1、二次函数与圆的综合二次函数与圆的综合初中数学讨论群初中数学讨论群 群号群号 3资料部资料部 群号：群号：45 （2012济南）如图 1，抛物线 y=ax2+bx+3 与 x 轴相交于点 A（3，0） ，B（1，0） ，与 y 轴相交于点 C，O1为ABC 的外接圆，交抛物线于另一点 D（1）求抛物线的解析式；（2）求 cosCAB 的值和O1的半径；（3）如图 2，抛物线的顶点为 P，连接 BP，CP，BD，M 为弦 BD 中点，若点 N 在坐标平面内，满足BMNBPC，请直接写出所有符合条件的点 N 的坐标考点： 二次函数综合题1171131分析： （1）利用待定系数法求出抛物线的解析式；（
2、2）如答图 1 所示，由AOC 为等腰直角三角形，确定CAB=45，从而求出其三角函数值；由圆周角定理，确定BO1C 为等腰直角三角形，从而求出半径的长度；（3）如答图 2 所示，首先利用圆及抛物线的对称性求出点 D 坐标，进而求出点 M 的坐标和线段 BM 的长度；点 B、P、C 的坐标已知，求出线段 BP、BC、PC 的长度；然后利用BMNBPC 相似三角形比例线段关系，求出线段 BN 和 MN 的长度；最后利用两点间的距离公式，列出方程组，求出点 N 的坐标解答： 解： （1）抛物线 y=ax2+bx+3 与 x 轴相交于点 A（3，0） ，B（1，0） ，解得 a=1，b=4，抛物线的
3、解析式为：y=x2+4x+3（2）由（1）知，抛物线解析式为：y=x2+4x+3，令 x=0，得 y=3，C（0，3） ，OC=OA=3，则AOC 为等腰直角三角形，CAB=45，cosCAB=在 RtBOC 中，由勾股定理得：BC=如答图 1 所示，连接 O1B、O1C，由圆周角定理得：BO1C=2BAC=90，BO1C 为等腰直角三角形，O1的半径 O1B=BC=（3）抛物线 y=x2+4x+3=（x+2）21，顶点 P 坐标为（2，1） ，对称轴为 x=2又A（3，0） ，B（1，0） ，可知点 A、B 关于对称轴 x=2 对称如答图 2 所示，由圆及抛物线的对称性可知：点 D、点 C（
4、0，3）关于对称轴对称，D（4，3） 又点 M 为 BD 中点，B（1，0） ，M（，） ，BM=；在BPC 中，B（1，0） ，P（2，1） ，C（0，3） ，由两点间的距离公式得：BP=，BC=，PC=BMNBPC，即，解得：BN=，MN=设 N（x，y） ，由两点间的距离公式可得：，解之得，点 N 的坐标为（，）或（，） 点评： 本题综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、圆的性质、相似三角形、勾股定理、两点间的距离公式等重要知识点，涉及的考点较多，试题难度较大难点在于第（3）问，需要认真分析题意，确定符合条件的点 N 有两个，并画出草图；然后寻找线段之间的数量关系，最终正确求得点
5、N 的坐标6 （2011遵义）已知抛物线 y=ax2+bx+3（a0）经过 A（3，0） ，B（4，1）两点，且与 y轴交于点 C（1）求抛物线 y=ax2+bx+3（a0）的函数关系式及点 C 的坐标；（2）如图（1） ，连接 AB，在题（1）中的抛物线上是否存在点 P，使PAB 是以 AB 为直角边的直角三角形若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图（2） ，连接 AC，E 为线段 AC 上任意一点（不与 A、C 重合）经过 A、E、O 三点的圆交直线 AB 于点 F，当OEF 的面积取得最小值时，求点 E 的坐标考点： 二次函数综合题1171131分析： （1）根据
6、A（3，0） ，B（4，1）两点利用待定系数法求二次函数解析式；（2）从当PAB 是以 AB 为直角边的直角三角形，且PAB=90与当PAB 是以 AB为直角边的直角三角形，且PBA=90，分别求出符合要求的答案；（3）根据当 OEAB 时，FEO 面积最小，得出 OM=ME，求出即可解答： 解： （1）抛物线 y=ax2+bx+3（a0）经过 A（3，0） ，B（4，1）两点，解得：，y=x2x+3；点 C 的坐标为： （0，3） ；（2）假设存在，分两种情况：当PAB 是以 AB 为直角边的直角三角形，且PAB=90，如图 1，过点 B 作 BMx 轴于点 M，A（3，0） ，B（4，1）
7、 ，AM=BM=1，BAM=45，DAO=45，AO=DO，A 点坐标为（3，0） ，D 点的坐标为： （0，3） ，直线 AD 解析式为：y=kx+b，将 A，D 分别代入得：0=3k+b，b=3，k=1，y=x+3，y=x2x+3=x+3，x23x=0，解得：x=0 或 3，y=3，y=0（不合题意舍去） ，P 点坐标为（0，3） ，点 P、C、D 重合，当PAB 是以 AB 为直角边的直角三角形，且PBA=90，如图 2，过点 B 作 BFy 轴于点 F，由（1）得，FB=4，FBA=45，DBF=45，DF=4，D 点坐标为： （0，5） ，B 点坐标为： （4，1） ，直线 BD 解
8、析式为：y=kx+b，将 B，D 分别代入得：1=4k+b，b=5，k=1，y=x+5，y=x2x+3=x+5，x23x4=0，解得：x1=1，x2=4（舍） ，y=6，P 点坐标为（1，6） ，点 P 的坐标为： （1，6） ， （0，3） ；（3）如图 3：作 EMAO 于 M，直线 AB 的解析式为：y=x3，tanOAC=1，OAC=45，OAC=OAF=45，ACAF，SFEO=OEOF，OE 最小时 SFEO最小，OEAC 时 OE 最小，ACAFOEAFEOM=45，MO=EM，E 在直线 CA 上，E 点坐标为（x，x+3） ，x=x+3，解得：x=，E 点坐标为（，） 点评：
9、 此题主要考查了二次函数的综合应用以及待定系数法求函数解析式， 二次函数的综合应用是初中阶段的重点题型特别注意利用数形结合是这部分考查的重点也是难点同学们应重点掌握7 （2011襄阳）如图，在平面直角坐标系 xoy 中，AB 在 x 轴上，AB=10，以 AB 为直径的O与y轴正半轴交于点C， 连接BC， AC CD是O的切线， AD丄CD于点D， tanCAD=，抛物线 y=ax2+bx+c 过 A，B，C 三点（1）求证：CAD=CAB；（2）求抛物线的解析式；判断抛物线的顶点 E 是否在直线 CD 上，并说明理由；（3）在抛物线上是否存在一点 P，使四边形 PBCA 是直角梯形若存在，直
10、接写出点 P 的坐标（不写求解过程） ；若不存在，请说明理由考点： 二次函数综合题1171131分析： （1）连接 OC，由 CD 是O 的切线，可得 OCCD，则可证得 OCAD，又由OA=OC，则可证得CAD=CAB；（2）首先证得CAOBCO，根据相似三角形的对应边成比例，可得OC2=OAOB，又由 tanCAO=tanCAD=，则可求得 CO，AO，BO 的长，然后利用待定系数法即可求得二次函数的解析式；首先证得FOCFAD，由相似三角形的对应边成比例，即可得到 F 的坐标，求得直线 DC 的解析式，然后将抛物线的顶点坐标代入检验即可求得答案；（3）根据题意分别从 PABC 与 PBA
11、C 去分析求解即可求得答案，小心不要漏解解答： （1）证明：连接 OC，CD 是O 的切线，OCCD，ADCD，OCAD，OCA=CAD，OA=OC，CAB=OCA，CAD=CAB；（2）解：AB 是O的直径，ACB=90，OCAB，CAB=OCB，CAOBCO，即 OC2=OAOB，tanCAO=tanCAD=，AO=2CO，又AB=10，OC2=2CO（102CO） ，CO0，CO=4，AO=8，BO=2，A（8，0） ，B（2，0） ，C（0，4） ，抛物线 y=ax2+bx+c 过点 A，B，C 三点，c=4，由题意得：，解得：，抛物线的解析式为：y=x2x+4；设直线 DC 交 x
12、轴于点 F，AOCADC，AD=AO=8，OCAD，FOCFAD，8（BF+5）=5（BF+10） ，BF=，F（，0） ；设直线 DC 的解析式为 y=kx+m，则，解得：，直线 DC 的解析式为 y=x+4，由 y=x2x+4=（x+3）2+得顶点 E 的坐标为（3，） ，将 E（3，）代入直线 DC 的解析式 y=x+4 中，右边=（3）+4=左边，抛物线顶点 E 在直线 CD 上；（3）存在，P1（10，6） ，P2（10，36） A（8，0） ，C（0，4） ，过 A、C 两点的直线解析式为 y=x+4，设过点 B 且与直线 AC 平行的直线解析式为：y=x+b，把 B（2，0）代入
13、得 b=1，直线 PB 的解析式为 y=x1，解得，（舍去） ，P1（10，6） 求 P2的方法应为过点 A 作与 BC 平行的直线，可求出 BC 解析式，进而求出与之平行的直线的解析式，与求 P1同法，可求出 x1=8，y1=0（舍去） ；x2=10，y2=36P2的坐标（10，36） 点评： 此题考查了待定系数法求函数的解析式， 相似三角形的判定与性质， 点与函数的关系，直角梯形等知识此题综合性很强，难度较大，解题的关键是注意数形结合与方程思想的应用8 （2011潍坊）如图，y 关于 x 的二次函数 y=（x+m） （x3m）图象的顶点为 M，图象交 x 轴于 A、B 两点，交 y 轴正半
14、轴于 D 点以 AB 为直径作圆，圆心为 C定点 E的坐标为（3，0） ，连接 ED （m0）（1）写出 A、B、D 三点的坐标；（2）当 m 为何值时 M 点在直线 ED 上判定此时直线与圆的位置关系；（3）当 m 变化时，用 m 表示AED 的面积 S，并在给出的直角坐标系中画出 S 关于 m 的函数图象的示意图考点： 二次函数综合题1171131专题： 压轴题；分类讨论分析： （1）根据 x 轴，y 轴上点的坐标特征代入即可求出 A、B、D 三点的坐标；（2）待定系数法先求出直线 ED 的解析式，再根据切线的判定得出直线与圆的位置关系；（3）分当 0m3 时，当 m3 时两种情况讨论求得
15、关于 m 的函数解答：解： （1）令 y=0，则（x+m） （x3m）=0，解得 x1=m，x2=3m；令 x=0，则 y=（0+m） （03m）=m故 A（m，0） ，B（3m，0） ，D（0，m） （2）设直线 ED 的解析式为 y=kx+b，将 E（3，0） ，D（0，m）代入得：解得，k=，b=m直线 ED 的解析式为 y=mx+m将 y=（x+m） （x3m）化为顶点式：y=（xm）2+m顶点 M 的坐标为（m，m） 代入 y=mx+m 得：m2=mm0，m=1所以，当 m=1 时，M 点在直线 DE 上连接 CD，C 为 AB 中点，C 点坐标为 C（m，0） OD=，OC=1，C
16、D=2，D 点在圆上又OE=3，DE2=OD2+OE2=12，EC2=16，CD2=4，CD2+DE2=EC2EDC=90直线 ED 与C 相切（3）当 0m3 时，SAED=AEOD=m（3m）S=m2+m当 m3 时，SAED=AEOD=m（m3） 即 S=m2_mS 关于 m 的函数图象的示意图如右：点评： 本题是二次函数的综合题型，其中涉及的知识点有 x 轴，y 轴上点的坐标特征，抛物线解析式的确定，抛物线的顶点公式和三角形的面积求法注意分析题意分情况讨论结果9 （2011邵阳）如图所示，在平面直角坐标系 Oxy 中，已知点 A（，0） ，点 C（0，3） ，点 B 是 x 轴上一点（
17、位于点 A 的右侧） ，以 AB 为直径的圆恰好经过点 C（1）求ACB 的度数；（2）已知抛物线 y=ax2+bx+3 经过 A、B 两点，求抛物线的解析式；（3）线段 BC 上是否存在点 D，使BOD 为等腰三角形若存在，则求出所有符合条件的点D 的坐标；若不存在，请说明理由考点： 二次函数综合题1171131专题： 综合题分析： （1）根据直径所对的圆周角是直角可以得到ACB 的度数（2）利用三角形相似求出点 B 的坐标，然后把 A，B 两点的坐标代入抛物线求出抛物线的解析式（3）分别以 OB 为底边和腰求出等腰三角形中点 D 的坐标解答： 解： （1）以 AB 为直径的圆恰好经过 点 C，ACB=90（2）AOCCOB，OC2=AOOB，A（，0） ，点 C（0，3） ，OC=3，又CO2=AOOB，OB=4，B（4，0）把 A、B、C 三点坐标代入得（3）OD=DB，如图：D 在 OB 的中垂线上，过 D 作 DHOB，垂足是 H，则 H 是 OB 中点DH=，D，BD=BO，如图：过 D 作 DGOB，垂足是 G，=，OB=4，CB=5，CD=BCBD=BCOB=54=1，=，=，=，OG=，DG=，D（，） 点评： 本题考查的是二次函数的综合题， （1）根据圆周角的性质求出角的度数 （2）用待定系数法求出抛物线的解析式 （3）根据等腰三角形的性质确定点 D 的坐标
