2 2、解决规律题的一般途径？解决规律题的一般途径？3 3、解规律题的一般遵循的原则？、解规律题的一般遵循的原则？1.(2017湖北武汉)按照一定规律排列的n个数:-2,4,-8,16,-32,64,若最后三个数的和为768,则n为()A.9B.10C.11 D.12解析: 根据数的规律,第n个数为(-2)n,故有最后三个数的和为(-2)n-2+(-2)n-1+(-2)n=(-2)n-2(1-2+4)=(-2)n-23=768,(-2)n-2=256=(-2)8.n=10.故选B.课外作业课外作业：2.(2016湖北黄石)观察下列等式: 按上述规律,回答以下问题:3.(2017山东淄博)设ABC的面积为1.如图1,分别将AC,BC边2等分,D1,E1是其分点,连接AE1,BD1交于点F1,得到四边形CD1F1E1,其面积S1= ;如图2,分别将AC,BC边3等分,D1,D2,E1,E2是其分点,连接AE2,BD2交于点F2,得到四边形CD2F2E2,其面积S2= ;如图3,分别将AC,BC边4等分,D1,D2,D3,E1,E2,E3是其分点,连接AE3,BD3交于点F3,得到四边形CD3F3E3,其面积S3= ;按照这个规律进行下去,若分别将AC,BC边(n+1)等分,得到四边形CDnFnEn,其面积Sn= .课题：规律探索题课题：规律探索题教学目标：教学目标：1知识与技能：通过本课的学习，让同学们掌握规律题的一般解题方法和技巧。2过程与方法：通过对所给的具体的问题进行全面、细致的观察、分析、比较,从中发现其变化的规律,并猜想出一般性的结论,然后再给出合理的证明或加以运用.3情感态度与价值观：使学生经历探索、合作、交流的学习过程，激发学生对数学的兴趣，获得成功的体验。教学重点教学重点：掌握规律型结题的一般方法。教学难点教学难点：如何找出图形、坐标或数式的变化规律，并进行归纳和验证。方法策略：方法策略：观察归纳猜想证明(验证)运用教学过程教学过程1、阐述规律题基本特点、类型和解决方法以及在中考命题中的地位。2、结合这几年安徽中考这类题型具体解析类型一：类型一：数式的变化规律数式的变化规律例例 1(2017安徽,19)【阅读理解】我们知道,1+2+3+n= ,那么 12+22+32+n2结果等于多少呢? 图 1 中考复习专题 图 2 在图 1 所示的三角形数阵中,第 1 行圆圈中的数为 1,即 12;第 2 行两个圆圈中数的和为 2+2,即 22;第 n 行 n 个圆圈中数的和为,即 n2.这样,该三角形数阵中共有个圆圈,所有圆圈中的数的和为 12+22+32+n2.【规律探究】将三角形数阵型经过两次旋转可得如图 2 所示的三角形数阵型,观察这三个三角形数阵各行同一位置圆圈中的数(如第 n-1 行的第 1 个圆圈中的数分别为 n-1,2,n),发现每个位置上三个圆圈中数的和均为.由此可得,这三个三角形数阵所有圆圈中数的总和为: 3(12+22+32+n2)=. 因此 12+22+32+n2=. 【解决问题】 根据以上发现,计算的结果.分析:【规律探究】将同一位置圆圈中的数相加即可,所有圈中的数的和应等于同一位置圆圈中的数的和乘以圆圈个数,据此可得,每个三角形数阵和即为三个三角形数阵和的,从而得出答案;【解决问题】运用以上结论,将原式变形为,化简计算即可得.练习练习： (2014安徽,16)观察下列关于自然数的等式:32-412=5;52-422=9;72-432=13; 根据上述规律解决下列问题:(1)完成第四个等式:92-42=; (2)写出你猜想的第 n 个等式(用含 n 的式子表示),并验证其正确性.分析:通过观察变化的数字与序号的关系,得出第四个等式:92-442=17;通过归纳总结可得出第 n 个等式为(2n+1)2-4n2=2(2n+1)-1 并证明.类型二类型二图形的变化规律图形的变化规律例例 2(2016安徽,18)(1)观察下列图形与等式的关系,并填空:(2)观察下图,根据(1)中结论,计算图中黑球的个数 （用含 n 的代数式填空）m n m+n f 1 2 3 2 1 3 4 3 2 3 5 4 2 5 7 3 4 7 分析:(1)根据 1+3+5+7=16 可得出 16=42;则第 n 幅图中球的个数为 1+3+5+(2n-1)=n2”,依此规律即可解决问题;（2）整个图形可以看作一个菱形分上下两部分组成,参考（1）变化规律即可。练习练习、(2012安徽,17)在由 mn(mn1)个小正方形组成的矩形网格中,研究它的一条对角线所穿过的小正方形个数 f,(1)当 m,n 互质(m,n 除 1 外无其他公因数)时,观察下列图形并完成下表: 猜想:当 m,n 互质时,在 mn 的矩形网格中,一条对角线所穿过的小正方形的个数 f 与 m,n 的关系式是(不需要证明); (2) 当 m,n 不互质时,请画图验证你猜想的关系式是否依然成立.分析：（1）解题中要求充分利用条件进行大胆而合理的猜想，得出结论同时借助图形、 通过识图，很容易发现 f 与 m、n 之间的关系。 （2)通过学生动手操作，举出反例，教师展示说明即可。类型三：坐标系中点的坐标变化规律类型三：坐标系中点的坐标变化规律例例 3.(2017湖南衡阳)正方形 A1B1C1O,A2B2C2C1,A3B3C3C2,按如图的方式放置,点A1,A2,A3,和点 C1,C2,C3,分别在直线 y=x+1 和 x 轴上,则点 B2 018的纵坐标是 . 解析: 由图知,点 B1的坐标为(1,1);点 A2的坐标为(1,2);点 B2的坐标为(3,2);点 A3的坐标为(3,4);点 B3的坐标为(7,4);A4的坐标为(7,8),寻找规律知 B2 018的纵坐标为 22 017,故填 22 017.练习练习.(2017浙江温州)我们把 1,1,2,3,5,8,13,21这组数称为斐波那契数列.为了进一步研究,依次以这列数为半径作 90圆弧 P1P2,P2P3,P3P4,得到斐波那契螺旋线,然后顺次连接 P1P2,P2P3,P3P4得到螺旋折线(如图),已知点 P1(0,1),P2(-1,0),P3(0,-1),则该折线上点 P9 的坐标为()A.(-6,24) B.(-6,25) C.(-5,24) D.(-5,25)解析: 找准图形规律,依次得 P6(-6,-1),P7(2,-9),P8(15,4),P9(-6,25).3、小结小结（可由学生回答本课的收获和不足，教师再总结）解决这类题的基本思路是“观察归纳猜想证明(验证)运用” ，具体做法：(1)认真观察所给的一组数、式、图等，发现它们之间的关系；第 1 个等式:a1=11+2= 2-1, 第 2 个等式:a2=12+3= 3 2, 第 3 个等式:a3=13+2=2-3, 第 4 个等式:a4=12+5= 5-2, (2)根据它们之间的关系分析、概括，归纳它们的共性和蕴含的变化规律，猜想得出一个一般性的结论；(3)结合题目所给的材料情景证明或验证结论的正确性.（4）灵活运用类推性原则和有序性原则。四、反思四、反思本课主要是让同学们掌握规律探究题的思想和一般方法，培养学生观察、分析、归纳、验证和运用的能力，在学习过程中强调小组交流、互助和探讨的能力，充分体现学生自主学习的能力等。教师在组织过程中要做到精准点评，及时化难，共同分享，充分展现学生积极向上的一面，促使学生数学素养的提高。五、课外作业五、课外作业1.(2017湖北武汉)按照一定规律排列的 n 个数:-2,4,-8,16,-32,64,若最后三个数的和为768,则 n 为()A.9 B.10 C.11 D.122.(2016湖北黄石)观察下列等式按上述规律,回答以下问题: （1）请写出第 n 个等式:an= ; （2）计算：a1+a2+a3+an=. 3.(2017山东淄博)设ABC 的面积为 1. 如图 1,分别将 AC,BC 边 2 等分,D1,E1 是其分点,连接 AE1,BD1交于点 F1,得到四边形CD1F1E1,其面积 S1= ;如图 2,分别将 AC,BC 边 3 等分,D1,D2,E1,E2是其分点,连接 AE2,BD2交于点 F2,得到四边形CD2F2E2,其面积 S2= ;如图 3,分别将 AC,BC 边 4 等分,D1,D2,D3,E1,E2,E3是其分点,连接 AE3,BD3交于点 F3,得到四边形 CD3F3E3,其面积 S3= ;按照这个规律进行下去,若分别将 AC,BC 边(n+1)等分,得到四边形 CDnFnEn,其面积 Sn=