1、一、随机变量方差的概念及性质一、随机变量方差的概念及性质三、例题讲解三、例题讲解二、重要概率分布的方差二、重要概率分布的方差四、小结四、小结第二节方差 上一讲我们介绍了随机变量的数学期上一讲我们介绍了随机变量的数学期望，它体现了随机变量取值的平均水平，望，它体现了随机变量取值的平均水平，是随机变量的一个重要的数字特征是随机变量的一个重要的数字特征. 但是在一些场合，仅仅知道平均值是但是在一些场合，仅仅知道平均值是不够的不够的. 例如，某零件的真实长度为例如，某零件的真实长度为a，现用甲、，现用甲、乙两台仪器各测量乙两台仪器各测量10次，将测量结果次，将测量结果X用坐用坐标上的点表示如图：标上的
2、点表示如图： 若让你就上述结果评价一下两台仪器的优若让你就上述结果评价一下两台仪器的优劣，你认为哪台仪器好一些呢？劣，你认为哪台仪器好一些呢？a 乙仪器测量结果乙仪器测量结果 a甲仪器测量结果甲仪器测量结果较好较好测量结果的测量结果的均值都是均值都是 a因为乙仪器的测量结果集中在均值附近因为乙仪器的测量结果集中在均值附近又如又如,甲、乙两门炮同时向一目标射击甲、乙两门炮同时向一目标射击10发炮发炮弹，其落点距目标的位置如图：弹，其落点距目标的位置如图：你认为哪门炮射击效果好一些呢你认为哪门炮射击效果好一些呢?甲炮射击结果甲炮射击结果乙炮射击结果乙炮射击结果乙炮乙炮因为乙炮的弹着点较集中在中心附
3、近因为乙炮的弹着点较集中在中心附近 . 中心中心中心中心 为此需要引进另一个数字特征为此需要引进另一个数字特征,用它用它来度量随机变量取值在其中心附近的离来度量随机变量取值在其中心附近的离散程度散程度.这个数字特征就是我们这一讲要介绍的这个数字特征就是我们这一讲要介绍的方差方差一、方差的定义一、方差的定义 采用平方是为了保证一切采用平方是为了保证一切差值差值X-E(X)都起正面的作用都起正面的作用 由于它与由于它与X具有相同的度量单位，在实具有相同的度量单位，在实际问题中经常使用际问题中经常使用. 方差的算术平方根方差的算术平方根 称为标准差称为标准差)(XD设设X是一个随机变量，若是一个随机
4、变量，若E(X-E(X)2，则，则称称D(X)=EX-E(X)2 (1)为为X的方差的方差.若若X的取值比较分散，则方差较大的取值比较分散，则方差较大 .若方差若方差D(X)=0,则则r.v X 以概率以概率1取常数值取常数值 . 方差刻划了随机变量的取值对于其数学方差刻划了随机变量的取值对于其数学期望的离散程度期望的离散程度 .若若X的取值比较集中，则方差较小；的取值比较集中，则方差较小；D(X)=EX-E(X)2X为离散型，为离散型，P(X=xk)=pk 由定义知，方差是随机变量由定义知，方差是随机变量X的函数的函数g(X)=X-E(X)2的的数学期望数学期望 .,)()(,)()(212
5、dxxfXExpXExXDkkkX为连续型，为连续型，Xf(x)二、计算方差的一个简化公式二、计算方差的一个简化公式 D(X)=E(X2)-E(X)2 展开展开证：证：D(X)=EX-E(X)2=EX2-2XE(X)+E(X)2=E(X2)-2E(X)2+E(X)2=E(X2)-E(X)2利用期望利用期望性质性质请自己用此公式计算常见分布的方差请自己用此公式计算常见分布的方差.例例1 设设r.v X服从几何分布，分布函数为服从几何分布，分布函数为P(X=k)=p(1-p)k-1, k=1,2,，n其中其中0p1,求求D(X)解：解： 记记q=1-p11)(kkkpqXE1)(kkqp1)(kk
6、qp)1(qqpp1求和与求导求和与求导交换次序交换次序无穷递缩等比无穷递缩等比级数求和公式级数求和公式 D(X)=E(X2)-E(X)2 1122)(kkpqkXE) 1(1111kkkkkqqkkp 1)(kkqqp+E(X)pqqqp1)1( pqqp1)1 (23ppq12222pp22pp21p21pp三、方差的性质三、方差的性质 1. 设设C是常数是常数,则则D(C)=0; 2. 若若C是常数是常数,则则D(CX)=C2 D(X); 3. 若若X1与与X2 独立，则独立，则 D(X1+X2)= D(X1)+D(X2);niiniiXDXD11)(可推广为：若可推广为：若X1,X2,
7、Xn相互相互独立独立,则则niiiniiiXDCXCD121)( 4. D(X)=0 P(X= C)=1， 这里这里C=E(X)xC1P(X= x)下面我们用一例说明方差性质的应用下面我们用一例说明方差性质的应用 .例例2 二项分布的方差二项分布的方差设设XB(n,p), 则则X表示表示n重贝努里试验中的重贝努里试验中的“成功成功” 次数次数 . 若设若设次试验失败如第次试验成功如第iiXi01i=1,2，n 故故 D(Xi)= E(Xi2)-E(Xi)2E(Xi)=P(Xi=1)= p,E(Xi2)= p, 则则 是是n次试验中次试验中“成功成功” 的次数的次数niiXX1= p- p2= p(1- p)于是于是i=1,2，n D(Xi)= E(Xi2)-E(Xi)2 = p- p2= p(1- p)由于由于X1,X2,Xn相互相互独立独立niiXDXD1)()(= np(1- p)这一讲，我们介绍了随机变量的方差这一讲，我们介绍了随机变量的方差. 它是刻划随机变量取值在其中心附近离它是刻划随机变量取值在其中心附近离散程度的一个数字特征散程度的一个数字特征 .下一讲，我们将介绍刻划两下一讲，我们将介绍刻划两r.v间线性相关程间线性相关程度的一个重要的数字特征：度的一个重要的数字特征：相关系数相关系数
