1、第三节 分部积分法第五章由导数公式vuvuuv )(积分得:xvuxvuuvdd分部积分公式分部积分公式duvx 或uvvuvudd1) v 容易求得 ;xvuxvudd)2比容易计算 .:)d(的原则或及选取vvu（一般用于求两种不同类型函数的乘积的积分）（一般用于求两种不同类型函数的乘积的积分）duvuvx 例例1 1 求积分求积分.cos xdxx解（一）解（一） 令令,cos xu 2()2xxdxddvcosxxdx xdxxxxsin2cos222显然，显然， 选择不当选择不当，积分更难进行，积分更难进行.vu ,解（二）解（二） 令令,xu dvxdxdx sincos xdxx
2、cos xxdsin xdxxxsinsin.cossinCxxx 2cos()2xxd 22coscos22xxxdx 例例2 2 求积分求积分.2 dxexx解解,2xu ,dvdedxexx 2xx e dx dxxeexxx22.)(22Cexeexxxx （再次使用分部积分法）（再次使用分部积分法）,xu dvdxex 总结总结 若被积函数是幂函数和正若被积函数是幂函数和正(余余)弦函数或幂弦函数或幂函数和指数函数的乘积函数和指数函数的乘积， 就考虑设幂函数为就考虑设幂函数为 ， 使其降幂一次，多次使用可使其次数逐步降低使其降幂一次，多次使用可使其次数逐步降低.u2xx de 22x
3、xx ee dx 例例3 3 求积分求积分.arctan xdxx解解令令,arctan xu dvxdxdx 222arctan()2xxd 原原式式)(arctan2arctan222xdxxx dxxxxx222112arctan2 dxxxx)111(21arctan222 .)arctan(21arctan22Cxxxx 例例4 4 求积分求积分.ln3 xdxx解解,ln xu ,443dvxddxx 4ln()4xxd 原原式式 dxxxx3441ln414411ln416xxxC总结总结 若被积函数是幂函数与对数函数或幂若被积函数是幂函数与对数函数或幂函数与反三角函数的乘积，就
4、考虑设对数函函数与反三角函数的乘积，就考虑设对数函数或反三角函数为数或反三角函数为 .u4411ln(ln )44xxx dx 例例5 5 求积分求积分.sin xdxex解解 xdxexsin xxdesin )(sinsinxdexexx xdxexexxcossin xxxdexecossin )coscos(sinxdexexexxx xdxexxexxsin)cos(sin xdxexsin.)cos(sin2Cxxex 注意循环形式注意循环形式若被积函数是指数函数与三角函数的乘积，则可任意指定若被积函数是指数函数与三角函数的乘积，则可任意指定 .u,: 在在这这种种情情况况下下 往
5、往往往会会出出现现下下列列关关系系式式 . ) 1 ( d)()(d)(axxfaxxxf, , C此此时时经经移移项项并并在在等等式式右右端端加加任任意意常常数数后后 便便可可得得出出 所所求求的的不不定定积积分分 . )(11d)(Cxaxxf注意注意:在接连几次应用分部积分公式时前后几次所选的在接连几次应用分部积分公式时前后几次所选的 应为同类型函数应为同类型函数.u例例6 6 求积分求积分.)sin(ln dxx解解 dxx)sin(ln )sin(ln)sin(lnxxdxx dxxxxxx1)cos(ln)sin(lnsin(ln )cos(ln )cos(ln )xxxxxdx
6、dxxxxx)sin(ln)cos(ln)sin(ln dxx)sin(ln.)cos(ln)sin(ln2Cxxx sin(ln )cos(ln )xxx dx 例例7. 求.darccosxx解解:原式 =arccosxx xxxd21xxarccos)1d()1 (222121xxxxarccosCx 21xxarccosd(arccos )xx 例8. 求求.dcoscosln2xxx解解: 原式 =tanlncosxxxxdtan2xxcoslntan xxd) 1(sec2xxcoslntan Cxx tanlncosd(tan )xx tanlncostand(lncos )xx
7、xx 例9. 求求.dxex解解: 令, tx则,2tx ttxd2d 原式tettd2tet (2Cxex)1(2, tu tev )teC令解法一）解法一）: 令,22axu, 1 v则,22axxuxv 22axxxaxxd22222axxxaxaaxd22222)(22axxxaxd2222d2axxa 原式 =2221axxCaxxa)(ln2222xaxd22例10. 求求. )0(d22axax解法二）解法二）: 令, ),(,tan22ttax则22222tanataaxtasec原式sec d( tan )atat 23secdatt . )0(d22axax22sec ta
8、ntan d(sec )attatt 222sec tantansec dattattt 222sec tansec1 sec dattattt 2232sec tansecdsec dattattatt2sec d(tan )att 例10. 求求例11. 求求.)(d22nnaxxI解解: 令,)(122naxu, 1 v则,)(2122naxxnuxv nIxaxxnnd)(21222naxx)(22xaxnnd)(2122naxx)(22nIn2122nIan得递推公式nnnIannaxxanI22221212)(21222)(aaxnaxx)(22说明:递推公式nnaxxI)(d22
9、已知CaxaIarctan11利用递推公式可求得.nI例如,3I2222)(41axxa2243Ia2222)(41axxa243a22221axxa1221Ia2222)(41axxa22483axxaCaxaarctan835nnnIannaxxanI22221212)(21例12. 证明递推公式证明递推公式)2(1tandtan21nInxxxInnnn证证:xxxInnd) 1(sectan22)d(tantan2xxn1tan1nxn2nI2nI注注:0IIn或1I0I,Cx1ICx cosln例13. 已知已知)(xf的一个原函数是,cosxx求.d)(xxfx 解解:xxfxd)
10、( )(dxfx)(xfxxxfd)(xxxcosCxxcosxsinCxxcos2说明说明: 此题若先求出)(xf 再求积分反而复杂.xxfxd)(xxxxxxdcos2sin2cos2例14. 求求sind(cos )ttetet .d xI23)1 (2x解法解法1 先换元后分部令tan ,0,2xt t 则teIt3secttdsec2ttetdcostetsinttetdsintetsinttetdcostetcos故CettIt)cos(sin2121xearctantx121x21xx211xCexarctand(sin )tet xeIxdarctan23)1 (2xxexIa
11、rctan2d11xxexxexarctan2arctan2d111)1 (11arctan2xexxICexxIxarctan2121解法2 用分部积分法用分部积分法xexarctan211xd 23)1 (2xxexarctan内容小结 分部积分公式xvuvuxvudd1. 使用原则 :xvuvd易求出,易积分2. 使用经验 :3. 题目类型 :分部化简 ;循环解出;递推公式把被积函数视为两个函数之积 ,按 “ 反对幂指三反对幂指三” 的顺序,前者为 后者为u.v反: 反三角函数对: 对数函数幂: 幂函数指: 指数函数三: 三角函数 dxxf x )( . 求2解：)(xfxd原式dxxfxf x)()(cxfxf x)()(习题1. 求求.d)(ln43xxx 44321333lnlnlnln44832xxxxxC原原式式
