1、2019、2020 年浙江中考数学试题分类（年浙江中考数学试题分类（4）二次函数二次函数参考答案与试题解析参考答案与试题解析一二次函数的图象（共一二次函数的图象（共 1 小题）小题）1 【解答】解：y = ax2+ bxy = ax + b解得x =bay = 0或x = 1y = a + b故二次函数 yax2+bx 与一次函数 yax+b（a0）在同一平面直角坐标系中的交点在 x 轴上为（ba，0）或点（1，a+b） 在 A 中，由一次函数图象可知 a0，b0，二次函数图象可知，a0，b0，ba0，a+b0，故选项A 有可能；在 B 中，由一次函数图象可知 a0，b0，二次函数图象可知，a
2、0，b0，由|a|b|，则 a+b0，故选项 B 有可能；在 C 中，由一次函数图象可知 a0，b0，二次函数图象可知，a0，b0，a+b0，故选项 C 有可能；在 D 中，由一次函数图象可知 a0，b0，二次函数图象可知，a0，b0，由|a|b|，则 a+b0，故选项 D 不可能；故选：D二二次函数的性质（共二二次函数的性质（共 5 小题）小题）2 【解答】解：方法 1、当 ba1 时，当 a，b 同号时，如图 1，过点 B 作 BCAD 于 C，BCD90，ADEBED90，ADEBCDBED90，四边形 BCDE 是矩形，BCDEba1，CDBEm，ACADCDnm，在 RtACB 中，
3、tanABC=ACBC=nm，点 A，B 在抛物线 yx2上，且 a，b 同号，45ABC90，tanABC1，nm1，当 a，b 异号时，m0，当 a=12，b=12时，n=14，此时，nm=14，14nm1，即 nm14，即 nm 无最大值，有最小值，最小值为14，故选项 C，D 都错误；当 nm1 时，如图 2，当 a，b 同号时，过点 N 作 NHMQ 于 H，同的方法得，NHPQba，HQPNm，MHMQHQnm1，在 RtMHN 中，tanMNH=MHNH=1ba，点 M，N 在抛物线 yx2上，m0，当 m0 时，n1，点 N（0，0） ，M（1，1） ，NH1，此时，MNH45
4、，45MNH90，tanMNH1，1ba1，当 a，b 异号时，m0，n1，a1，b1，即 ba2，ba 无最小值，有最大值，最大值为 2，故选项 A 错误；故选：B方法 2、当 nm1 时，当 a，b 在 y 轴同侧时，a，b 都越大时，ab 越接近于 0，但不能取 0，即 ba 没有最小值，当 a，b 异号时，当 a1，b1 时，ba2 最大，当 ba1 时，当 a，b 在 y 轴同侧时，a，b 离 y 轴越远，nm 越大，但取不到最大，当 a，b 在 y 轴两侧时，当 a=12，b=12时，nm 取到最小，最小值为14，因此，只有选项 B 正确，故选：B3 【解答】解：yx24x+2（x
5、2）22，在1x3 的取值范围内，当 x2 时，有最小值2，当 x1 时，有最大值为 y927故选：D4 【解答】解：y（x1）2+3，顶点坐标为（1，3） ，故选：A5 【解答】解： （1）将点（2，4）代入 yx2+bx+c，得2b+c0，c2b；（2）m=b2，n=4cb24，n=8bb24，n2bm24mm2；（3）yx2+bx+2b（x+b2）2b24+2b，对称轴为直线 x=b2，当 b0 时，c0，函数不经过第三象限，则 c0；此时 yx2，当5x1 时，函数最小值是 0，最大值是 25，最大值与最小值之差为 25； （舍去）当 b0 时，c0，函数不经过第三象限，则0，0b8，
6、4b20，当5x1 时，函数有最小值b24+2b，当5b22 时，函数有最大值 1+3b，当2b20 时，函数有最大值 253b；函数的最大值与最小值之差为 16，当最大值 1+3b 时，1+3b+b242b16，b6 或 b10，4b8，b6；当最大值 253b 时，253b+b242b16，b2 或 b18，0b4，b2；综上所述 b2 或 b6；6 【解答】解： （1）把点 P（2，3）代入 yx2+ax+3 中，a2，yx2+2x+3（x+1）2+2，顶点坐标为（1，2） ；（2）当 m2 时，n11，点 Q 到 y 轴的距离小于 2，|m|2，2m2，2n11；三二次函数图象与系数的
7、关系（共三二次函数图象与系数的关系（共 4 小题）小题）7 【解答】解：由图象开口向上，可知 a0，与 y 轴的交点在 x 轴的上方，可知 c0，又对称轴方程为 x1，所以b2a0，所以 b0，abc0，故 A 错误；二次函数 yax2+bx+c（a0）的图象与 x 轴交于 A，B 两点，b24ac0，4acb20，故 B 错误；b2a=1，b2a，当 x1 时，yab+c0，a2a+c0，ca0，故 C 错误；当 xn22（n 为实数）时，yax2+bx+ca（n22）2+b（n22）+can2（n2+2）+c，a0，n20，n2+20，yan2（n2+2）+cc，故 D 正确，故选：D8
8、【解答】解：二次函数 y（xm）2m+1（m 为常数）顶点坐标为（m，m+1）且当 xm 时，ym+1这个函数图象的顶点始终在直线 yx+1 上故结论正确；假设存在一个 m 的值，使得函数图象的顶点与 x 轴的两个交点构成等腰直角三角形令 y0，得（xm）2m+10，其中 m1解得：x1m m + 1，x2m+ m + 1顶点坐标为（m，m+1） ，且顶点与 x 轴的两个交点构成等腰直角三角形|m+1|m（m m + 1）|解得：m0 或 1，当 m1 时，二次函数 y（x1）2，此时顶点为（1，0） ，与 x 轴的交点也为（1，0） ，不构成三角形，舍去；存在 m0，使得函数图象的顶点与 x
9、 轴的两个交点构成等腰直角三角形故结论正确；x1+x22mx1+x22m二次函数 y（xm）2m+1（m 为常数）的对称轴为直线 xm点 A 离对称轴的距离小于点 B 离对称轴的距离x1x2，且 a10y1y2故结论错误；当1x2 时，y 随 x 的增大而增大，且 a10m 的取值范围为 m2故结论正确故选：C9 【解答】解： （1）由题意，得到b2=3，解得 b6，函数 y1的图象经过（a，6） ，a26a+a6，解得 a2 或 a3，函数 y1x26x+2 或 y1x26x+3（2）函数 y1的图象经过点（r，0） ，其中 r0，r2+br+a0，1+br+ar2=0，即 a（1r）2+b
10、1r+10，1r是方程 ax2+bx+10 的根，即函数 y2的图象经过点（1r，0） （3）由题意 a0，m=4ab24，n=4ab24a，m+n0，4ab24+4ab24a=0，（4ab2） （a+1）0，a+10，4ab20，mn010 【解答】解： （1）抛物线 y2x24x+c 与 x 轴有两个不同的交点，b24ac168c0，c2；（2）抛物线 y2x24x+c 的对称轴为直线 x1，A（2，m）和点 B（3，n）都在对称轴的右侧，当 x1 时，y 随 x 的增大而增大，mn；四二次函数图象上点的坐标特征（共四二次函数图象上点的坐标特征（共 2 小题）小题）11 【解答】解：抛物线
11、的对称轴为直线 x=122(3)=2，a30，x2 时，函数值最大，又3 到2 的距离比 1 到2 的距离小，y3y1y2故选：B12 【解答】解： （1）把点（1，2） ， （2，13）代入 yax2+bx+1 得， 2 = a + b + 113 = 4a 2b + 1，解得：a = 1b = 4；（2）由（1）得函数解析式为 yx24x+1，把 x5 代入 yx24x+1 得，y16，y212y16，y1y2，且对称轴为直线 x2，m451五二次函数图象与几何变换（共五二次函数图象与几何变换（共 2 小题）小题）13 【解答】解：A、平移后的解析式为 y（x+2）22，当 x2 时，y1
12、4，本选项不符合题意B、平移后的解析式为 y（x+1）2+2，当 x2 时，y11，本选项不符合题意C、平移后的解析式为 y（x1）21，当 x2 时，y0，函数图象经过（2，0） ，本选项符合题意D、平移后的解析式为 y（x2）2+1，当 x2 时，y1，本选项不符合题意故选：C14 【解答】解：y（x+5） （x3）（x+1）216，顶点坐标是（1，16） y（x+3） （x5）（x1）216，顶点坐标是（1，16） 所以将抛物线 y（x+5） （x3）向右平移 2 个单位长度得到抛物线 y（x+3） （x5） ，故选：B六抛物线与六抛物线与 x 轴的交点（共轴的交点（共 5 小题）小题）
13、15 【解答】解：A、错误由 M12，M22，可得 a240，b280，取 a3，b212，则 c=b2a=4，此时 c2160故 A 错误B、正确理由：M11，M20，a240，b280，a，b，c 是正实数，a2，b2ac，c=12b2，对于 y3x2+cx+4，则有c216=14b416=14（b464）=14（b2+8） （b28）0，M30，选项 B 正确，C、错误由 M10，M22，可得 a240，b280，取 a1，b218，则 c=b2a=18，此时 c2160故 C 错误D、由 M10，M20，可得 a240，b280，取 a1，b24，则 c=b2a=4，此时 c2160故
14、 D 错误故选：B16 【解答】解：y（x+a） （x+b） ，ab，函数 y（x+a） （x+b）的图象与 x 轴有 2 个交点，M2，函数 y（ax+1） （bx+1）abx2+（a+b）x+1，当 ab0 时，（a+b）24ab（ab）20，函数 y（ax+1） （bx+1）的图象与 x 轴有 2 个交点，即 N2，此时 MN；当 ab0 时，不妨令 a0，ab，b0，函数 y（ax+1） （bx+1）bx+1 为一次函数，与 x 轴有一个交点，即 N1，此时 MN+1；综上可知，MN 或 MN+1故选：C另一解法：ab，抛物线 y（x+a） （x+b）与 x 轴有两个交点，M2，又函数
15、 y（ax+1） （bx+1）的图象与 x 轴有 N 个交点，而 y（ax+1） （bx+1）abx2+（a+b）x+1，它至多是一个二次函数，至多与 x 轴有两个交点，N2，NM，不可能有 MN1，故排除 A、B、D，故选：C17 【解答】解： （1）把 B（1，0）代入 yax2+4x3，得 0a+43，解得 a1，yx2+4x3（x2）2+1，A（2，1） ，对称轴为直线 x2，B，C 关于 x2 对称，C（3，0） ，当 y0 时，1x3（2）D（0，3） ，点 D 平移到点 A，抛物线向右平移 2 个单位，向上平移 4 个单位，可得抛物线的解析式为 y（x4）2+518 【解答】解：
16、 （1）当 x0 时，y0；当 x1 时，y0；二次函数经过点（0，0） ， （1，0） ，x10，x21，yx（x1）x2x，当 x=12时，y=14，乙说的不对；（2）对称轴为 x=x1+x22，当 x=x1+x22时，y=(x1x2)24是函数的最小值；（3）二次函数的图象经过（0，m）和（1，n）两点，mx1x2，n1x1x2+x1x2，mn (x112)2+14 (x212)2+140 x1x21，0 (x112)2+1414，0 (x212)2+1414，x1x2，m 与 n 不能同时取到14，0mn11619 【解答】解： （1）令 y0，则12x2+ 2x + 6 = 0，解得
17、，x12，x26，A（2，0） ，B（6，0） ，由函数图象得，当 y0 时，2x6；（2）由题意得，B1（6，m） ，B2（6n，m） ，B3（n，m） ，函数图象的对称轴为直线 x =2+62= 2，点 B2，B3在二次函数图象上且纵坐标相同，6n+(n)2= 2，n1，m =12 ( 1)2+ 2 ( 1) + 6 =72，m，n 的值分别为72，1七二次函数的应用（共七二次函数的应用（共 5 小题）小题）20 【解答】解： （1）s24h（Hh） ，当 H20cm 时，s24h（20h）4（h10）2+400，当 h10cm 时，s2有最大值 400cm2，当 h10cm 时，s 有最
18、大值 20cm当 h 为 10cm 时，射程 s 有最大值，最大射程是 20cm；（2）s24h（20h） ，设存在 a，b，使两孔射出水的射程相同，则有：4a（20a）4b（20b） ，20aa220bb2，a2b220a20b，（a+b） （ab）20（ab） ，（ab） （a+b20）0，ab0，或 a+b200，ab 或 a+b20；（3）设垫高的高度为 m，则 s24h（20+mh）4(h 20+m2)2+（20+m）2，当 h=20+m2cm 时，smax20+m20+16，m16cm，此时 h=20+m2=18cm垫高的高度为 16cm，小孔离水面的竖直距离为 18cm21 【解
19、答】解： （1）设抛物线的表达式为：ya（x7）2+，将 x0，y代入上式并解得：a=150，故抛物线的表达式为：y=150（x7）2+；当 x9 时，y=150（x7）2+，当 x18 时，y=150（x7）2+0，故这次发球过网，但是出界了；（2）如图，分别过点 O，P 作边线的平行线交于点 Q，在 RtOPQ 中，OQ18117，当 y0 时，150（x7）2+0，解得：x19 或5（舍去5） ，OP19，而 OQ17，故 PQ 2 =，9，发球点 O 在底线上且距右边线米处22 【解答】解： （1）把（25， ）代入 p=1160（th）2+得：=1160（25h）2+解得：h29 或
20、 h21，25t37h29（2）由表格可知，m 是 p 的一次函数，设 mkp+b把（，0） ， （，10）代入得0 = 0.2k + b10 = 0.3 k + b解得k = 100b = 20m100p20当 10t25 时，p=150t15m100（150t15）202t40；当 25t37 时，p=1160（th）2+m1001160（th）2+20=58（t29）2+20m=2t 40，10 t 2558(t 29)2+ 20，25 t 37当 20t25 时，增加的利润为：600m+10030200（30m）800m30001600t35000当 t25 时，增加的利润的最大值为
21、160025350005000 元；当 25t37 时，增加的利润为：600m+10030400（30m）1000m9000625（t29）2+11000当 t29 时，增加的利润的最大值为 11000 元综上，当 t29 时，提前 20 天上市，增加的利润最大，最大值为 11000 元23 【解答】解： （1）把（25， ）代入 p=1160（th）2+得，=1160（25h）2+，解得：h29 或 h21，h25，h29；（2）由表格可知，m 是 p 的一次函数，m100p20；当 10t25 时，p=150t15，m100（150t15）202t40；当 25t37 时，p=1160（t
22、h）2+，m1001160（th）2+20=58（t29）2+20；（3） （）当 20t25 时，由（20，200） ， （25，300） ，得 w20t200，增加利润为 600m+20030w（30m）40t2600t4000，当 t25 时，增加的利润的最大值为 6000 元；（）当 25t37 时，w300，增加的利润为 600m+6000w（30m）=11252（t29）2+15000；当 t29 时，增加的利润最大值为 15000 元，此时，m20，综上所述，当 t29 时，提前上市 20 天，增加的利润最大值为 15000 元24 【解答】解： （1）如图所示：（2）设 ykx
23、+b，将（200，60） 、 （220，50）代入，得：200k + b = 60220k + b = 50，解得k =12b = 160，y=12x+160（170 x240） ；（3）wxyx（12x+160）=12x2+160 x，对称轴为直线 x=b2a=160，a=120，在 170 x240 范围内，w 随 x 的增大而减小，当 x170 时，w 有最大值，最大值为 12750 元八二次函数综合题（共八二次函数综合题（共 6 小题）小题）25 【解答】解： （1）用描点法画出图形如图 1，由图象可知函数类别为二次函数（2）如图 2，过点 F，D 分别作 FG，DH 垂直于 y 轴，
24、垂足分别为 G，H，则FGKDHK90，记 FD 交 y 轴于点 K，D 点与 F 点关于 y 轴上的 K 点成中心对称，KFKD，FKGDKH，RtFGKRtDHK（AAS） ，FGDH，直线 AC 的解析式为 y=83x+4，x0 时，y4，A（0，4） ，又B（2，0） ，设直线 AB 的解析式为 ykx+b， 2k + b = 0b = 4，解得k = 2b = 4，直线 AB 的解析式为 y2x+4，过点 F 作 FRx 轴于点 R，D 点的横坐标为 m，F（m，2m+4） ，ER2m，FR2m+4，EF2FR2+ER2，lEF28m216m+168（m1）2+8，令8x3+40，得
25、 x=32，0m32当 m1 时，l 的最小值为 8，EF 的最小值为 2 2（3）FBE 为定角，不可能为直角BEF90时，E 点与 O 点重合，D 点与 A 点，F 点重合，此时 m0如图 3，BFE90时，有 BF2+EF2BE2由（2）得 EF28m216m+16，又BRm+2，FR2m+4，BF2BR2+FR2（m+2）2+（2m+4）25m220m+20，又BE2（m+2）2，（5m220m+20）+（8m216m+16）（m+2）2，化简得，3m210m+80，解得 m1=43，m22（不合题意，舍去） ，m=43综合以上可得，当BEF 为直角三角形时，m0 或 m=4326 【
26、解答】解： （1）ACx 轴，点 A（2，1） ，C（0，1） ，将点 A（2，1） ，C（0，1）代入抛物线解析式中，得 4 2b + c = 1c = 1，b = 2c = 1，抛物线的解析式为 yx22x+1；如图 1，过点 D 作 DEx 轴于 E，交 AB 于点 F，ACx 轴，EFOCc，点 D 是抛物线的顶点坐标，D（b2，c+b24） ，DFDEEFc+b24c=b24，四边形 AOBD 是平行四边形，ADBO，ADOB，DAFOBC，AFDBCO90，AFDBCO（AAS） ，DFOC，b24=c，即 b24c；（2）如图 2，b2抛物线的解析式为 yx22x+c，顶点坐标
27、D（1，c+1） ，假设存在这样的点 A 使四边形 AOBD 是平行四边形，设点 A（m，m22m+c） （m0） ，过点 D 作 DEx 轴于点 E，交 AB 于 F，AFDEFCBCO，四边形 AOBD 是平行四边形，ADBO，ADOB，DAFOBC，AFDBCO（AAS） ，AFBC，DFOC，过点 A 作 AMy 轴于 M，交 DE 于 N，DECO，ANFAMC，ANAM=FNCM=AFAC=BCAC=35，AMm，ANAMNMm1，m1m=35，m =52，点 A 的纵坐标为（52）22（52）+cc54c，AMx 轴，点 M 的坐标为（0，c54） ，N（1，c54） ，CMc（
28、c54）=54，点 D 的坐标为（1，c+1） ，DN（c+1）（c54）=94，DFOCc，FNDNDF=94c，FNCM=35，94c54=35，c=32，c54=14，点 A 纵坐标为14，A（52，14） ，存在这样的点 A，使四边形 AOBD 是平行四边形27 【解答】解： （1）设 ya（x）2+（a0） ，把 x0，y3 代入，解得 a2，抛物线的函数表达式为 y2（x）2+（2）把 y代入 y2（x）2+，化简得（x）2，解得 x1（舍去） ，x21，OD1m东东的直线传球能越过小戴的拦截传到点 E由图 1 可得，当 0t时，h2当t时，h22（t）2+当 h1h20 时，t（
29、s） ，东东在点 D 跳起传球与小戴在点 F 处拦截的示意图如图 2，设 MDh1，NFh2，当点 M，N，E 三点共线时，过点 E 作 EGMD 于点 G，交 NF 于点 H，过点 N 作 NPMD 于点 P，MDNF，PNEG，MHNE，MNPNEH，MPNNHE，MPPN=NHHE，PN，HE，NH5MP（）当 0t时，MP2（t）2+2（t）2+，NH52（t）2+，整理得（t）2，解得t1=910（舍去） ，t2=110（s） ，当 0t时，MP 随 t 的增大而增大，110t 310（）当t时，MPMDNF2（t）2+2（t）2+，NHNFHF2（t）2+2（t）2+，2（t）2+
30、5（+） ，整理得 t2+0，解得，t1=23+2 8510（舍去） ，t2=232 8510（s） ，当t时，MP 随 t 的增大而减小，310t232 8510（）当t1 时，h1h2，不可能综上所述，东东在起跳后传球的时间范围为110t232 851028 【解答】解： （1）当 m5 时，y=12（x5）2+4，当 x1 时，n=1242+44（2）当 n2 时，将 C（1，2）代入函数表达式 y=12（xm）2+4，得 2=12（1m）2+4，解得 m3 或1（舍去） ，此时抛物线的对称轴 x3，根据抛物线的对称性可知，当 y2 时，x1 或 5，x 的取值范围为 1x5（3）点 A
31、 与点 C 不重合，m1，抛物线的顶点 A 的坐标是（m，4） ，抛物线的顶点在直线 y4 上，当 x0 时，y=12m2+4，点 B 的坐标为（0，12m2+4） ，抛物线从图 1 的位置向左平移到图 2 的位置前，m 逐渐减小，点 B 沿 y 轴向上移动，当点 B 与 O 重合时，12m2+40，解得 m2 2或2 2（不合题意舍去） ，当点 B 与点 D 重合时，如图 2，顶点 A 也与 B，D 重合，点 B 到达最高点，点 B（0，4） ，12m2+44，解得 m0，当抛物线从图 2 的位置继续向左平移时，如图 3 点 B 不在线段 OD 上，B 点在线段 OD 上时，m 的取值范围是
32、：0m1 或 1m2 229 【解答】解： （1）OA3，tanOAC=OCOA=33，OC=3，四边形 OABC 是矩形，BCOA3，D 是 BC 的中点，CD=12BC=32，D（32， 3） ；（2）tanOAC=33，OAC30，ACBOAC30，设将DBF 沿 DE 所在的直线翻折后，点 B 恰好落在 AC 上的 B处，则 DBDBDC，BDFBDF，DBCACB30BDB60，BDFBDF30，B90，BFBDtan30=32，AB=3，AFBF=32，BFDAEF，BFAE90，BFDAFE（ASA） ，AEBD=32，OEOA+AE=92，点 E 的坐标（92，0） ；动点 P
33、 在点 O 时，抛物线过点 P（0，0） 、D（32， 3） 、B（3， 3）求得此时抛物线解析式为 y=293x2+3x，E（92，0） ，直线 DE：y=33x+3 32，F1（3，123） ；当动点 P 从点 O 运动到点 M 时，抛物线过点 P（0，2 33） 、D（32， 3） 、B（3， 3）求得此时抛物线解析式为 y=2273x2+33x+2 33，E（6，0） ，直线 DE：y=2 39x+4 33，F2（3，2 33） ；点 F 运动路径的长为 F1F2=2 3332=36，如图，当动点 P 从点 O 运动到点 M 时，点 F 运动到点 F，点 G 也随之运动到 G连接 GG
34、当点 P 向点 M 运动时，抛物线开口变大，F 点向上线性移动，所以 G 也是线性移动即 GGFFDFG、DFG为等边三角形，GDFGDF60，DGDF，DGDF，GDFGDFGDFGDF，即GDGFDF在DFF与FGG中，DF = DGFDF =GDGDF = DG，DFFFGG（SAS） ，GGFF=36即 G 运动路径的长为3630 【解答】解： （1）如图 1 中，当 m0 时，二次函数的表达式 yx2+2，函数图象如图 1 所示当 x0 时，y2，当 x1 时，y1，抛物线经过点（0，2）和（1，1） ，观察图象可知：好点有： （0，0） ， （0，1） ， （0，2） ， （1，0
35、） ， （1，1） ，共 5 个（2）如图 2 中，当 m3 时，二次函数解析式为 y（x3）2+5如图 2当 x1 时，y1，当 x2 时，y4，当 x4 时，y4，抛物线经过（1，1） ， （2，4） ， （4，4） ，根据图象可知，抛物线上存在好点，坐标分别为（1，1） ， （2，4） ， （4，4） （3）由于 0m2，取 m1 开始，发现抛物线内有 10 个好点，不符合意思，所以抛物线向下并向左移动，可得如图 3 中，抛物线的顶点 P（m，m+2） ，抛物线的顶点 P 在直线 yx+2 上，点 P 在正方形内部，则 0m2，如图 3 中，E（2，1） ，F（2，2） ，观察图象可知，当点 P 在正方形 OABC 内部，该抛物线下方（包括边界）恰好存在 8 个好点时，抛物线与线段 EF 有交点（点 F 除外） ，当抛物线经过点 E 时，（2m）2+m+21，解得 m=5 132或5+ 132（舍弃） ，当抛物线经过点 F 时，（2m）2+m+22，解得 m1 或 4（舍弃） ，当5 132m1 时，顶点 P 在正方形 OABC 内部，该抛物线下方（包括边界）恰好存在 8 个好点
