1、一、频率的定义与性质一、频率的定义与性质二、概率的定义与性质二、概率的定义与性质三、小结三、小结第三节第三节 频率与概率频率与概率).(,. , ,AfAnnAnAnnnAA成成并记并记发生的频率发生的频率称为事件称为事件比值比值生的频数生的频数发发称为事件称为事件发生的次数发生的次数事件事件次试验中次试验中在这在这次试验次试验进行了进行了在相同的条件下在相同的条件下1. 定义定义 一、频率的定义与性质一、频率的定义与性质 2. 性质性质设设 A 是随机试验是随机试验 E 的任一事件的任一事件, 则则; 1)(0)1( Afn; 0)(, 1)()2( fSf).()()()(,)3(2121
2、21knnnkkAfAfAfAAAfAAA 则则是两两互不相容的事件是两两互不相容的事件若若试验试验序号序号5 nHnf1 2 3 4 5 6 7231 5 1 2 4Hnf50 n22252125241827Hn500 n2512492562472512622580.40.60.21.00.20.40.80.440.500.420.480.360.54f0.5020.4980.5120.4940.5240.5160.500.502实例实例 将一枚硬币抛掷将一枚硬币抛掷 5 次、次、50 次、次、500 次次, 各做各做 7 遍遍, 观察正面出现的次数及频率观察正面出现的次数及频率.处处波波动
3、动较较大大在在21波动最小波动最小随随n的增大的增大, 频率频率 f 呈现出稳定性呈现出稳定性处处波波动动较较小小在在21从上述数据可得从上述数据可得(2) 抛硬币次数抛硬币次数 n 较小时较小时, 频率频率 f 的随机波动幅的随机波动幅度较大度较大, 但但随随 n 的增大的增大 , 频率频率 f 呈现出稳定性呈现出稳定性.即即当当 n 逐渐增大时频率逐渐增大时频率 f 总是在总是在 0.5 附近摆动附近摆动, 且且逐渐稳定于逐渐稳定于 0.5.(1) 频率有频率有随机波动性随机波动性,即对于同样的即对于同样的 n, 所得的所得的 f 不一定相同不一定相同;实验者实验者德德 摩根摩根蒲蒲 丰丰
4、nHnf皮尔逊皮尔逊 K皮尔逊皮尔逊 K 204810610.5181404020480.50691200060190.501624000120120.5005)(Hf的增大的增大n.21我们再来看一个验证频率稳定性的著名实验我们再来看一个验证频率稳定性的著名实验高尔顿高尔顿(Galton)板试验板试验.试验模型如下所示试验模型如下所示:自上端放入一小球自上端放入一小球,任其自任其自由下落由下落,在下落过程中当小球碰在下落过程中当小球碰到钉子时到钉子时,从左边落下与从右边从左边落下与从右边落下的机会相等落下的机会相等.碰到下一排钉碰到下一排钉子时又是如此子时又是如此.最后落入底板中最后落入底板
5、中的某一格子的某一格子.因此因此,任意放入一球任意放入一球,则此球落入哪一个格子则此球落入哪一个格子,预先难以确定预先难以确定.但是如果放但是如果放入大量小球入大量小球,则其最后所呈现的曲线则其最后所呈现的曲线,几乎总是一样几乎总是一样的的.单击图形播放单击图形播放/ /暂停暂停ESCESC键退出键退出请看动画演示请看动画演示重要结论重要结论频率当频率当 n 较小时波动幅度比较大，当较小时波动幅度比较大，当 n 逐渐增逐渐增大时大时 ， 频率趋于稳定值，这个稳定值从本质上反映频率趋于稳定值，这个稳定值从本质上反映了事件在试验中出现可能性的大小它就是事件的了事件在试验中出现可能性的大小它就是事件
6、的概率概率 医生在检查完病人的时候摇摇头：医生在检查完病人的时候摇摇头：“你的你的病很重，在十个得这种病的人中只有一个能救活病很重，在十个得这种病的人中只有一个能救活.” 当病人被这个消息吓得够呛时，医生继续说：当病人被这个消息吓得够呛时，医生继续说：“但你是幸运的因为你找到了我，我已经看过但你是幸运的因为你找到了我，我已经看过九个病人了，他们都死于此病九个病人了，他们都死于此病.”医生的说法对吗医生的说法对吗?请同学们思考请同学们思考. 1933年年 ，苏联数学家柯尔莫哥洛夫提出了概，苏联数学家柯尔莫哥洛夫提出了概率论的公理化结构率论的公理化结构 ，给出了概率的严格定义，给出了概率的严格定义
7、 ，使，使概率论有了迅速的发展概率论有了迅速的发展.二、概率的定义与性质二、概率的定义与性质柯尔莫哥洛夫资料柯尔莫哥洛夫资料:)(, )(,.,满足下列条件满足下列条件如果集合函数如果集合函数的概率的概率件件称为事称为事记为记为赋予一个实数赋予一个实数的每一事件的每一事件对于对于是它的样本空间是它的样本空间是随机试验是随机试验设设 PAAPAESE; 0)(,: (1) APA 有有对于每一个事件对于每一个事件非负性非负性; 1)(,: (2) SPS 有有对于必然事件对于必然事件规范性规范性则则有有即即对对于于事事件件是是两两两两互互不不相相容容的的设设, 2, 1,: (3)21 jiAA
8、jiAAji可可列列可可加加性性 )()()(2121APAPAAP概率的可列可加性概率的可列可加性1. 概率的定义概率的定义. 0)()1( P证明证明), 2 , 1( nAn.,1jiAAAjinn 且且则则 由概率的可列可加性得由概率的可列可加性得 nnAPP1)( 1)(nnAP 1)(nP0)( P. 0)( P2. 性质性质概率的有限可加性概率的有限可加性证明证明,21 nnAA令令., 2 , 1, jijiAAji由概率的可列可加性得由概率的可列可加性得)(21nAAAP)(1kkAP 1)(kkAP0)(1 nkkAP).()()(21nAPAPAP 则则有有是是两两两两互
9、互不不相相容容的的事事件件若若,)2(21nAAA).()()()(2121nnAPAPAPAAAP ).()()(),()(,)3(APBPABPBPAPBABA 则则且且为两个事件为两个事件设设证明证明BA,BA 因为因为).(ABAB 所以所以,)( AAB又又. )()()(ABPAPBP 得得, 0)( ABP又又因因).()(BPAP 故故).()()(APBPABP 于是于是).(1)(,)5(APA PAA 则则的对立事件的对立事件是是设设证明证明, 1)(, SPAASAA因为因为).(1)(APAP . 1)(,)4( APA对于任一事件对于任一事件SA , 1)()( S
10、PAP. 1)( AP故故证明证明)()(1AAPSP 所以所以. )()(APAP ).()()()(,)()6(ABPBPAPBAPBA 有有对于任意两事件对于任意两事件加法公式加法公式证明证明AB由图可得由图可得),(ABBABA ,)( ABBA且且).()()(ABBPAPBAP 故故又由性质又由性质 3 得得因此得因此得AB),()()(ABPBPABBP ).()()()(ABPBPAPBAP 推广推广 三个事件和的情况三个事件和的情况)(321AAAP).()()()()()()(321313221321AAAPAAPAAPAAPAPAPAP n 个事件和的情况个事件和的情况)
11、(21nAAAP njijiniiAAPAP11)()().()1()(2111nnnkjikjiAAAPAAAP 解解),()()1(BPABP 由图示得由图示得.21)()( BPABP故故)()()()2(APBPABP 由图示得由图示得.613121 .81)()3(;)2(;)1(.)(,2131, ABPBABAABPBA互斥互斥与与的值的值三种情况下三种情况下求在下列求在下列和和的概率分别为的概率分别为设事件设事件BASSAB1例例,)3(BAABA 由图示得由图示得),()()()(ABPBPAPBAP 又又),()()(ABPAPBAAP )()()(ABPBPABP 因而因
12、而.838121 , ABA且且SABAB).()()(),()(,)4(BPAPBAPBPAPBABA 则则且且为两个事件为两个事件设设1. 频率频率 (波动波动) 概率概率(稳定稳定). n2. 概率的主要性质概率的主要性质, 1)(0) 1 ( AP; 0)(, 1)( PSP);(1)()2(APAP );()()()() 3(ABPBPAPBAP 三、小结三、小结Born: 25 Apr. 1903 in Tambov, Tambov province,RussiaDied: 20 Oct. 1987 in Moscow, Russia柯尔莫哥洛夫资料柯尔莫哥洛夫资料Andrey NikolaevichKolmogorov
