1、- 1 -全等三角形问题中常见的辅助线的作法全等三角形问题中常见的辅助线的作法( (有答案有答案) )总论总论： 全等三角形问题最主要的是构造全等三角形全等三角形问题最主要的是构造全等三角形， 构造二条边之间构造二条边之间的相等，构造二个角之间的相等的相等，构造二个角之间的相等【三角形三角形辅助线做法】辅助线做法】图中有角平分线，可向两边作垂线。 也可将图对折看，对称以后关系现。角平分线平行线，等腰三角形来添。 角平分线加垂线，三线合一试试看。线段垂直平分线，常向两端把线连。 要证线段倍与半，延长缩短可试验。三角形中两中点，连接则成中位线。 三角形中有中线，延长中线等中线。1.1.等腰三角形等
2、腰三角形“三线合一三线合一”法：法：遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题2.2.倍长中线倍长中线：倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形3.3.角平分线在三种添辅助线角平分线在三种添辅助线4.4.垂直平分线联结线段两端垂直平分线联结线段两端5.5.用用“截长法截长法”或或“补短法补短法” ： 遇到有二条线段长之和等于第三条线遇到有二条线段长之和等于第三条线段的长，段的长，6.6.图形补全法：有一个角为图形补全法：有一个角为 6060 度或度或 120120 度的把该角添线后构成等边度的把该角添线后构成等边- 2 -三角形三角形7.7.角度数为角度数为 3030
3、、 6060 度的作垂线法度的作垂线法： 遇到三角形中的一个角为遇到三角形中的一个角为 3030 度度或或6060 度，可以从角一边上一点向角的另一边作垂线，目的是构度，可以从角一边上一点向角的另一边作垂线，目的是构成成30-60-9030-60-90 的特殊直角三角形，然后计算边的长度与角的度数，这样的特殊直角三角形，然后计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角可以得到在数值上相等的二条边或二个角。 从而为证明全等三角形创从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。造边、角之间的相等条件。8.8.计算数值法：遇到等腰直角三角形，正方形时，或计算数值法：遇到等腰直角三
4、角形，正方形时，或 303060609090的特殊直角三角形的特殊直角三角形， 或或 40-60-8040-60-80 的特殊直角三角形的特殊直角三角形, ,常计算边的长度常计算边的长度与角的度数与角的度数， 这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角， 从而为从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。常见辅助线的作法有以下几种常见辅助线的作法有以下几种： 最主要的是构造全等三角形最主要的是构造全等三角形， 构造二构造二条边之间的相等，二个角之间的相等。条边之间的相等，二个角之间的相等。1) 遇到等腰三角形，可作
5、底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”法构造全等三角形构造全等三角形2) 遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转” 法构构造全等三角形造全等三角形3) 遇到角平分线在三种添辅助线的方法， （1）可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线， 利用的思维模式是三角形全等变换中的 “对折” ， 所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理（2）可以在角平分线上的一点作该角平分线的垂线与角的两边相交，- 3 - D C B A E D F C B A形成一对全等三角形。 （3）可以在该角的两边上，距离角的顶点
6、相等长度的位置上截取二点， 然后从这两点再向角平分线上的某点作边线，构造一对全等三角形。4) 过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”5) 截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目6) 已知某线段的垂直平分线，那么可以在垂直平分线上的某点向该线段的两个端点作连线，出一对全等三角形。特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答一、
7、倍长中线（线段）造全等一、倍长中线（线段）造全等例 1、（ “希望杯” 试题） 已知， 如图ABC 中， AB=5， AC=3， 则中线 AD 的取值范围是_.例 2、如图，ABC 中，E、F 分别在 AB、AC 上，DEDF，D 是中点，试比较 BE+CF 与 EF 的大小.- 4 -例 3、如图，ABC 中，BD=DC=AC，E 是 DC 的中点，求证：AD 平分BAE. E D C B A应用：应用：1、 （09崇文二模）以ABC的两边AB、AC为腰分别向外作等腰RtABD和等腰RtACE，90 ,BADCAE 连接DE，M、N分别是BC、DE的中点探究：AM与DE的位置关系及数量关系（
8、1）如图 当ABC为直角三角形时，AM与DE的位置关系是，线段AM与DE的数量关系是；（2） 将图中的等腰RtABD绕点A沿逆时针方向旋转(0AD+AE. E D C B A四、借助角平分线造全等四、借助角平分线造全等1、如图，已知在ABC 中，B=60，ABC 的角平分线 AD,CE 相交于点 O，求证：OE=OD2、如图，ABC 中，AD 平分BAC，DGBC 且平分 BC，DEAB 于 E，DFAC 于 F.（1）说明 BE=CF 的理由； （2）如果 AB=a，AC=b，求 AE、BE 的长. E D G F C B A- 8 -?N?M?E?F?A?C?B?A F E D C B A
9、应用：应用：1、如图，OP 是MON 的平分线，请你利用该图形画一对以 OP 所在直线为对称轴的全等三角形。请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：（1）如图，在ABC 中，ACB 是直角，B=60，AD、CE 分别是BAC、BCA的平分线，AD、CE 相交于点 F。请你判断并写出 FE 与 FD 之间的数量关系；（2）如图，在ABC 中，如果ACB 不是直角，而(1)中的其它条件不变，请问，你在(1)中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。五、旋转五、旋转例 1 正方形 ABCD 中，E 为 BC 上的一点，F 为 CD 上的一点，BE+DF=EF，求EAF 的度
10、数.例 2 D 为等腰Rt ABC斜边 AB 的中点，DMDN,DM,DN 分别交 BC,CA 于点 E,F。（1）当MDN绕点 D 转动时，求证 DE=DF。（2）若 AB=2，求四边形 DECF 的面积。(第 23 题图)OPAMNEBCDFACEFBD图图图- 9 -例 3 如图，ABC是边长为 3 的等边三角形，BDC是等腰三角形，且0120BDC，以 D 为顶点做一个060角，使其两边分别交 AB 于点 M，交 AC 于点 N，连接 MN，则AMN的周长为；?B?C?D?N?M?A应用：应用：1、已知四边形ABCD中，ABAD，BCCD，ABBC，120ABC ，60MBN ，MBN
11、绕B点旋转，它的两边分别交ADDC，（或它们的延长线）于EF，当MBN绕B点旋转到AECF时（如图 1） ，易证AECFEF当MBN绕B点旋转到AECF时，在图 2 和图 3 这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AECF，EF又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明（图 1）ABCDEFMN（图 2）ABCDEFMN（图 3）ABCDEFMN- 10 -2、 （西城 09 年一模）已知:PA=2,PB=4,以 AB 为一边作正方形 ABCD,使 P、D 两点落在直线 AB 的两侧.(1)如图,当APB=45时,求 AB 及 PD 的长;(2)当APB 变化,且
12、其它条件不变时,求 PD 的最大值,及相应APB 的大小.3、在等边ABC的两边 AB、AC 所在直线上分别有两点 M、N，D 为ABC外一点，且60MDN,120BDC,BD=DC. 探究：当 M、N 分别在直线 AB、AC 上移动时，BM、NC、MN 之间的数量关系及AMN的周长 Q 与等边ABC的周长 L 的关系图 1图 2图 3（I）如图 1，当点 M、N 边 AB、AC 上，且 DM=DN 时，BM、NC、MN 之间的数量关系是； 此时LQ；（II）如图 2，点 M、N 边 AB、AC 上，且当 DMDN 时，猜想（I）问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明；（III） 如图
13、3，当 M、N 分别在边 AB、CA 的延长线上时，若 AN=x，则 Q=（用x、L 表示） - 11 - D C B A E D F C B A参考答案与提示参考答案与提示一、倍长中线（线段）造全等一、倍长中线（线段）造全等例 1、（ “希望杯” 试题） 已知， 如图ABC 中， AB=5， AC=3， 则中线 AD 的取值范围是_.解：延长 AD 至 E 使 AE2AD，连 BE，由三角形性质知AB-BE 2ADAB+BE故 AD 的取值范围是 1AD4例 2、如图，ABC 中，E、F 分别在 AB、AC 上，DEDF，D 是中点，试比较 BE+CF 与 EF 的大小.解：(倍长中线倍长中
14、线, ,等腰三角形“三线合一”法)延长 FD 至 G 使 FG2EF，连 BG，EG,显然 BGFC，在EFG 中，注意到 DEDF，由等腰三角形的三线合一知EGEF在BEG 中，由三角形性质知EGBG+BE故：EFBE+FC例 3、如图，ABC 中，BD=DC=AC，E 是 DC 的中点，求证：AD 平分BAE. E D C B A解：延长 AE 至 G 使 AG2AE，连 BG，DG,显然 DGAC，GDC=ACD- 12 -由于 DC=AC，故ADC=DAC在ADB 与ADG 中，BDAC=DG，ADAD，ADB=ADC+ACD=ADC+GDCADG故ADBADG，故有BAD=DAG，即
15、 AD 平分BAE应用：应用：1、 （09崇文二模）以的两边AB、AC为腰分别向外作等腰RtABD和 等 腰RtACE，90 ,BADCAE 连接DE，M、N分别是BC、DE的中点探究：AM与DE的位置关系及数量关系（1）如图 当ABC为直角三角形时，AM与DE的位置关系是，线段AM与DE的数量关系是；（2） 将图中的等腰RtABD绕点A沿逆时针方向旋转(090)后， 如图所示，（1）问中得到的两个结论是否发生改变？并说明理由解： （1）AMED2，EDAM ；证明：延长 AM 到 G，使AMMG ，连 BG，则 ABGC 是平行四边形BGAC ，180BACABG又180BACDAEDAEA
16、BG再证：ABGDAEAMDE2，EDABAG延长 MN 交 DE 于 H90DAHBAG90DAHHDAEDAM ABCGCHABDMNE- 13 -（2）结论仍然成立证明：如图，延长 CA 至 F，使FAAC ，FA 交 DE 于点 P，并连接 BFBADA ，AFEA EADDAFBAF90在FAB和EAD中DABAEADBAFAEFAEADFAB（SAS）DEBF ，AENF90AENAPEFFPDDEFB 又AFCA ，MBCM FBAM /，且FBAM21DEAM ，DEAM21二、截长补短二、截长补短1、如图，ABC中，AB=2AC，AD 平分BAC，且 AD=BD，求证：CDA
17、C解： （截长法）在 AB 上取中点 F，连 FDADB 是等腰三角形，F 是底 AB 中点，由三线合一知DFAB，故AFD90ADFADC（SAS）ACDAFD90即：CDACFCPABDMNE- 14 -?E?D?C?B?A?P?Q?C?B?A2、如图，ADBC，EA,EB 分别平分DAB,CBA，CD 过点 E，求证;ABAD+BC解： （截长法）在 AB 上取点 F，使 AFAD，连 FEADEAFE（SAS）ADEAFE，ADE+BCE180AFE+BFE180故ECBEFBFBECBE（AAS）故有 BFBC从而;ABAD+BC3、如图，已知在ABC 内，060BAC，040C，P
18、，Q 分别在 BC，CA 上，并且 AP，BQ 分别是BAC，ABC的角平分线。求证：BQ+AQ=AB+BP解： （补短法, 计算数值法）延长 AB 至 D，使 BDBP，连 DP在等腰BPD 中，可得BDP40从而BDP40ACPADPACP（ASA）故 ADAC又QBC40QCB故 BQQCBDBP从而 BQ+AQ=AB+BP- 15 -?D?C?B?A?P?2?1?D?C?B?A4、如图，在四边形 ABCD 中，BCBA,ADCD，BD 平分ABC，求证：0180CA解： （补短法）延长 BA 至 F，使 BFBC，连 FDBDFBDC（SAS）故DFBDCB，FDDC又 ADCD故在等
19、腰BFD 中DFBDAF故有BAD+BCD1805、如图在ABC 中，ABAC，12，P 为 AD 上任意一点，求证;AB-ACPB-PC解： （补短法）延长 AC 至 F，使 AFAB，连 PDABPAFP（SAS）故 BPPF由三角形性质知PBPCPFPC BF=BA+AF=BA+AC从而PB=BE+CE+BCBF+BC=BA+AC+BC=PA例 2 如图，在ABC 的边上取两点 D、E，且 BD=CE，求证：AB+ACAD+AE.DEACBDEACBF- 17 -?O?E?D?C?B?A证明：取 BC 中点 M,连 AM 并延长至 N,使 MN=AM,连 BN,DN.BD=CE,DM=E
20、M,DMNEMA(SAS),DN=AE,同理 BN=CA.延长 ND 交 AB 于 P,则 BN+BPPN,DP+PAAD,相加得 BN+BP+DP+PAPN+AD,各减去 DP,得 BN+ABDN+AD,AB+ACAD+AE。四、借助角平分线造全等四、借助角平分线造全等1、如图，已知在ABC 中，B=60，ABC 的角平分线 AD,CE 相交于点 O，求证：OE=OD，DC+AE =AC证明(角平分线在三种添辅助线,计算数值法)B=60度,则BAC+BCA=120 度;AD,CE 均为角平分线,则OAC+OCA=60 度=AOE=COD;AOC=120 度.在 AC 上截取线段 AF=AE,
21、连接 OF.又 AO=AO;OAE=OAF.则OAEOAF(SAS),OE=OF;AE=AF;AOF=AOE=60 度.则COF=AOC-AOF=60 度=COD;又 CO=CO;OCD=OCF.故OCDOCF(SAS),OD=OF;CD=CF.OE=OD- 18 -DC+AE=CF+AF=AC.2、如图，ABC 中，AD 平分BAC，DGBC 且平分 BC，DEAB 于 E，DFAC 于 F.（1）说明 BE=CF 的理由； （2）如果 AB=a，AC=b，求 AE、BE 的长.解：解：( (垂直平分线联结线段两端) )连接连接 BDBD，DCDCDG 垂直平分 BC，故 BDDC由于 AD
22、 平分BAC， DEAB 于 E，DFAC 于 F，故有EDDF故 RTDBERTDFC（HL）故有故有 BEBECFCF。AB+ACAB+AC2AE2AEAEAE（a+ba+b）/2/2BE=(a-b)/2BE=(a-b)/2应用：应用：1、如图，OP 是MON 的平分线，请你利用该图形画一对以 OP 所在直线为对称轴的全等三角形。请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：（1）如图，在ABC 中，ACB 是直角，B=60，AD、CE 分别是BAC、BCA的平分线，AD、CE 相交于点 F。请你判断并写出 FE 与 FD 之间的数量关系；（2）如图，在ABC 中，如果ACB 不是直角，而
23、(1)中的其它条件不变，请问，你在(1)中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。解： （1）FE 与 FD 之间的数量关系为FDFE （2）答： （1）中的结论FDFE 仍然成立。证法一：证法一：如图 1，在 AC 上截取AEAG ，连结 FG21，AF 为公共边，AGFAEFAFGAFE，FGFE E D G F C B A(第 23 题图)OPAMNEBCDFACEFBD图图图- 19 - F E D C B A60B，AD、CE 分别是BAC、BCA的平分线603260AFGCFDAFE60CFG43及 FC 为公共边CFDCFGFDFG FDFE 证法二：证法二：
24、如图 2，过点 F 分别作ABFG 于点 G，BCFH 于点 H60B，AD、CE 分别是BAC、BCA的平分线可得6032，F 是ABC的内心160GEF，FGFH 又1BHDFHDFGEF可证DHFEGFFDFE 五、旋转五、旋转例 1 正方形 ABCD 中，E 为 BC 上的一点，F 为 CD 上的一点，BE+DF=EF，求EAF 的度数.证明：将三角形 ADF 绕点 A 顺时针旋转 90 度，至三角形ABG则 GE=GB+BE=DF+BE=EF又 AE=AE，AF=AG，所以三角形 AEF 全等于 AEG所以EAF=GAE=BAE+GAB=BAE+DAF又EAF+BAE+DAF=90所
25、以EAF=45 度例 2 D 为等腰Rt ABC斜边 AB 的中点，DMDN,DM,DN 分别交 BC,CA 于点 E,F。(1)当MDN绕点 D 转动时，求证 DE=DF。(2)若 AB=2，求四边形 DECF 的面积。FBEACD图 12143GFBEACD图 22143HG- 20 -解：(计算数值法)（1）连接 DC，D 为等腰Rt ABC斜边 AB 的中点，故有 CDAB，CDDACDCD 平分平分BCA90，ECDDCA45由于 DMDN，有EDN90由于 CDAB，有CDA90从而CDEFDA故有CDEADF（ASA）故有 DE=DF（2）SABC=2, S四 DECF= SAC
26、D=1例 3 如图，ABC是边长为 3 的等边三角形，BDC是等腰三角形，且0120BDC，以 D 为顶点做一个060角，使其两边分别交 AB 于点 M，交 AC 于点 N，连接 MN，则AMN的周长为；解：(图形补全法, “截长法”或“补短法”, 计算数值法) AC 的延长线与 BD 的延长线交于点 F，在线段 CF 上取点 E，使 CEBMABC 为等边三角形，BCD 为等腰三角形，且BDC=120，MBD=MBC+DBC=60+30=90，DCE=180-ACD=180-ABD=90，又BM=CE，BD=CD，CDEBDM，CDE=BDM，DE=DM，- 21 -NDE=NDC+CDE=
27、NDC+BDM=BDC-MDN=120-60=60，在DMN 和DEN 中，DM=DEMDN=EDN=60DN=DNDMNDEN，MN=NE在DMA 和DEF 中，DM=DEMDA=60- MDB=60- CDE=EDF(CDE=BDM)DAM=DFE=30DMNDEN(AAS)，MA=FEAMN的周长为 AN+MN+AM=AN+NE+EF=AF=6应用：应用：1、已知四边形ABCD中，ABAD，BCCD，ABBC，120ABC ，60MBN ，MBN绕B点旋转，它的两边分别交ADDC，（或它们的延长线）于EF，当MBN绕B点旋转到AECF时（如图 1） ，易证AECFEF当MBN绕B点旋转到
28、AECF时，在图 2 和图 3 这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AECF，EF又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明解： （1）ADAB ，CDBC ，BCAB ，CFAE （图 1）ABCDEFMN（图 2）ABCDEFMN（图 3）ABCDEFMN- 22 -CBFABE（SAS） ；CBFABE，BFBE 120ABC，60MBN30CBFABE，BEF为等边三角形BFEFBE，BEAECF21EFBECFAE（2）图 2 成立，图 3 不成立。证明图 2，延长 DC 至点 K，使AECK ，连接 BK则BCKBAEBKBE ，KBCABE60FB
29、E，120ABC60ABEFBC60KBCFBC60FBEKBFEBFKBFEFKF EFCFKC即EFCFAE图 3 不成立，AE、CF、EF 的关系是EFCFAE2、 （西城 09 年一模）已知:PA=2,PB=4,以 AB 为一边作正方形 ABCD,使 P、D 两点落在直线 AB 的两侧.(1)如图,当APB=45时,求 AB 及 PD 的长;(2)当APB 变化,且其它条件不变时,求 PD 的最大值,及相应APB 的大小.分析分析：（1） 作辅助线， 过点 A 作PBAE 于点 E， 在PAERt中，已知APE，AP 的值，根据三角函数可将 AE，PE 的值求出，由 PB 的值，可求
30、BE 的值，在ABERt中，根据勾股定理可将 AB 的值求出； 求 PD 的值有两种解法， 解法一： 可将PAD绕点 A 顺时针旋转90得到ABP，可得ABPPAD，求PD 长即为求BP的长，在PAPRt中，可将PP 的值求出，在BPPRt中，根据勾股定理可将BP的值求出；解法二：过点 P 作 AB 的平行线，与 DA 的延长线交于 F，交 PB 于 G，在AEGRt中，可求出 AG，EG 的长，进而可知 PG 的值，在PFGRt中，可求出 PF，在PDFRt中，根据勾股定理可将 PD 的值求出；（2）将PAD绕点 A 顺时针旋转90，得到ABP，PD 的最大值即为BP的最大值，故当P、P、B
31、 三点共线时，BP取得最大值，根据PBPPBP可求BP的最大值，此时135180PAPAPB解： （1）如图，作PBAE 于点 EPAERt中，45APB，2PAKABCDEFMN图 2EPADCB- 23 -PPACBDPPACBD1222 PEAE4PB3PEPBBE在ABERt中，90AEB1022BEAEAB解法一：如图，因为四边形 ABCD 为正方形，可将将PAD绕点 A 顺时针旋转90得到ABP， ，可得ABPPAD，BPPD，APPA90PPA，45PAP，90PBP2PP，2PA52422222PBPPBPPD；解法二：如图，过点 P 作 AB 的平行线，与 DA 的延长线交于
32、 F，设 DA 的延长线交 PB于 G在AEGRt中，可得310coscosABEAEEAGAEAG，31EG，32EGPEPG在PFGRt中，可得510coscosABEPGFPGPGPF，1510FG在PDFRt中，可得523101510105102222FGAGADPFPD（2）如图所示，将PAD绕点 A 顺时针旋转90,得到ABP，PD 的最大值，即为BP的最大值BPP 中，PBPPBP，22PAPP，4PB且 P、D 两点落在直线 AB 的两侧当P、P、B 三点共线时，BP取得最大值（如图）此时6PBPPBP，即BP的最大值为 6此时135180PAPAPBPPACBDEGFPACB
33、DE- 24 -3、在等边ABC的两边 AB、AC 所在直线上分别有两点 M、N，D 为ABC外一点，且60MDN,120BDC,BD=DC. 探究：当 M、N 分别在直线 AB、AC 上移动时，BM、NC、MN 之间的数量关系及AMN的周长 Q 与等边ABC的周长 L 的关系图 1图 2图 3（I）如图 1，当点 M、N 边 AB、AC 上，且 DM=DN 时，BM、NC、MN 之间的数量关系是； 此时LQ；（II）如图 2，点 M、N 边 AB、AC 上，且当 DMDN 时，猜想（I）问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明；（III） 如图 3，当 M、N 分别在边 AB、CA 的延
34、长线上时，若 AN=x，则 Q=（用x、L 表示） 分 析分 析 ：（ 1 ） 如 果DNDM ，DNMDMN， 因 为DCBD ， 那 么30DCBDBC，也就有903060NCDMBD，直角三角形 MBD、NCD中，因为DCBD ，DNDM ，根据 HL 定理，两三角形全等。那么NCBM ，60DNCBMD，三角形 NCD 中，30NDC，NCDN2，在三角形 DNM 中，DNDM ，60MDN， 因 此 三 角 形 DMN 是 个 等 边 三 角 形 ， 因 此BMNCNCDNMN2，三角形 AMN 的周长MNANAMQABACABNCMBANAM2，三角形 ABC 的周长ABL3，因此
35、3:2:LQ（2）如果DNDM ，我们可通过构建全等三角形来实现线段的转换。延长 AC 至 E，使BMCE ，连接 DE （1）中我们已经得出，90NCDMBD，那么三角形 MBD和 ECD 中，有了一组直角，CEMB ，DCBD ，因此两三角形全等，那么DEDM ，CDEBDM，60MDNBDCEDN三角形 MDN 和 EDN 中，有DEDM ，60MDNEDN，有一条公共边，因此两三角形全等，NEMN ，至此我们把 BM 转换成了 CE，把 MN 转换成了 NE，因为CECNNE，因此CNBMMNQ 与 L 的关系的求法同（1） ，得出的结果是一样的。（3） 我们可通过构建全等三角形来实现
36、线段的转换， 思路同 （2） 过D作MDBCDH，三角形 BDM 和 CDH 中，由（1）中已经得出的90MBDCH，我们做的角CDHBDM，CDBD ，因此两三角形全等（ASA） 那么CHBM ，DHDM ，三角形 MDN 和 NDH 中，已知的条件有DHMD ，一条公共边 ND，要想证得两三角形全等就需要知道HDNMDN，因为MDBCDH，因此120BDCMDH，因为- 25 -图 1NMADCB60MDN，那么60120NDH 60，因此NDHMDN，这样就构成了两三角形全等的条件三角形 MDN 和 DNH就 全 等 了 那 么BMACANNHNM， 三 角 形AMN的 周 长BMABA
37、NMNAMANQABANBMACAN22 因 为xAN ，LAB31， 因 此 三 角 形 AMN 的 周 长LxQ322 解： （1）如图 1，BM、NC、MN 之间的数量关系：MNNCBM；此时32LQ（2）猜想：结论仍然成立证明：如图 2，延长 AC 至 E，使BMCE ，连接 DECDBD ，且120BDC30DCBDBC又ABC是等边三角形90NCDMBD在MBD与ECD中DCBDECDMBDCEBMECDMBD（SAS）DEDM ，CDEBDM60MDNBDCEDN在MDN与EDN中DNDNEDNMDNDEDMEDNMDN（SAS）BMNCNEMN故AMN的周长MNANAMQABACABNCANBMAM2而等边ABC的周长ABL33232ABABLQ（3）如图 3，当 M、N 分别在 AB、CA 的延长线上时，若xAN ，则LxQ322 （用x、L 表示） 点评点评： 本题考查了三角形全等的判定及性质； 题目中线段的转换都是根据全等三角形来实现的， 当题中没有明显的全等三角形时， 我们要根据条件通过作辅助线来构建于已知和所E图 2NMADCBH图 3NMADCB- 26 -求条件相关的全等三角形。
