1、2019201920202020 学年第学年第 2 2 学期高一数学学期高一数学 5 5 月摸底测试试题月摸底测试试题一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 1212 个小题，每小题个小题，每小题 5 5 分，共分，共 6060 分分) )1.（多选）下列说法中不正确的是（）A. 棱柱的侧面可以是三角形B. 正方体和长方体都是特殊的四棱柱C. 所有几何体的表面都能展开成平面图形D. 棱柱的各条棱都相等【答案】ACD【解析】【分析】从棱柱的定义出发，依次判断选项即可.【详解】解：棱柱的侧面都是四边形，A不正确；正方体和长方体都是特殊的四棱柱，B正确；不是所有几何体的表面都能展开成平面图形，球不
2、能展开成平面图形，C不正确；棱柱的各条棱并不是都相等，应该为棱柱的侧棱都相等，所以D不正确.故选：ACD.【点睛】本题考查棱柱的结构特征，考查基本知识的熟练程度，属于基础题.2.水平放置的正方体的六个面分别用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示，如图所示， 是一个正方体的表面展开图， 若图中“2”在正方体的上面， 则这个正方体的下面是()A. 0B. 9C. 快D. 乐【答案】B【解析】根据一个正方体的表面展开图以及图中“2”在正方体的上面， 把该正方体还原， 其直观图为：由直观图可得这个正方体的下面是9，故选 B【方法点睛】本题主要考查空间线能力、抽象思维能力，属于难题.利用展开图复原
3、几何体考查空间想象能力，要求较高，难度较大，好多同学对这种题型感到束手无策，解答该题型可以先固定一个面，采取多种方案逐一验证；也可以利用一种更直观的方法，就是自己动手，制作纸片模型.3.如图，O A B 是水平放置的OAB的直观图，则AOB的面积是（）A. 6B.3 2C.6 2D. 12【答案】D【解析】【分析】根据直观图，还原出原图，然后求解面积.【详解】由直观图可知，OAB是一个直角三角形，两个直角边分别为 4 和 6，所以AOB的面积为146122创=.故选：D.【点睛】本题主要考查直观图和原图之间的关系，准确还原成原图是求解的关键，侧重考查直观想象的核心素养.4.下列几何图形中，可能
4、不是平面图形的是()A. 梯形B. 菱形C. 平行四边形D. 四边形【答案】D【解析】【分析】由题意结合所给的选项确定可能不是平面图形的几何体即可.【详解】有定义易知梯形，菱形，平行四边形都是平面图形，四边形可能是空间四边形，如将菱形沿一条对角线折叠成 4 个顶点不共面的四边形.本题选择D选项.【点睛】本题主要考查几何体的定义与应用，属于基础题.5.某篮球队甲、乙两名运动员练习罚球，每人练习 10 组，每组罚球 40 个.命中个数的茎叶图如下图，则下面结论中错误的一个是（）A. 甲的极差是 29B. 甲的中位数是 24C. 甲罚球命中率比乙高D. 乙的众数是 21【答案】B【解析】【分析】通过
5、茎叶图找出甲的最大值及最小值求出极差判断出A对；找出甲中间的两个数，求出这两个数的平均数即数据的中位数，判断出D错；根据图的数据分布，判断出甲的平均值比乙的平均值大，判断出C对【详解】由茎叶图知甲的最大值为 37，最小值为 8，所以甲的极差为 29，故A对甲中间的两个数为 22，24，所以甲的中位数为2224232故B不对甲的命中个数集中在 20 而乙的命中个数集中在 10 和 20，所以甲的平均数大，故C对乙的数据中出现次数最多的是 21，所以D对故选B【点睛】茎叶图的优点是保留了原始数据，便于记录及表示，能反映数据在各段上的分布情况茎叶图不能直接反映总体的分布情况，这就需要通过茎叶图给出的
6、数据求出数据的数字特征，进一步估计总体情况6.在一次歌手大奖赛上，七位评委为某歌手打出的分数如下：9.4、8.4、9.4、9.9、9.6、9.4、9.7，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值和方差分别为（）A. 9.4，0.484B. 9.4，0.016C. 9.5，0.04D. 9.5，0.016【答案】D【解析】【分析】去掉一个最高分和一个最低分后，利用平均值和方差的求解公式可求所剩数据的平均值和方差.【详解】去掉一个最高分和一个最低分后，剩余分数如下：9.4、9.4、9.6、9.4、9.7，平均值为1(9.49.49.69.49.7)9.55；方差为222221(9.49.5)
7、(9.49.5)(9.69.5)(9.49.5)(9.79.5) 0.0165；故选：D.【点睛】本题主要考查平均数和方差的求解，明确求解公式是解题关键，侧重考查数据分析的核心素养.7.把红、蓝、白 3 张纸牌随机地分发给甲、乙、丙三个人，每人分得 1 张，事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是()A. 对立事件B. 不可能事件C. 互斥但不对立事件D. 以上都不对【答案】C【解析】黑、红、白 3 张纸牌分给甲、乙、丙三人，每人一张，事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”不可能同时发生，但事件“甲分得红牌”不发生时，事件“乙分得红牌”有可能发生，有可能不发生，事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是
8、互斥但不对立事件故选 C8.口袋中有 100 个大小相同的红球、白球、黑球，其中红球 45 个，从口袋中摸出一个球，摸出白球的概率为 0.23，则摸出黑球的概率为（）A. 0.45B. 0.67C. 0.64D. 0.32【答案】D【解析】【分析】根据古典概型的概率公式先求出事件“从口袋中摸出一个红球”的概率，再根据互斥事件的概率加法公式求出“从口袋中摸出一个白球或红球”的概率，即可由对立事件的概率公式求出摸出黑球的概率【详解】设“摸出一个红球”为事件A，“摸出一个白球”为事件B，“摸出一个黑球”为事件C，显然事件A，B，C都互斥，且C与AB对立因为P（A）451000.45，P（B）0.23
9、，所以P（AB）P（A）P（B）0.450.230.68，P（C）1P（AB）10.680.32.故选：D【点睛】本题主要考查古典概型的概率公式的应用，互斥事件的概率加法公式以及对立事件的概率公式的应用，属于基础题9.等差数列 na中，若81335aa，且10a ，nS为前n项和，则nS中最大的是（）A.21SB.20SC.11SD.10S【答案】B【解析】【分析】设等差数列 na的公差为d，由81335aa，利用通项公式化为12390ad，得119.5ad ，由10a 可得0d ，2112020022nn ndSnadnd，利用二次函数的单调性即可得出答案【详解】设等差数列 na的公差为d，
10、81335aa，1137512adad即12390ad10a ，则0d 等差数列 na单调递减2112020022nn ndSnadnd，当20n 时，数列 nS取得最大值故选：B【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式，二次函数的单调性，考查了推理能力与运算能力，属于中档题10.已知等比数列 na的前n项和为1136nnSx，则x的值为()A.13B.13C.12D.12【答案】C【解析】1136nnSx，1211112333663nnnnnnaSSxxx ，11211,362axSxx，故选 C.11.在ABC 中，222sinsinsinsinsinABCBC则的取值范围
11、是（ ）A.（0，6B. 6，）C. （0，3D. 3，）【答案】C【解析】【详解】试题分析：由于222sinsinsinsinsinABCBC，根据正弦定理可知222abcbc，故2221cos22bcaAbc又(0, )A，则A的范围为0,3.故本题正确答案为 C.考点：三角形中正余弦定理的运用.12.如图所示，在ABC，已知:1:2AB，角C的平分线CD把三角形面积分为3:2两部分，则cos A等于（）A.13B.12C.34D.0【答案】C【解析】【分析】由两个三角形的面积比，得到边32ACCB，利用正弦定理sinsinBCACAB求得cos A的值.【详解】角C的平分线CD，ACDB
12、CD ACDBCDSS1sin3212sin2AC CDACDACCBCB CDBCD，设3 ,2ACx CBx，:1:2AB，设,2AB，在ABC中，利用正弦定理233sinsin22sincosxxx，解得：3cos4.【点睛】本题考查三角形面积公式、正弦定理在平面几何中的综合应用.二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 4 个小题，每空个小题，每空 5 5 分，共分，共 2020 分）分）13.棱长为 1 的正方体的顶点都在同一个球面上，则该球面的表面积为_【答案】3【解析】【分析】棱长为 1 的正方体的八个顶点都在同一个球面上，球的直径是正方体的对角线，从而得到结果【详解】棱长为
13、 1 的正方体的八个顶点都在同一个球面上，球的直径是正方体的对角线，球的半径是r32，球的表面积是 4232 3故答案为 3【点睛】本题考查球内接多面体，注意在立体几何中，球与正方体的关系有三种，这是其中一种，还有球和正方体的面相切，球和正方体的棱相切，注意把三个题目进行比较14.设 b 和 c 分别是先后抛掷一颗骰子得到的点数， 则方程 x2bx+c=0 有实根的概率为【答案】【解析】试题分析：由已知 b24c0，b 和 c 分别是先后抛掷一颗骰子得到的点数，基本事件总数n=66=36，再用列举法求出方程 x2bx+c=0 有实根，即 b24c 包含的基本事件个数，由此能求出方程 x2bx+
14、c=0 有实根的概率解：方程 x2bx+c=0 有实根，=（b）24c=b24c0，b 和 c 分别是先后抛掷一颗骰子得到的点数，基本事件总数 n=66=36，方程 x2bx+c=0 有实根，即 b24c 包含的基本事件情况有：b=2 时，c 可取 1；b=3 时，c 可取 1，2；b=4 时，c 可取 1，2，3，4；b=5 时，c 可取 1，2，3，4，5，6；b=6 时，c 可取 1，2，3，4，5，6，方程 x2bx+c=0 有实根，即 b24c 包含的基本事件个数 m=1+2+4+6+6=19，方程 x2bx+c=0 有实根的概率 p= =故答案为考点：古典概型及其概率计算公式15.
15、数列 nx满足1lg1lg()nnxxxN ， 且x1+x2+x100=100， 则lg(x101+x102+x200）=_【答案】102【解析】【分析】由对数运算性质得出数列 nx是等比数列， 公比为 10， 再利用等比数列的项的关系可得答案.【详解】111lg1lglg1,10,nnnnnnxxxxxx ，所以数列 nx是等比数列，公比为 10，所以10010110220012110000lg()lg10lg 100 10102xxxxxx，故答案为：102.【点睛】本题考查等比数列及对数运算公式，关键在于准确地运用等比数列公式和对数运算性质，属于中档题.16. 某人在 C 点测得塔顶 A
16、 在南偏西 80，仰角为 45，此人沿南偏东 40方向前进 10m 到D，测得塔顶 A 的仰角为 30，则塔高为_m.【答案】10【解析】如图，设塔高为 h，在 RtAOC 中，ACO45，则 OCOAh.在 RtAOD 中，ADO30，则 OD3h.在OCD 中，OCD120，CD10.由余弦定理得 OD2OC2CD22OCCDcosOCD，即(3h)2h21022h10cos120，h25h500，解得 h10 或 h5(舍)三、解答题三、解答题( (本大题共本大题共 6 6 个小题，共个小题，共 7070 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步
17、骤) )17.已知数列 na是首项为1 的等差数列， 且公差不为零 而等比数列 nb的前三项分别是1a，2a，6a（1）求数列 na的通项公式na；（2）若b1+b2+bk=85，求正整数k的值【答案】 （1）32nan（2）4【解析】【分析】（1）利用等差数列的通项公式、等比数列的定义即可得出；（2）利用等比数列的定义和前n项和公式即可得出【详解】 （1）设数列 na的公差为0d ，由1a，2a，6a为等比数列的前三项，所以，2216aa a，即2111 5dd ，解得3d ，所以，数列 na的首项为1，公差为3的等差数列，故通项公式为32nan.（2）由（1）知，111ab，224ab，6
18、316ab，则等比数列 nb的首项为1，公比为214qbb，故通项公式为14nnb，所以，11231 4144851 4kkkbbbb ，解得4k .故正整数4k .【点睛】本题考查等差、等比数列，熟练掌握等差数列的通项公式、等比数列的定义和前n项和公式是解题的关键18. 在ABC 中，角 A，B，C 对应的边分别是 a，b，c，已知 cos2A3cos（B+C）=1（1）求角 A 的大小；（2）若ABC 的面积 S=5，b=5，求 sinBsinC 的值【答案】 （1）（2）57【解析】试题分析： （1）根据二倍角公式,三角形内角和,所以,整理为关于的二次方程，解得角的大小； （2）根据三角
19、形的面积公式和上一问角，代入后解得边，这样就知道,然后根据余弦定理再求，最后根据证得定理分别求得和.试题解析： （1）由 cos 2A3cos(BC)1，得 2cos2A3cos A20，即(2cos A1)(cos A2)0，解得 cos A或 cos A2(舍去)因为 0A，所以 A.（2）由 Sbcsin Abcbc5，得 bc20，又 b5，知 c4.由余弦定理得 a2b2c22bccos A25162021，故 a.从而由正弦定理得 sin B sin Csin Asin Asin2A.考点：1.二倍角公式；2.正余弦定理；3.三角形面积公式.【方法点睛】 本题涉及到解三角形问题，
20、所以有关三角问题的公式都有涉及， 当出现时，就要考虑一个条件，,这样就做到了有效的消元，涉及三角形的面积问题，就要考虑公式,灵活使用其中的一个.19.如图，在正三棱柱 ABCA1B1C1中，AB3，AA14，M 为 AA1的中点，P 是 BC 上的一点，且由 P 沿棱柱侧面经过棱 CC1到 M 的最短路线长为29，设这条最短路线与 CC1的交点为 N求：(1)该三棱柱的侧面展开图的对角线的长；(2)PC 和 NC 的长【答案】(1) 97(2) PC2, NC=45【解析】【分析】(1)由题意结合展开图的特征求解其对角线长即可；(2)首先画出其展开图，然后结合展开图的几何特征即可求得PC和NC
21、的长【详解】(1)正三棱柱ABCA1B1C1的侧面展开图是一个长为 9，宽为 4 的矩形，其对角线的长为229497(2)如图所示，将平面BB1C1C绕棱CC1旋转 120使其与侧面AA1C1C在同一平面上，点P运动到点P1的位置，连接MP1，则MP1就是由点P沿棱柱侧面经过棱CC1到点M的最短路线设PCx，则P1Cx在RtMAP1中，在勾股定理得(3x)22229，求得x2PCP1C211PCNCMAPA25，NC=45【点睛】本题主要考查正棱柱的几何特征，侧面展开图的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.20.为了解某市开展群众体育活动的情况， 拟采用分层抽样的方法从, ,A
22、B C三个区中抽取7个工厂进行调查，已知, ,A B C区中分别有18,27,18个工厂（1）求从, ,A B C区中应分别抽取的工厂个数；（2）若从抽得的7个工厂中随机地抽取2个进行调查结果的对比，计算这2个工厂中至少有一个来自A区的概率【答案】 1 2 3 2， ，； 11221P 【解析】【详解】解： （1）工厂总数为 18271863（2）样本容量与总体中的个体数之比为71639从A、B、C三个区应分别抽取工厂数分别为111182 273182999，（2）设12,A A为在 A 区中抽的 2 个工厂，123,B B B为在 B 区中抽的 3 个工厂，12,C C为在 C 区中抽的 2
23、 个工厂，在这 7 个工厂中随机抽取 2 个，全部的结果如下：共 21 种不同结果，抽取的 2 个工厂至少有一个来自 A 区，共有 11 种，如下： 1211121311122122232122A ,A, A ,B , A ,BA ,B, A ,C, A ,C, A ,B , A ,BA ,B, A ,C, A ,C故所求概率1121P 21.如图，扇形 AOB，圆心角 AOB 等于 60，半径为 2，在弧 AB 上有一动点 P，过 P 引平行于OB 的直线和 OA 交于点 C，设AOP，求POC 面积的最大值及此时的值.【答案】33.【解析】【分析】根据CPOB求得CPO和和OCP，进而在P
24、OC中利用正弦定理求得PC和OC，进而利用三角形面积公式表示出S（） ，利用两角和公式化简整理后，利用的范围确定三角形面积的最大值【详解】因为CPOB，所以CPOPOB60，OCP120在POC中，由正弦定理得OPCPsin PCOsin，2120CPsinsin，所以CP43sin又260120OCsinsin，OC43sin（60） 因此POC的面积为S（）12CPOCsin1201243sin43sin（60）3243sinsin（60）43sin（32cos12sin）43（32sincos12sin2）23（32sin212cos212）23cos（260）12，（0，60） 所以当
25、30时，S（）取得最大值为33【点睛】本题主要考查了三角函数的模型的应用考查了考生分析问题和解决问题的能力22.一个车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了 10 次试验测得的数据如下：零件数x（个）102030405060708090100加工时间y（分） 626875818995102108115122（1）y与x是否具有线性相关关系？（2）如果y与x具有线性相关关系，求回归直线方程；（3）根据求出的回归直线方程，预测加工 200 个零件所用的时间为多少？附:对于一组数据(x1,y1),(x2,y2),(xn,yn),其回归直线y=bx+a的斜率和截距的最小二乘估计分
26、别为b=1221niiiniix ynxyxnx,a=y-bx.【答案】 （1）具有线性相关关系； （2）0.668554.9325yx；（3）189分钟.【解析】【分析】（1）根据表中提供的数据，作出散点图，观察可得y与x具有线性相关关系；（2）根据参考公式和数据先求出b，结合a=y-bx可求a，从而可得回归直线方程；（3）根据求出的回归直线方程，把200 x 代入方程可预测加工 200 个零件所用的时间.【详解】 （1）根据数据作出散点图，由散点图观察可知y与x具有线性相关关系；（2）由题意可求55,91.7xy，10155950iiix y，102138500iix，所以1011022211055950 10 55 91.70.668538500 10 5510iiiiix yxybxx91.70.6685 5554.9325aybx所以0.668554.9325yx.（3）当200 x 时，0.668554.9325189yx，所以预测加工 200 个零件所用的时间为189分钟.【点睛】本题主要考查回归直线方程，明确公式中各项的含义，准确计算是求解的关键，侧重考查数据分析的核心素养.
