1、一轮复习大题专练一轮复习大题专练 29数列（错位相减求和）数列（错位相减求和）1已知数列na的前n项和为nS，且21nnSa，*nN数列 nb是公差大于 0 的等差数列，23ba，且1b，2b，4a成等比数例（1）求数列na和 nb的通项公式；（2）若1 1223 311nnnnnTa ba ba baba b，求nT解： （1）由21nnSa，可得1n 时，11121aSa，解得11a ；2n时，112121nnnnnaSSaa ，化为12nnaa，则12nna；数列 nb是公差d大于 0 的等差数列，由23ba，可得24b ，由1b，2b，4a成等比数列，可得2214bba，即有1168b
2、，即12b ，则422d ，所以22(1)2nbnn；（2）231 1223 3111 22 23 2.2nnnnnnTaba ba baba bn ，234121 22 23 2.2nnTn ，上面两式相减可得23412222.22nnnTn，12(12 )212nnn，化简可得12(1) 2nnTn2已知数列na满足12a ，1(2)3(1)nnnana（1）求数列na的通项公式；（2）设nS为数列na的前n项和，求证：154nS 解： （1）数列na满足12a ，1(2)3(1)nnnana，11231nnanan，111211211131( )2(1)( )3123nnnnnnnaaa
3、nnaanaaann（2）证明：21111234( )(1)( )333nnSn ，211111123( )( )(1)( )33333nnnSnn ，121111( )211111332( )( )(1)( )2(1)( )133333313nnnnnSnn，可得：3 52513515( ) 2 223224nnnS即154nS 3已知数列na的前n项和为nS，21nnSa，数列 nb是等差数列，且11ba，65ba（1）求数列na和 nb的通项公式；（2）若nnnbca，记数列 nc的前n项和为nT，证明：8nT 解： （1）由21nnSa，可得1n 时，11121aSa，解得11a ，2
4、n时，1121nnSa，又21nnSa，两式相减可得112121nnnnnaSSaa ，即有12nnaa，可得数列na是首项为 1，公比为 2 的等比数列，所以12nna；设等差数列 nb的公差为d，且111ba，6516ba，可得61361bbd，所以13(1)32nbnn ；（2）证明：11(32) ( )2nnnnbcna，012111111 ( )4 ( )7 ( ).(32) ( )2222nnTn ，23111111 ( )4 ( )7 ( ).(32) ( )22222nnTn ，两式相减可得211111113 ( ).( )(32) ( )22222nnnTn 111(1)12
5、213(32) ( )1212nnn ，化简可得118(34) ( )2nnTn因为11(34) ( )02nn，所以8nT 4已知na是等差数列，其前n项和为nS， nb是正项等比数列，且113ab，112ba，3313ab，5331Sb（）求数列na与 nb的通项公式；（）若1( 1)nnnca ，记11 21nnnnTc bcbc b，*nN，求(*)nT nN解： （）设公差为d的是等差数列na，公比为q的是正项等比数列 nb，且113ab，112ba，3313ab，5331Sb所以211211213&51031&adbqadbq，解得2d ，2q （负值舍去） ，所以21nan；2n
6、nb （）由（）得：231212222nnnnnTcccc，2311121222222( 1)2nnnnnnnaaaa ，设211222nnnnAaaa，231112222nnnnAaaa，得：2312(21)2222222nnnAn 2312(21)2222222nnnAn ，13246nn由于11222( 1)2(2( 1) )3nnnnn ，所以1232462( 1) 3nnnnTn 5 已 知 数 列na的 前n项 和 为nS， 且 满 足*21()nnSanN， 数 列 nb满 足2*1(1)22 ()nnnbnbnn nN，且11b （1）求证：数列nbn成等差数列，并求na和 n
7、b的通项公式；（2）设nnncanb，求数列 nc的前n项和nT证明： （1）数列 nb满足2*1(1)22 ()nnnbnbnn nN，11b 整理得121nnbbnn（常数） ，所以数列nbn是以111b为首项，2 为公差的等差数列；所以12(1)21nbnnn ，整理得22nbnn由于数列na的前n项和为nS，且满足*21()nnSanN，当1n 时，解得11a ，当2n时，1121nnSa，得：12nnaa，即12nnaa（常数） ，所以数列na是以1为首项，2 为公比的等比数列；所以12nna （首项符合通项） ，故12nna （2）由（1）得：122nnnncanbn ，所以011
8、21 2222.22nnTn ，12221 2222.22nnTn ，得：12122(22.2)22nnnTn ，整理得：2 (1) 22nnTn 6数列是等差数列，nS为其前n项和，且523aa，72147Sa，数列 nb前n项和为nT，且满足323nnbT，*nN（）求数列na和 nb的通项公式；（）设数列nnab的前n项和为nR，求nR解： （）由题意，设等差数列na的公差为d，则111143()76714()72adadadad，整理，得11201adad ，解得112ad，12(1)21nann ，*nN对于数列 nb：当1n 时，11132323bTb，解得13b ，当2n时，由323nnbT，可得11323nnbT，两式相减，可得113323232nnnnnbbTTb，整理，得13nnbb，数列 nb是以 3 为首项，3 为公比的等比数列，13 33nnnb，*nN（）由题意，记nnnacb，即数列 nc的前n项和为nR，由（）知，213nnnnancb，123123135213333nnnnRcccc，231113232133333nnnnnR，两式相减，可得12312122221333333nnnnR121121121(1)39333nnn111112213139313nnn21(1)33nn ，113nnnR
