1、 湖北省孝感市湖北省孝感市 2013 年中考数学试卷年中考数学试卷 一、精心选一选，相信自己的判断！ （本大题共一、精心选一选，相信自己的判断！ （本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 36 分在每小题分在每小题 给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，不涂、错涂或涂的代号超过一个，一律得给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，不涂、错涂或涂的代号超过一个，一律得 0 分）分） 1 （3 分） （2013孝感）计算32的值是（ ） A 9 B 9 C 6 D 6 考点： 有理数的乘方 分析： 根据有理数的乘方的定义解答 解答： 解：32=9 故选 B 点评： 本题考查
2、了有理数的乘方，是基础题，熟记概念是解题的关键 2 （3 分） （2013孝感）太阳的半径约为 696000km，把 696000 这个数用科学记数法表示为 （ ） A 6.96103 B 69.6105 C 6.96105 D 6.96106 考点： 科学记数法表示较大的数 分析： 科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数确定 n 的值时， 要看把原数变成 a 时， 小数点移动了多少位， n 的绝对值与小数点移动的位数相同 当 原数绝对值1 时，n 是正数；当原数的绝对值1 时，n 是负数 解答： 解：将 696000 用科学记数法表示为 6.96105 故选
3、C 点评： 此题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a| 10，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值 3 （3 分） （2013孝感）如图，1=2，3=40，则4 等于（ ） A 120 B 130 C 140 D 40 考点： 平行线的判定与性质 分析： 首先根据同位角相等，两直线平行可得 ab，再根据平行线的性质可得3=5，再 根据邻补角互补可得4 的度数 解答： 解：1=2， ab， 3=5， 3=40， 5=40， 4=18040=140， 故选：C 点评： 此题主要考查了平行线的性质与判定，关键是掌握同位角相等，两直线平行；两
4、直线 平行，同位角相等 4 （3 分） （2013孝感）下列计算正确的是（ ） A a3a2=a3a 2 B C 2a2+a2=3a4 D （ab）2=a2b2 考点： 同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法；完全平方公式；负整数指数幂；二 次根式的性质与化简 分析： 根据合并同类项的法则、同底数幂的乘除法则及幂的乘方法则，结合各选项进行判断 即可 解答： 解：A、a3a2=a3a 2，计算正确，故本选项正确； B、=|a|，计算错误，故本选项错误； C、2a2+a2=3a2，计算错误，故本选项错误； D、 （ab）2=a22ab+b2，计算错误，故本选项错误； 故选 A 点评： 本题考查
5、了同底数幂的乘除、合并同类项的知识，解答本题的关键是掌握各部分的运 算法则 5 （3 分） （2013孝感）为了考察某种小麦的长势，从中抽取了 10 株麦苗，测得苗高（单 位：cm）为： 16 9 14 11 12 10 16 8 17 19 则这组数据的中位数和极差分别是（ ） A 13，16 B 14，11 C 12，11 D 13，11 考点： 极差；中位数 分析： 根据中位数及极差的定义，结合所给数据即可作出判断 解答： 解：将数据从小到大排列为：8，9，10，11，12，14，16，16，17，19， 中位数为：13； 极差=198=11 故选 D 点评： 本题考查了极差及中位数的定
6、义，在求中位数的时候，注意将所给数据从新排列 6 （3 分） （2013孝感）下列说法正确的是（ ） A 平分弦的直径垂直于弦 B 半圆（或直径）所对的圆周角是直角 C 相等的圆心角所对的弧相等 D 若两个圆有公共点，则这两个圆相交 考点： 圆与圆的位置关系；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理 分析： 利用圆与圆的位置关系、垂径定理、圆周角定理等有关圆的知识进行判断即可 解答： 解：A、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故本选项错误； B、半圆或直径所对的圆周角是直角，故本选项正确； C、同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故本选项错误； D、两圆有两个公共点，两圆相交，故本选项错
7、误， 故选 B 点评： 本题考查了圆与圆的位置关系、垂径定理、圆周角定理等有关圆的知识，牢记这些定 理是解决本题的关键 7 （3 分） （2013孝感）使不等式 x12 与 3x78 同时成立的 x 的整数值是（ ） A 3，4 B 4，5 C 3，4，5 D 不存在 考点： 一元一次不等式组的整数解 分析： 先分别解出两个一元一次不等式，再确定 x 的取值范围，最后根据 x 的取值范围找出 x 的整数解即可 解答： 解：根据题意得： ， 解得：3x5， 则 x 的整数值是 3，4； 故选 A 点评： 此题考查了一元一次不等式组的整数解，求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大 取较大，同小取较
8、小，小大大小中间找，大大小小解不了 8 （3 分） （2013孝感）式子的值是（ ） A B 0 C D 2 考点： 特殊角的三角函数值 分析： 将特殊角的三角函数值代入后，化简即可得出答案 解答： 解：原式=21（1） =1+1 =0 故选 B 点评： 本题考查了特殊角的三角函数值， 一些特殊角的三角函数值是需要我们熟练记忆的内 容 9 （3 分） （2013孝感）在平面直角坐标系中，已知点 E（4，2） ，F（2，2） ，以原 点 O 为位似中心，相似比为，把 EFO 缩小，则点 E 的对应点 E的坐标是（ ） A （2，1） B （8，4） C （8，4）或（8， 4） D （2，1）或
9、（2， 1） 考点： 位似变换；坐标与图形性质 专题： 作图题 分析： 根据题意画出相应的图形，找出点 E 的对应点 E的坐标即可 解答： 解：根据题意得： 则点 E 的对应点 E的坐标是（2，1）或（2，1） 故选 D 点评： 此题考查了位似图形，以及坐标与图形性质，位似是相似的特殊形式，位似比等于相 似比，其对应的面积比等于相似比的平方 10 （3 分） （2013孝感）如图，由 8 个大小相同的正方体组成的几何体的主视图和俯视图， 则这个几何体的左视图是（ ） A B C D 考点： 由三视图判断几何体；简单组合体的三视图 分析： 根据该组合体的主视图和俯视图及正方形的个数确定每层的小正
10、方形的个数， 然后确 定其左视图即可； 解答： 解：该组合体共有 8 个小正方体，俯视图和主视图如图， 该组合体共有两层，第一层有 5 个小正方体，第二层有三个小正方形，且全位于第 二层的最左边， 左视图应该是两层，每层两个， 故选 B 点评： 考查由视图判断几何体；用到的知识点为：俯视图中正方形的个数是组合几何体最底 层正方体的个数； 组合几何体的最少个数是底层的正方体数加上主视图中第二层和第 3 层正方形的个数 11 （3 分） （2013孝感）如图，函数 y=x 与函数的图象相交于 A，B两点，过 A， B两点分别作 y 轴的垂线，垂足分别为点 C，D则四边形 ACBD 的面积为（ ）
11、A 2 B 4 C 6 D 8 考点： 反比例函数与一次函数的交点问题 分析： 首先根据反比例函数图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成 的直角三角形面积 S 的关系即 S=|k|，得出 S AOC=S ODB=2，再根据反比例函数的对 称性可知：OC=OD，AC=BD，即可求出四边形 ACBD 的面积 解答： 解：过函数的图象上 A，B两点分别作 y 轴的垂线，垂足分别为点 C，D， S AOC=S ODB=|k|=2， 又OC=OD，AC=BD， S AOC=S ODA=S ODB=S OBC=2， 四边形 ABCD 的面积为：S AOC+S ODA+S ODB+S OB
12、C=42=8 故选 D 点评： 本题主要考查了反比例函数 y=中 k 的几何意义，即过双曲线上任意一点引 x 轴、 y 轴 垂线，所得矩形面积为|k|；图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线 所围成的直角三角形面积 S 的关系即 S=|k|，是经常考查的一个知识点；同时考查了 反比例函数图象的对称性 12 （3 分） （2013孝感）如图，在 ABC 中，AB=AC=a，BC=b（ab） 在 ABC 内依次 作CBD=A，DCE=CBD，EDF=DCE则 EF 等于（ ） A B C D 考点： 相似三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质 分析： 依次判定 ABCBDCCDED
13、FE，根据相似三角形的对应边成比例的知 识，可得出 EF 的长度 解答： 解：AB=AC， ABC=ACB， 又CBD=A， ABCBDC， 同理可得： ABCBDCCDEDFE， =，=，=， 解得：CD=，DE=，EF= 故选 C 点评： 本题考查了相似三角形的判定与性质，本题中相似三角形比较容易找到，难点在于根 据对应边成比例求解线段的长度，注意仔细对应，不要出错 二、细心填一填，试试自己的身手！ （本大题共二、细心填一填，试试自己的身手！ （本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 18 分请将结果分请将结果 直接填写在答题卡相应位置上）直接填写在答题卡相应位置上） 1
14、3 （3 分） （2013孝感）分解因式：ax2+2ax3a= a（x+3） （x1） 考点： 因式分解-十字相乘法等；因式分解-提公因式法 专题： 计算题 分析： 原式提取 a 后利用十字相乘法分解即可 解答： 解：ax2+2ax3a=a（x2+2x3）=a（x+3） （x1） 故答案为：a（x+3） （x1） 点评： 此题考查了因式分解十字相乘法与提公因数法， 熟练掌握因式分解的方法是解本题 的关键 14 （3 分） （2013孝感）在 5 瓶饮料中，有 2 瓶已过了保质期，从这 5 瓶饮料中任取 1 瓶， 取到已过保质期饮料的概率为 （结果用分数表示） 考点： 概率公式 分析： 根据概率
15、的求法，找准两点：全部情况的总数；符合条件的情况数目；二者的 比值就是其发生的概率 解答： 解：在 5 瓶饮料中，有 2 瓶已过了保质期， 从这 5 瓶饮料中任取 1 瓶，取到已过保质期饮料的概率为； 故答案为： 点评： 此题考查了概率公式：如果一个事件有 n 种可能，而且这些事件的可能性相同，其中 事件 A 出现 m 种结果，那么事件 A 的概率 P（A）= 15 （3 分） （2013孝感）如图，两建筑物的水平距离 BC 为 18m，从 A 点测得 D 点的俯角 为 30，测得 C 点的俯角 为 60则建筑物 CD 的高度为 12 m（结果不作近似计 算） 考点： 解直角三角形的应用-仰角
16、俯角问题 分析： 首先过点 D 作 DEAB于点 E，可得四边形 BCDE 是矩形，然后分别在 Rt ABC 与 Rt ADE 中，利用正切函数的知识，求得 AB与 AE 的长，继而可求得答案 解答： 解：过点 D 作 DEAB于点 E， 则四边形 BCDE 是矩形， 根据题意得：ACB=60，ADE=30，BC=18m， DE=BC=18m，CD=BE， 在 Rt ABC 中，AB=BCtanACB=18tan60=18（m） ， 在 Rt ADE 中，AE=DEtanADE=18tan30=6（m） ， DE=BE=ABAE=186=12（m） 故答案为：12 点评： 本题考查俯角的知识此
17、题难度不大，注意能借助俯角构造直角三角形并解直角三角 形是解此题的关键，注意掌握数形结合思想的应用 16 （3 分）用半径为 10cm，圆心角为 216的扇形做成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高为 8 cm 考点： 圆锥的计算 专题： 计算题 分析： 根据圆的周长公式和扇形的弧长公式解答 解答： 解：如图：圆的周长即为扇形的弧长， 列出关系式解答：=2x， 又n=216，r=10， （21610）180=2x， 解得 x=6， h=8 故答案为：8cm 点评： 考查了圆锥的计算，先画出图形，建立起圆锥底边周长和扇形弧长的关系式，即可解 答 17 （3 分） （2013孝感）如图，古希腊人常用小石
18、子在沙滩上摆成各种形状来研究数例 如：称图中的数 1，5，12，22为五边形数，则第 6 个五边形数是 51 考点： 规律型：图形的变化类 专题： 规律型 分析： 计算不难发现，相邻两个图形的小石子数的差值依次增加 3，根据此规律依次进行计 算即可得解 解答： 解：51=4， 125=7， 2212=10， 相邻两个图形的小石子数的差值依次增加 3， 第 4 个五边形数是 22+13=35， 第 5 个五边形数是 35+16=51 故答案为：51 点评： 本题是对图形变化规律的考查， 仔细观察图形求出相邻两个图形的小石子数的差值依 次增加 3 是解题的关键 18 （3 分） （2013孝感）如
19、图，一个装有进水管和出水管的容器，从某时刻开始的 4 分钟 内只进水不出水， 在随后的 8 分钟内既进水又出水， 接着关闭进水管直到容器内的水放完 假 设每分钟的进水量和出水量是两个常数，容器内的水量 y（单位：升）与时间 x（单位：分） 之间的部分关系那么，从关闭进水管起 8 分钟该容器内的水恰好放完 考点： 一次函数的应用 分析： 先根据函数图象求出进水管的进水量和出水管的出水量， 由工程问题的数量关系就可 以求出结论 解答： 解：由函数图象得： 进水管每分钟的进水量为：204=5 升 设出水管每分钟的出水量为 a 升，由函数图象，得 20+8（5a）=30， 解得：a=， 故关闭进水管后
20、出水管放完水的时间为：30=8 分钟 故答案为：8 点评： 本题考查利用函数的图象解决实际问题和用一元一次方程求出水管的出水量的运用， 正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，就能够通过图象得到函数 问题的相应解决 三、用心做一做，显显自己的能力！ （本大题共三、用心做一做，显显自己的能力！ （本大题共 7 小题，满分小题，满分 66 分解答写在答题卡上）分解答写在答题卡上） 19（6 分）（2013孝感） 先化简， 再求值：， 其中， 考点： 分式的化简求值；二次根式的化简求值 分析： 先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把 x 与 y 的值代入进行计算即可 解答： 解：原
21、式= = =， 当，时， 原式= 点评： 本题考查的是分式的化简求值，在解答此类题目时要注意通分及约分的灵活应用 20 （8 分） （2013孝感）如图，已知 ABC 和点 O （1）把 ABC 绕点 O 顺时针旋转 90得到 A1B1C1，在网格中画出 A1B1C1； （2）用直尺和圆规作 ABC 的边 AB，AC 的垂直平分线，并标出两条垂直平分线的交点 P （要求保留作图痕迹，不写作法） ；指出点 P 是 ABC 的内心，外心，还是重心？ 考点： 作图-旋转变换；作图复杂作图 分析： （1）分别得出 ABC 绕点 O 顺时针旋转 90后的对应点坐标，进而得到 A1B1C1， （2）根据垂
22、直平分线的作法求出 P 点即可，进而利用外心的性质得出即可 解答： 解： （1） A1B1C1如图所示； （2）如图所示； 点 P 是 ABC 的外心 点评： 此题主要考查了复杂作图，正确根据垂直平分线的性质得出 P 点位置是解题关键 21 （10 分） （2013孝感）如图，暑假快要到了，某市准备组织同学们分别到 A，B，C，D 四个地方进行夏令营活动，前往四个地方的人数 （1）去 B地参加夏令营活动人数占总人数的 40%，根据统计图求去 B地的人数？ （2）若一对姐弟中只能有一人参加夏令营，姐弟俩提议让父亲决定父亲说：现有 4 张卡 片上分别写有 1，2，3，4 四个整数，先让姐姐随机地抽
23、取一张后放回，再由弟弟随机地抽 取一张 若抽取的两张卡片上的数字之和是 5 的倍数则姐姐参加， 若抽取的两张卡片上的数 字之和是 3 的倍数则弟弟参加用列表法或树形图分析这种方法对姐弟俩是否公平？ 考点： 条形统计图；列表法与树状图法；游戏公平性 分析： （1）假设出去 B地的人数为 x，根据去 B地参加夏令营活动人数占总人数的 40%， 进而得出方程求出即可； （2）根据已知列表得出所有可能，进而利用概率公式求出即可 解答： 解： （1）设去 B地的人数为 x， 则由题意有：； 解得：x=40 去 B地的人数为 40 人 （2）列表： 4 （1，4） （2，4） （3，4） （4，4） 3
24、（1，3） （2，3） （3，3） （4，3） 2 （1，2） （2，2） （3，2） （4，2） 1 （1，1） （2，1） （3，1） （4，1） 1 2 3 4 姐姐能参加的概率， 弟弟能参加的概率为， ， 不公平 点评： 此题主要考查了条形统计图以及列表法求出概率和游戏公平性等知识， 正确列举出所 有可能是解题关键 22 （10 分） （2013孝感）在“母亲节”前夕，我市某校学生积极参与“关爱贫困母亲”的活动， 他们购进一批单价为 20 元的“孝文化衫”在课余时间进行义卖，并将所得利润捐给贫困母 亲经试验发现，若每件按 24 元的价格销售时，每天能卖出 36 件；若每件按 29 元的
25、价格 销售时，每天能卖出 21 件假定每天销售件数 y（件）与销售价格 x（元/件）满足一个以 x 为自变量的一次函数 （1）求 y 与 x 满足的函数关系式（不要求写出 x 的取值范围） ； （2）在不积压且不考虑其他因素的情况下，销售价格定为多少元时，才能使每天获得的利 润 P 最大？ 考点： 二次函数的应用；一次函数的应用 分析： （1）设 y 与 x 满足的函数关系式为：y=kx+b ，由题意可列出 k 和 b 的二元一次方程 组，解出 k 和 b 的值即可； （2）根据题意：每天获得的利润为：P=（3x+108） （x20） ，转换为 P=3（x 28）2+192，于是求出每天获得的
26、利润 P 最大时的销售价格 解答： 解： （1）设 y 与 x 满足的函数关系式为：y=kx+b 由题意可得： 解得 故 y 与 x 的函数关系式为：y=3x+108 （2）每天获得的利润为：P=（3x+108） （x20）=3x2+168x2160=3（x28） 2+192 故当销售价定为 28 元时，每天获得的利润最大 点评： 本题主要考查二次函数的应用的知识点， 解答本题的关键是熟练掌握二次函数的性质 以及最值得求法，此题难度不大 23 （10 分） （2013孝感）如图， ABC 内接于O，B=60，CD 是O 的直径，点 P 是 CD 延长线上的一点，且 AP=AC （1）求证：PA
27、 是O 的切线； （2）若 PD=，求O 的直径 考点： 切线的判定 分析： （1） 连接 OA， 根据圆周角定理求出AOC， 再由 OA=OC 得出ACO=OAC=30， 再由 AP=AC 得出P=30，继而由OAP=AOCP，可得出 OAPA，从而得 出结论； （2）利用含 30的直角三角形的性质求出 OP=2OA，可得出 OPPD=OD，再由 PD=，可得出O 的直径 解答： （1）证明：连接 OA， B=60， AOC=2B=120， 又OA=OC， OAC=OCA=30， 又AP=AC， P=ACP=30， OAP=AOCP=90， OAPA， PA 是O 的切线 （2）在 Rt O
28、AP 中，P=30， PO=2OA=OD+PD， 又OA=OD， PD=OA， ， O 的直径为 点评： 本题考查了切线的判定及圆周角定理，解答本题的关键是掌握切线的判定定理、圆周 角定理及含 30直角三角形的性质 24 （10 分） （2013孝感）已知关于 x 的一元二次方程 x2（2k+1）x+k2+2k=0 有两个实数 根 x1，x2 （1）求实数 k 的取值范围； （2）是否存在实数 k 使得0 成立？若存在，请求出 k 的值；若不存 在，请说明理由 考点： 根与系数的关系；根的判别式 分析： （1）根据已知一元二次方程的根的情况，得到根的判别式 0，据此列出关于 k 的 不等式（2
29、k+1）24（k2+2k）0，通过解该不等式即可求得 k 的取值范围； （2）假设存在实数 k 使得0 成立利用根与系数的关系可以 求得，然后利用完全平方公式可以把已知不等式转 化为含有两根之和、两根之积的形式0，通过解不等式可 以求得 k 的值 解答： 解： （1）原方程有两个实数根， （2k+1）24（k2+2k）0， 4k2+4k+14k28k0 14k0， k 当 k时，原方程有两个实数根 （2）假设存在实数 k 使得0 成立 x1，x2是原方程的两根， 由0， 得0 3（k2+2k）（2k+1）20，整理得：（k1）20， 只有当 k=1 时，上式才能成立 又由（1）知 k， 不存在
30、实数 k 使得0 成立 点评： 本题综合考查了根的判别式和根与系数的关系， 在解不等式时一定要注意数值的正负 与不等号的变化关系 25 （12 分） （2013孝感）如图 1，已知正方形 ABCD 的边长为 1，点 E 在边 BC 上，若 AEF=90，且 EF 交正方形外角的平分线 CF 于点 F （1）图 1 中若点 E 是边 BC 的中点，我们可以构造两个三角形全等来证明 AE=EF，请叙述 你的一个构造方案，并指出是哪两个三角形全等（不要求证明） ； （2）如图 2，若点 E 在线段 BC 上滑动（不与点 B，C 重合） AE=EF 是否总成立？请给出证明； 在如图 2 的直角坐标系中
31、，当点 E 滑动到某处时，点 F 恰好落在抛物线 y=x2+x+1 上， 求此时点 F 的坐标 考点： 二次函数综合题 专题： 综合题 分析： （1）取 AB的中点 G，连接 EG，利用 SSS 能得到 AGE 与 ECF 全等； （2）在 AB上截取 AM=EC，证得 AMEECF 即可证得 AE=EF； 过点 F 作 FHx 轴于 H，根据 FH=BE=CH 设 BH=a，则 FH=a1，然后表示出点 F 的坐标，根据点 F 恰好落在抛物线 y=x2+x+1 上得到有关 a的方程求得 a 值即可 求得点 F 的坐标； 解答： （1）解：如图 1，取 AB的中点 G，连接 EG AGE 与
32、ECF 全等 （2）若点 E 在线段 BC 上滑动时 AE=EF 总成立 证明：如图 2，在 AB上截取 AM=EC AB=BC， BM=BE， MBE 是等腰直角三角形， AME=18045=135， 又CF 平分正方形的外角， ECF=135， AME=ECF 而BAE+AEB=CEF+AEB=90， BAE=CEF， AMEECF AE=EF 过点 F 作 FHx 轴于 H， 由知，FH=BE=CH， 设 BH=a，则 FH=a1， 点 F 的坐标为 F（a，a1） 点 F 恰好落在抛物线 y=x2+x+1 上， a1=a2+a+1， a2=2，（负值不合题意，舍去） ， 点 F 的坐标为 点评： 本题考查了二次函数的综合知识，题目中涉及到了全等的知识，还渗透了方程思想， 是一道好题
