1、数学选择性必修第一册- 1 -高中数学高中数学选择性必修第一册选择性必修第一册第一章 空间向量与立体几何一、知识要点1、空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。注： （1）向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。（2）向量具有平移不变性2、空间向量的运算定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图） 。OBOAABab ;BAOA OBab ;()OPaR 运算律： （1）加法交换律：abba（2）加法结合律：)()(cbacba（3）数乘分配律：baba )(运算法则：三角形法则、平行四边形法则、平行六面体法则3、共线向量（1）如
2、果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共线向量或平行向量，a平行于b，记作ba/。（2）共线向量定理：空间任意两个向量a、b（b0） ，a/b存在实数，使ab。（3）三点共线：A、B、C 三点共线ACABOByOAxOC（其中 x+y=1）（4）与a共线的单位向量为4、共面向量（1）定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。说明：空间任意的两向量都是共面的。（2） 共面向量定理： 如果两个向量, a b不共线，p与向量, a b共面的条件是存在实数x， y使pxayb。（3）四点共面：若 A、B、C、P 四点共面ACyABxAP) 1(zyxOCzOByOA
3、xOP其中5、空间向量基本定理：如果三个向量, ,a b c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组, ,x y z，使pxaybzc。若三向量, ,abc不共面，我们把 , , a b c叫做空间的一个基底，, ,a b c叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。推论：设, , ,O A B C是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的三个有序实数 x，y，z，使OPxOAyOBzOC 。6、空间向量的直角坐标系：（1）空间直角坐标系中的坐标：在空间直角坐标系Oxyz中， 对空间任一点A， 存在唯一的有序实数组( , , )x y z， 使zkyixi
4、OA，aa数学选择性必修第一册- 2 -有序实数组( , , )x y z叫作向量A在空间直角坐标系Oxyz中的坐标， 记作( , , )A x y z，x叫横坐标，y叫纵坐标，z叫竖坐标。注：点 A（x,y,z）关于 x 轴的的对称点为(x,-y,-z),关于 xoy 平面的对称点为(x,y,-z).即点关于什么轴/平面对称，什么坐标不变，其余的分坐标均相反。在 y 轴上的点设为(0,y,0),在平面 yOz 中的点设为(0,y,z)（2）若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为1，这个基底叫单位正交基底，用 , , i j k 表示。空间中任一向量kzjyi xa=（x,y,z）（3）
5、空间向量的直角坐标运算律：若123( ,)aa a a，123( ,)bb b b，则112233(,)abab ab ab，112233(,)abab ab ab，123(,)()aaaaR，1 12 23 3a baba ba b ，112233/,()abab ab abR，1 12 23 30ababa ba b若111( ,)A x y z，222(,)B xy z，则212121(,)ABxx yy zz 一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。定比分点公式：若111( ,)A x y z，222(,)B xy z，PBAP，则点 P 坐标
6、为)1,1,1(212121zzyyxx。推导： 设 P （x， y， z） 则),(),(22211, 1zzyyxxzzyyxx,显然， 当 P 为 AB 中点时，)2,2,2(212121zzyyxxP),(),(,333222111zyxCzyxB）zy，A（xABC中， 三角形重心 P 坐标为)2,2,3(321321321zzzyyyxxxPABC 的五心：内心 P：内切圆的圆心，角平分线的交点。)(ACACABABAP（单位向量）外心 P：外接圆的圆心，中垂线的交点。PCPBPA垂心 P：高的交点：PCPBPCPAPBPA（移项，内积为 0，则垂直）重心 P：中线的交点，三等分点
7、（中位线比）)(31ACABAP中心：正三角形的所有心的合一。（4）模长公式：若123(,)aa a a，123( ,)bb b b，则222123|aa aaaa ，222123|bb bbbb （5）夹角公式：1 12 23 3222222123123cos| |aba ba ba ba babaaabbb 。数学选择性必修第一册- 3 -ABC 中0 ACABA 为锐角0 ACABA 为钝角，钝角（6）两点间的距离公式：若111( ,)A x y z，222(,)B xyz，则2222212121|()()()ABABxxyyzz ，或222,212121()()()A Bdxxyyzz
8、7、空间向量的数量积。（1） 空间向量的夹角及其表示： 已知两非零向量, a b， 在空间任取一点O， 作,OAa OBb ， 则AOB叫做向量a与b的夹角，记作, a b；且规定0,a b，显然有,a bb a；若,2a b，则称a与b互相垂直，记作：ab。（2）向量的模：设OAa ，则有向线段OA 的长度叫做向量a的长度或模，记作：|a。（3）向量的数量积：已知向量, a b，则| | cos,aba b叫做, a b的数量积，记作a b，即a b| | | | cos,aba b（4）空间向量数量积的性质：|cos,a eaa e 0aba b2|aa a （5）空间向量数量积运算律：(
9、)()()aba bab。a bb a（交换律） 。()abca ba c （分配律） 。不满足乘法结合律：)()(cbacba二、空间向量与立体几何1、线线平行两线的方向向量平行线面平行线的方向向量与面的法向量垂直面面平行两面的法向量平行2、线线垂直（共面与异面）两线的方向向量垂直线面垂直线与面的法向量平行面面垂直两面的法向量垂直3、 线线夹角（共面与异面）90,0OO两线的方向向量2,1nn的夹角或夹角的补角，21,coscosnn线面夹角90,0：求线面夹角的步骤：先求线的方向向量AP与面的法向量n的夹角，若为锐角角即可，若为钝角，则取其补角；再求其余角，即是线面的夹角.nAP,coss
10、in面面夹角（二面角）180,0：若两面的法向量一进一出，则二面角等于两法向量2,1nn的夹角；法向量同进同出，则二面角等于法向量的夹角的补角.21,coscosnn4、点面距离h：求点00,P xy到平面的距离： 在平面上去一点,Q x y，得向量PQ ;； 计算平面的法向量n;.nnPQh线面距离（线面平行） ：转化为点面距离面面距离（面面平行） ：转化为点面距离数学选择性必修第一册- 4 -第二章 直线和圆的方程一、直线方程一、直线方程1、直线的倾斜角：一条直线向上的方向与x轴正方向所成的最小正角叫做这条直线的倾斜角，其中直线与x轴平行或重合时，其倾斜角为 0，故直线倾斜角的范围是)0(
11、1800.注：当90或12xx 时，直线l垂直于x轴，它的斜率不存在.每一条直线都存在惟一的倾斜角，除与x轴垂直的直线不存在斜率外，其余每一条直线都有惟一的斜率，并且当直线的斜率一定时，其倾斜角也对应确定.2、直线方程的几种形式：点斜式、截距式、两点式、斜切式.特别地，当直线经过两点), 0(),0 ,(ba，即直线在x轴，y轴上的截距分别为)0, 0(,baba时，直线方程是：1byax.注：若232xy是一直线的方程，则这条直线的方程是232xy，但若)0(232xxy则不是这条线.附：直线系：对于直线的斜截式方程bkxy，当bk,均为确定的数值时，它表示一条确定的直线，如果bk,变化时，
12、对应的直线也会变化.当b为定植，k变化时，它们表示过定点（0，b）的直线束.当k为定值，b变化时，它们表示一组平行直线.3、 （1）两条直线平行：1l212kkl两条直线平行的条件是：1l和2l是两条不重合的直线. 在1l和2l的斜率都存在的前提下得到的. 因此，应特别注意，抽掉或忽视其中任一个“前提”都会导致结论的错误.（一般的结论是： 对于两条直线21,ll， 它们在y轴上的纵截距是21,bb， 则1l212kkl， 且21bb 或21,ll的斜率均不存在，即2121ABBA是平行的必要不充分条件，且21CC ）推论：如果两条直线21,ll的倾斜角为21,则1l212l.（2）两条直线垂直
13、：两条直线垂直的条件：设两条直线1l和2l的斜率分别为1k和2k，则有12121kkll这里的前提是21,ll的斜率都存在. 0121kll，且2l的斜率不存在或02k，且1l的斜率不存在. （即01221BABA是垂直的充要条件）4、直线的交角：（1）直线1l到2l的角（方向角） ；直线1l到2l的角，是指直线1l绕交点依逆时针方向旋转到与2l重合时所转动的角，它的范围是), 0(，当90时21121tankkkk.（2）两条相交直线1l与2l的夹角：两条相交直线1l与2l的夹角，是指由1l与2l相交所成的四个角中最小的正角，又称为1l和2l所成的角，它的取值范围是2, 0，当90，则有21
14、121tankkkk.5、过两直线0:0:22221111CyBxAlCyBxAl的交点的直线系方程(0)(222111CyBxACyBxA为参数，0222CyBxA不包括在内）6、点到直线的距离：（1） 点到直线的距离公式： 设点),(00yxP， 直线PCByAxl, 0:到l的距离为d， 则有2200BACByAxd.注：数学选择性必修第一册- 5 -两点 P1(x1,y1)、P2(x2,y2)的距离公式：21221221)()(|yyxxPP.特例：点 P(x,y)到原点 O 的距离：22|OPxy定比分点坐标分式。若点 P(x,y)分有向线段1212PPPPPP 所成的比为 即,其中
15、 P1(x1,y1),P2(x2,y2).则1,12121yyyxxx特例，中点坐标公式；重要结论，三角形重心坐标公式。直线的倾斜角（0180） 、斜率:tank过两点1212222111),(),(xxyykyxPyxP的直线的斜率公式：.12()xx当2121,yyxx（即直线和 x 轴垂直）时，直线的倾斜角90，没有斜率 新疆 学案 王新敞（2）两条平行线间的距离公式：设两条平行直线)(0:, 0:212211CCCByAxlCByAxl，它们之间的距离为d，则有2221BACCd.注：直线系方程与直线：Ax+By+C= 0 平行的直线系方程是：Ax+By+m=0.( m R, Cm).
16、与直线：Ax+By+C= 0 垂直的直线系方程是：Bx-Ay+m=0.( m R)过定点（x1,y1）的直线系方程是：A(x-x1)+B(y-y1)=0(A,B 不全为 0)过直线 l1、l2交点的直线系方程： （A1x+B1y+C1）+(A2x+B2y+C2）=0 ( R）注：该直线系不含l2.7、关于点对称和关于某直线对称：（1）关于点对称的两条直线一定是平行直线，且这个点到两直线的距离相等.（2）关于某直线对称的两条直线性质：若两条直线平行，则对称直线也平行，且两直线到对称直线距离相等.若两条直线不平行，则对称直线必过两条直线的交点，且对称直线为两直线夹角的角平分线.（3）点关于某一条直
17、线对称，用中点表示两对称点，则中点在对称直线上（方程） ，过两对称点的直线方程与对称直线方程垂直（方程）可解得所求对称点.注：曲线、直线关于一直线（bxy）对称的解法：y 换 x，x 换 y. 例：曲线 f(x ,y)=0 关于直线 y=x2 对称曲线方程是 f(y+2 ,x 2)=0.曲线 C: f(x ,y)=0 关于点(a ,b)的对称曲线方程是 f(a x, 2b y)=0.二、圆的方程二、圆的方程1、 （1）曲线与方程：在直角坐标系中，如果某曲线C上的 与一个二元方程0),(yxf的实数建立了如下关系：曲线上的点的坐标都是这个方程的解.以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.那么这个
18、方程叫做曲线方程；这条曲线叫做方程的曲线（图形）.（2）曲线和方程的关系，实质上是曲线上任一点),(yxM其坐标与方程0),(yxf的一种关系，曲线上任一点),(yx是方程0),(yxf的解；反过来，满足方程0),(yxf的解所对应的点是曲线上的点.注：如果曲线 C 的方程是 f(x ,y)=0，那么点 P0(x0,y)线 C 上的充要条件是 f(x0,y0)=02、圆的标准方程：以点),(baC为圆心，r为半径的圆的标准方程是222)()(rbyax.特例：圆心在坐标原点，半径为r的圆的方程是：222ryx.数学选择性必修第一册- 6 -0:0:222222111221FyExDyxCFyE
19、xDyxC0)()()(212121FFyEExDD注：特殊圆的方程：与x轴相切的圆方程222)()(bbyax),(),(,bababr或圆心与y轴相切的圆方程222)()(abyax),(),(,babaar或圆心与x轴y轴都相切的圆方程222)()(aayax),(,aaar圆心3、圆的一般方程：022FEyDxyx.当0422FED时，方程表示一个圆，其中圆心2,2EDC，半径2422FEDr.当0422FED时，方程表示一个点2,2ED.当0422FED时，方程无图形（称虚圆）.注：圆的参数方程：sincosrbyrax（为参数）.方程022FEyDxCyBxyAx表示圆的充要条件是
20、：0B且0 CA且0422AFED.圆的直径或方程：已知0)()(),(),(21212211yyyyxxxxyxByxA（用向量可征）.4、点和圆的位置关系：给定点),(00yxM及圆222)()( :rbyaxC.M在圆C内22020)()(rbyaxM在圆C上22020)()rbyax （M在圆C外22020)()(rbyax5、直线和圆的位置关系：设圆圆C：)0()()(222rrbyax；直线l：)0(022BACByAx；圆心),(baC到直线l的距离22BACBbAad.rd 时，l与C相切；附：若两圆相切，则002222211122FyExDyxFyExDyx相减为公切线方程.
21、rd 时，l与C相交；附：公共弦方程：设有两个交点， 则其公共弦方程为rd 时，l与C相离.附：若两圆相离，则002222211122FyExDyxFyExDyx相减为圆心21OO的连线的中与线方程.由代数特征判断：方程组0)()(222CBxAxrbyax用代入法，得关于x（或y）的一元二次方程，其判别式为，则：l0与C相切；l0与C相交；l0与C相离.注：若两圆为同心圆则011122FyExDyx，022222FyExDyx相减，不表示直线.6、圆的切线方程：圆222ryx的斜率为k的切线方程是rkkxy21过圆022FEyDxyx上一点),(00yxP的切线方程为：0220000FyyE
22、xxDyyxx.一般方程若点(x0,y0)在圆上，则(x a)(x0 a)+(y b)(y0 b)=R2. 特别地，过圆222ryx上一点),(00yxP的切线方程为200ryyxx.ABCD(a,b)数学选择性必修第一册- 7 -若点(x0,y0)不在圆上，圆心为(a,b)则1)()(2110101RxakybRxxkyy，联立求出k切线方程.7、求切点弦方程：方法是构造图，则切点弦方程即转化为公共弦方程. 如图：ABCD 四类共圆. 已知O的方程022FEyDxyx 又以 ABCD 为圆为方程为2)()(kbxyyaxxxAA4)()(222byaxRAA，所以 BC 的方程即代，相切即为
23、所求.三、曲线和方程三、曲线和方程1、曲线与方程：在直角坐标系中，如果曲线 C 和方程 f(x,y)=0 的实数解建立了如下的关系：曲线 C 上的点的坐标都是方程 f(x,y)=0 的解（纯粹性） ；方程 f(x,y)=0 的解为坐标的点都在曲线 C 上（完备性） 。则称方程 f(x,y)=0 为曲线 C 的方程，曲线 C叫做方程 f(x,y)=0 的曲线。2、求曲线方程的方法：.直接法：建系设点，列式表标,简化检验;参数法;定义法，待定系数法.数学选择性必修第一册- 8 -第三章 圆锥曲线方程一、椭圆方程一、椭圆方程1、 椭圆方程的第一定义： 平面内与两个定点 F1，F2的距离的和等于定长
24、（定长通常等于 2a， 且 2aF1F2）的点的轨迹叫椭圆。为端点的线段以无轨迹方程为椭圆21212121212121,2,2,2FFFFaPFPFFFaPFPFFFaPFPF（1）椭圆的标准方程：中心在原点，焦点在 x 轴上：)0( 12222 babyax.中心在原点，焦点在y轴上：)0( 12222 babxay.注：以上方程中, a b的大小0ab，其中222bac；在22221xyab和22221yxab两个方程中都有0ab的条件，要分清焦点的位置，只要看2x和2y的分母的大小。一般方程：)0, 0( 122BAByAx.椭圆的标准方程：12222byax的参数方程参数方程为sinc
25、osbyax（一象限应是属于20）.（2）椭圆的性质顶点：), 0)(0 ,(ba或)0 ,)(, 0(ba .轴：对称轴：x 轴，y轴；长轴长a2，短轴长b2.焦点：)0 ,)(0 ,(cc或), 0)(, 0(cc.焦距：2221,2baccFF.准线：cax2或cay2.离心率：) 10( eace .【0ac，01e，且e越接近1，c就越接近a，从而b就越小，对应的椭圆越扁；反之，e越接近于0，c就越接近于0，从而b越接近于a，这时椭圆越接近于圆。当且仅当ab时，0c ，两焦点重合，图形变为圆，方程为222xya。 】焦（点）半径：设),(00yxP为椭圆)0( 12222 babya
26、x上的一点，21,FF为左、右焦点，则0201,exaPFexaPF设),(00yxP为椭圆)0( 12222 baaybx上的一点，21,FF为上、下焦点，则0201,eyaPFeyaPF由椭圆第二定义可知：)0()(),0()(0002200201xaexxcaepFxexacaxepF归结起来为“左加右减”.注意：椭圆参数方程的推导：得)sin,cos(baN方程的轨迹为椭圆.通径：垂直于 x 轴且过焦点的弦叫做通径.坐标：),(2222abcabd和),(2abc数学选择性必修第一册- 9 -焦点三角形的面积：若 P 是椭圆：12222byax上的点.21,FF为焦点，若21PFF，则
27、21FPF的面积为2tan2b（用余弦定理与aPFPF221可得） 。若是双曲线，则面积为2cot2b。（3）共离心率的椭圆系的方程：椭圆)0( 12222 babyax的离心率是)(22bacace，方程ttbyax(2222是大于 0 的参数，)0 ba的离心率也是ace 我们称此方程为共离心率的椭圆系方程.2、椭圆的第二定义：平面内到定点 F 的距离和它到一条定直线 L（F 不在 L 上）的距离的比为常数 e（01e）的点的轨迹叫做椭圆。其中定点 F 为椭圆的焦点，定直线 L 为椭圆焦点 F 相应的准线。二、双曲线方程二、双曲线方程1、 双曲线的第一定义:平面内到到两个定点F1，F2的差
28、的绝对值等于定长 （定长通常等于2a， 且2a1）的点的轨迹叫做双曲线。其中定点 F 为双曲线的焦点，定直线 L 为双曲线焦点 F 相应的准线。三、抛物线方程三、抛物线方程（1）抛物线的概念：平面内与一定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(定点 F 不在定直线 l 上)。定点 F 叫做抛物线的焦点，定直线 l 叫做抛物线的准线。方程022ppxy叫做抛物线的标准方程。注意：它表示的抛物线的焦点在 x 轴的正半轴上，焦点坐标是 F（2p,0） ，它的准线方程是2px；（2）抛物线的性质设0p，抛物线的标准方程、类型及其几何性质：pxy22pxy22pyx22pyx22图形y
29、xOyxOyxOyxO焦点)0 ,2(pF)0 ,2(pF )2, 0(pF)2, 0(pF准线方程2px2px 2py2py 范围Ryx , 0Ryx , 00,yRx0,yRx对称轴x轴y轴顶点（0，0）离心率1e焦半径12xpPF12xpPF12ypPF12ypPF通径2p2p2p2p数学选择性必修第一册- 11 -焦点弦x1+x2+px1+x2+py1+y2+py1+y2+p注：通径（过焦点且垂直于坐标轴的线段）为 2p，这是过焦点的所有弦中最短的.pxy22（或pyx22）的参数方程为ptyptx222（或222ptyptx） （t为参数）.四、圆锥曲线的统一定义四、圆锥曲线的统一定
30、义1、圆锥曲线的统一定义：平面内到定点 F 和定直线l的距离之比为常数e的点的轨迹.当10 e时，轨迹为椭圆；当1e时，轨迹为抛物线；当1e时，轨迹为双曲线；当0e时，轨迹为圆（ace ，当bac , 0时）.【弦长公式4)(1 (1212212212xxxxkxxkAB】2、椭圆、双曲线、抛物线的标准方程与几何性质椭圆双曲线抛物线定义1、到两定点 F1,F2的距离之和为定值 2a(2a|F1F2|)的点的轨迹2、 与定点和直线的距离之比为定值 e 的点的轨迹.（0e1）1、 到两定点 F1,F2的距离之差的绝对值为定值 2a(02a1）与定点和直线的距离相等的点的轨迹.轨迹条件点集：(MMF
31、1+MF2=2a,F1F22a.点集：MMF1-MF2.=2a,F2F22a.点集M MF=点M 到直线 l 的距离.图形方程标准方程12222byax(ba 0)12222byax(a0,b0)pxy22参数方程为离心角）参数(sincosbyax为离心角）参数(tansecbyaxptyptx222(t 为参数)范围axa，byb|x| a，yRx0中心原点 O（0，0）原点 O（0，0）顶点(a,0),(a,0),(0,b) , (0,b)(a,0),(a,0)(0,0)对称轴x 轴，y 轴；长轴长 2a,短轴长 2bx 轴，y 轴;实轴长 2a, 虚轴长 2b.x 轴焦点F1(c,0)
32、, F2(c,0)F1(c,0), F2(c,0)0 ,2(pF准线x=ca2准线垂直于长轴，且在椭圆外.x=ca2准线垂直于实轴， 且在两顶点的内侧.x=-2p准线与焦点位于顶点两侧， 且到顶点的距离相等.焦距2c（c=22ba ）2c（c=22ba ）离心率) 10(eace) 1( eacee=1数学选择性必修第一册- 12 -【备注 1】双曲线：（1）等轴双曲线：双曲线222ayx称为等轴双曲线，其渐近线方程为xy，离心率2e.（2）共渐近线的双曲线系方程：)0(2222byax的渐近线方程为02222byax如果双曲线的渐近线为0byax时，它的双曲线方程可设为)0(2222byax.【备注 2】抛物线：（1）设抛物线的标准方程为2y=2px(p0)，则抛物线的焦点到其顶点的距离为2p，顶点到准线的距离2p，焦点到准线的距离为 p.（2）已知过抛物线2y=2px(p0)焦点的直线交抛物线于 A、B 两点，则线段 AB 称为焦点弦，设A(x1,y1),B(x2,y2)，则弦长AB=21xx +p 或2sin2pAB (为直线 AB 的倾斜角)，221pyy，2,41221pxAFpxx(AF叫做焦半径).弦长公式：|()()ABxxyy12212214212212kxxx x()1212kxx|数学选择性必修第一册13
