1、因动点产生的直角三角形问题例 12017 年上海市虹口区中考模拟第 25 题如图 1，在 RtABC 中，ACB90，AB13，CD/AB，点 E 为射线 CD 上一动点（不与点 C 重合） ，联结 AE 交边 BC 于 F，BAE 的平分线交 BC 于点 G（1）当 CE3 时，求 SCEFSCAF的值；（2）设 CEx，AEy，当 CG2GB 时，求 y 与 x 之间的函数关系式；（3）当 AC5 时，联结 EG，若AEG 为直角三角形，求 BG 的长图 1例例 22017 年苏州市中考第年苏州市中考第 29 题题如图 1，二次函数 ya(x22mx3m2)（其中 a、m 是常数，且 a0
2、，m0）的图像与x 轴分别交于 A、B（点 A 位于点 B 的左侧） ，与 y 轴交于点 C(0,3)，点 D 在二次函数的图像上，CD/AB，联结 AD过点 A 作射线 AE 交二次函数的图像于点 E，AB 平分DAE（1）用含 m 的式子表示 a；（2）求证：ADAE为定值；（3）设该二次函数的图像的顶点为 F探索：在 x 轴的负半轴上是否存在点 G，联结GF，以线段 GF、AD、AE 的长度为三边长的三角形是直角三角形如果存在，只要找出一个满足要求的点 G 即可，并用含 m 的代数式表示该点的横坐标；如果不存在，请说明理由图 1例例 32013 年山西省中考第年山西省中考第 26 题题如
3、图 1，抛物线213442yxx与 x 轴交于 A、B 两点（点 B 在点 A 的右侧） ，与 y 轴交于点 C，连结 BC，以 BC 为一边，点 O 为对称中心作菱形 BDEC，点 P 是 x 轴上的一个动点，设点 P 的坐标为(m, 0)，过点 P 作 x 轴的垂线 l 交抛物线于点 Q（1）求点 A、B、C 的坐标；（2）当点 P 在线段 OB 上运动时，直线 l 分别交 BD、BC 于点 M、N试探究 m 为何值时，四边形 CQMD 是平行四边形，此时，请判断四边形 CQBM 的形状，并说明理由；（3）当点 P 在线段 EB 上运动时，是否存在点 Q，使BDQ 为直角三角形，若存在，请
4、直接写出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由图 1例例 42012 年广州市中考第年广州市中考第 24 题题如图 1，抛物线233384yxx 与 x 轴交于 A、B 两点（点 A 在点 B 的左侧） ，与 y轴交于点 C（1）求点 A、B 的坐标；（2）设 D 为已知抛物线的对称轴上的任意一点，当ACD 的面积等于ACB 的面积时，求点 D 的坐标；（3）若直线 l 过点 E(4, 0)，M 为直线 l 上的动点，当以 A、B、M 为顶点所作的直角三角形有且只有三个时，求直线 l 的解析式图 1例例 52017 年杭州市中考第年杭州市中考第 22 题题在平面直角坐标系中，反比例函数与二次函数
5、 yk(x2x1)的图象交于点 A(1,k)和点B(1,k)（1）当 k2 时，求反比例函数的解析式；（2）要使反比例函数与二次函数都是 y 随 x 增大而增大，求 k 应满足的条件以及 x 的取值范围；（3）设二次函数的图象的顶点为 Q，当ABQ 是以 AB 为斜边的直角三角形时，求 k 的值例例 62017 年浙江省中考第年浙江省中考第 23 题题设直线 l1：yk1xb1与 l2：yk2xb2，若 l1l2，垂足为 H，则称直线 l1与 l2是点 H的直角线（1）已知直线122yx ；2yx；22yx；24yx和点C(0，2)，则直线_和_是点 C 的直角线（填序号即可） ；（2）如图，
6、在平面直角坐标系中，直角梯形 OABC 的顶点 A(3，0)、B(2，7)、C(0，7)，P 为线段 OC 上一点，设过 B、P 两点的直线为 l1，过 A、P 两点的直线为l2，若 l1与 l2是点 P 的直角线，求直线 l1与 l2的解析式图 1例例 72017 年北京市中考第年北京市中考第 24 题题在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线22153244mmyxxmm 与 x 轴的交点分别为原点 O 和点 A，点 B(2,n)在这条抛物线上（1）求点 B 的坐标；（2）点 P 在线段 OA 上，从点 O 出发向点 A 运动，过点 P 作 x 轴的垂线，与直线 OB交于点 E，延长 PE 到
7、点 D，使得 EDPE，以 PD 为斜边，在 PD 右侧作等腰直角三角形PCD（当点 P 运动时，点 C、D 也随之运动） 当等腰直角三角形 PCD 的顶点 C 落在此抛物线上时，求 OP 的长；若点 P 从点 O 出发向点 A 作匀速运动，速度为每秒 1 个单位，同时线段 OA 上另一个点 Q 从点 A 出发向点 O 作匀速运动， 速度为每秒 2 个单位 （当点 Q 到达点 O 时停止运动，点 P 也停止运动） 过 Q 作 x 轴的垂线，与直线 AB 交于点 F，延长 QF 到点 M，使得 FMQF，以 QM 为斜边，在 QM 的左侧作等腰直角三角形 QMN（当点 Q 运动时，点 M、N 也
8、随之运动） 若点 P 运动到 t 秒时，两个等腰直角三角形分别有一条边恰好落在同一条直线上，求此刻 t 的值图 1例 82007 年嘉兴市中考第 24 题如图 1，已知 A、B 是线段 MN 上的两点，4MN，1MA，1MB以 A 为中心顺时针旋转点 M，以 B 为中心逆时针旋转点 N，使 M、N 两点重合成一点 C，构成ABC，设xAB （1）求 x 的取值范围；（2）若ABC 为直角三角形，求 x 的值；（3）探究：ABC 的最大面积图 1因动点产生的直角三角形问题答案例 12017 年上海市虹口区中考模拟第 25 题如图 1，在 RtABC 中，ACB90，AB13，CD/AB，点 E
9、为射线 CD 上一动点（不与点 C 重合） ，联结 AE 交边 BC 于 F，BAE 的平分线交 BC 于点 G（1）当 CE3 时，求 SCEFSCAF的值；（2）设 CEx，AEy，当 CG2GB 时，求 y 与 x 之间的函数关系式；（3）当 AC5 时，联结 EG，若AEG 为直角三角形，求 BG 的长图 1动感体验动感体验请打开几何画板文件名“15 虹口 25” ，拖动直角顶点 C 运动，可以体验到，CG2GB保持不变，ABC 的形状在改变，EAEM 保持不变点击屏幕左下角的按钮“第（3）题” ，拖动 E 在射线 CD 上运动，可以体验到，AEG 可以两次成为直角三角形思路点拨思路点
10、拨1第（1）题中的CEF 和CAF 是同高三角形，面积比等于底边的比2第（2）题中的ABC 是斜边为定值的形状不确定的直角三角形3第（3）题中的直角三角形 AEG 分两种情况讨论满分解答满分解答（1）如图 2，由 CE/AB，得313EFCEAFBA由于CEF 与CAF 是同高三角形，所以 SCEFSCAF313（2）如图 3，延长 AG 交射线 CD 于 M图 2由 CM/AB，得2CMCGABBG所以 CM2AB26由 CM/AB，得EMABAM又因为 AM 平分BAE，所以BAMEAM所以EMAEAM所以 yEAEM26x图 3图 4（3）在 RtABC 中， AB13，AC5，所以 B
11、C12如图 4，当AGE90时，延长 EG 交 AB 于 N，那么AGEAGN所以 G 是 EN 的中点所以 G 是 BC 的中点，BG6如图 5，当AEG90时，由CAFEGF，得FCFAFEFG由 CE/AB，得FCFBFEFA所以FAFBFGFA又因为AFGBFA，所以AFGBFA所以FAGB所以GABB所以 GAGB作 GHAH，那么 BHAH132在 RtGBH 中，由 cosBBHBG，得 BG132121316924图 5图 6考点伸展考点伸展第（3）题的第种情况，当AEG90时的核心问题是说理 GAGB如果用四点共圆，那么很容易如图 6，由 A、C、E、G 四点共圆，直接得到2
12、4上海版教材不学习四点共圆，比较麻烦一点的思路还有：如图 7，当AEG90时，设 AG 的中点为 P，那么 PC 和 PE 分别是 RtACG 和 RtAEG 斜边上的中线，所以 PCPEPAPG所以122，325如图 8，在等腰PCE 中，CPE1802(45)，又因为CPE180(13)，所以132(45)所以124所以24B所以GABB所以 GAGB图 7图 8例例 22017 年苏州市中考第年苏州市中考第 29 题题如图 1，二次函数 ya(x22mx3m2)（其中 a、m 是常数，且 a0，m0）的图像与x 轴分别交于 A、B（点 A 位于点 B 的左侧） ，与 y 轴交于点 C(0
13、,3)，点 D 在二次函数的图像上，CD/AB，联结 AD过点 A 作射线 AE 交二次函数的图像于点 E，AB 平分DAE（1）用含 m 的式子表示 a；（2）求证：ADAE为定值；（3）设该二次函数的图像的顶点为 F探索：在 x 轴的负半轴上是否存在点 G，联结GF，以线段 GF、AD、AE 的长度为三边长的三角形是直角三角形如果存在，只要找出一个满足要求的点 G 即可，并用含 m 的代数式表示该点的横坐标；如果不存在，请说明理由图 1动感体验动感体验请打开几何画板文件名“14 苏州 29” ，拖动 y 轴正半轴上表示实数 m 的点运动，可以体验到，点 E、D、F 到 x 轴的距离都为定值
14、思路点拨思路点拨1不算不知道，一算真奇妙通过二次函数解析式的变形，写出点 A、B、F 的坐标后，点 D 的坐标也可以写出来点 E 的纵坐标为定值是算出来的2在计算的过程中，第（1）题的结论21am及其变形21am 反复用到3注意到点 E、D、F 到 x 轴的距离正好是一组常见的勾股数（5，3，4） ，因此过点 F作 AD 的平行线与 x 轴的交点，就是要求的点 G满分解答满分解答（1）将 C(0,3)代入 ya(x22mx3m2)，得33am2因此21am（2）由 ya(x22mx3m2)a(xm)(x3m)a(xm)24axm2a(xm)24，得 A(m, 0)，B(3m, 0)，F(m,
15、4)，对称轴为直线 xm所以点 D 的坐标为(2m,3)设点 E 的坐标为(x, a(xm)(x3m)如图 2，过点 D、E 分别作 x 轴的垂线，垂足分别为 D、E由于EAEDAD，所以EEDDAEAD因此()(3 )33a xm xmxmm所以 am(x3m)1结合21am，于是得到 x4m当 x4m 时，ya(xm)(x3m)5am25所以点 E 的坐标为(4m, 5)所以35ADDDAEEE图 2图 3（3）如图 3，由 E(4m, 5)、D(2m,3)、F(m,4)，可知点 E、D、F 到 x 轴的距离分别为 5、4、3那么过点 F 作 AD 的平行线与 x 轴的负半轴的交点，就是符
16、合条件的点 G证明如下：作 FFx 轴于 F，那么43GFFFADDD因此534AEADGF所以线段 GF、AD、AE 的长围成一个直角三角形此时 GF4m所以 GO3m，点 G 的坐标为(3m, 0)考点伸展考点伸展第（3）题中的点 G 的另一种情况，就是 GF 为直角三角形的斜边此时5334AEADGF因此34GFm所以( 341)GOm此时(34 ,0)G mm例例 32013 年山西省中考第年山西省中考第 26 题题如图 1，抛物线213442yxx与 x 轴交于 A、B 两点（点 B 在点 A 的右侧） ，与 y 轴交于点 C，连结 BC，以 BC 为一边，点 O 为对称中心作菱形
17、BDEC，点 P 是 x 轴上的一个动点，设点 P 的坐标为(m, 0)，过点 P 作 x 轴的垂线 l 交抛物线于点 Q（1）求点 A、B、C 的坐标；（2）当点 P 在线段 OB 上运动时，直线 l 分别交 BD、BC 于点 M、N试探究 m 为何值时，四边形 CQMD 是平行四边形，此时，请判断四边形 CQBM 的形状，并说明理由；（3）当点 P 在线段 EB 上运动时，是否存在点 Q，使BDQ 为直角三角形，若存在，请直接写出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由图 1动感体验动感体验请打开几何画板文件名“13 山西 26” ，拖动点 P 在线段 OB 上运动，可以体验到，当 P运动到
18、OB 的中点时，四边形 CQMD 和四边形 CQBM 都是平行四边形拖动点 P 在线段EB 上运动，可以体验到，DBQ 和BDQ 可以成为直角请打开超级画板文件名“13 山西 26” ，拖动点 P 在线段 OB 上运动，可以体验到，当 P运动到 OB 的中点时，四边形 CQMD 和四边形 CQBM 都是平行四边形拖动点 P 在线段EB 上运动，可以体验到，DBQ 和BDQ 可以成为直角思路点拨思路点拨1第（2）题先用含 m 的式子表示线段 MQ 的长，再根据 MQDC 列方程2第（2）题要判断四边形 CQBM 的形状，最直接的方法就是根据求得的 m 的值画一个准确的示意图，先得到结论3第（3）
19、题BDQ 为直角三角形要分两种情况求解，一般过直角顶点作坐标轴的垂线可以构造相似三角形满分解答满分解答（1）由21314(2)(8)424yxxxx，得 A(2,0)，B(8,0)，C(0,4)（2）直线 DB 的解析式为142yx 由点 P 的坐标为(m, 0)，可得1( ,4)2M mm，213( ,4)42Q mmm所以 MQ221131(4)(4)82424mmmmm 当 MQDC8 时，四边形 CQMD 是平行四边形解方程21884mm，得 m4，或 m0（舍去） 此时点 P 是 OB 的中点，N 是 BC 的中点，N(4,2)，Q(4,6)所以 MNNQ4所以 BC 与 MQ 互相
20、平分所以四边形 CQBM 是平行四边形图 2图 3（3）存在两个符合题意的点 Q，分别是(2,0)，(6,4)考点伸展考点伸展第（3）题可以这样解：设点 Q 的坐标为1( ,(2)(8)4xxx如图 3，当DBQ90时，12QGBHGBHD所以1(2)(8)1482xxx解得 x6此时 Q(6,4)如图 4，当BDQ90时，2QGDHGDHB所以14(2)(8)42xxx解得 x2此时 Q(2,0)图 3图 4例例 42012 年广州市中考第年广州市中考第 24 题题如图 1，抛物线233384yxx 与 x 轴交于 A、B 两点（点 A 在点 B 的左侧） ，与 y轴交于点 C（1）求点 A
21、、B 的坐标；（2）设 D 为已知抛物线的对称轴上的任意一点，当ACD 的面积等于ACB 的面积时，求点 D 的坐标；（3）若直线 l 过点 E(4, 0)，M 为直线 l 上的动点，当以 A、B、M 为顶点所作的直角三角形有且只有三个时，求直线 l 的解析式图 1动感体验动感体验请打开几何画板文件名“12 广州 24” ，拖动点 M 在以 AB 为直径的圆上运动，可以体验到，当直线与圆相切时，符合AMB90的点 M 只有 1 个请打开超级画板文件名“12 广州 24” ，拖动点 M 在以 AB 为直径的圆上运动，可以体验到，当直线与圆相切时，符合AMB90的点 M 只有 1 个思路点拨思路点
22、拨1根据同底等高的三角形面积相等，平行线间的距离处处相等，可以知道符合条件的点 D 有两个2当直线 l 与以 AB 为直径的圆相交时，符合AMB90的点 M 有 2 个；当直线 l与圆相切时，符合AMB90的点 M 只有 1 个3灵活应用相似比解题比较简便满分解答满分解答（1）由23333(4)(2)848yxxxx ，得抛物线与 x 轴的交点坐标为 A(4, 0)、B(2, 0)对称轴是直线 x1（2）ACD 与ACB 有公共的底边 AC，当ACD 的面积等于ACB 的面积时，点 B、D到直线 AC 的距离相等过点 B 作 AC 的平行线交抛物线的对称轴于点 D，在 AC 的另一侧有对应的点
23、 D设抛物线的对称轴与 x 轴的交点为 G，与 AC 交于点 H由 BD/AC，得DBGCAO所以34DGCOBGAO所以3944DGBG，点 D 的坐标为9(1,)4因为 AC/BD，AGBG，所以 HGDG而 DHDH，所以 DG3DG274所以 D的坐标为27(1,)4图 2图 3（3）过点 A、B 分别作 x 轴的垂线，这两条垂线与直线 l 总是有交点的，即 2 个点 M以 AB 为直径的G 如果与直线 l 相交，那么就有 2 个点 M；如果圆与直线 l 相切，就只有 1 个点 M 了联结 GM，那么 GMl在 RtEGM 中，GM3，GE5，所以 EM4在 RtEM1A 中，AE8，
24、113tan4M AM EAAE，所以 M1A6所以点 M1的坐标为(4, 6)，过 M1、E 的直线 l 为334yx 根据对称性，直线 l 还可以是334yx考点伸展考点伸展第（3）题中的直线 l 恰好经过点 C，因此可以过点 C、E 求直线 l 的解析式在 RtEGM 中，GM3，GE5，所以 EM4在 RtECO 中，CO3，EO4，所以 CE5因此三角形EGMECO，GEMCEO所以直线 CM 过点 C例例 52017 年杭州市中考第年杭州市中考第 22 题题在平面直角坐标系中，反比例函数与二次函数 yk(x2x1)的图象交于点 A(1,k)和点B(1,k)（1）当 k2 时，求反比
25、例函数的解析式；（2）要使反比例函数与二次函数都是 y 随 x 增大而增大，求 k 应满足的条件以及 x 的取值范围；（3）设二次函数的图象的顶点为 Q，当ABQ 是以 AB 为斜边的直角三角形时，求 k 的值动感体验动感体验请打开几何画板文件名 “12 杭州 22” ， 拖动表示实数 k 的点在 y 轴上运动， 可以体验到，当 k0 并且在抛物线的对称轴左侧，反比例函数与二次函数都是 y 随 x 增大而增大观察抛物线的顶点 Q 与O 的位置关系，可以体验到，点 Q 有两次可以落在圆上请打开超级画板文件名 “12 杭州 22” ， 拖动表示实数 k 的点在 y 轴上运动， 可以体验到，当 k0
26、 并且在抛物线的对称轴左侧，反比例函数与二次函数都是 y 随 x 增大而增大观察抛物线的顶点 Q 与O 的位置关系，可以体验到，点 Q 有两次可以落在圆上思路点拨思路点拨1由点 A(1,k)或点 B(1,k)的坐标可以知道，反比例函数的解析式就是kyx题目中的 k 都是一致的2由点 A(1,k)或点 B(1,k)的坐标还可以知道，A、B 关于原点 O 对称，以 AB 为直径的圆的圆心就是 O3根据直径所对的圆周角是直角，当 Q 落在O 上是，ABQ 是以 AB 为直径的直角三角形满分解答满分解答（1）因为反比例函数的图象过点 A(1,k)，所以反比例函数的解析式是kyx当 k2 时，反比例函数
27、的解析式是2yx （2）在反比例函数kyx中，如果 y 随 x 增大而增大，那么 k0当 k0 时，抛物线的开口向下，在对称轴左侧，y 随 x 增大而增大抛物线 yk(x2x1)215()24k xk的对称轴是直线12x 所以当 k0 且12x 时，反比例函数与二次函数都是 y 随 x 增大而增大（3）抛物线的顶点 Q 的坐标是15(,)24k，A、B 关于原点 O 中心对称，当 OQOAOB 时，ABQ 是以 AB 为直径的直角三角形图 1由 OQ2OA2，得222215()()124kk 解得1233k （如图 2） ，2233k （如图 3） 图 2图 3考点伸展考点伸展如图 4，已知经
28、过原点 O 的两条直线 AB 与 CD 分别与双曲线kyx（k0）交于 A、B和 C、D，那么 AB 与 CD 互相平分，所以四边形 ACBD 是平行四边形问平行四边形 ABCD 能否成为矩形能否成为正方形如图 5，当 A、C 关于直线 yx 对称时，AB 与 CD 互相平分且相等，四边形 ABCD 是矩形因为 A、C 可以无限接近坐标系但是不能落在坐标轴上，所以 OA 与 OC 无法垂直，因此四边形 ABCD 不能成为正方形图 4图 5例例 62017 年浙江省中考第年浙江省中考第 23 题题设直线 l1：yk1xb1与 l2：yk2xb2，若 l1l2，垂足为 H，则称直线 l1与 l2是
29、点 H的直角线（1）已知直线122yx ；2yx；22yx；24yx和点C(0，2)，则直线_和_是点 C 的直角线（填序号即可） ；（2）如图，在平面直角坐标系中，直角梯形 OABC 的顶点 A(3，0)、B(2，7)、C(0，7)，P 为线段 OC 上一点，设过 B、P 两点的直线为 l1，过 A、P 两点的直线为l2，若 l1与 l2是点 P 的直角线，求直线 l1与 l2的解析式动感体验动感体验请打开几何画板文件名“11 浙江 23” ，拖动点 P 在 OC 上运动，可以体验到，APB 有两个时刻可以成为直角，此时BCPPOA答案答案（1）直线和是点 C 的直角线（2）当APB90时，
30、BCPPOA那么BCPOCPOA，即273POPO解得 OP6 或 OP1如图 2，当 OP6 时，l1：162yx， l2：y2x6如图 3，当 OP1 时，l1：y3x1， l2：113yx 图 2图 3图 1例例 72017 年北京市中考第年北京市中考第 24 题题在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线22153244mmyxxmm 与 x 轴的交点分别为原点 O 和点 A，点 B(2,n)在这条抛物线上（1）求点 B 的坐标；（2）点 P 在线段 OA 上，从点 O 出发向点 A 运动，过点 P 作 x 轴的垂线，与直线 OB交于点 E，延长 PE 到点 D，使得 EDPE，以 PD 为
31、斜边，在 PD 右侧作等腰直角三角形PCD（当点 P 运动时，点 C、D 也随之运动） 当等腰直角三角形 PCD 的顶点 C 落在此抛物线上时，求 OP 的长；若点 P 从点 O 出发向点 A 作匀速运动，速度为每秒 1 个单位，同时线段 OA 上另一个点 Q 从点 A 出发向点 O 作匀速运动， 速度为每秒 2 个单位 （当点 Q 到达点 O 时停止运动，点 P 也停止运动） 过 Q 作 x 轴的垂线，与直线 AB 交于点 F，延长 QF 到点 M，使得 FMQF，以 QM 为斜边，在 QM 的左侧作等腰直角三角形 QMN（当点 Q 运动时，点 M、N 也随之运动） 若点 P 运动到 t 秒
32、时，两个等腰直角三角形分别有一条边恰好落在同一条直线上，求此刻 t 的值图 1动感体验动感体验请打开几何画板文件名“10 北京 24” ，拖动点 P 从 O 向 A 运动，可以体验到，两个等腰直角三角形的边有三个时刻可以共线思路点拨思路点拨1这个题目最大的障碍，莫过于无图了2把图形中的始终不变的等量线段罗列出来，用含有 t 的式子表示这些线段的长3点 C 的坐标始终可以表示为(3t,2t)，代入抛物线的解析式就可以计算此刻 OP 的长4当两个等腰直角三角形有边共线时，会产生新的等腰直角三角形，列关于 t 的方程就可以求解了满分解答满分解答(1)因 为 抛 物 线22153244mmyxxmm
33、经 过 原 点 ， 所 以2320mm 解得12m ，21m （舍去） 因此21542yxx 所以点 B 的坐标为（2，4） (2) 如图 4，设 OP 的长为 t，那么 PE2t，EC2t，点 C 的坐标为(3t, 2t)当点 C落在抛物线上时，2152(3 )342ttt 解得229tOP如图 1，当两条斜边 PD 与 QM 在同一条直线上时，点 P、Q 重合此时 3t10解得103t 如图 2，当两条直角边 PC 与 MN 在同一条直线上，PQN 是等腰直角三角形，PQPE此时1032tt解得2t 如图 3，当两条直角边 DC 与 QN 在同一条直线上，PQC 是等腰直角三角形，PQPD
34、此时1034tt解得107t 图 1图 2图 3考点伸展考点伸展在本题情境下，如果以 PD 为直径的圆 E 与以 QM 为直径的圆 F 相切，求 t 的值如图 5，当 P、Q 重合时，两圆内切，103t 如图 6，当两圆外切时，3020 2t 图 4图 5图 6例 82007 年嘉兴市中考第 24 题如图 1，已知 A、B 是线段 MN 上的两点，4MN，1MA，1MB以 A 为中心顺时针旋转点 M，以 B 为中心逆时针旋转点 N，使 M、N 两点重合成一点 C，构成ABC，设xAB （1）求 x 的取值范围；（2）若ABC 为直角三角形，求 x 的值；（3）探究：ABC 的最大面积图 1动感
35、体验动感体验请打开几何画板文件名“09 嘉兴 24” ，拖动点 B 在 AN 上运动，可以体验到，三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；CAB 和ACB 可以成为直角，CBA 不可能成为直角；观察函数的图象，可以看到，图象是一个开口向下的“U”形，当 AB 等于时，面积达到最大值思路点拨思路点拨1根据三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边列关于 x 的不等式组，可以求得 x 的取值范围2分类讨论直角三角形 ABC，根据勾股定理列方程，根据根的情况确定直角三角形的存在性3把ABC 的面积 S 的问题，转化为 S2的问题AB 边上的高 CD 要根据位置关系分类讨论，分 CD 在三
36、角形内部和外部两种情况满分解答满分解答（1）在ABC 中，1AC，xAB ，xBC 3，所以.31,31xxxx解得21 x（2）若 AC 为斜边，则22)3(1xx，即0432 xx，此方程无实根若 AB 为斜边，则1)3(22xx，解得35x，满足21 x若 BC 为斜边，则221)3(xx，解得34x，满足21 x因此当35x或34x时，ABC 是直角三角形（3）在ABC 中，作ABCD 于 D，设hCD ，ABC 的面积为 S，则xhS21 如 图 2 ， 若 点 D 在 线 段 AB 上 ， 则xhxh222)3(1 移 项 ， 得2221)3(hxhx两边平方，得22222112)
37、3(hhxxhx整理，得4312xhx 两 边 平 方 ， 得16249)1 (222xxhx 整 理 ， 得16248222xxhx所以462412222xxhxS21)23(22x（423x ） 当23x时（满足423x ） ，2S取最大值21，从而 S 取最大值22图 2图 3如图 3，若点 D 在线段 MA 上，则xhhx2221)3(同理可得，462412222xxhxS21)23(22x（413x） 易知此时22S综合得，ABC 的最大面积为22考点伸展考点伸展第（3）题解无理方程比较烦琐，迂回一下可以避免烦琐的运算：设aAD ，例如在图 2 中，由2222BDBCADAC列方程222)()3(1axxa整理，得xxa43 所以21a22216248431xxxxx因此462)1 (412222xxaxS
