1、20192020 学年北京交大附中高一（下）期末数学试卷学年北京交大附中高一（下）期末数学试卷一、选择题一、选择题1. 已知角的终边经过点(3, 4)，则cos的值为（）A.34B.35C.45D.43【答案】B【解析】【分析】由条件利用任意角的三角函数的定义,求得cos的值【详解】解:角的终边经过点(3, 4),3x ,4y ,=5r,则3cos5xr，故选:B【点睛】本题考查已知终边上一点求三角函数值,属于基础题.2. 已知向量,1at，1,2b .若ab，则实数t的值为（）A. 2B. 2C.12D.12【答案】A【解析】【分析】由题意利用两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，求出t
2、的值.【详解】解：向量1at，1,2b ，若ab，则20a bt ，实数2t ，故选：A.【点睛】本题考查向量垂直的求参，重在计算，属基础题.3. 在ABC中，若4A ，3B ，2 3a ，则b （）A.2 3B.3 2C.2 6D.3 3【答案】B【解析】【分析】直接利用正弦定理计算得到答案.【详解】根据正弦定理：sinsinabAB，故2 3sinsin43b，解得3 2b .故选：B.【点睛】本题考查了正弦定理，意在考查学生的计算能力.4. 已知三条不同的直线l，m，n和两个不同的平面， 下列四个命题中正确的为 （）A. 若/m，/n，则/m nB. 若/l m，m，则/lC. 若/l，
3、/l，则/ D. 若/l，l，则【答案】D【解析】【分析】根据直线和平面，平面和平面的位置关系，依次判断每个选项得到答案.【详解】A. 若/m，/n，则/m n，或,m n相交，或,m n异面，A 错误；B. 若/l m，m，则/l或l，B 错误；C. 若/l，/l，则/ 或, 相交，C 错误；D. 若/l，l，则，D 正确.故选：D.【点睛】本题考查了直线和平面，平面和平面的位置关系，意在考查学生的推断能力和空间想象能力.5. 函数( )sin cosf xxx的最小正周期为（）A.1B.2CD.2【答案】A【解析】【分析】化简得到1( )sin22f xx，利用周期公式得到答案.【详解】1
4、( )sin cossin22f xxxx，故周期212T.故选：A.【点睛】本题考查了二倍角公式，三角函数周期，意在考查学生对于三角函数知识的综合应用.6. 已知3,22，且tan2，那么sin（）A.33B.63C.63D.33【答案】B【解析】【分析】根据3,22，且tan2得3( ,)2，再根据同角三角函数关系求解即可得答案.【详解】解：因为3(,)22，sintan20cos，故3( ,)2，sin2cos，又22sincos1，解得：6sin3 故选：B【点睛】本题考查同角三角函数关系求函数值，考查运算能力，是基础题.7. 函数1( )sincos536f xxx的最大值为（）A.
5、65B. 1C.35D.15【答案】A【解析】【分析】先利用诱导公式化简整理得( )f x6sin53x，即得最大值.【详解】由诱导公式可得coscossin6233xxx，则1( )sincos536f xxx16sinsinsin53353xxx，函数( )f x的最大值为65.故选：A.【点睛】本题考查了诱导公式cossin2和三角函数最大值，属于基础题.8. 已知直线a，b，平面，b，/ /a，abrr，那么“a”是“”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】根据面面垂直的判定定理和面面垂直的性质定理即可得到结
6、论.【详解】若/ /a，则在平面内必定存在一条直线a有/ /aa，因为abrr，所以ab，若a，则a ，又a，即可得，反之，若，由b，ab，a可得a ，又/ /aa，则有a.所以“a”是“”的充分必要条件.故选：C【点睛】本题主要考查面面垂直的判定和性质定理，以及线面平行的判定定理，属于中档题.二、填空题二、填空题9. 已知向量(1,2)a ，(3,1)b ，则向量a，b夹角的大小为_.【答案】4【解析】【分析】直接利用cos,a ba bab ，即可能求出向量a与b的夹角大小.【详解】平面向量1,2a r，3,1b r，322cos ,2510a ba bab ，又0, a b ，,4a b
7、 ，向量a与b的夹角为4，故答案为4【点睛】本题考查两向量的夹角的求法，解题时要认真审题，注意平面向量坐标运算法则的合理运用，是基础题10. 已知向量a与b的夹角为 120，且4ab，那么3bab的值为_.【答案】8【解析】【分析】先根据数量积的分配律将所求式子展开，再由平面向量数量积的运算法则即可得解.【详解】解：22333 4 4 cos12048baba bb .故答案为： -8.【点睛】本题考查数量积的计算，此类问题一般利用数量积的运算律和定义来处理，本题属于基础题.11. 在平面直角坐标系中，角的终边过点(3, 4)A，则tan_；将射线OA（O为坐标原点）按逆时针方向旋转2后得到角
8、的终边，则sin_.【答案】(1).43(2).35；【解析】【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义，诱导公式sincos2，求得tan、sin的值【详解】角的终边过点3, 4A，则4tan3，将射线OA（O为坐标原点）按逆时针方向旋转2后得到角的终边，则33259 16sinsincos，故答案为43，35.【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，设是一个任意角，它的终边上异于原点的一个点的坐标为,P x y，那么22sinyxy，22cosxxy，tanyx，诱导公式sincos2，属于基础题12. 已知1cos23，则22cos2cos2的值为_.【答案】1【解析】【分析】由1co
9、s23求得2cos的值，再化简并计算所求三角函数值.【详解】解：由1cos23，得212cos13 ，即22cos3；所以2222cos2cos ()sin2cos221 3cos 21 33 =1.故答案为：1.【点睛】本题考查了二倍角的余弦公式、诱导公式，需熟记公式，考查了基本运算求解能力，属于基础题.13. 已知函数 sin 2f xx.若263ff，则函数 fx的单调增区间为_.【答案】, 36kk，kZ【解析】【分析】由已知函数关系式可得函数周期为，又由已知条件可得6f，3f取到最大值和最小值，进而可求出，继续利用函数单调性求出单调增区间.【详解】因为函数 sin 2f xx，所以函
10、数周期为.若263ff，则sin163f，2sin133f ，故12 32k，1kz，且22232k，2kz，即2 6k，kz故 sin 26f xx，令2 22 262kxk，求得36kxk，kZ，故答案为：, 36kk，kZ.【点睛】本题考查三角函数的应用，重在对基础函数性质的理解，考查分析能力，属基础题.14. 函数 2sinxf x02图象如图， 则的值为_，的值为_.【答案】(1).4(2).2111【解析】【分析】根据图象过点0,1，结合的范围求得的值，再根据五点法作图求得，可得函数的解析式.【详解】由函数图象过点0,1，可得2sin1，则2sin2，又02，4， 2sin4f x
11、x.再根据五点法作图可得，112124，2111.故答案为：4；2111.【点睛】由图像确定表达式，要注意完整读出图像所给出的条件,准确求出参数值.三、解答题三、解答题15. 函数 2sin 26fxx.（1）求函数 fx的单调递增区间和最小正周期；（2）请用“五点法”画出函数 fx在长度为一个周期的闭区间上的简图（先在所给的表格中填上所需的数值，再画图） ；x26x 0y（3）求函数 fx在2,12 3上的最大值和最小值，并指出相应的x的值.【答案】 （1）单调递增区间是,k63k，k Z；最小正周期； （2）填表见解析；作图见解析； （3）最大值为 2，最小值为1，23x 时 fx取得最小
12、值，3x 时 fx取得最大值.【解析】【分析】（1）根据正弦函数的图象与性质求出函数 fx的单调递增区间和最小正周期；（2）列表，描点、连线，画出函数 fx在长度为一个周期的闭区间上的简图；（3）求出2,123x 时函数 fx的最大值和最小值，以及对应x的值.【详解】解： （1）函数 2sin 26fxx，令2 22 262kxk，k Z；解得22 22 33kxk，k Z；即63kxk，k Z；所以函数 fx的单调递增区间是,k63k，k Z；最小正周期22T ；（2）填写表格如下；x1237125613124326x 0232252y020202用“五点法”画出函数 fx在长度为一个周期的
13、闭区间上的简图为；（3）2,123x 时，720.66x，1sin 2,162x ，所以函数 2sin 26fxx在2,12 3上取得最大值为 2，最小值为1，且23x 时 fx取得最小值，3x 时 fx取得最大值.【点睛】本题考查正弦型函数的性质以及“五点法”作图，本题要掌握基础函数的性质以及整体法的应用，同时熟悉“五点法”作图，考查分析能力以及作图能力，属中档题.16. 如图，在四边形ABCD中，7AB ，3AD ，5BD ，8BC ，60DBC.（1）求ADB的大小；（2）求CD的长；（3）求四边形ABCD的面积.【答案】 （1）120ADB； （2）7CD ； （3）55 34.【解析
14、】【分析】（1）利用余弦定理求出1cos2ADB 即得解；（2）利用余弦定理求出249CD 即得解；（3）由三角形面积公式分别求得ABD和BCD的面积，即可得解.【详解】 （1）在ABD中，7AB ，3AD ，5BD ，由余弦定理可得222925491cos22 3 52ADBDABADBAD BD ，因为ADB为三角形内角，所以120ADB.（2）在BCD中，5BD ，8BC ，60DBC，由余弦定理可得22212cos25642 5 8492CDBDBCBD BCDBC ，所以7CD .（3）11315 3sin3 52224ABDSAD BDADB ，113sin8 510 3222BC
15、DSBC BDDBC ，所以四边形ABCD的面积为55 34ABDBCDSS.【点睛】本题主要考查余弦定理解三角形和三角形面积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.17. 如图， 在三棱锥ABCD中，90ABDABCDCB ，E，F，G分别是AC，AD，BC的中点，求证：（1）AB 平面BCD；（2）/CD平面EFG；（3）平面ACD 平面ABC；（4）请在图中画出平面EFG截三棱锥ABCD的截面，判断截面形状并说明你的理由；（5）若4ABCD.求出第（4）问中的截面面积.【答案】 （1）证明见解析； （2）证明见解析； （3）证明见解析； （4）作图见解析；截面EFHG为矩形；答案见
16、解析； （5）4.【解析】【分析】（1）由线面垂直的判定定理即可得证；（2）由三角形的中位线定理和线面平行的判定定理，即可得证；（3）推得CD 平面ABC，再由面面垂直的判定定理，即可得证；（4）可取BD的中点H，连接GH，FH，可得截面EFHG，由三角形的中位线定理，以及线面垂直的性质定理，可得截面为矩形；（5）判断截面为边长为 2 的正方形，可得截面的面积.【详解】解： （1）证明：由90ABDABC ，可得ABBD，ABBC，又BDBCB，则AB 平面BCD；（2）证明：由EF为ACD的中位线，可得/EF CD，且CD 平面EFG，EF 平面EFG，则/CD平面EFG；（3）证明：由AB
17、 平面BCD，CD 平面BCD，得ABCD，又CDBC，BCCDC，所以CD 平面ABC，又CD 平面ACD，所以平面ACD 平面ABC；（4）可取BD的中点H，连接GH，FH，截面EFHG为所求截面.由GH为BCD的中位线，可得/GH CD，12GHCD，又/EF CD，12EFCD，所以EFGH，且/EF GH，可得四边形EFHG为平行四边形，由ABCD，/EG AB，/EF CD，可得/EF EG，则截面EFHG为矩形；（5）若4ABCD，可得截面EFHG为边长为 2 的正方形，其面积为 4.【点睛】本题考查空间中线面平行、线面垂直、面面垂直的证明，三类问题的证明，都需要利用位置关系的判
18、断定理来考虑，后两者注意三种垂直关系的转化，本题属于中档题.18. 如图， 已知正方形ABCD所在平面和平行四边形ACEF所在平面互相垂直， 平面ECB 平面ABCD，2AB ，M是线段EF上的一点且/AM平面BDE.（1）求证：平面/ABF平面CDE；（2）求证：M是线段EF的中点；（3）求证：EC 平面ABCD.【答案】 （1）证明见解析； （2）证明见解析； （3）证明见解析.【解析】【分析】（1）易知/AF CE，/AB CD，由面面平行判定定理即可得证；（2）设ACBDO，连接OE，由/AM平面BDE，可推出/AM OE，而O为AC的中点，故得证；（3）由平面ABCD 平面ACEF，
19、BDAC，可推出BD 平面ACEF，故BDEC；由平面ECB 平面ABCD，ABBC，可推出AB 平面ECB，故ABEC；再由线面垂直的判定定理即可得证.【详解】证明： （1）平行四边形ACEF，/AF CE，CE 面CDE，AF 面CDE，/ /AF面CDE，ABCD为正方形，/AB CD，CD 面CDE，AB 面CDE，/ /AB面CDE，又AFABA，平面/ABF平面CDE.（2）设ACBDO，连接OE，则O为AC的中点，/AM平面BDE，AM 平面ACEF，平面ACEF 平面BDEOE，/AM OE.又O为AC的中点，M为线段EF的中点.（3）平面ABCD 平面ACEF，平面ABCD平
20、面ACEFAC，BDAC，BD 平面ACEF，BDEC.平面ECB 平面ABCD，平面ECB平面ABCDBC，ABBC，AB 平面ECB，ABEC.又BDABB，BD、AB平面ABCD，EC 平面ABCD.【点睛】本题考查了线面平行的判定定理、线面平行的性质定理、面面垂直的性质定理以及线面垂直的判定定理，考查了逻辑推理能力，属于基础题.19. 利用周期知识解答下列问题：（1）定义域为R的函数 fx同时满足以下三条性质：存在0 x R，使得00f x；对于任意xR，有 29fxfx； fx不是单调函数，但是它图象连续不断，写出满足上述三个性质的一个函数 fx，则 f x _（不必说明理由）（2）
21、说明：请在（i） 、 （ii）问中选择一问解答即可，两问都作答的按选择（i）计分.（i）求 sin2cos3fxxx的最小正周期并说明理由.（ii）求证： sincosg xxx不是周期函数.【答案】 （1） 3 sin2xfxx（答案不唯一） ； （2）答案不唯一，具体见解析.【解析】【分析】（1）由已知条件可取 3 sin2xfxx（答案不唯一）（2）若选择（i）我们知道sin2yx与cos3yx的周期分别为：，23.让它们的整数倍相等即可得出函数 fx的最小正周期.（ii）我们知道sinyx与cosyx的周期分别为：2，2.而2与 2 的整数倍不可能相等，即可证明结论.【详解】解： （1） 3 sin2xfxx（答案不唯一）.故答案为：3 sin2xx.（2）若选择（i）我们知道sin2yx与cos3yx的周期分别为：，23.取2T ，则 2fxfx，而 fxfx，可得：2是函数sin2cos3yxx的最小正周期.（ii）证明：我们知道sinyx与cosyx的周期分别为：2，2.而2与 2 的整数倍不可能相等，因此 sincosg xxx不是周期函数.【点睛】本题考查了三角函数的性质，考查了基本知识的掌握情况，属于基础题.
