1、北京市北师大第三附属中学北京市北师大第三附属中学 2019-2020 学年高一（上学年高一（上 ）数学）数学期中考试期中考试一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 8 小题，共小题，共 32 分）分）1. 设全集1,2,3,4,5U ，2,3,4M ，4,5N ，则()UC MN（ ）A. 1B.1,5C.1,4,5D.4,5【答案】C【解析】试题分析：由题意得，1,5UC M ，所以()UC MN1,4,5，故选 C.考点：集合的运算.2. 函数1( )233f xxx的定义域为（）A. 32，3）（3，+）B. （-，3）（3，+）C. 32，+）D. （3，+）【答案】A【解析】【分析
2、】根据幂函数的定义域与分母不为零列不等式组求解即可.【详解】因为函数230123,303xyxxx，解得32x 且3x ；函数 1233fxxx的定义域为3,33,2, 故选 A【点睛】 定义域的三种类型及求法： (1)已知函数的解析式， 则构造使解析式有意义的不等式(组)求解；(2) 对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解；(3) 若已知函数 fx的定义域为, a b，则函数 f g x的定义域由不等式 ag xb求出.3. 命题“2(0,1),0 xxx ”的否定是（）A.2(0,1),0 xxxB.2(0,1),0 xxx C.2(0,1),0 xxx D.2(0,
3、1),0 xxx 【答案】B【解析】【分析】全称命题的否定是特称命题，运用全称命题的否定方法即可求解结果.【详解】因为全称命题的否定是特称命题，只需要将全称量词改为存在量词，然后否定结论.故命题“2(0,1),0 xxx ”的否定是2(0,1),0 xxx 故选：B【点睛】本题主要考查了全称命题的否定，解答方法分两步：首先将全称量词改为存在量词，其次是否定结论，即可求出结果，本题较为简单.4. 若2x ，则42xx的最小值为（）A. 4B. 5C. 6D. 7【答案】C【解析】【分析】首先将42xx转化为4222xx，再利用基本不等式求最值即可.【详解】因为2x ，所以20 x，402x所以4
4、44222226222 xxxxxx.当且仅当422xx，即4x 时取等号.所以42xx的最小值为6.故选：C【点睛】本题主要考查基本不等式求最值，同时考查学生分析问题的能力，属于简单题.5. 设aR，则“1a ”是“21a ”的（）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分叶非必要条件【答案】A【解析】【分析】首先根据21a 得到1a 或1a ，从而得到答案.【详解】由21a ，解得1a 或1a ，所以“1a ”是“21a ”的充分不必要条件.故选：A【点睛】本题主要考查充分不必要条件的判断，同时考查二次不等式的解法，属于简单题.6. 已知函数 fx的图象是两条线段
5、（如图，不含端点） ，则13ff（）A13B.13C.23D.23【答案】B【解析】【分析】根据函数图象先用分段函数的形式写出 fx的解析式，然后根据分段函数的解析式计算出13ff的值.【详解】由图象可知： 1,0,10,01,1,0 xxf xxxx ，所以112113333ffff.故选 B【点睛】本题考查分段函数求值问题，难度较易.对于给定图象的函数，首先可考虑通过图象求出函数的解析式，然后再考虑计算函数值.7. 下列四个函数中，在0,上为增函数的是（）A. 3f xxB. 23f xxxC. 11fxx D. f xx 【答案】C【解析】【分析】A. 利用一次函数的性质判断；B. 利用
6、二次函数的性质判断；C. 利用反比例函数的性质判断；D. 由 ,0,0 x xf xxx x ，利用一次函数的性质判断；【详解】A. 由一次函数的性质知： 3f xx在0,上为减函数，故错误；B. 由二次函数的性质知： 2239324fxxxx在30,2递减，在3,2上递增，故错误；C. 由反比例函数的性质知： 11fxx 在, 1 上递增，在1, 递增，则在0,上为增函数，故正确；D. 由 ,0,0 x xf xxx x 知：函数在0,上为减函数，故错误；故选：C【点睛】本题主要考查一次函数，二次函数和反比例函数的单调性，属于基础题.8. 定义, ,max a b c为, ,a b c中的最
7、大值，设 28,63h xmax xxx，则 h x的最小值为（）A.1811B. 3C.4811D. 4【答案】C【解析】【分析】首先根据题意画出 h x的图象，再根据图象即可得到 h x的最小值.【详解】分别画出2yx=，83yx，6yx的图象，则函数 h x的图象为图中实线部分.由图知：函数 h x的最低点为A，836yxyx，解得18 48,11 11A.所以 h x的最小值为4811.故选：C.【点睛】本题主要考查根据函数的图象求函数的最值，考查了数形结合的思想，属于中档题.二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 小题，共小题，共 24 分）分）9. 已知集合2,3 ,1,2,
8、ABa，若AB，则实数a=_【答案】3【解析】因为AB，所以3a 10. 已知( )f x是定义在R上的奇函数，当0,)x时，2( )2f xxx，则( 1)f .【答案】3【解析】试题分析：因为函数( )f x是定义在R上的奇函数，当0,)x时，2( )2f xxx，则2( 1)(1)(12 1)3ff .考点：函数奇偶性的应用.11. 设函数( )(1)(23 )f xxxa为偶函数，则a _【答案】23a 【解析】注意到 221211f xxxx为偶函数，故 3212afxxx，通过对比可知321,23aa .12. 若函数2212fxxx，则 3f_【答案】-1【解析】【分析】令213
9、x 再代入2212fxxx求解即可.【详解】当213x 时1x ,故 3f2211121f .故答案为：1【点睛】本题主要考查了抽象函数求值的问题,属于基础题.13. 若“1xa”是“2x ”的充分不必要条件，则实数a的取值范围为_【答案】,1【解析】【分析】首先根据1xa得到11axa ，再根据题意得到12a ，即可得到答案.【详解】由1xa解得11axa ，因为“1xa”是“2x ”的充分不必要条件，所以12a ，即1a .故答案为：,1【点睛】本题主要考查根据充分不必要条件求参数，同时考查绝对值不等式的解法，属于简单题.14. 定义在区间2,2上的偶函数 g x,当0 x 时 g x单调
10、递减,若 1gmg m，则实数m的取值范围是_【答案】1 1, )2【解析】不等式等价于：212221mmmm ，求解关于实数 m 的不等式组可得实数m的取值范围是11,2.点睛：点睛：关于奇偶性、单调性、周期性的综合性问题，关键是利用奇偶性和周期性将未知区间上的问题转化为已知区间上的问题三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 4 小题，共小题，共 44 分）分）15. 设集合1, 3Am，21,3Bmm.（1）若3AB I，求实数m的值（2）是否存在实数m使得AB.若存在，写出m的值；若不存在，请说明理由.【答案】 （1）1m 或0； （2）不存在实数m使得AB【解析】【分析】（1）首先根
11、据题意得到3B ，再分类讨论213 m和33m 即可得到答案.（2）首先假设存在实数m使得AB，从而得到12133mmm 或13321mmm ，再解方程组即可得到答案.【详解】 （1）因为3AB I，所以3B .当213 m时，1m .0, 3A，3, 4 B，3AB I，满足题意.当33m 时，0m .1, 3A，1, 3B ，3AB I，满足题意.所以1m 或0.（2）假设存在实数m使得AB，则12133mmm 或13321mmm .解得20mm或131m ，显然不存在实数m使得AB.【点睛】本题第一问考查集合的交集运算，第二问考查集合相等，属于简单题.16. 设集合|20Ax x，2|2
12、30Bx xx.（1）求集合AB（2）若不等式220axxb的解集为AB，求, a b的值【答案】 （1）| ABx x； （2）2a ，4b 【解析】【分析】（1）首先根据题意得到| Ax x，1Bx x或3x ，再求AB即可.（2）首先求出1ABx x或2x ，从而得到2和1为方程220axxb的根，再利用韦达定理即可得到答案.【详解】 （1） |20| Ax xx x，223 01Bx xxx x或3x .则| ABx x.（2）因为1ABx x或2x ，所以2和1为方程220axxb的根.所以22 12 1aba ，解得24ab .【点睛】本题主要考查集合的运算，同时考查了二次不等式，
13、属于简单题.17. 已知函数 mfxxx图象过点1,5P（1）求实数m的值，并证明函数 fx是奇函数；（2）利用单调性定义证明 fx在区间2 ，上是增函数【答案】 （1）4m ，证明略（2）见证明【解析】【分析】（1）代入点P，求得 m，再由奇函数的定义，即可得证（2）根据单调性的定义，设值，作差，变形，定符号和下结论即可得证【详解】 （） mf xxx的图象过点1,5P，51 m ，4m. 4f xxx， f x的定义域为 |0 x x ，关于原点对称， 4f xxx，又4fxxx， f xf x ， f x是奇函数（）证明：设任意212xx，则122121212121121244441x
14、xf xf xxxxxxxxxx xx x又210 xx，12x ，22x ，124x x 210f xf x， 21f xf x，即 f x在区间2,上是增函数【点睛】本题主要考查了函数解析式的求解以及单调性的判断和证明，属于基础题，难度不大，掌握相关基本方法是解决该类题目的关键18. 近年来，雾霾日趋严重，雾霾的工作、生活受到了严重的影响，如何改善空气质量已成为当今的热点问题，某空气净化器制造厂，决定投入生产某型号的空气净化器，根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律，每生产该型号空气净化器x（百台） ，其总成本为( )P x（万元） ，其中固定成本为 12 万元，并且每生产
15、1 百台的生产成本为 10 万元（总成本=固定成本+生产成本） ，销售收入( )Q x（万元）满足20.522 ,016( )224,16xxxQ xx，假定该产品销售平衡（即生产的产品都能卖掉） ，根据上述统计规律，请完成下列问题：（1）求利润函数( )yf x的解析式（利润=销售收入-总成本） ；（2）工厂生产多少百台产品时，可使利润最多？【答案】 （）20.51212,016( )212 10 ,16xxxf xx x;（）12 .【解析】试题分析： （1）先求得 P x，再由 f xQ xP x，由分段函数式可得所求； （2）分别求出各段的最大值，注意运用一次函数和二次函数的单调性求最
16、值法，然后比较两个最值即可得到结果.试题解析： （1）由题意得 12 10P xx 20.51212,016212 10 ,16xxxf xQ xP xx x.（2）当16x 时， 函数 f x递减， 1652f xf万元当016x时，函数 20.51260fxx 当12x 时， f x有最大值 60 万元所以当工厂生产 12 百台时，可使利润最大为 60 万元 .【方法点睛】本题主要考查阅读能力及建模能力、分段函数的解析式，属于难题.与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答.理解本题题意的关键是构造分段函数，构造分段函数时，做到分段合理、不重不漏，分段函数的最值是各段的最大(最小)者的最大者(最小者).
