1、高三级高三级 20212022 学年度第一学期第二次阶段考试学年度第一学期第二次阶段考试数学试题（理）数学试题（理）（满分：150时间 120 分钟）一、单选题（每题一、单选题（每题 5 分共分共 60 分）分）1设集合2|20 ,|1Ax xxBx yx，则AB（）ARB1, xC, 11,xD, 10,x2已知复数2i1 iz ，则z在复平面内对应的点所在的象限为（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限3已知两个非零向量a，b互相垂直，若向量45mab，2nab共线，则实数的值为（）A5B3C52D24已知命题p：0 xR，0tan1x ，命题q：xR ，20 x 下面结论正确的是（）
2、A命题“pq”是真命题B命题“pq ”是假命题C命题“pq”是真命题D命题“ pq ”是假命题5已知函数 fx是 R 上的偶函数.若对于0 x 都有 2fxfx，且当0,2)x时， 2log (1)f xx，则20192020ff的值为（）A2B1C1D26已知函数 cos 23fxx，则（）A函数 fx的图象向右平移3个单位长度可得到sin 2yx的图象答案第 2页，共 8页B6x是函数 fx的一条对称轴C,012是函数 fx的一个对称中心D函数 fx在0,2上的最小值为327 如图所示， 在ABC中，3CBCD ，2ADAE ，若ABa ，ACb，则CE （）A1163abB1263abC
3、1133abD1566ab8已知函数 200 xxeexfxxx，若0.013235,log 2,log 0.92abc，则有（）A f af bf cB f bf af cC f af cf bD f cf af b9函数 33sinf xxxx的大致图象是（）ABCD10已知函数 f(x)2sin,32 2x 是偶函数，则的值为（）A12B6C4D311 已知函数 22sin3cos24fxxx 若关于 x 的方程 2fxm在,4 2x 上有解，则实数 m 的取值范围是（）A0,1B2,22C1,2 22D2,2212若(0,)x ，ln()xeaxa恒成立，则 a 的最大值为（）A1eB
4、1CeD2e二、填空题（每题二、填空题（每题 5 分共分共 20 分）分）13已知直线12yxb是曲线 lnfxx（0 x ）的一条切线，则实数b _14函数cos2sinyxx xR的最大值为_.15 已知a，b，c分别为ABC三个内角A，B，C的对边， 且222acbac， 则sincosAC的最大值为_16已知ABC是边长为 2 的等边三角形，D 为BC的中点，点 P 在线段AD（包括端点）上运动，则PAPBPC 的取值范围是_.三、解答题（共三、解答题（共 70 分）分）17（12 分） 设 na是等差数列，110a ，且23410,8,6aaa成等比数列，（1）求 na的通项公式：（
5、2）记 na的前 n 项和为nS，求使得nnSa成立的 n 的取值范围.18 （12 分）在锐角ABC中，三个内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且coscoscbaBbA.（1）求角 A 的大小；（2）若1a ，求ABC周长的范围.19 （12 分）某校 50 名学生参加 2020 年全国高中数学联赛初赛， 成绩全部介于 90 分到 140 分之间.将成绩按如下方式分成五组：第一组90,100，第二组100,110，第五组130,140.按上述分组方法得到的频率分布直方图如图所示.（1）若成绩大于或等于 100 分且小于 120 分，则被认为是良好的，求该校参赛学生在这次数学联答案
6、第 4页，共 8页赛初赛中成绩良好的人数；（2）若从第一、五组中共随机取出两个成绩，记X为从第一组取出成绩的个数，求X的分布列.20 （分）如图在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，1PE ，22ABBC，PCPD，E为CD的中点，面PCD 面ABCD.（1）证明：BE面PAE（2）求二面角BPDC的余弦值.21 （分）已知函数 211ln2fxxxxaa，0a （1）求函数 fx的单调区间；（2）令 2F xaf xx，若 1 2F xax 在1,x恒成立，求整数 a 的最大值(参考数据：4ln33，5ln4)422 （10 分）已知曲线:2cos4sinC，直线312:12xtlyt
7、（t为参数）（1）写出曲线C和直线l的直角坐标方程.（2）直线l与曲线C相交A，B点，设点(1,0)P，求PAPB参考答案参考答案1C2C3C4D5C6B7B8A9C10B11A12C由0 x ，00axa，由ln()ln()ln()ln()lnxxxxxeaxaaxeaxaxxeaxaaxee，若01ax，ln()0 xeaxa，此时满足1xaxe ；若1ax ，令( )lnf xxx，( )ln10f xx 在(1,)恒成立，( )yf x在(1,)单调递增，而ln()lnxxaxaxee，()xf axf e在(1,)恒成立xaxe，综上，xaxe在(0,)恒成立，xxeaxeax，令(
8、 )xeg xx，22(1)( )xxxe xeexg xxx，( )yg x在(0,1)单调递减，(1,)单调递增，min( )(1)g xge，即有ae故选：C13ln2 11498151324163,02以D为坐标原点，BC为x轴，DA为y轴建立直角坐标系，则0,0 ,1,0 ,1,0 ,0, 3DBCA，设0,03Pxx，所以0, 3,1,1,PAxPBxPCx uuruuruuu r，因此0, 2PBPCxuuruuu r，所以22332322 3222PAPBPCxxxxx ，因此当0 x 或3x 时，0maxPAPBPC ，当32x 时，32minPAPBPC ，所以PAPBPC
9、 的取值范围是3,02，故答案为：3,02.答案第 6页，共 8页17 （1）212nan； （2）1nNn或12n .18 （1）3A； （2）(19 （1）27； （2）分布列见解析解： （1）由频率分布直方图知，成绩在100,120内的人数为50 0.1650 0.3827，所以该校参赛学生在这次数学联赛初赛中成绩良好的人数为 27.（2）由频率分布直方图可知第一组人数为 3，第五组人数为 4.由题意知X的取值范围为0,1,2，所以0234272(0)7C CP XC，1134274(1)7C CP XC，2034271(2)7C CP XC，所以X的分布列为X012P27471720
10、（1）证明见解析； （2）63.（1）PCDABCD面面，PCPD，E为CD的中点PEABCD 面，BEABCD 面，BEPE.又ABCD为矩形且22ABBC2BEAE，222AEBEAB，BEAE-又PEAEE，PEPAE面，AEPAE面BE面PAE.（2）取AB得中点F，分别以EF，EC，EP为x，y，z轴建立空间直角坐标系1,1,0B，0,0,1P，0, 1,0D，1,0,0F，0,1,1DP ，1,2,0DB .显然，面PCD的一个法向量为1,0,0EF uuu r.设面PBD的一个法向量为, ,nx y z，则有：0n DPyz ，20n DBxy ，不妨设1y 则2x ，1z ，则
11、2, 1,1n .由图示，二面角BPDC为锐角，20026cos,341 1 16n EFn EFnEF .二面角BPDC的余弦值为63.21 （1）答案见解析； （2）3. 1 fx的定义域为()0,+且 2221212112xaxaxaxxfxaxaaxax，当0a 时，由( )0fx得：102x，0a 时， fx的增区间为10,2，减区间为1,2，当102a时，令( )0fx得：0 xa或12x ， fx的增区间为0,a和1,.2减区间为1,.2a当12a 时，( )0fx恒成立，此时 fx的增区间为()0,+，无递减区间：当12a 时，令( )0fx得：102x或xa， fx的递增区间为10,2和,a，减区间为1,2a 22ln21F xaf xxa xax，则 11 2,(1)lnxF xaxaxx 恒成立令 1,(1)lnxh xxx，则 21ln1lnxxh xx，令 1ln1t xxx，(1)x ，知 t x在()1,+上递增且 30t， 40t，03,4x，使0001ln10t xxx ，即 h x在01,x递减，在0,x 递增，答案第 8页，共 8页00min000011( )()(3,4)1ln1xxh xh xxxx，由min( )ah x知：整数 a 的最大值为 322 （1）22125xy，310 xy ； （2）2 2.
