1、设设),(zyxf是空间有界闭区域是空间有界闭区域上的有界上的有界函数，将闭区域函数，将闭区域任意分成任意分成n个小闭区域个小闭区域1v ，2v , ,nv ，其中，其中iv 表示第表示第i个小闭区域，也个小闭区域，也表示它的体积表示它的体积, , 在每个在每个iv上任取一点上任取一点),(iii 作乘积作乘积iiiivf ),( ，), 2 , 1(ni ，并作和，并作和, ,如果当各小闭区域的直径中的最大值如果当各小闭区域的直径中的最大值趋近于零趋近于零时，这和式的极限存在，则称此极限为函数时，这和式的极限存在，则称此极限为函数),(zyxf在闭区域在闭区域上的上的三重积分三重积分，记为，
2、记为 dvzyxf),(, ,一、三重积分的定义一、三重积分的定义3.4 三重积分的概念及直角坐标系下的计三重积分的概念及直角坐标系下的计算算即即 dvzyxf),(iiiniivf ),(lim10 .叫做体积元素叫做体积元素其中其中dv, 的平面来划分的平面来划分用平行于坐标面用平行于坐标面在直角坐标系中，如果在直角坐标系中，如果.lkjizyxv 则则三三重重积积记记为为 dxdydzzyxf),(iiiniivf ),(lim10 .积元素积元素叫做直角坐标系中的体叫做直角坐标系中的体其中其中dxdydz直角坐标系中将三重积分化为三次积分直角坐标系中将三重积分化为三次积分二、三重积分的
3、计算二、三重积分的计算xyzo D1z2z2S1S),(1yxzz ),(2yxzz ab)(1xyy )(2xyy ),(yx如图，如图，,Dxoy面上的投影为闭区域面上的投影为闭区域在在闭区域闭区域 ),(:),(:2211yxzzSyxzzS ,),(作直线作直线过点过点Dyx 穿出穿出穿入，从穿入，从从从21zz函数，则函数，则的的只看作只看作看作定值，将看作定值，将先将先将zzyxfyx),(, ),(),(21),(),(yxzyxzdzzyxfyxF上的二重积分上的二重积分在闭区间在闭区间计算计算DyxF),(.),(),(),(),(21 DyxzyxzDddzzyxfdyxF
4、 ,),()(:21bxaxyyxyD 得得 dvzyxf),(.),()()(),(),(2121 baxyxyyxzyxzdzzyxfdydx注意注意于两点情形于两点情形相交不多相交不多的边界曲面的边界曲面直线与闭区域直线与闭区域内部的内部的轴且穿过闭区域轴且穿过闭区域这是平行于这是平行于Sz 例例 1 1 化三重积分化三重积分 dxdydzzyxfI),(为三为三次积分，其中积分区域次积分，其中积分区域 为由曲面为由曲面 222yxz 及及22xz 所围成的闭区域所围成的闭区域.解解由由 22222xzyxz, 得得交交线线投投影影区区域域, 122 yx故故 ： 22222221111
5、xzyxxyxx,.),(11221122222 xyxxxdzzyxfdydxI例例2 2 化化三三重重积积分分 dxdydzzyxfI),(为为三三次次积积分分，其其中中 积积分分区区域域 为为由由曲曲面面22yxz ,2xy ,1 y, 0 z所所围围成成的的空空间间闭闭区区域域. 1101222),(yxxdzzyxfdydxI.解解. 11, 1,0:222 xyxyxz如图，如图，xyz例例 3 3 将将 1010022),(yxdzzyxfdydx按按yzx,的次序积分的次序积分.1D： 1002yxz解解1D 10100),(2dyzyxfdzdxx原式原式 1101222),
6、(xzxxdyzyxfdzdx.2D： 11222yxzxzx2D截面法的一般步骤：截面法的一般步骤：(1) 把积分区域把积分区域 向某轴向某轴（例如（例如z 轴）投影，得投轴）投影，得投影区间影区间,21cc；(2) 对对,21ccz 用过用过z轴且平行轴且平行xoy平面的平面去平面的平面去截截 ，得截面，得截面zD;(3) 计算二重积分计算二重积分 zDdxdyzyxf),( 其结果为其结果为z的函数的函数)(zF；(4)最后计算单积分最后计算单积分 21)(ccdzzF即得三重积分值即得三重积分值.z例例 4 4 计计算算三三重重积积分分 zdxdydz，其其中中 为为三三个个坐坐标标面
7、面及及平平面面1 zyx所所围围成成的的闭闭区区域域.解解（一）（一） zdxdydz,10 zDdxdyzdz1| ),(zyxyxDz )1)(1(21zzdxdyzD 原式原式 102)1(21dzzz241 .xozy111 zdxdydz解解（二）（二） zzydxdyzdz101010 zdyzyzdz1010)1( 102)1(21dzzz241 .xozy111例例 5 5 计算三重积分计算三重积分dxdydzz 2，其中，其中 是由是由 椭球面椭球面1222222 czbyax所成的空间闭区域所成的空间闭区域.: ,| ),(czczyx 1222222czbyax 原式原式
8、,2 zDccdxdydzzxyzozD解解)1()1(222222czbczadxdyzD ),1(22czab ccdzzczab222)1(.1543abc | ),(yxDz 1222222czbyax 原式原式例例 6 6 计计算算三三重重积积分分dxdydzxy 21，其其中中 由由曲曲面面221zxy ，122 zx，1 y所所围围成成.解解如图如图,将将 投投影影到到zox平平面面得得 :xzD 122 zx, 先先对对y积积分分， 再再求求xzD上上二二重重积积分分, dzzxxdxxx21221111222 dxzzxxxx221132112| )3(1 1142)21(3
9、1dxxx.4528 112221zxDdydxdzxyxz原式三重积分的定义和计算三重积分的定义和计算在直角坐标系下的体积元素在直角坐标系下的体积元素dxdydzdv （计算时将三重积分化为三次积分）（计算时将三重积分化为三次积分）三、小结三、小结思考题思考题 为为六六个个平平面面0 x，2 x，1 y，42 yx，xz ，2 z围围成成的的区区域域，),(zyxf在在 上上连连续续，则则累累次次积积分分_ dvzyxf),(.选择题选择题:;),()(201222 xxdzzyxfdydxA;),()(202212 xxdzzyxfdydxB;),()(201222 xxdzzyxfdyd
10、xC.),()(202212 xxdzzyxfdydxD一、一、 填空题填空题: :1 1、 若若 由曲面由曲面22yxz 及平面及平面1 z所围成所围成, , 则三重积分则三重积分 dxdydzzyxf),(化为三次积分是化为三次积分是 _. .2 2、 若若 是由曲面是由曲面0( cxycz),),12222 byax, ,0 z所所围成的在第一卦限内的闭区域围成的在第一卦限内的闭区域, ,则三重积分则三重积分 dxdydzzyxf),(可化为三次积分为可化为三次积分为_._.3 3、 若若10 , 10 , 10: zyx, ,则则 dxdydzzyx)(可化为三次积分可化为三次积分_,
11、_,其值为其值为_._.练练 习习 题题 4 4、若、若 : :是由是由),0(, 0, 0 hhzzx )0(2222 aayxayx及及所围成所围成, ,则三重积则三重积 分分 dvzyxf),(可化为：可化为：(1)(1) 次序为次序为xyz的三次积分的三次积分_._.(2)(2)次序为次序为zxy的三次积分的三次积分_._. (3) (3)次序为次序为yzx的三次积分的三次积分_._.二、计算二、计算 dxdydzzxy32, ,其中其中 是由曲面是由曲面xyz , ,与平与平 面面01, zxxy和和所围成的闭区域所围成的闭区域 . .三、计算三、计算 xzdxdydz, ,其中其中
12、 是曲面是曲面1, 0 yyzz, ,以及抛物柱面以及抛物柱面2xy 所围成的闭区域所围成的闭区域. .四、计算四、计算 dvyx221, ,其中其中 是由六个顶点是由六个顶点 ),0 , 0 , 2(),2 . 1 . 1(),0 , 1 , 1(),0 , 0 , 1(DCBA )4 , 2 , 2(),0 , 2 , 2(FE组成的三棱锥台组成的三棱锥台. .一、一、1 1、 111112222),(yxxxdzzyxfdydx； 2 2、 cxyaxbadzzyxfdydx0100),(22； 3 3、 101010)(dzzyxdydx，23； 4 4、 hxaxaadzzyxfdydx020),(22， 22200),(xaxaahdyzyxfdxdz； 22220022020),(),(yahaayayahadxzyxfdzdydxzyxfdzdy练习题答案练习题答案二二、 3641. .三三、 0 0. .四四、 2ln. .
