1、第三节 极限运算法则一、极限运算法则二、求极限方法举例三、小结第二章一、极限运算法则定理（四则运算法则）定理（四则运算法则）00000000000lim( ), lim( ),(1)lim ( )( )lim( )lim( );(2)lim ( )( )lim( ) lim( );lim( )( )(3)lim,0.( )lim( )xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxf xAg xBf xg xf xg xABf xg xf xg xA Bf xf xABg xg xB设设则则其其中中x 此定理对于 等情形也成立.推论推论1 1000lim(),lim()lim()xxxxxxf x
2、ccf xcf x 如如果果存存在在 而而 为为常常数数 则则常数因子可以提到极限记号外面常数因子可以提到极限记号外面.000lim(),lim ()lim()xxnnxxxxfxnfxfx 如如果果存存在在 而而 是是正正整整数数 则则推论推论2 2 定理（复合运算法则）：定理（复合运算法则）： AufxgfxxxgfAufuxgxuxguuxxuuxx 0000lim)(lim)()(lim)(,)(lim0000存在，且存在，且时的极限也时的极限也当当则复合函数则复合函数，又，又邻域内邻域内的某去心的某去心但在点但在点设设 0000lim ( )( )limlim( )xxuuxxf g
3、 xug xf ug xu 说说明明：通通常常求求可可通通过过变变量量代代换换，化化为为求求的的极极限限问问题题, ,其其中中证证: ,0,0当00uu 时, 有 Auf)(,010, 当010 xx 时, 有0( )g xu 则对上述取,min21则当00 xx时0( )g xu 故0 ( )f g xA 恒恒有有0lim( )uuf uA 由由可可得得00lim( )xxg xu 又又由由于于020200( )xxxg xu依依题题不不妨妨设设在在点点 的的去去心心邻邻域域即即时时,0 12min,0,00 xx 当当时时 00lim ( )limxxuuf g xAf u即即二、求极限方
4、法举例例例1 1.531lim232 xxxx求求解解)53(lim22 xxx5lim3limlim2222 xxxxx5limlim3)lim(2222 xxxxx52322 , 03 531lim232 xxxx)53(lim1limlim22232 xxxxxx.37 3123 小结小结: :1011.( ),nnnP xa xa xa 设设多多项项式式则则有有000101lim( )(lim)(lim)nnnxxxxxxP xaxaxa nnnaxaxa 101000()P x 则有则有且且设设, 0)(,)()()(. 20 xQxQxPxf)(lim)(lim)(lim000 x
5、QxPxfxxxxxx )()(00 xQxP ).(0 xf ., 0)(0则商的法则不能应用则商的法则不能应用若若 xQ分析：分析：例例2 2.321lim221 xxxx求求.,1分母的极限都是零分母的极限都是零分子分子时时x1.x 先先约约去去极极限限为为0 0的的公公因因子子后后再再求求极极限限2211lim23xxxx 解解：31lim1 xxx.21 )00(型型(消去零因子法消去零因子法)商商的的法法则则不不能能应应用用1(1)(1)lim(3)(1)xxxxx 例3. 求 33lim33xxxx 31lim3xx 解解: 令.93lim23xxx932xxu2333limli
6、m9xxxux 故 原式 =uu61lim616616 例4. 求解解: 方法方法 1.11lim1xxx,xu 则, 1lim1ux令11112uuxx1 u 原式) 1(lim1uu2方法方法 211lim1xxx1) 1)(1(lim1xxxx) 1(lim1xx2解解例例5 532112lim28xxx 求求23228lim8xxxx 原原式式 2224lim224xxxxxx 224lim24xxxx ()型型12 )00(型型00 说说明明：对对 - - 型型未未定定式式通通常常通通过过通通分分可可以以化化为为型型未未定定式式例例6 6.147532lim2323 xxxxx求求分
7、析：分析：.,分母的极限都是无穷大分母的极限都是无穷大分子分子时时 x)(型型 3,.x先先用用分分母母的的最最高高次次去去除除分分子子分分母母 再再求求极极限限332323147532lim147532limxxxxxxxxxx 解：解：.72 商商的的法法则则不不能能应应用用对有理分式函数一般有如下结果（*）：00(0,a bm k 为为非非负负常常数数）km 当当10111011limkkkkmmxmmaa xaxa xbb xbxb x ,kmab,0,km 当当km 当当说明：一般以分母中自变量的最高次幂除分子、说明：一般以分母中自变量的最高次幂除分子、分母分母, , 然后再求极限然
8、后再求极限. .定理： 若若10111011limkkkkmmnmmaa nana nbb nbnb n ,lim,limByAxnnnn则有)(lim) 1 (nnnyx nnnyxlim)2(,00)3(时且当BynBAyxnnnlimBABA由于数列是一种特殊的函数 ,从而关于数列也有类似的极限四则运算法则，即km 当当,kmab,0,km 当当km 当当xn利利用用此此定定理理，将将上上页页结结果果（* *）中中的的换换成成 有有相相应应的的结结果果，即即例例7 7 14 251lim(1)(2)(3)nnnnnn0 5451lim56nnnnn 例例8 8 111lim1 22 31
9、nn n11111lim12231nnn 1lim 11nn 1 3(1)(2)(3)lim4nnnnn22212lim()nnnnn2)1(21limnnnn 12 212limnnn 例例9 922112(1)(21)6nn nn 22211321(41)3nnn 2222222424 12(1)(21)3nnn nn1. 极限运算法则(1) 极限四则运算法则(2) 复合函数极限运算法则注意使用条件2. 求函数极限的方法(1) 分式函数极限求法0) 1xx 时, 用代入法( 分母不为 0 )0)2xx 时, 对00型 , 约去公因子x)3时 , 分子分母同除以分母最高次幂(2) 复合函数极
10、限求法设中间变量三、小结解：没有极限解：没有极限假设假设 有极限，有极限，)()(xgxf )(xf有极限，有极限，由极限运算法则可知：由极限运算法则可知： )()()()(xfxgxfxg 必有极限，必有极限，与已知矛盾，与已知矛盾，故假设不成立故假设不成立 在某个过程中，若在某个过程中，若 有极限，有极限， 无极限，那么无极限，那么 是否有极限？为是否有极限？为什么？什么？)(xf)(xg)()(xgxf 思考题思考题练习：练习： 3.lim1nnnn 4.lim221nnnn 113( 2)2.lim3( 2)nnnnn 12 13 0 21111.lim(1)(2)xxxx2 12 203050(23) (32)5.lim(21)xxxx 217.lim41xxx 6.lim()xxxxx18.lim2mnmnxxxxx mnmn 303( )2 0 +(,)m nZ
