1、 四川省雅安市四川省雅安市 2014 年中考数学试卷年中考数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、单项选择题（共一、单项选择题（共 12 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 36 分）分） 1 （3 分） （2014雅安）0的值是（ ） A B 0 C 1 D 3.14 考点： 零指数幂. 分析： 根据零指数幂的运算法则计算即可 解答： 解：0=1， 故选：C 点评： 本题主要考查了零指数幂的运算任何非 0 数的 0 次幂等于 1 2 （3 分） （2014雅安）在下列四个立体图形中，俯视图为正方形的是（ ） A B C D 考点： 简单几何体的三视图. 分析： 根据从上面
2、看得到的图形是俯视图，可得答案 解答： 解：A、俯视图是一个圆，故本选项错误；来源:163文库 B、俯视图是带圆心的圆，故本选项错误； C、俯视图是一个圆，故本选项错误； D、俯视图是一个正方形，故本选项正确； 故选：D 点评： 此题主要考查了简单几何体的三视图，关键是掌握俯视图的定义从上面看得到的图 形是俯视图 3 （3 分） （2014雅安）某市约有 4500000 人，该数用科学记数法表示为（ ） A 0.45107 B 4.5106 C 4.5105 D 45105 考点： 科学记数法表示较大的数. 分析： 科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数确定 n
3、 的值是易 错点，由于 4500000 有 7 位，所以可以确定 n=71=6 解答： 解：4 500 000=4.5106 故选 B 点评： 此题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定 a 与 n 值是关键 4 （3 分） （2014雅安） 数据 0， 1， 1， x， 3， 4 的平均数是 2， 则这组数据的中位数是 （ ） A 1 B 3 C 1.5 D 2 考点： 中位数；算术平均数. 分析： 根据平均数的计算公式求出 x 的值，再把这组数据从小到大排列，根据中位数的定义 即可得出答案 解答： 解：数据 0，1，1，x，3，4 的平均数是 2， （0+1+1+x+3+4）6=2，
4、解得：x=3， 把这组数据从小到大排列 0，1，1，3，3，4， 最中间两个数的平均数是（1+3）2=2， 则这组数据的中位数是 2； 故选 D 点评： 此题考查了中位数和平均数，根据平均数的计算公式求出 x 的值是本题的关键，中位 数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个 数的平均数） ，叫做这组数据的中位数 5 （3 分） （2014雅安）下列计算中正确的是（ ） A + = B =3 C a 6=（a3）2 D b 2=b2 考点： 幂的乘方与积的乘方；有理数的加法；立方根；负整数指数幂 分析： 根据分数的加法，可判断 A； 根据开方运算，可判断 B；
5、根据幂的乘方底数不变指数相乘，可判断 C； 根据负整指数幂，可判断 D 解答： 解：A、先通分，再加减，故 A 错误； B、负数的立方根是负数，故 B错误； C、幂的乘方底数不变指数相乘，故 C 正确； D、b 2= ，故 D 错误； 故选：C 点评： 本题考查了幂的乘方，幂的乘方底数不变指数相乘 6 （3 分） （2014雅安）若 m+n=1，则（m+n）22m2n 的值是（ ） A 3 B 0 C 1 D 2 考点： 代数式求值. 专题： 整体思想 分析： 把（m+n）看作一个整体并代入所求代数式进行计算即可得解 解答： 解：m+n=1， （m+n）22m2n =（m+n）22（m+n）
6、=（1）22（1） =1+2 =3 故选 A 点评： 本题考查了代数式求值，整体思想的利用是解题的关键 7 （3 分） （2014雅安）不等式组的最小整数解是（ ） A 1 B 2 C 3 D 4 考点： 一元一次不等式组的整数解. 分析： 分别解两个不等式，然后求出不等式组的解集，最后找出最小整数解 解答： 解：， 解得：x1， 解得：x2， 则不等式的解集为 x2， 故不等式的最小整数解为 3 故选 C 点评： 本题考查了不等式组的解法及整数解的确定求不等式组的解集，应遵循以下原则： 同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了 8 （3 分） （2014雅安）如图，ABCD 为
7、正方形，O 为对角线 AC、BD 的交点，则 COD 绕点 O 经过下列哪种旋转可以得到 DOA（ ） A 顺时针旋转 90 B 顺时针旋转 45 C 逆时针旋转 90 D 逆时针旋转 45 考点： 旋转的性质. 分析： 因为四边形 ABCD 为正方形，所以COD=DOA=90，OC=OD=OA，则 COD 绕 点 O 逆时针旋转得到 DOA，旋转角为COD 或DOA，据此可得答案 解答： 解：四边形 ABCD 为正方形， COD=DOA=90，OC=OD=OA， COD 绕点 O 逆时针旋转得到 DOA，旋转角为COD 或DOA， 故选：C 点评： 本题考查了旋转的性质，旋转要找出旋转中心、
8、旋转方向、旋转角 9 （3 分）（2014雅安）a、b、c 是 ABC 的A、B、C 的对边，且 a：b：c=1： ，则 cosB的值为（ ） A B C D 考点： 勾股定理的逆定理；锐角三角函数的定义. 分析： 先由勾股定理的逆定理判定 ABC 是直角三角形，再利用余弦函数的定义即可求解 解答： 解：a：b：c=1：， b=a，c=a， a2+b2=a2+（a）2=3a2=c2， ABC 是直角三角形，C=90， cosB= 故选 B 点评： 本题考查了勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长 a，b，c 满足 a2+b2=c2，那么这 个三角形就是直角三角形，同时考查了余弦函数的定义：锐角
9、A 的邻边 b 与斜边 c 的比叫做A 的余弦，记作 cosA 10 （3 分） （2014雅安）在平面直角坐标系中，P 点关于原点的对称点为 P1（3，） ，P 点关于 x 轴的对称点为 P2（a、b） ，则=（ ） A 2 B 2 C 4 D 4 考点： 关于原点对称的点的坐标；立方根；关于 x 轴、y 轴对称的点的坐标. 分析： 利用关于原点对称点的坐标性质得出 P 点坐标， 进而利用关于 x 轴对称点的坐标性质 得出 P2坐标，进而得出答案 解答： 解：P 点关于原点的对称点为 P1（3，） ， P（3， ） ， P 点关于 x 轴的对称点为 P2（a，b） ， P2（3，） ， =2
10、 故选：A 点评： 此题主要考查了关于原点对称点的性质以及关于 x 轴对称点的性质， 得出 P 点坐标是 解题关键 11 （3 分） （2014雅安）在平行四边形 ABCD 中，点 E 在 AD 上，且 AE：ED=3：1，CE 的延长线与 BA 的延长线交于点 F，则 S AFE：S四边形ABCE为（ ） A 3：4 B 4：3 C 7：9 D 9：7 考点： 平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质. 分析： 利用平行四边形的性质得出 FAEFBC，进而利用相似三角形的性质得出 =，进而得出答案 解答： 解：在平行四边形 ABCD 中， AEBC，AD=BC， FAEFBC， AE：ED=
11、3：1， =， =， S AFE：S四边形ABCE=9：7 故选：D 点评： 此题主要考查了平行四边形的性质和相似三角形的判定与性质， 得出=是解 题关键 12 （3 分） （2014雅安）如图，ABCD 为正方形，O 为 AC、BD 的交点， DCE 为 Rt ， CED=90，DCE=30，若 OE=，则正方形的面积为（ ） A 5 B 4 C 3 D 2 考点： 正方形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理. 分析： 过点 O 作 OMCE 于 M，作 ONDE 交 ED 的延长线于 N，判断出四边形 OMEN 是矩形，根据矩形的性质可得MON=90，再求出COM=DON，根据正方形的
12、性 质可得 OC=OD，然后利用“角角边”证明 COM 和 DON 全等，根据全等三角形对 应边相等可得 OM=ON，然后判断出四边形 OMEN 是正方形，设正方形 ABCD 的边 长为 2a，根据直角三角形 30角所对的直角边等于斜边的一半可得 DE=CD，再利用 勾股定理列式求出 CE， 根据正方形的性质求出 OC=OD=a， 然后利用四边形 OCED 的面积列出方程求出 a2，再根据正方形的面积公式列式计算即可得解 解答： 解：如图，过点 O 作 OMCE 于 M，作 ONDE 交 ED 的延长线于 N， CED=90， 四边形 OMEN 是矩形， MON=90， COM+DOM=DON
13、+DOM， COM=DON， 四边形 ABCD 是正方形， OC=OD， 在 COM 和 DON 中， ， COMDON（AAS） ， OM=ON， 四边形 OMEN 是正方形， 设正方形 ABCD 的边长为 2a，则 OC=OD=2a=a， CED=90，DCE=30， DE=CD=a， 由勾股定理得，CE=a， 四边形 OCED 的面积=aa+（a）（a）=（）2， 解得 a2=1， 所以，正方形 ABCD 的面积=（2a）2=4a2=41=4 故选 B 点评： 本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形 30角 所对的直角边等于斜边的一半的性质，作辅助线构造出全
14、等三角形是解题的关键，也 是本题的难点 二二、填空题（共、填空题（共 5 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 15 分）分） 13 （3 分） （2014雅安）函数 y=的自变量 x 的取值范围为 x1 考点： 函数自变量的取值范围. 分析： 根据被开方数大于等于 0 列式计算即可得解 解答： 解：由题意得，x+10， 解得 x1 故答案为：x1 点评： 本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑： （1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数； （2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为 0； （3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负 14 （3 分） （2014雅安
15、）已知：一组数 1，3，5，7，9，按此规律，则第 n 个数是 2n 1 考点： 规律型：数字的变化类. 分析： 观察 1，3，5，7，9，所给的数，得出这组数是从 1 开始连续的奇数，由此表示 出答案即可 解答： 解：1=211， 3=221， 5=231， 7=231， 9=251， ， 则第 n 个数是 2n1 故答案为：2n1 点评： 此题考查了数字的变化类，通过观察，分析、归纳并发现其中的规律，并应用发现的 规律解决实际问题 15 （3 分） （2014雅安） 若我们把十位上的数字比个位和百位上数字都小的三位数， 称为“V” 数，如 756，326，那么从 2，3，4 这三个数字组成
16、的无重复数字的三位数中任意抽取一个 数，则该数是“V”数的概率为 考点： 概率公式. 分析： 首先将所有由 2，3，4 这三个数字组成的无重复数字列举出来，然后利用概率公式求 解即可 解答： 解：由 2，3，4 这三个数字组成的无重复数字为 234，243，324，342，432，423 六 个，而“V”数有 2 个， 故从 2， 3， 4 这三个数字组成的无重复数字的三位数中任意抽取一个数， 则该数是“V” 数的概率为=， 故答案为： 点评： 本题考查的是用列举法求概率的知识注意概率=所求情况数与总情况数之比 16 （3 分） （2014雅安）在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，则直线 y=
17、x+与以 O 点 为圆心，1 为半径的圆的位置关系为 相切 考点： 直线与圆的位置关系；坐标与图形性质. 分析： 首先求得直线与坐标轴的交点坐标，然后求得原点到直线的距离，利用圆心到直线的 距离和圆的半径的大小关系求解 解答： 解：令 y=x+=0，解得：x=， 令 x=0，解得：y=， 所以直线 y=x+与 x 轴交于点（，0） ，与 y 轴交于点（0，） ， 设圆心到直线 y=x+的距离为 r， 则 r=1， 半径为 1， d=r， 直线 y=x+与以 O 点为圆心，1 为半径的圆的位置关系为相切， 故答案为：相切 点评： 本题考查了直线与圆的位置关系及坐标与图形的性质，属于基础题，比较简
18、单 17 （3 分） （2014雅安）关于 x 的方程 x2（2m1）x+m21=0 的两实数根为 x1，x2， 且 x12+x22=3，则 m= 0 考点： 根与系数的关系；根的判别式. 分析： 根据方程 x2（2m1）x+m21=0 的两实数根为 x1，x2，得出 x1+x2与 x1x2的值， 再根据 x12+x22=3，即可求出 m 的值 解答： 解：方程 x2（2m1）x+m21=0 的两实数根为 x1，x2， x1+x2=2m1，x1x2=m21， x12+x22=（x1+x2）22x1x2=（2m1）22（m21）=3， 解得：x1=0，x2=2（不合题意，舍去） ， m=0； 故
19、答案为：0 点评： 本题考查了根与系数的关系及根的判别式，难度适中，关键掌握 x1，x2是方程 x2+px+q=0 的两根时，x1+x2=p，x1x2=q 三、解答题（共三、解答题（共 69 分，解答时要求写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程）分，解答时要求写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程） 18 （12 分） （2014雅安） （1）|+（1）20142cos45+ （2）先化简，再求值：（） ，其中 x=+1，y=1 考点： 分式的化简求值；实数的运算；特殊角的三角函数值. 专题： 计算题 分析： （1）原式第一项利用绝对值的代数意义化简，第二项利用乘方的意义化简，第三项 利用特殊
20、角的三角函数值计算，最后一项利用平方根定义化简，计算即可得到结果； （2）原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变 形，约分得到最简结果，将 x 与 y 的值代入计算即可求出值 解答： 解： （1）原式=+12+4=5； （2）原式 =， 当 x=+1，y=1 时，xy=1，x+y=2， 则原式= 点评： 此题考查了分式的化简求值，以及实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键 19 （8 分） （2014雅安）某老师对本班所有学生的数学考试成绩（成绩为整数，满分为 100 分）作了统计分析，绘制成如下频数、频率分布表和频数分布直方图，请你根据图表提供的 信息，解答
21、下列问题： 分组 49.559.5 59.569.5 69.579.5 79.589.5 89.5100.5 频数 2 a 20 16 8 频率 0.04 0.08 0.40 0.32 b （1）求 a，b 的值； （2）补全频数分布直方图； （3） 老师准备从成绩不低于 80 分的学生中选 1 人介绍学习经验， 那么被选中的学生其成绩 不低于 90 分的概率是多少？ 考点： 频数（率）分布直方图；频数（率）分布表；概率公式. 分析： （1）根据第一组的频数和频率求出总人数，再用总人数乘以 59.569.5 的频率，求 出 a 的值，再用 8 除以总人数求出 b 的值； （2）根据（1）求出的
22、 a 的值可补全频数分布直方图； （3）根据图表所给出的数据得出成绩不低于 80 分的学生中选 1 人有 24 种结果，其 成绩不低于 90 分的学生有 8 种结果，再根据概率公式即可得出答案 解答： 解： （1）学生总数是：=50（人） ， a=500.08=4（人） ， b=0.16； （2）根据（1）得出的 a 的值，补图如下： （3）从成绩不低于 80 分的学生中选 1 人有 24 种结果， 其中成绩不低于 90 分的学生有 8 种结果，故所求概率为= 点评： 本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力 利用统计图获取信 息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确
23、的判断和解决问题 20 （8 分） （2014雅安）某地要在规定的时间内安置一批居民，若每个月安置 12 户居民， 则在规定时间内只能安置 90%的居民户；若每个月安置 16 户居民，则可提前一个月完成安 置任务，问要安置多少户居民？规定时间为多少个月？（列方程（组）求解） 考点： 二元一次方程组的应用. 分析： 设安置 x 户居民，规定时间为 y 个月等量关系为： ，若每个月安置12 户居民，则在 规定时间内只能安置 90%的居民户；若每个月安置 16 户居民，则可提前一个月完成 安置任务 解答： 解：设安置 x 户居民，规定时间为 y 个月 则：， 所以 12y=0.916（y1） ， 所
24、以 y=6， 则 x=16（y1）=80 即原方程组的解为： 答：需要安置 80 户居民，规定时间为 6 个月 点评： 本题考查了二元一次方程组的应用解题关键是弄清题意，合适的等量关系，列出方 程组 21 （9 分） （2014雅安）如图：在ABCD 中，AC 为其对角线，过点 D 作 AC 的平行线与 BC 的延长线交于 E （1）求证： ABCDCE； （2）若 AC=BC，求证：四边形 ACED 为菱形 考点： 菱形的判定；全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质. 专题： 证明题 分析： （1）利用 AAS 判定两三角形全等即可；来源:Z_xx_k.Com （2）首先证得四边形 ACE
25、D 为平行四边形，然后证得 AC=AD，利用邻边相等的平 行四边形是菱形判定即可 解答： 证明： （1）四边形 ABCD 为平行四边形，来源:163文库 AB平行且等于 CD，B=DAC， B=1， 又DEAC 2=E， 在 ABC 与 DCE 中， ， ABCDCE； （2）平行四边形 ABCD 中， ADBC， 即 ADCE， 由 DEAC， ACED 为平行四边形， AC=BC， B=CAB， 由 ABCD， CAB=ACD， 又B=ADC， ADC=ACD， AC=AD， 四边形 ACED 为菱形 点评： 本题考查了菱形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握菱形的判定定理，难度不大 22
26、（10 分） （2014雅安）如图，已知反比例函数 y=的图象与正比例函数 y=kx 的图象交于 点 A（m，2） （1）求正比例函数的解析式及两函数图象另一个交点 B的坐标； （2）试根据图象写出不等式kx 的解集； （3）在反比例函数图象上是否存在点 C，使 OAC 为等边三角形？若存在，求出点 C 的坐 标；若不存在，请说明理由 考点： 反比例函数与一次函数的交点问题. 分析： （1）把点 A 的坐标代入 y=求出 m 的值，再运用 A 的坐标求出 k，两函数解析式联立 得出 B点的坐标 （2）把 k 的值代入不等式，讨论当 a0 和当 a0 时分别求出不等式的解 （3）讨论当 C 在第
27、一象限时， OAC 不可能为等边三角形，当 C 在第三象限时，根 据|OA|=|OC|，求出点 C 的坐标，再看 AC 的值看是否构成等边三角形 解答： 解： （1）把 A（m，2）代入 y=，得2=， 解得 m=1， A（1，2）代入 y=kx， 2=k（1） ，解得，k=2， y=2x， 又由 2x=，得 x=1 或 x=1（舍去） ， B（1，2） ， （2）k=2， kx 为2x， 当 x0 时，2x22，解得 0x1， 当 x0 时，2x22，解得 x1； （3）当点 C 在第一象限时， OAC 不可能为等边三角形， 如图，当 C 在第三象限时，要使 OAC 为等边三角形，则|OA|
28、=|OC|，设 C（t， ） （t0） ， A（1，2） OA= t2+=5，则 t45t2+4=0， t2=1，t=1，此时 C 与 A 重合，舍去， t2=4，t=2，C（2，1） ，而此时|AC|=，|AC|AO|， 不存在符合条件的点 C 点评： 本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是求出点 C 的坐标， 看是否构成等边三角形 23 （10 分） （2014雅安）如图，O 的直径 CD 垂直于弦 AB，垂足为 E，F 为 DC 延长线 上一点，且CBF=CDB来源:163文库 （1）求证：FB为O 的切线； （2）若 AB=8，CE=2，求 sinF 考点： 切线的
29、判定；相似三角形的判定与性质. 分析： （1） 连接 OB， 根据圆周角定理证得CBD=90， 然后根据等边对等角以及等量代换， 证得OBF=90即可证得； （2）首先利用垂径定理求得 BE 的长，然后根据 OBEOBF，利用相似三角形的 性质求得 OF 的长，则 sinF 即可求解 解答： （1）证明：连接 OB CD 是直径， CBD=90， 又OB=OD， OBD=D， 又CBF=D， CBF=OBD， OBF=90，即 OBBF， FB是圆的切线； （2）解：CD 是圆的直径，CDAB， BE=AB=4， 设圆的半径是 R，在直角 OEB中，根据勾股定理得：R2=（R2）2+42， 解
30、得：R=5， BOE=FOB，BEO=OBF， OBEOBF， OB2=OEOF， OF=， 则在直角 OBF 中，sinF= 点评： 本题考查了切线的判定要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这 点（即为半径） ，再证垂直即可 24 （12 分） （2014雅安）如图，直线 y=3x3 与 x 轴、y 轴分别相交于点 A、C，经过 点 C 且对称轴为 x=1 的抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴相交于 A、B两点 （1）试求点 A、C 的坐标； （2）求抛物线的解析式； （3）若点 M 在线段 AB上以每秒 1 个单位长度的速度由点 B向点 A 运动，同时，点 N 在 线段
31、 OC 上以相同的速度由点 O 向点 C 运动（当其中一点到达终点时，另一点也随之停止 运动） ，又 PNx 轴，交 AC 于 P，问在运动过程中，线段 PM 的长度是否存在最小值？若 有，试求出最小值；若无，请说明理由 考点： 二次函数综合题. 分析： （1）根据直线解析式 y=3x3，将 y=0 代入求出 x 的值，得到直线与 x 轴交点 A 的坐标，将 x=0 代入求出 y 的值，得到直线与 y 轴交点 C的坐标； （2）根据抛物线 y=ax2+bx+c 的对称轴为 x=1，且过点 A（1，0） 、C（0，3） ， 列出方程组，解方程组即可求出抛物线的解析式； （3）由对称性得点 B（3
32、，0） ，设点 M 运动的时间为 t 秒（0t3） ，则 M（3t，0） ， N（0，t） ，P（xP，t） ，先证明 CPNCAO，根据相似三角形对应边成比例 列出比例式=，求出 xP=1再过点 P 作 PDx 轴于点 D，则 D（1，0） ，在 PDM 中利用勾股定理得出 PM2=MD2+PD2= （+4） 2+ （t）2= （25t296t+144） ， 利用二次函数的性质可知当 t=时，PM2最小值为，即在运动过程中，线段 PM 的长度存在最小值 解答： 解： （1）y=3x3， 当 y=0 时，3x3=0，解得 x=1， A（1，0） ； 当 x=0 时，y=3， C（0，3） ；
33、（2）抛物线 y=ax2+bx+c 的对称轴为 x=1，过点 A（1，0） 、C（0，3） ， ，解得， 抛物线的解析式为 y=x22x3； （3）由对称性得点 B（3，0） ，设点 M 运动的时间为 t 秒（0t3） ，则 M（3t，0） ， N（0，t） ，P（xP，t） PNOA， CPNCAO， =，即=， xP=1 过点 P 作 PDx 轴于点 D，则 D（1，0） ， MD=（3t）（1）=+4， PM2=MD2+PD2=（+4）2+（t）2=（25t296t+144） ， 又=3， 当 t=时，PM2最小值为， 故在运动过程中，线段 PM 的长度存在最小值 点评： 本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有一次函数图象上点的坐标特征， 运用待定系数法求二次函数的解析式，相似三角形的判定与性质，勾股定理，二次函 数的性质，综合性较强，难度适中运用数形结合、方程思想是解题的关键
