1、 2013 年莆田市中考试题 数 学 （满分（满分 150150 分，考试时间分，考试时间 120120 分钟）分钟） 注意：本试卷分为“试题”和“答题卡”两部分，答题时请按答题卡中的“注意事项”要求认真作答，答案写 在答题卡上的相应位置， 一、精心选一选：本大题共 8 小题，每小题 4 分，共 32 分每小题给出的四个选项中有且只有一个选项是符合题 目要求的答对的得 4 分，答错、不答或答案超过一个的一律得 0 分 1 （2013 年福建莆田，1，3 分）2013 的相反数是 A2013 B2013 C. 2013 1 D 2013 1 【答案】B 2 （2013 年福建莆田，2，3 分）下
2、列运算正确的是 A （ab)2a2b2 B3a22a2a2 C2(a 1)2a1 D a6a3a2 【答案】B 3 （2013 年福建莆田，3，3 分）对于一组统计数据：2，4，4，5，6，9下列说法错误 的是 A众数是 4 B中位数是 5 C极差是 7 D平均数是 5 【答案】B 4 （2013 年福建莆田，4，3 分）如图，一次函数 y(m2)x1 的图象经过二、三、四象限，则 m 的取值范围 是 Am0 Bm0 Cm2 D m2 【答案】D 5 （2013 年福建莆田，5，3 分）如图是一个圆柱和一个长方体组成的几何体，圆柱的下底面紧贴在长方体的上 底面上，那么这个几何体的俯视图可能是
3、【答案】C 6 （2013 年福建莆田，6，3 分）如图，将 RtABC（其中B35，C90)绕点 A 按顺时针方向旋转到 AB1C1的位置，使得点 C、A、B1在同一条直线上，那么旋转角等于 A55 B. 70 C125 D 145 （第 5 题图） A C D B y O （第 4 题图） x 【答案】C 7 （2013 年福建莆田，7，3 分）如图，ABC 内接于O，A50，则OBC 的度数为 A400 B 500 C800 D 1000 【答案】A 8 （2013 年福建莆田，8，3 分）下列四组图形中，一定相似的是 A正方形与矩形 B正方形与菱形 C菱形与菱形 D正五边形与正五边形
4、【答案】D 二、细心填一填：本大题共 8 小题，每小题 4 分，共 32 分 9 （2013 年福建莆田，9，4 分）不等式 2x40 的解集是_ 【答案】x2 10 （2013 年福建莆田，10，4 分）小明同学在“百度”搜索引擎中输入“中国梦” ，搜索到相关的结果个数约为 8650000，将这个数用科学记数法表示为_ 【答案】8.65106 11 （2013 年福建莆田，11，4 分）如图，点 B、E、C、F 在一条直线上，ABDF，BE CF，请添加一个条件 _，使ABCDEF(写出一个即可) 【答案】AD 或 ABDE 或ACBDFE 或 ACDF 12 （2013 年福建莆田，12，
5、4 分）已知在 RtABC 中，C900，sinA 13 5 ，则 tanB 的值为_ 【答案】 5 12 13 （2013 年福建莆田，13，4 分）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都 是直角三角形，若正方形 A、B、C、D 的面积分别为 2，5，1，2则最大的正方形 E 的面积是_ A D B E C F （第11题图） A B O C （第 7 题图） A B1 C B C1 （第 4 题图） 【答案】10 14 （2013 年福建莆田，14，4 分）经过某个路口的汽车，它可能继续直行或向右转，若两种可能性大小相同， 则两辆汽车经过该路口全部继续直行的概率
6、为_ 【答案】 4 1 15 （2013 年福建莆田，15，4 分）如图，正方形 ABCD 的边长为 4，点 P 在 DC 边上且 DP1，点 Q 是 AC 上 一动点，则 DQ +PQ 的最小值为_ 【答案】5 16 （2013 年福建莆田，16，4 分）统计学规定：某次测量得到 n 个结果 x1，x2.xn，当函数 y(x x1)2+(xx2)2+（x xn）2 取最小值时，对应 x 的值称为这次测量的“最佳近似值”若某次测量得到 5 个结果 9.8，10.1，10. 5，10.3，9.8 则这次测量的“最佳近似值”为_ 【答案】10.1 三、耐心做一做：本大题共 9 小题，共 86 分解
7、答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 17 （2013 年福建莆田，17，8 分）计算： 0 )2013(34 【答案】解：原式231 4 18 （2013 年福建莆田，18，8 分）先化简，再求值： 2 12 ) 2 1 2 ( 22 a aa aa a ，其中 a3 【答案】解：原式 2 2 ) 1( 2 2 1 a a a a 2 ) 1( 2 2 ) 1)(1( a a a aa 1 1 a a 当3a时，原式2 13 13 A B C D P Q （第 15 题图） B A C D E （第 13 题图） 19 （2013 年福建莆田，19，8 分）莆田素有“文献名邦”之称，某
8、校就同学们对“莆仙历史文化”的了解程度 进行随机抽样调查，将调查结果绘制成如下两幅统计图： 根据统计图的信息，解答下列问题： (1)（2 分）本次共凋查_名学生； (2)（3 分）条形统计图中 m_； (3)（3 分）若该校共有学生 1000 名，则该校约有_名学生不了解“莆仙历史文化” ； 【答案】 （1）60 （2）18 （3）200 20 （2013 年福建莆田，20，8 分）定义：如图 1，点 C 在线段 AB 上，若满足 AC2 BCAB，则称点 C 为线段 AB 的黄金分割点如图 2，ABC 中，ABACl，4360，BD 平分ABC 交 AC 于点 D （1） （5 分）求证：点
9、 D 是线段 AC 的黄金分割点； （2） （3 分）求出线段 AD 的长 【答案】 （1） 证明：ABAC，A36ABCC72 BD 平分ABC ABDDBCA36 BDC72，BCBDAD BCDACB BC CD AC BC 即 BC2ACCD AD2ACCD 点 D 是线段 AC 的黄金分割点 （2） A C B （图 1） （图 2） （第 20 题图） A B C D 设 ADx 则 CD1x 由（1）得 x21x 解得 2 51 1 x（舍去） ， 2 51 2 x AD 2 51 21 （2013 年福建莆田，21，8 分）如图，ABCD 中，AB2，以点 A 为圆心，AB 为
10、半径的圆交边 BC 于点 E， 连接 DE、AC、AE (1)（4 分）求证：AEDDCA； (2)（4 分）若 DE 平分ADC 且与 OA 相切于点 E，求图中阴影部分（扇形）的面积 【答案】 （1）证明：在ABCD 中 ABDC，ADBC，BCDA DAEAEB ABAE AEDC，BAEB EADCDA ADDA AEDDCA （2） 解：DE 与A 相切 AED90 DE 平分ADC EADADC2ADE （第 20 题图） A B C D A B E C D （第 21 题图） AEBEAD60 ABE 是等边三角形 BAE60 S阴 影 阴 影 3 2 360 2360 2 22
11、. （2013 年福建莆田，22，10 分）如图，直线: yx+1 与 x 轴、y 轴分别交于 A、B 两点，点 C 与原点 O 关于 直线 l 对称反比例函数 y x k 的图象经过点 C，点 P 在反比例函数图象上且位于点 C 左侧过点 P 作 x 轴、y 轴的垂线分别交直线 l 于 M、N 两点 ()（4 分）求反比例函数的解析式； (2)（6 分）求 ANBM 的值 【答案】 解： （1）直线 l：yx1 A（1,0） ，B（0,1） OAOB1，OAB45 点 O、C 关于直线 l 对称，连接 AC， 则CABOAB45，ACOA1 ACOA，C（1,1） 反比例函数的解析式为 y
12、x 1 （2）设 P（a，b） ，则 ab1 过点 M、N 分别作 MEy 轴于点 E，NFx 轴于点 F 易证MEB，AFN 为等腰直角三角形 BM2a AN2b ANBM2ab2 x y A B O C P M N l （第 22 题图） 23 （2013 年福建莆田，23，10 分）如图所示，某学校拟建一个含内接矩形的菱形花坛（花坛为轴对称图形）矩 形的四个顶点分别在菱形四条边上，菱形的边长 AB4 米，ABC60设 AEx 米(0x4)，矩形的面积 为米 2 (1)（5 分）求 S 与 x 的函数关系式； (2)（5 分）学校准备在矩形内种植红色花草，四个三角形内种植黄色花草已知红色花
13、草的价格为 20 元米 2，黄 色花草的价格为 40 元米 2 当 x 为何值时， 购买花草所需的总费用最低， 并求出最低总费用 （结果保留根号） ？ 【答案】 解： （1）过点 A 作 AMEH 于点 M 由轴对称性的性质得：AEAH，BEBF，EAM60 EMAEsin60x 2 3 EHx3 B60 BEF 为等边三角形 EFBE4x S)4(3xx 即 Sxx343 2 B F C G D H A E （第 23 题图） M x y A B O C P M N l （第 22 题图） F E B F C G D H A E （第 23 题图） （2）解法一：红色花草价格比黄色花草便宜
14、当矩形面积最大时，购买花草的总费用最低 S34)2(3 2 x 当 x2 时，S最大34 易得 S四边形ABCD38 此时四个三角形的面积为343438 最低总费用为：324034403420（元） 解法二：设购买花草所需的总费用为 W 元，易得 S四边形ABCD38 则40（S38）20S S203320 W3320380320 2 xx 3240)2(320 2 x 当 x2 时，W3240 答：当 x2 时，购买花草所得的总费用最低，最低总费用是3240元 24 （2013 年福建莆田，24，12 分）如图抛物线 y=ax2+bx+c 的开口向下与 x 轴交于点 A(3,0)和点 B（1
15、,0）与 y 轴交于点 C,顶点为 D （1）（2 分）求顶点 D 的坐标（用含 a 的代数式表示） （2）若ACD 的面积为 3 （3）(4 分）求抛物线的解析式 （4）（6 分）将抛物线向右平移，使得平移后的抛物线与原抛物线相交于点 P，且PAB=DAC,求平移后 抛物线的解析式 【答案】 解： （1）抛物线经过点 A（3，0）和 B（1，0） ya（x3） （x1） A O B C D y x （第 24 题图） a(x1)24a 顶点 D（1，4a） （2）解法一：由（1）得 C（0，3a） Saa 2 9 )3(3 2 1 连接 OD，则 S四边形ADCOSADOSDCO aaa 2
16、 15 )3(1 2 1 )4(3 2 1 S3) 2 9 ( 2 15 aa 解得 a1 yx22x3 解法二： 过点 D 作 DEy 轴交 AC 于点 E A（3,0） ，C（0，3a） 设直线 AC：ykxm 则 am mk 3 03 解得 am ak 3 yax3a E（1，2a）DE2a SACDSADESCDE 33)2( 2 1 a 解得 a1 yx22x3 A O B C D y x （第 24 题图） E 过点 D 作 DFy 轴于点 F 设平移后的抛物线解析式为 y（xh）24 a1，则 C（0,3） ，D（1,4） CDF 和AOC 都是等腰直角三角形 ACD90，CD2
17、，AC23 tanDAC 3 1 AC CD 分两种情况讨论： （1）当点 P 在 x 轴上方时设为 P1，若直线 AP1交 y轴于点 M，n tanM1AOtanDAC 3 1 M1（0,1） 则直线 AP1：y1 3 1 x 令321 3 1 2 xxx解得3, 3 2 21 xx（舍去） 1（ 3 2 ， 9 11 ） 解法一：带入得：4) 3 2 ( 9 11 2 h解得1, 3 7 21 hh（舍去） 4) 3 7 ( 2 xy 解法二：平移后的抛物线与原抛物线关于直线 x 3 2 对称 应向右平移 3 10 个单位，4) 3 7 ( 2 xy （2）当点 P 在 x 轴下方时设为
18、P2，同理可得 M2（0，1） 则直线 AP2：1 3 1 xy 令321 3 1 2 xxx解得3, 3 4 21 xx（舍去） P2（ 3 4 ， 9 13 ） A O B C D y x （第 24 题图） E F M1 P1 M2 P2 解法一：代入得：4) 3 4 ( 9 13 2 h解得1, 3 11 21 hh（舍去） 4) 3 11 ( 2 xy 解法二：平移后的抛物线与原抛物线关于直线 x 3 4 对称 应向右平移 3 14 个单位，4) 3 11 ( 2 xy 综所述：平移后的抛物线解析式4) 3 7 ( 2 xy或4) 3 11 ( 2 xy 25 （2013 年福建莆田
19、，25，14 分）在 RtABC 中，C=90，D 为 AB 边上一点，点 M、N 分别在 BC、AC 边上，且 DMDN.作 MFAB 于点 F,NE 垂直 AB 于点 E (1)特殊验证特殊验证：4 分）如图 1，若 AC=BC,且 D 为 AB 中点，求证：DM=DN,AE=DF (2)拓展研究：拓展研究：若 ACBC （6 分）如图 2，若 D 为 AB 中点， （1）中的两个结论有一个仍成立，请指出并加以证明 （4 分）如图 3 若 BDkAD,条件中“点 M 在 BC 边上”改为“点 M 在线段 CB 的延长线上” ，其它条件不变， 请探究 AD 与 DF 的数量关系并加以证明 【
20、答案】 （1）证明：连接 CD ACBC，ACB90，ADBD 4A，CDAD,2390 又1390，12 DMCDNA DMDN 又DENDFM90 2565 26 DMFNDE NEDF 又NEAE AEDF （2） A E D F B C M N （图 1） 1 3 2 4 5 6 A E D F B A E D F B A D E B F M C N M C N C M N （第 25 题图） （图 1） （图 2） （图 3） 答：AEDF 解法一：由（1）证明可知：DENMFD DF EN MF DE 即 MFENDEDF 同理AENMFB BF EN MF AE 即 MFENAE
21、BF DEDFAEBF （ADAE）DFAE（BDDF） ADDEAEBD DFA 解法二：作 DPBC 于点 P，DQAC 于点 Q D 为 AB 中点 DQPCPB 易证DMFNDE DN DM NE DF 易证DMPDNQ PB DP DQ DP DN DM PB DP NE DF 易证AENDPB BP DP NE AE NE DF NE AE AEDF DFkAE（或DF k 1 ） 解法一：由同理可得：DEDFAEBF （AEAD）DEAE（DFBD） ADDFAEBD k AD BD AE DF 即 DFkAE 解法二： A E D F B M C N （图 2） Q P 作 DPBC 于点 P，DQAC 于点 Q. 易证AQDDPB 得 KBD AD PB DQ1 即 PBkDQ 由同理可得： NE DF DQ DP DN DM PB kDP NE DF 又 PB DP NE AE NE kAE NE DF DFkAE A D E B F M C N （图 3） P Q
