1、第八章第八章 立体几何初步（期末复习）立体几何初步（期末复习）考点一考点一空间几何体的结构特征空间几何体的结构特征例 1、 (1)给出下列命题：在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥；棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等.其中正确命题的个数是()A.0B.1C.2D.3(2)给出下列命题：棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形；在四棱柱中，若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；存在每个面都是直角三角形的四面体；棱台的侧棱延长后交于一点.其中正确命题的序号是_.考点考点二二空间几何
2、体的直观图空间几何体的直观图例 2、水平放置的ABC，用斜二测画法作出的直观图是如图所示的A B C，其中2O AO B，3O C ，则ABC绕AB所在直线旋转一周后形成的几何体的表面积为()A A8 3B B16 3C C8 33D D16 3 12考点考点三三空间几何体的体积空间几何体的体积例 3、已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为 1，除面ABCD外，该正方体其余各面的中心分别为点E，F，G，H，M(如图)，则四棱锥MEFGH的体积为_.变式 1、如图所示，正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为 2，侧棱长为 3，D为BC中点，则三棱锥AB1DC1的体积为()A.3B.32C.1
3、D.32考点考点四四多面体与球的切、接问题多面体与球的切、接问题例 4、在封闭的直三棱柱ABCA1B1C1内有一个体积为V的球.若ABBC，AB6，BC8，AA13，则V的最大值是()A.4B.92C.6D.263变式 2、若本例中的条件变为“直三棱柱ABCA1B1C1的 6 个顶点都在球O的球面上”，若AB3，AC4，ABAC，AA112，求球O的表面积.变式 3、三棱锥PABC中，平面PAC平面ABC，ABAC，PAPCAC2，AB4，则三棱锥PABC的外接球的表面积为()A.23B.234C.64D.643考点考点五五判断空间直线的位置关系判断空间直线的位置关系例 5、将图(1)中的等腰
4、直角三角形ABC沿斜边BC的中线AD折起得到空间四面体ABCD，如图(2)，则在空间四面体ABCD中，AD与BC的位置关系是()A.相交且垂直B.相交但不垂直C.异面且垂直D.异面但不垂直考点考点六六异面直线所成的角异面直线所成的角例 6、在长方体1111-ABCD ABC D中，1=1=BC CC，16AB D，则直线1AB与1BC所成角的余弦值为（）A33B32C36D66考点考点七七与线、面平行相关命题的判定与线、面平行相关命题的判定例 7、 (1) 在空间中，a，b，c是三条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题中的真命题是()A.若 ac，bc，则 abB.若 a，b，则 abC.
5、若 a，b，则 abD.若，a，则 a(2)下列四个正方体中，A，B，C为所在棱的中点，则能得出平面ABC平面DEF的是()考点考点八八直线与平面平行的判定与性质直线与平面平行的判定与性质例 8、在如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形，PA平面ABCD，E，F分别是线段AD，PB的中点，PAAB1.(1)证明：EF平面PDC；(2)求点F到平面PDC的距离.考点考点九九面面平行的判定与性质面面平行的判定与性质例 9、如图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：(1)B，C，H，G四点共面；(2)平面EFA1平面BCHG.变式 3
6、、如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD是直角梯形，ABCD，ABAD，AB2CD2AD4， 侧面PAB是等腰直角三角形，PAPB， 平面PAB平面ABCD，点E，F分别是棱AB，PB上的点，平面CEF平面PAD.(1)确定点E，F的位置，并说明理由；(2)求三棱锥FDCE的体积.考点考点十十线面垂直的判定与性质线面垂直的判定与性质例 10、如图，在三棱锥PABC中，ABBC2 2，PAPBPCAC4，O为AC的中点.(1)证明：PO平面ABC；(2)若点M在棱BC上，且MC2MB，求点C到平面POM的距离.考点考点十一十一面面垂直的判定与性质面面垂直的判定与性质例 11、如图，在四棱锥SAB
7、CD中，底面ABCD是梯形，ABDC，ABC90，ADSD，BCCD12AB，侧面SAD底面ABCD.(1)求证：平面SBD平面SAD；(2)若SDA120，且三棱锥SBCD的体积为612，求侧面 SAB的面积.考点考点十二十二平行与垂直的综合问题平行与垂直的综合问题例 12-1、如图，三棱锥PABC中，PA平面ABC，PA1，AB1，AC2，BAC60.(1)求三棱锥PABC的体积；(2)在线段PC上是否存在点M，使得ACBM，若存在点M，求出PMMC的值；若不存在，请说明理由.例 12-2、如图，在四棱锥PABCD中，AD平面PDC，ADBC，PDPB，AD1，BC3，CD4，PD2.(1
8、)求异面直线AP与BC所成角的余弦值；(2)求证：PD平面PBC；(3)求直线AB与平面PBC所成角的正弦值.变式 4：如图，三角形PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直，PDPC4，AB6，BC3.点E是CD边的中点，点F，G分别在线段AB，BC上，且AF2FB，CG2GB.(1)证明：PEFG.(2)求二面角PADC的正切值.(3)求直线PA与直线FG所成角的余弦值.第八章第八章 立体几何初步（期末复习）答案立体几何初步（期末复习）答案例 1 (1)A(2)例 2、B例 3、112变式 1、 C例 4、B变式 2、解、将直三棱柱补形为长方体ABECA1B1E1C1，则球O是长方体A
9、BECA1B1E1C1的外接球.体对角线BC1的长为球O的直径.因此 2R2223412 =13故S球4R2169.变式 3、D例 5、C例 6、D例 7、(1)D(2)B例 8、(1)证明取PC的中点M，连接DM，MF，M，F分别是PC，PB的中点，MFCB，MF12CB，E为DA的中点，四边形ABCD为正方形，DECB，DE12CB，MFDE，MFDE，四边形DEFM为平行四边形，EFDM，EF平面PDC，DM平面PDC，EF平面PDC.(2)解EF平面PDC，点F到平面PDC的距离等于点E到平面PDC的距离.PA平面ABCD，PADA，在 RtPAD中，PAAD1，DP2.PA平面ABC
10、D，PACB，CBAB，PAABA，CB平面PAB，CBPB，则PC3，PD2DC2PC2，PDC为直角三角形，SPDC121222.连接EP，EC，易知VEPDCVCPDE，设E到平面PDC的距离为h，CDAD，CDPA，ADPAA，CD平面PAD，则13h2213112121，h24，点F到平面PDC的距离为24.例 9、证明(1)G，H分别是A1B1，A1C1的中点，GH是A1B1C1的中位线，则GHB1C1.又B1C1BC，GHBC，B，C，H，G四点共面.(2)E，F分别为AB，AC的中点，EFBC，EF平面BCHG，BC平面BCHG，EF平面BCHG.又G，E分别为A1B1，AB的
11、中点，A1B1AB，A1GEB，四边形A1EBG是平行四边形，A1EGB.A1E平面BCHG，GB平面BCHG，A1E平面BCHG.又A1EEFE，平面EFA1平面BCHG.变式 3、解(1)因为平面CEF平面PAD，平面CEF平面ABCDCE，平面PAD平面ABCDAD，所以CEAD，又ABDC，所以四边形AECD是平行四边形，所以DCAE12AB，即点E是AB的中点.因为平面CEF平面PAD，平面CEF平面PABEF，平面PAD平面PABPA，所以EFPA，又点E是AB的中点，所以点F是PB的中点.综上，E，F分别是AB，PB的中点.(2)连接PE，由题意及(1)知PAPB，AEEB，所以
12、PEAB，又平面PAB平面ABCD，平面PAB平面ABCDAB，所以PE平面ABCD.又ABCD，ABAD，所以VFDEC12VPDEC16SDECPE161222223.例 10、(1)证明因为APCPAC4，O为AC的中点，所以OPAC，且OP23.连接OB.因为ABBC22AC，所以ABC为等腰直角三角形，且OBAC，OB12AC2.由OP2OB2PB2知，OPOB.由OPOB，OPAC且OBACO，知PO平面ABC.(2)解作CHOM，垂足为H.又由(1)可得OPCH，所以CH平面POM.故CH的长为点C到平面POM的距离.由题设可知OC12AC2，CM23BC4 23，ACB45.所
13、以OM2 53，CHsin4 55OC MCACBOM.所以点C到平面POM的距离为4 55.例 11、(1)证明设BCa，则CDa，AB2a，由题意知BCD是等腰直角三角形，且BCD90，则BD2a，CBD45，所以ABDABCCBD45，在ABD中，AD222cos45ABBDAB DB2a，因为AD2BD24a2AB2，所以BDAD，由于平面SAD底面ABCD，平面SAD平面ABCDAD，BD平面ABCD，所以BD平面SAD，又BD平面SBD，所以平面SBD平面SAD.(2)解由(1)可知ADSD2a，在SAD中，SDA120，SA2SDsin 606a.作SHAD，交AD的延长线于点H
14、，则SHSDsin 6062a，由(1)知BD平面SAD，因为SH平面SAD，所以BDSH.又ADBDD，所以SH平面ABCD，所以SH为三棱锥SBCD的高，所以VSBCD1362a12a2612，解得a1.由BD平面SAD，SD平面SAD，可得BDSD，则SB22SDBD222.又AB2，SA6，在等腰三角形SBA中，边SA上的高为642102，则SAB的面积为126102152.例 12-1、解(1)由题知AB1，AC2，BAC60，可得SABC12ABACsin 6032，由PA平面ABC，可知PA是三棱锥PABC的高.又PA1，所以三棱锥PABC的体积V13SABCPA36.(2)在平
15、面ABC内，过点B作BNAC，垂足为N.在平面PAC内，过点N作MNPA交PC于点M，连接BM.由PA平面ABC知PAAC，所以MNAC.由于BNMNN，故AC平面MBN.又BM平面MBN，所以ACBM.在 RtBAN中，ANABcosBAC12，从而NCACAN32.由MNPA，得PMANMCNC13.例 12-2、(1)解如图，由已知ADBC，故DAP或其补角即为异面直线AP与BC所成的角.因为AD平面PDC，PD平面PDC，所以ADPD.在 RtPDA中，由已知，得AP225ADPD故 cosDAPAPAD55.所以，异面直线AP与BC所成角的余弦值为55.(2)证明由(1)知ADPD，
16、又因为BCAD，所以PDBC.又PDPB，BCPBB，所以PD平面PBC.(3)解过点D作DFAB，交BC于点F，连接PF，则DF与平面PBC所成的角等于AB与平面PBC所成的角.因PD平面PBC，故PF为DF在平面PBC上的射影，所以DFP为直线DF和平面PBC所成的角.由于ADBC，DFAB，故BFAD1.由已知，得CFBCBF2.又ADDC，故BCDC.在 RtDCF中，可得DF22CDCF25在 RtDPF中，可得 sinDFPPDDF55.所以直线AB与平面PBC所成角的正弦值为55.变式 4、(1)证明因为PDPC且点E为CD的中点，所以PEDC.又平面PDC平面ABCD， 且平面
17、PDC平面ABCDCD，PE平面PDC， 所以PE平面ABCD，又FG平面ABCD，所以PEFG.(2)解由(1)知PE平面ABCD，PEAD，又ADCD，PECDE，AD平面PDC，ADPD，PDC为二面角PADC的平面角，在 RtPDE中，PD4，DE3，PE1697，tanPDCPEDE73.故二面角PADC的正切值为73.(3)解如图，连接AC，AF2FB，CG2GB，ACFG.直线PA与FG所成角即直线PA与AC所成角PAC.在 RtPDA中，PA2AD2PD225，PA5.又PC4.AC2CD2AD236945，AC35.又 cosPAC2222545 1622 5 3 5PAACPCPA AC 9 525.所以直线PA与直线FG所成角的余弦值为9 525.
