1、 2013 年浙江省宁波市中考数学试卷年浙江省宁波市中考数学试卷 一、选择题（共一、选择题（共 12 小题，每小题小题，每小题 3 分，满分分，满分 36 分，每小题给出的四个选项中，只有一项符分，每小题给出的四个选项中，只有一项符 号题目要求）号题目要求） 1 （3 分） （2013宁波）5 的绝对值为（ ） A 5 B 5 C D 考点： 绝对值 分析： 根据绝对值的概念： 数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值可直接得到答案 解答： 解：5 的绝对值为 5， 故选：B 点评： 此题主要考查了绝对值，关键是掌握绝对值规律总结：一个正数的绝对值是它本身； 一个负数的绝对值是它的相反数；0
2、 的绝对值是 0 2 （3 分） （2013宁波）下列计算正确的是（ ） A a2+a2=a4 B 2aa=2 C （ab）2=a2b2 D （a2）3=a5 考点： 幂的乘方与积的乘方；合并同类项 分析： 根据合并同类项的法则，同底数幂的乘法以及幂的乘方的知识求解即可求得答案 解答： 解：A、a2+a2=2a2，故本选项错误； B、2aa=a，故本选项错误； C、 （ab）2=a2b2，故本选项正确； D、 （a2）3=a6，故本选项错误； 故选：C 点评： 本题考查了同底数幂的乘法，合并同类项，一定要记准法则才能做题 3 （3 分） （2013宁波）下列电视台的台标，是中心对称图形的是（
3、） A B C D 考点： 中心对称图形 分析： 根据中心对称图形的概念对各选项分析判断后利用排除法求解 解答： 解：A、不是中心对称图形，故本选项错误； B、不是中心对称图形，故本选项错误； C、不是中心对称图形，故本选项错误； D、是中心对称图形，故本选项正确 故选 D 点评： 本题考查了中心对称图形，掌握中心对称图形的概念：中心对称图形是要寻找对称中 心，旋转 180 度后与原图重合是解题的关键 4 （3 分） （2013宁波）在一个不透明的布袋中装有 3 个白球和 5 个红球，它们除了颜色不 同外，其余均相同从中随机摸出一个球，摸到红球的概率是（ ） A B C D 考点： 概率公式
4、分析： 根据概率的求法，找准两点：全部情况的总数；符合条件的情况数目；二者的比 值就是其发生的概率 解答： 解：解：根据题意可得：一个不透明的袋中装有除颜色外其余均相同的 3 个白球和 5 个红球，共 5 个， 从中随机摸出一个，则摸到红球的概率是= 故选：D 点评： 本题考查概率的求法：如果一个事件有 n 种可能，而且这些事件的可能性相同，其中 事件 A 出现 m 种结果，那么事件 A 的概率 P（A）= 5 （3 分） （2013宁波） 备受宁波市民关注的象山港跨海大桥在 2012 年 12 月 29 日建成通车， 此项目总投资约 77 亿元，77 亿元用科学记数法表示为（ ） A 7.7
5、109元 B 7.71010元 C 0.771010元 D 0.771011元 考点： 科学记数法表示较大的数 分析： 科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数确定 n 的值时，要 看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原 数绝对值1 时，n 是正数；当原数的绝对值1 时，n 是负数 解答： 解：77 亿=77 0000 0000=7.7109， 故选：A 点评： 此题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a| 10，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值 6 （3 分）
6、 （2013宁波）一个多边形的每个外角都等于 72，则这个多边形的边数为（ ） A 5 B 6 C 7 D 8 考点： 多边形内角与外角 分析： 利用多边形的外角和 360，除以外角的度数，即可求得边数 解答： 解：多边形的边数是：36072=5 故选 A 点评： 本题考查了多边形的外角和定理，理解任何多边形的外角和都是 360 度是关键 7 （3 分） （2013宁波）两个圆的半径分别为 2 和 3，当圆心距 d=5 时，这两个圆的位置关 系是（ ） A 内含 B 内切 C 相交 D 外切 考点： 圆与圆的位置关系 分析： 由两个圆的半径分别为 2 和 3， 圆心之间的距离是 d=5， 根据
7、两圆位置关系与圆心距 d， 两圆半径 R，r 的数量关系间的联系即可得出两圆位置关系 解答： 解：两个圆的半径分别为 2 和 3，圆心之间的距离是 d=5， 又2+3=5， 这两个圆的位置关系是外切 故选 D 点评： 此题考查了圆与圆的位置关系解题的关键是掌握两圆位置关系与圆心距 d，两圆半 径 R，r 的数量关系间的联系 8 （3 分） （2013宁波）如果三角形的两条边分别为 4 和 6，那么连结该三角形三边中点所得 的周长可能是下列数据中的（ ） A 6 B 8 C 10 D 12 考点： 三角形中位线定理；三角形三边关系 分析： 本题依据三角形三边关系，可求第三边大于 2 小于 10，
8、原三角形的周长大于 14 小于 20，连接中点的三角形周长是原三角形周长的一半，那么新三角形的周长应大于 7 而 小于 10，看哪个符合就可以了 解答： 解：设三角形的三边分别是 a、b、c，令 a=4，b=6， 则 2c10，14三角形的周长20， 故 7中点三角形周长10 故选 B 点评： 本题重点考查了三角形的中位线定理，利用三角形三边关系，确定原三角形的周长范 围是解题的关键 9 （3 分） （2013宁波）下列四张正方形硬纸片，剪去阴影部分后，如果沿虚线折叠，可以 围成一个封闭的长方形包装盒的是（ ） A B C D 考点： 展开图折叠成几何体 分析： 根据长方体的组成，通过结合立体
9、图形与平面图形的相互转化，分别分析得出即可 解答： 解：A、剪去阴影部分后，组成无盖的正方体，故此选项不合题意； B、剪去阴影部分后，无法组成长方体，故此选项不合题意； C、剪去阴影部分后，能组成长方体，故此选项正确； D、剪去阴影部分后，组成无盖的正方体，故此选项不合题意； 故选：C 点评： 此题主要考查了展开图折叠成几何体，培养了学生的空间想象能力 10 （3 分） （2013宁波）如图，二次函数 y=ax2=bx+c 的图象开口向上，对称轴为直线 x=1， 图象经过（3，0） ，下列结论中，正确的一项是（ ） A abc0 B 2a+b0 C ab+c0 D 4acb20 考点： 二次函
10、数图象与系数的关系 分析： 由抛物线的开口方向判断 a 与 0 的关系，由抛物线与 y 轴的交点判断 c 与 0 的关系， 然后根据对称轴及抛物线与 x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断 解答： 解：A、根据图示知，抛物线开口方向向上，则 a0 抛物线的对称轴 x=10，则 b0 抛物线与 y 轴交与负半轴，则 c0， 所以 abc0 故本选项错误； B、x=1， b=2a， 2a+b=0 故本选项错误； C、对称轴为直线 x=1，图象经过（3，0） ， 该抛物线与 x 轴的另一交点的坐标是（1，0） ， 当 x=1 时，y=0，即 ab+c=0 故本选项错误； D、根据图示知，该抛
11、物线与 x 轴有两个不同的交点，则 =b24ac0，则 4acb2 0 故本选项正确； 故选 D 点评： 本题考查了二次函数图象与系数的关系 二次函数 y=ax2+bx+c 系数符号由抛物线开口 方向、对称轴、抛物线与 y 轴的交点抛物线与 x 轴交点的个数确定 11 （3 分） （2013宁波）如图，梯形 ABCD 中，ADBC，AB=，BC=4，连结 BD，BAD 的平分线交 BD 于点 E，且 AECD，则 AD 的长为（ ） A B C D 2 考点： 梯形；等腰三角形的判定与性质 分析： 延长 AE 交 BC 于 F，根据角平分线的定义可得BAF=DAF，再根据两直线平行， 内错角相
12、等可得DAF=AFB，然后求出BAF=AFB，再根据等角对等边求出 AB=BF，然后求出 FC，根据两组对边平行的四边形是平行四边形得到四边形 AFCD 是平行四边形，然后根据平行四边形的对边相等解答 解答： 解：延长 AE 交 BC 于 F， AE 是BAD 的平分线， BAF=DAF， AECD， DAF=AFB， BAF=AFB， AB=BF， AB=，BC=4， CF=4=， ADBC，AECD， 四边形 AFCD 是平行四边形， AD=CF= 故选 B 点评： 本题考查了梯形的性质，等腰三角形的性质，平行四边形的判定与性质，梯形的问题， 关键在于准确作出辅助线 12 （3 分） （2
13、013宁波）7 张如图 1 的长为 a，宽为 b（ab）的小长方形纸片，按图 2 的方 式不重叠地放在矩形 ABCD 内，未被覆盖的部分（两个矩形）用阴影表示设左上角与右下 角的阴影部分的面积的差为 S， 当 BC 的长度变化时， 按照同样的放置方式， S 始终保持不变， 则 a，b 满足（ ） A a=b B a=3b C a=b D a=4b 考点： 整式的混合运算 专题： 几何图形问题 分析： 表示出左上角与右下角部分的面积，求出之差，根据之差与 BC 无关即可求出 a 与 b 的关系式 解答： 解：左上角阴影部分的长为 AE，宽为 AF=3b，右下角阴影部分的长为 PC，宽为 a， A
14、D=BC，即 AE+ED=AE+a，BC=BP+PC=4b+PC， AE+a=4b+PC，即 AEPC=4ba， 阴影部分面积之差 S=AEAFPCCG=3bAEaPC=3b （PC+4ba） aPC= （3ba） PC+12b23ab， 则 3ba=0，即 a=3b 故选 B 点评： 此题考查了整式的混合运算的应用，弄清题意是解本题的关键 二、填空题（共二、填空题（共 6 小题，每小题小题，每小题 3 分，满分分，满分 18 分）分） 13 （3 分） （2013宁波）实数8 的立方根是 2 考点： 立方根 分析： 利用立方根的定义即可求解 解答： 解：（2）3=8， 8 的立方根是2 故答
15、案2 点评： 本题主要考查了立方根的概念 如果一个数x的立方等于a， 即 x的三次方等于a （x3=a） ， 那么这个数 x 就叫做 a 的立方根，也叫做三次方根 14 （3 分） （2011海南）分解因式：x24= （x+2） （x2） 考点： 因式分解-运用公式法 分析： 直接利用平方差公式进行因式分解即可 解答： 解：x24=（x+2） （x2） 点评： 本题考查了平方差公式因式分解能用平方差公式进行因式分解的式子的特点是：两 项平方项，符号相反 15 （3 分） （2013宁波）已知一个函数的图象与 y=的图象关于 y 轴成轴对称，则该函数的 解析式为 y= 考点： 反比例函数的性质
16、分析： 根据图象关于 x 轴对称，可得出所求的函数解析式 解答： 解：关于 x 轴对称，横坐标不变，纵坐标互为相反数， 即y=， y= 故答案为：y= 点评： 本题考查了反比例函数图象的对称性，是识记的内容 16 （3 分） （2013宁波）数据2，1，0，3，5 的方差是 考点： 方差 分析： 先根据平均数的计算公式要计算出这组数据的平均数， 再根据方差公式进行计算即可 解答： 解：这组数据2，1，0，3，5 的平均数是（21+0+3+5）5=1， 则这组数据的方差是： （21）2+（11）2+（01）2+（31）2+（51）2=； 故答案为： 点评： 本题考查方差，掌握方差公式和平均数的计
17、算公式是解题的关键，一般地设 n 个数据， x1，x2，xn的平均数为，则方差 S2= （x1）2+（x2）2+（xn）2 17 （3 分） （2013宁波）如图，AE 是半圆 O 的直径，弦 AB=BC=4，弦 CD=DE=4，连 结 OB，OD，则图中两个阴影部分的面积和为 10 考点： 扇形面积的计算；勾股定理；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系 专题： 综合题 分析： 根据弦 AB=BC，弦 CD=DE，可得BOD=90，BOD=90，过点 O 作 OFBC 于点 F，OGCD 于点 G，在四边形 OFCG 中可得FCD=135，过点 C 作 CNOF， 交 OG 于点 N，判断 CNG、
18、 OMN 为等腰直角三角形，分别求出 NG、ON，继而得出 OG， 在 Rt OGD 中求出 OD，即得圆 O 的半径，代入扇形面积公式求解即可 解答： 解： 弦 AB=BC，弦 CD=DE， 点 B是弧 AC 的中点，点 D 是弧 CE 的中点， BOD=90， 过点 O 作 OFBC 于点 F，OGCD 于点 G， 则 BF=FG=2，CG=GD=2，FOG=45， 在四边形 OFCG 中，FCD=135， 过点 C 作 CNOF，交 OG 于点 N， 则FCN=90，NCG=13590=45， CNG 为等腰三角形， CG=NG=2， 过点 N 作 NMOF 于点 M，则 MN=FC=2
19、， 在等腰三角形 MNO 中，NO=MN=4， OG=ON+NG=6， 在 Rt OGD 中，OD=2， 即圆 O 的半径为 2， 故 S阴影=S扇形OBD=10 故答案为：10 点评： 本题考查了扇形的面积计算、勾股定理、垂径定理及圆心角、弧之间的关系，综合考 察的知识点较多，解答本题的关键是求出圆 0 的半径，此题难度较大 18 （3 分） （2013宁波）如图，等腰直角三角形 ABC 顶点 A 在 x 轴上，BCA=90， AC=BC=2，反比例函数 y=（x0）的图象分别与 AB，BC 交于点 D，E连结 DE，当 BDEBCA 时，点 E 的坐标为 （，） 考点： 反比例函数综合题
20、分析： 由相似三角形的对应角相等推知 BDE 的等腰直角三角形；根据反比例函数图象上点 的坐标特征可设 E（a， ） ，D（b， ） ，由双曲线的对称性可以求得 ab=3；最后，将其代 入直线 AD 的解析式即可求得 a 的值 解答： 解：如图，BCA=90，AC=BC=2，反比例函数 y=（x0）的图象分别与 AB， BC 交于点 D，E， BAC=ABC=45，且可设 E（a， ） ，D（b， ） ， C（a，0） ，B（a，2） ，A（2a，0） ， 易求直线 AB的解析式是：y=x+2a 又BDEBCA， BDE=BCA=90， 直线 y=x 与直线 DE 垂直， 点 D、E 关于直线
21、 y=x 对称，则=，即 ab=3 又点 D 在直线 AB上， =b+2a，即 2a22a3=0， 解得，a=， 点 E 的坐标是（，） 故答案是： （，） 点评： 本题综合考查了相似三角形的性质、反比例函数图象上点的坐标特征、一次函数图象 上的点的坐标特征、待定系数法求一次函数的解析式解题时，注意双曲线的对称性 的应用 三、解答题（共三、解答题（共 8 小题，满分小题，满分 76 分）分） 19 （6 分） （2013宁波）先化简，再求值： （1+a） （1a）+（a2）2，其中 a=3 考点： 整式的混合运算化简求值 分析： 原式第一项利用平方差公式化简，第二项利用完全平方公式展开，去括号
22、合并得到最 简结果，将 a 的值代入计算即可求出值 解答： 解：原式=1a2+a24a+4=4a+5， 当 a=3 时，原式=12+5=17 点评： 此题考查了整式的混合运算，涉及的知识有：平方差公式，完全平方公式，去括号法 则，以及合并同类项法则，熟练掌握公式及法则是解本题的关键 20 （7 分）解方程：=5 考点： 解分式方程 专题： 计算题 分析： 观察可得最简公分母是（x1） ，方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式 方程求解 解答： 解：方程的两边同乘（x1） ，得 3=x5（x1） ， 解得 x=2（5 分） 检验，将 x=2 代入（x1）=10， x=2 是原方程的解 （
23、6 分） 点评： 本题考查了分式方程的解法， （1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程 转化为整式方程求解 （2）解分式方程一定注意要验根 21 （7 分） （2013宁波）天封塔历史悠久，是宁波著名的文化古迹如图，从位于天封塔的 观测点 C 测得两建筑物底部 A，B的俯角分别为 45和 60，若此观测点离地面的高度为 51 米，A，B两点在 CD 的两侧，且点 A，D，B在同一水平直线上，求 A，B之间的距离（结 果保留根号） 考点： 解直角三角形的应用-仰角俯角问题 分析： 在 Rt ACD 和 Rt CDB中分别求出 AD，BD 的长度，然后根据 AB=AD+BD 即可求 出
24、 AB的值 解答： 解：由题意得，EAC=45，FCB=60， EFAB， CAD=ECA=45，CBD=FCB=60， ACD=CAD=90， 在 Rt CDB中，tanCBD=， BD=17米， AD=CD=51 米， AB=AD+BD=51+17 答：A，B之间的距离为（51+17）米 点评： 本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据俯角构造直角三角形，并利 用解直角三角形的知识解直角的三角形 22 （9 分） （2013宁波）2013 年 5 月 7 日浙江省 11 个城市的空气质量指数（AQI）如图所 示： （1）这 11 个城市当天的空气质量指数的极差、众数和中位数分别是
25、多少？ （2）当 0AQI50 时，空气质量为优求这 11 个城市当天的空气质量为优的频率； （3）求宁波、嘉兴、舟山、绍兴、台州五个城市当天的空气质量指数的平均 数 考点： 条形统计图；频数与频率；算术平均数；中位数；众数；极差 分析： （1）根据极差=最大值最小值进行计算即可；根据众数是一组数据中出现次数最多 的数据叫做众数；中位数：将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如 果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数如果这组数据的 个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数可得答案； （2）从条形统计图中找出这 11 个城市当天的空气质量为优的城市个数
26、，再除以城市 总数即可； （3）根据平均数的计算方法进行计算即可 解答： 解： （1）极差：8037=43， 众数：50， 中位数：50； （2）这 11 个城市中当天的空气质量为优的有 6 个，这 11 个城市当天的空气质量为优 的频率为； （3）=（50+60+57+37+55）=51.8 点评： 此题主要考查了条形统计图，以及极差、众数、中位数、平均数，读懂统计图，从不 同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键条形统计图能清楚地表示出每个项 目的数据 23 （9 分） （2013宁波）已知抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴交于点 A（1，0） ，B（3，0） ，且过 点 C（0，
27、3） （1）求抛物线的解析式和顶点坐标； （2）请你写出一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点落在直线 y=x 上，并写出平移后 抛物线的解析式 考点： 二次函数图象与几何变换；待定系数法求二次函数解析式 分析： （1）利用交点式得出 y=a（x1） （x3） ，进而得出 a 求出的值，再利用配方法求出 顶点坐标即可； （2）根据左加右减得出抛物线的解析式为 y=x2，进而得出答案 解答： 解： （1）抛物线与 x 轴交于点 A（1，0） ，B（3，0） ， 可设抛物线解析式为 y=a（x1） （x3） ， 把 C（0，3）代入得：3a=3， 解得：a=1， 故抛物线解析式为 y=（x1） （x
28、3） ， 即 y=x2+4x3， y=x2+4x3=（x2）2+1， 顶点坐标（2，1） ； （2）先向左平移 2 个单位，再向下平移 1 个单位，得到的抛物线的解析式为 y=x2， 平移后抛物线的顶点为（0，0）落在直线 y=x 上 点评： 此题主要考查了二次函数的平移以及配方法求二次函数解析式顶点坐标以及交点式求 二次函数解析式，根据平移性质得出平移后解析式是解题关键 24 （12 分） （2013宁波）某商场销售甲、乙两种品牌的智能手机，这两种手机的进价和售 价如下表所示： 甲 乙 进价（元/部） 4000 2500 售价（元/部） 4300 3000 该商场计划购进两种手机若干部，共需
29、 15.5 万元，预计全部销售后可获毛利润共 2.1 万元 （毛利润=（售价进价）销售量） （1）该商场计划购进甲、乙两种手机各多少部？ （2）通过市场调研，该商场决定在原计划的基础上，减少甲种手机的购进数量，增加乙种手 机的购进数量已知乙种手机增加的数量是甲种手机减少的数量的 2 倍，而且用于购进这两 种手机的总资金不超过 16 万元， 该商场怎样进货， 使全部销售后获得的毛利润最大？并求出 最大毛利润 考点： 一次函数的应用；二元一次方程组的应用；一元一次不等式的应用 分析： （1）设商场计划购进甲种手机 x 部，乙种手机 y 部，根据两种手机的购买金额为 15.5 万元和两种手机的销售利
30、润为 2.1 万元建立方程组求出其解即可； （2）设甲种手机减少 a 部，则乙种手机增加 2a 部，表示出购买的总资金，由总资金 部超过 16 万元建立不等式就可以求出 a 的取值范围，再设销售后的总利润为 W 元， 表示出总利润与 a 的关系式，由一次函数的性质就可以求出最大利润 解答： 解： （1）设商场计划购进甲种手机 x 部，乙种手机 y 部，由题意，得 ， 解得：， 答：商场计划购进甲种手机 20 部，乙种手机 30 部； （2）设甲种手机减少 a 部，则乙种手机增加 2a 部，由题意，得 0.4（20a）+0.25（30+2a）16， 解得：a5 设全部销售后获得的毛利润为 W 元
31、，由题意，得 W=0.03（20a）+0.05（30+2a） =0.07a+2.1 k=0.070， W 随 a 的增大而增大， 当 a=5 时，W最大=2.45 答：当该商场购进甲种手机 15 部，乙种手机 40 部时，全部销售后获利最大最大毛 利润为 2.45 万元 点评： 本题考查了列二元一次方程组解实际问题的运用，列一元一次不等式解实际问题的运 用及一次函数的性质的运用，解答本题时灵活运用一次函数的性质求解是关键 25 （12 分） （2013宁波）若一个四边形的一条对角线把四边形分成两个等腰三角形，我们 把这条对角线叫这个四边形的和谐线， 这个四边形叫做和谐四边形 如菱形就是和谐四边
32、形 （1）如图 1，在梯形 ABCD 中，ADBC，BAD=120，C=75，BD 平分ABC求证： BD 是梯形 ABCD 的和谐线； （2） 如图 2， 在 1216 的网格图上 （每个小正方形的边长为 1） 有一个扇形 BAC， 点 ABC 均在格点上，请在答题卷给出的两个网格图上各找一个点 D，使得以 A、B、C、D 为顶点的 四边形的两条对角线都是和谐线，并画出相应的和谐四边形； （3） 四边形 ABCD 中，AB=AD=BC， BAD=90，AC 是四边形 ABCD 的和谐线， 求BCD 的度数 考点： 四边形综合题 分析： （1）要证明 BD 是四边形 ABCD 的和谐线，只需要
33、证明 ABD 和 BDC 是等腰三角 形就可以； （2）根据扇形的性质弧上的点到顶点的距离相等，只要 D 在上任意一点构成的四 边形 ABDC 就是和谐四边形；连接 BC，在 BAC 外作一个以 AC 为腰的等腰三角形 ACD，构成的四边形 ABCD 就是和谐四边形， （3） 由 AC 是四边形 ABCD 的和谐线， 可以得出 ACD 是等腰三角形， 从图 4， 图 5， 图 6 三种情况运用等边三角形的性质， 正方形的性质和 30的直角三角形性质就可以求 出BCD 的度数 解答： 解： （1）ADBC， ABC+BAD=180，ADB=DBC BAD=120， ABC=60 BD 平分ABC
34、， ABD=DBC=30， ABD=ADB， ADB是等腰三角形 在 BCD 中，C=75，DBC=30， BDC=C=75， BCD 为等腰三角形， BD 是梯形 ABCD 的和谐线； （2）由题意作图为：图 2，图 3 （3）AC 是四边形 ABCD 的和谐线， ACD 是等腰三角形 AB=AD=BC， 如图 4，当 AD=AC 时， AB=AC=BC，ACD=ADC ABC 是正三角形， BAC=BCA=60 BAD=90， CAD=30， ACD=ADC=75， BCD=60+75=135 如图 5，当 AD=CD 时， AB=AD=BC=CD BAD=90， 四边形 ABCD 是正方
35、形， BCD=90 如图 6，当 AC=CD 时，过点 C 作 CEAD 于 E，过点 B作 BFCE 于 F， AC=CDCEAD， AE=AD，ACE=DCE BAD=AEF=BFE=90， 四边形 ABFE 是矩形 BF=AE AB=AD=BC， BF=BC， BCF=30 AB=BC， ACB=BAC ABCE， BAC=ACE， ACB=ACE=BCF=15， BCD=153=45 点评： 本题是一道四边形的综合试题，考查了和谐四边形的性质的运用，和谐四边形的判定， 等边三角形的性质的运用，正方形的性质的运用，30的直角三角形的性质的运用解 答如图 6 这种情况容易忽略，解答时合理运
36、用分类讨论思想是关键 26 （14 分） （2013宁波）如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点 A 的坐标为（0， 4） ，点 B的坐标为（4，0） ，点 C 的坐标为（4，0） ，点 P 在射线 AB上运动，连结 CP 与 y 轴交于点 D，连结 BD过 P，D，B三点作Q 与 y 轴的另一个交点为 E，延长 DQ 交Q 于点 F，连结 EF，BF （1）求直线 AB的函数解析式； （2）当点 P 在线段 AB（不包括 A，B两点）上时 求证：BDE=ADP； 设 DE=x，DF=y请求出 y 关于 x 的函数解析式； （3）请你探究：点 P 在运动过程中，是否存在以 B，D，F 为
37、顶点的直角三角形，满足两条 直角边之比为 2：1？如果存在，求出此时点 P 的坐标：如果不存在，请说明理由 考点： 一次函数综合题 分析： （1）设直线 AB的函数解析式为 y=kx+4，把（4，0）代入即可； （2）先证出 BODCOD，得出BOD=CDO，再根据CDO=ADP，即可 得出BDE=ADP， 先连结 PE， 根据ADP=DEP+DPE， BDE=ABD+OAB， ADP=BDE， DEP=ABD， 得出DPE=OAB， 再证出DFE=DPE=45， 最后根据DEF=90， 得出 DEF 是等腰直角三角形，从而求出 DF=DE，即 y=x； （3） 当=2 时， 过点 F 作 F
38、HOB于点 H， 则DBO=BFH， 再证出 BODFHB， =2，得出 FH=2，OD=2BH，再根据FHO=EOH=OEF=90，得出四边 形 OEFH 是矩形，OE=FH=2，EF=OH=4OD，根据 DE=EF，求出 OD 的长，从而得 出直线 CD 的解析式为 y=x+，最后根据求出点 P 的坐标即可； 当=时，连结 EB，先证出 DEF 是等腰直角三角形，过点 F 作 FGOB于点 G，同 理可得 BODFGB，=，得出 FG=8，OD=BG，再证出四边形 OEFG 是 矩形，求出 OD 的值，再求出直线 CD 的解析式，最后根据即可求出点 P 的坐标 解答： 解： （1）设直线
39、AB的函数解析式为 y=kx+4， 代入（4，0）得：4k+4=0， 解得：k=1， 则直线 AB的函数解析式为 y=x+4； （2）由已知得： OB=OC，BOD=COD=90， 又OD=OD， BODCOD， BOD=CDO， CDO=ADP， BDE=ADP， 连结 PE， ADP 是 DPE 的一个外角， ADP=DEP+DPE， BDE 是 ABD 的一个外角， BDE=ABD+OAB， ADP=BDE，DEP=ABD， DPE=OAB， OA=OB=4，AOB=90， OAB=45， DPE=45， DFE=DPE=45， DF 是Q 的直径， DEF=90， DEF 是等腰直角三
40、角形， DF=DE，即 y=x； （3）当 BD：BF=2：1 时， 过点 F 作 FHOB于点 H， DBO+OBF=90，OBF+BFH=90， DBO=BFH， 又DOB=BHF=90， BODFHB， =2， FH=2，OD=2BH， FHO=EOH=OEF=90， 四边形 OEFH 是矩形， OE=FH=2， EF=OH=4OD， DE=EF， 2+OD=4OD， 解得：OD=， 点 D 的坐标为（0， ） ， 直线 CD 的解析式为 y=x+， 由得：， 则点 P 的坐标为（2，2） ； 当=时， 连结 EB，同（2）可得：ADB=EDP， 而ADB=DEB+DBE，EDP=DAP
41、+DPA， DEP=DPA， DBE=DAP=45， DEF 是等腰直角三角形， 过点 F 作 FGOB于点 G， 同理可得： BODFGB， =， FG=8，OD=BG， FGO=GOE=OEF=90， 四边形 OEFG 是矩形， OE=FG=8， EF=OG=4+2OD， DE=EF， 8OD=4+2OD， OD=， 点 D 的坐标为（0，） ， 直线 CD 的解析式为：y=x， 由得：， 点 P 的坐标为（8，4） ， 综上所述，点 P 的坐标为（2，2）或（8，4） 点评： 此题考查了一次函数的综合，用到的知识点是一次函数、矩形的性质、圆的性质，关 键是综合运用有关知识作出辅助线，列出方程组
