1、基本不等式典型习题基本不等式典型习题“ebxcaxy”的应用精炼一、母版题一、母版题（1）已知 x 为正实数，求x1x 的最小值.解题思路：该类型题主要借助于基本不等式的一正二定三相等，比较好理解，但是由它延伸出来的求函数范围及其值域问题就稍显复杂一点， 主要就是与对勾函数的平移变化及其次数函数相结合，从而转化为“ebxcaxy”的形式求解最值和函数范围问题。以该题为例，讲解下具体的书写过程，下面题目只讲述下解题思路。解析：x 为正实数x0，x10（使用基本不等式需强调同是正数才可以使用）x1x xx12=2（x 和x1积为定值，故可以使用基本不等式）当且仅当 x=x1时，即 x=1 时，不等
2、式取=即当 x=1 时，x1x 取得最小值为 2.二、二、子版题（母版题数字变化）子版题（母版题数字变化）（1）已知 x 为正实数，求x32x 的最小值.解题思路：系数的变化不会影响解题方法的变化，比照母版解题过程解决。（2）已知 x 为正实数，求已知 x 为正实数，求x3x32的最小值.解题思路：系数的变化不会影响解题方法的变化，比照母版解题过程解决（3）已知 x 为正实数，求1x3x的最小值.解题思路：系数的变化不会影响解题方法的变化，比照母版解题过程解决，利用母版题解题思路先计算x3x 的范围，进而再去求出来1x3x的范围。（4）已知 x-1，求1x3x的最小值.解题思路：整体化思路，这
3、样构造过程就会相对比较方便了。1x3x可以转化为1-1x31x ）（，只需要把 x+1 当做为一个整体，就相当于（3）的解决方法了。类型题练习（1）已知 x 为正实数，求x43x 的最小值.（2）已知 x 为正实数，求x3x21的最小值.（3）已知 x 为正实数，求21-x1x 的最小值.（4）已知 x 为正实数，求7x34x的最小值.（5）已知 x 为正实数，求1x82x的最小值.（6）已知 x 为正实数，求32x82x的最小值.三、三、变形题（母版题变形题（母版题+数字变化数字变化+形式变化）形式变化）（1）已知 x 为正实数，求x1x2的最小值.解题思路：该类型题一次二次题目，主要就是分
4、离过程相对难一点，具体思路为x1x2可以化解成x1x x2，从而化解为x1x ，参照母版去求解范围即可（2）已知 x-1，求1x5x4x2的最小值.解题思路：该类型题一次二次题目，主要就是分离过程相对难一点，下面我们就将分子的凑配过程来仔细说下，有两种分离法：方法一：1x5x4x2=1x21)x(31)xx（=1x23x=21x21x ）（方法：1x5x4x2=1x21)x(21x2 ）（=21x21x ）（殊途同归，都是为了构造出来1x21x这样积为定值的情况，从而求解最小值（3）已知 x21-，求12x5x4x2的最小值.解题思路：该类型题一次二次题目，参照上一题我们用第一种方法进行配凑分
5、子可以凑配出以下结果：4131x2471x2x215x4x2）（）（，从而进行分离即可。后续步骤参考上一题解决方法就可以了。第二种分离方法参照上一题。（4）已知 x-1，求5x4x1x2的最大值.解题思路：该类型题二次一次题目，可以转化为一次二次1，从而利用一次二次的方法先算出来其最值，即将原式转化为1x5x4x12先算1x5x4x2的最值，从而再算出来它的倒数的最值。（5）已知 x-1，求5x4x6x5x22的最大值.解题思路：该类型题二次二次题目，该题先分离变成二次一次再解决问题，具体转化过程如下：5x4x1x54xx22）（）（=1+5x4x1x2，先求后边二次一次的范围，再加 1 即可。类型题练习（1）已知 x21-，求12x53xx2的最小值.（2）已知 x21-，求53xx12x2的最大值.（3）已知 x21-，求53xx65xx22的最大值.总结：该类型题主要借助于基本不等式的一正二定三相等，比较好理解，但是由它延伸出来的求函数范围及其值域问题就稍显复杂一点， 主要就是与对勾函数的平移变化及其次数函数相结合，从而转化为“ebxcaxy”的形式求解最值和函数范围问题。
