1、2019201920202020 学年度第二学期期中调研测试学年度第二学期期中调研测试高一数学试题高一数学试题一、单项选择题（本题共一、单项选择题（本题共 8 8 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 4040 分分. .在每小题给出的四个选项中，只有在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将答案涂到答案卷相应位置）一项符合题目要求，请将答案涂到答案卷相应位置）1.直线310 xy 的斜率为（）A.3B.3C.33D.33【答案】C【解析】【分析】310 xy 可化为3333yx，即可得出斜率.【详解】310 xy 可化为3333yx，则33k 故选：C【点睛】本题主要考查
2、了已知直线方程求斜率，属于基础题.2.在ABC中，已知三边a、b、c满足2223aabcb，则C等于（）A.6B.3C.4D.34【答案】A【解析】【分析】利用余弦定理求解即可.【详解】由题意可得2223abcab，则222322abcab即3cos2C ，(0, )C，6C故选：A【点睛】本题主要考查了余弦定理的应用，属于中档题.3.长方体的三个相邻面的面积分别为 2，3，6，则该长方体外接球的表面积为()A.72B.56C.14D.64【答案】C【解析】【分析】由题意首先求得长方体的棱长，然后求解其外接球的表面积即可.【详解】设长方体的棱长分别为, ,a b c，则236abbcac，所以
3、236abc，于是213abc，设球的半径为R，则2222414Rabc，所以这个球面的表面积为24 R14本题选择C选项.【点睛】与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.4.在ABC中，已知AB4，A30，B120，则ABC的面积为（）A. 4B. 43C. 8D. 83【答案】B【解析】【分析】由内角和定理得出30C，进而得出4ABBC，结合三角形面积公式求
4、解即可.【详解】30 ,120AB1803012030C4ABBC11sin4 44 32322ABCSAB BCB 故选：B【点睛】本题主要考查了三角形面积公式的应用，属于中档题.5.已知直线320 xy与直线2 340 xty平行，则t的值是（）A. 2B.3C. 1D. 4【答案】A【解析】【分析】利用两直线平行，斜率的关系求解即可.【详解】320 xy可化为32yx 因为直线320 xy与直线2 340 xty平行，所以2 33t 解得2t 故选：A【点睛】本题主要考查了由直线平行求参数，属于中档题.6.如图所示， 将等腰直角ABC沿斜边BC上的高AD折成一个二面角， 使得BAC60
5、那么这个二面角大小是（）A. 30B. 60C. 90D. 120【答案】C【解析】【分析】根据折的过程中不变的角的大小、结合二面角的定义进行判断即可.【详解】因为AD是等腰直角ABC 斜边 BC 上的高，所以2,902BDDCACADCADB ，因此B DC是二面角的平面角，BAC60所以B AC是等边三角形，因此=B C ABAC，在B DC中=90B DC.故选：C【点睛】本题考查了二面角的判断，考查了数学运算能力，属于基础题.7.已知直线1:lykxb，2:lybxk，则它们的图象可能为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据直线的倾斜方向和纵截距的正负确定两个直线方程, k
6、 b的正负后可得正确的选项.【详解】对于 A，直线1l方程中的0,0kb，直线2l方程中的0,0kb，矛盾；对于 B，直线1l方程中的0,0kb，直线2l方程中的0,0kb，矛盾；对于 C，直线1l方程中的0,0kb，直线2l方程中的0,0kb，符合；对于 D，直线1l方程中的0,0kb，直线2l方程中的0,0kb，矛盾；故选 C.【点睛】如果直线方程的形式是点斜式ykxm，则可以根据直线不同的倾斜程度确定它们斜率的大小（也可以确定它们的符号） ，一般地，如果直线经过第一、三象限，则斜率为正；如果直线经过第二、四象限，则斜率为负.8.魏晋时期数学家刘徽在他的著作九章算术注中，称一个正方体内两个
7、互相垂直的内切圆柱所围成的几何体为“牟合方盖”，刘徽通过计算得知正方体的内切球的体积与“牟合方盖”的体积之比应为:4，若正方体的棱长为 3，则“牟合方盖”的体积为（）A.18 3B. 18C. 6D.1283【答案】B【解析】【分析】由正方体内接球的半径以及球的体积公式得出正方体的内切球的体积，结合题意，即可得出“牟合方盖”的体积.【详解】由题意可得正方体的内切球的半径为32则正方体的内切球的体积31439322V设“牟合方盖”的体积为2V，由题意得214VV则21494182VV故选：B【点睛】本题主要考查了多面体的内切球问题，球的体积的计算，属于中档题.二、多项选择题（选错或多选得二、多项
8、选择题（选错或多选得 0 0 分，选对且不全得分，选对且不全得 3 3 分，每小题分，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分）分）9.已知,m n表示直线，, 表示平面，下列正确的是（）A./ / ,/ /mnmnB.,/ / ,nmnmC./ / ,mn mnD./ / ,/ / /mn mn或n 【答案】CD【解析】【分析】根据直线与直线，直线与平面，平面与平面的位置关系进行判断即可.【详解】对 A 项，若/ / ,mn，则m与n可能异面或平行，故 A 错误；对 B 项，若,/ / ,nm，则m与n可能异面，平行，相交，故 B 错误；对 C 项，由线面垂直的性质可得，若/ / ,mn
9、m，则n，故 C 正确；对 D 项，当/ / ,/ /mn m时，根据线面平行的判定定理可知，若n在平面外，则/ /n，若n在平面内，则n ，故 D 正确；故选：CD【点睛】本题主要考查了空间中直线，平面的位置关系，属于中档题.10.根据下列情况，判断三角形解的情况，其中正确的是（）A.8,16,30abA，有两解B.18,20,60bcB，有两解C.5,2,90acA，无解D.30,25,150abA，有一解【答案】BD【解析】【分析】由正弦定理，结合大边对大角，三角形内角和定理，进行判断即可.【详解】对 A 项，若8,16,30abA，由正弦定理可得816sin30sinB，解得sin1B
10、 ，则2B，此时该三角形只有一解，故 A 错误；对 B 项，若18,20,60bcB，由正弦定理可得1820sin60sinC，解得5 3sin9C 根据大边对大角可得CB，则C可以为锐角，也可以为钝角，故三角形有 2 解，故 B 正确；对 C 项，若5,2,90acA，由正弦定理可得52sin90sinC，解得2sin5C ，则三角形只有一解，故 C 错误；对 D 项，若30,25,150abA，由正弦定理可得3025sin150sin B，解得5sin12B ，由150A，则B为锐角，可得三角形有唯一解，故 D 正确；故选：BD【点睛】本题主要考查了由正弦定理判断三角形解的个数，属于中档题
11、.11.下列说法正确的是（）A. 若一个平面经过另一个平面的垂线，则这两个平面相互垂直B. 若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，则这两个平面相互平行C. 垂直于同一直线的两条直线相互平行D. 若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线垂直的直线与另一个平面也垂直【答案】AD【解析】【分析】由面面垂直的判定定理以及性质判断 AD，由面面平行的判定定理判断 B，由直线与直线的位置关系判断 C.【详解】对 A 项，由面面垂直的判定定理可得，A 正确；对 B 项，由面面平行的判定定理可知，当这两条直线平行时，这两个平面不一定平行，故 B错误；对 C 项，垂直于同一直线的两条直线可能平行，也可能相
12、交或异面，故 C 错误；对 D 项，根据面面垂直的性质定理可知，D 正确；故选：AD【点睛】本题主要考查了面面垂直的判定定理以及性质，面面平行判定定理，直线与直线的位置关系，属于中档题.12.下列说法中，正确的有（）A. 过点(1,2)P且在x，y轴截距相等的直线方程为30 xyB. 直线32yx在y轴上的截距为2C. 直线310 xy 的倾斜角为60D. 过点(5,4)并且倾斜角为90的直线方程为50 x 【答案】BD【解析】【分析】由点(1,2)P在直线2yx上，结合截距的定义判断 A；令0 x ，得出该直线在y轴上的截距，从而判断 B；先得出该直线的斜率，从而得出其倾斜角，判断 C；由倾
13、斜角为90的直线上的所有点的横坐标都相等，从而判断 D.【详解】对 A 项，点(1,2)P在直线2yx上，且该直线在x，y轴截距都为0，则 A 错误；对 B 项，令0,2xy ，则直线32yx在y轴上的截距为2，则 B 正确；对 C 项，310 xy 可化为3333yx，则该直线的斜率3tan3k，则倾斜角30，则 C 错误；对 D 项，过点(5,4)并且倾斜角为90的直线上的所有点的横坐标5x ，则 D 正确；故选：BD【点睛】本题主要考查了斜率与倾斜角的变换关系，直线的截距的性质，属于中档题.三、填空题（本题共三、填空题（本题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 20
14、20 分）分）13.过点( 1,2)，且斜率为 2 的直线方程是_【答案】240 xy【解析】【分析】根据点斜式写出方程即可.【详解】由点斜式方程可得22(1)yx，即该直线的方程为240 xy故答案为：240 xy【点睛】本题主要考查了写出直线的点斜式方程，属于基础题.14.ABC中，已知AB1，AC2，3A，点D为BC边的中点，则AD=_【答案】72【解析】【分析】由余弦定理得出BC的长，结合勾股定理得出ABBC，再由勾股定理得出AD的长.【详解】由余弦定理可得22122 1 2 cos603BC 222BCABAC，ABBC222237122ADABBD故答案为：72【点睛】本题主要考查
15、了余弦定理的应用，属于中档题.15.四棱锥PABCD中，PA 平面ABCD，底面ABCD是正方形，且4PAAB，则直线PB与平面PAC所成角为_【答案】6【解析】【分析】由线面垂直的判定定理以及性质得出BO 平面PAC，从而得出BPO是直线PB与平面PAC所成角，结合勾股定理以及直角三角形的边角关系，即可得出直线PB与平面PAC所成角.【详解】因为PA 平面ABCD，底面ABCD是正方形，所以,BDAC BDPA由线面垂直的判定定理可得BD 平面PAC，则BO 平面PAC则BPO是直线PB与平面PAC所成角4PAAB，4 2,2 2PBBO1sin2BOBPOPB直线与平面的夹角的范围为0 ,
16、906BPO故答案为：6【点睛】本题主要考查了求直线与平面的夹角，属于中档题.16.数学家默拉在 1765 年提出定理，三角形的外心，重心，垂心(外心是三角形三条边的垂直平分线的交点重心是三角形三条中线的交点，垂心是三角形三条高的交点)依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线，已知ABC的顶点( 1,0),(0,3),BCABAC，则ABC的欧拉线方程为_【答案】340 xy【解析】【分析】因为ABAC，所以ABC外心，重心，垂心都位于线段BC的垂直平分线上，由两直线垂直斜率的关系以及两点的斜率公式得出线段BC的垂直平分线的斜率，由中点坐
17、标公式得出BC的中点坐标，最后由点斜式写出方程.【详解】因为ABAC，所以ABC外心，重心，垂心都位于线段BC的垂直平分线上设线段BC的垂直平分线的斜率为k，则1BCkk 3030( 1)BCk ，13k 又因为BC的中点坐标为1 3,2 2所以ABC的欧拉线方程为311()232yx ，即340 xy故答案为：340 xy【点睛】本题主要考查了两直线垂直斜率间的关系，中点坐标公式，点斜式写出直线方程，属于中档题.四、解答题（四、解答题（10+12+12+12+12+1210+12+12+12+12+12，共，共 7070 分解答应写出文字说明、证明过程或演示步骤）分解答应写出文字说明、证明过
18、程或演示步骤）17.在ABC中，已知AB2，AC3，A60.(1)求BC的长；(2)求 sinC的值.【答案】 （1）7； （2）217【解析】【分析】（1）利用余弦定理求得BC的长.（2）利用余弦定理求得cosC的值，进而求得sinC的值.【详解】 （1）由余弦定理得222cosBCABACAB ACA4967.（2） 由余弦定理得2229742 7cos272 37ACBCABCAC BC .由于C是三角形的内角，所以221sin1cos7CC=-=.【点睛】本小题主要考查利用余弦定理求边长，考查利用余弦定理计算角的余弦值，考查同角三角函数的基本关系式，属于基础题.18.如图，在直三棱柱A
19、BCA1B1C1中，ABC2，M是棱AC的中点，且ABBCBB11.（1）求证：AB1/平面BC1M（2）求异面直线AB1与BC1所成角的大小【答案】 （1）证明见解析（2）3【解析】【详解】 （1）证明：如图，连接B1C交BC1于点O，连接OMO为B1C的中点，M为AC的中点，OMAB1.又AB1平面BC1M，OM平面BC1M，AB1平面BC1M.（2）解：ABBCBB11，ABC2，D是棱AC的中点1122262222CMOMC OC M11/ /OMABAB与1BC所成的角即为1OC与OM所成角，设1C OM，则在1C OM中，由余弦定理知：2221111cos22OCOMC MOC O
20、M 23又因为异面直线所成角取值范围为：0,21AB与1BC的夹角为3（或在OBM中证明OBM为正三角形也可）19.已知ABC的顶点为(0,4), (1, 2),( 3, 4)ABC （1）求BC边上的中线AM所在的直线方程；（2）求AB边上的高所在的直线方程【答案】 （1）74yx； （2）6210 xy【解析】【分析】（1）求出BC中点M的坐标，求出直线AM的斜率，即可得出其直线方程；（2）先求出直线AB的斜率，利用直线垂直的斜率关系，得出AB边上高所在直线的斜率，最后由点斜式得出方程.【详解】 （1）ABC的顶点为(0,4), (1, 2),( 3, 4)ABC ( 1, 3)M 437
21、0 1kBC边上的中线方程为74yx.（2）2461 0 ABkAB边上的高所在的直线方程为：14(3)6yx，即6210 xy【点睛】本题主要考查了求直线方程，涉及了斜率公式，中点坐标公式，直线垂直斜率间关系的应用，属于中档题.20.据说伟大的阿基米德逝世后，敌军将领马塞拉斯给他建了一块墓碑，在墓碑上刻了一个如图所示的图案，图案中球的直径、圆柱底面的直径和圆柱的高相等，圆锥的顶点为圆柱上底面的圆心，圆锥的底面是圆柱的下底面（1）试计算出图案中圆柱与球的体积比；（2）假设球半径12rcm试计算出图案中圆锥的体积和表面积.【答案】 （1）32（2）体积：31152cm. 表面积：2144 15c
22、m【解析】【分析】（1）利用球和圆柱的体积公式求解即可；（2）由球的半径得出圆锥的底面半径以及高，进而得出母线长，再由圆锥的体积公式以及圆的面积公式，扇形的面积公式得出圆锥的体积和表面积.【详解】 （1）设球的半径为r，则圆柱底面半径为r，高为2r圆柱的体积23122Vrrr球的体积3243Vr圆柱与球的体积比为：313223423VrVr（2）由题意可知：圆锥底面半径为12rcm，高为224rcm圆锥的母线长：222512 5lrrrcm圆锥体积：23312212115233Vrrcm.圆锥表面积：22144144 5144 15Srrlcm.【点睛】本题主要考查了求圆锥的体积和表面积，圆柱
23、和球的体积，属于中档题.21.风景秀美的宝湖畔有四棵高大的银杏树，记作 A，B，P，Q，湖岸部分地方围有铁丝网不能靠近欲测量 P，Q 两棵树和 A，P 两棵树之间的距离，现可测得 A，B 两点间的距离为 100 m，PAB75，QAB45，PBA60，QBA90，如图所示则 P，Q 两棵树和 A，P两棵树之间的距离各为多少？【答案】50 6【解析】【分析】在三角形PAB中，由内角和定理求出APB的度数，由sin,sinAPBABC，以及AB的长，利用正弦定理求出AP的长即可，在三角形QAB中，由ABQ为直角，CAB为045，得到QAB为等腰直角三角形，根据AB求出AQ的长，利用余弦定理即可求解
24、.【详解】PAB 中，APB180(7560)45，由正弦定理得AP50.QAB 中，ABQ90，AQ100，PAQ754530，由余弦定理得 PQ2(50)2(100)2250100cos305000，PQ50.因此，P，Q 两棵树之间的距离为 50m，A，P 两棵树之间的距离为 50m.【点睛】本题主要考查了解三角形的实际应用问题，其中在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定
25、理都有可能用到，着重考查了分析问题和解答问题的能力.22.已知直线l：(12 )(1)720m xmym（1）求证：不论m为何实数，直线l恒过一定点M；（2）过定点M作一条直线1l，使夹在两坐标轴之间的线段被M点平分，求直线1l的方程【答案】 （1）证明见解析； （2）360 xy【解析】【分析】（1）将直线l整理得：(2)(27)0 xymxy，由题意得出20270 xyxy，得出定点的坐标；（2）设出直线1l的方程，求出其与坐标轴的交点坐标，结合题意，列出方程，即可得出直线1l的方程.【详解】 （1）证明：直线l整理得：(2)(27)0 xymxy令20270 xyxy解得：31xy 则无论m为何实数，直线l恒过定点( 3, 1)（2）由题意可知，当直线1l的斜率不存在或等于零时，显然不合题意设直线1l的方程为(3) 1yk x令0 x ，则31yk；令0y ，则13xk即直线1l与坐标轴的交点为1(0,31), (3,0)AkBk由于过定点M( 3, 1)作一条直线l1，使夹在两坐标轴之间的线段被M点平分则点M为线段AB中点，即31121 1332kk ，解得13k 则直线l1的方程为123yx，即360 xy【点睛】本题主要考查了求直线过定点以及求直线方程，属于中档题.
