1、oDrrr2211()22rdrdrd21()2rdrddrd212drddr d当与均充分小时，略去高阶项 （ ）,drdrd.)sin,cos(),( DDrdrdrrfdxdyyxf 一、利用极坐标系计算二重积分一、利用极坐标系计算二重积分.)sin,cos()()(21 rdrrrfd ADo)(1 r)(2 r Drdrdrrf )sin,cos(二重积分化为二次积分的公式（）二重积分化为二次积分的公式（）1)极点极点O在积分区域在积分区域D的外部的外部 区域特征如图区域特征如图, ).()(21 r区域特征如图区域特征如图, ).()(21 r.)sin,cos()()(21 rd
2、rrrfd Drdrdrrf )sin,cos(AoD)(2r)(1rAoD)(r.)sin,cos()(0 rdrrrfd二重积分化为二次积分的公式（）二重积分化为二次积分的公式（）, ).(0 r Drdrdrrf )sin,cos(2)极点极点O在积分区域在积分区域D的边界上的边界上 区域特征如图区域特征如图 Drdrdrrf )sin,cos(.)sin,cos()(020 rdrrrfd极坐标系下区域的面积极坐标系下区域的面积. Drdrd 二重积分化为二次积分的公式（）二重积分化为二次积分的公式（）).(0 rDoA)(r,2 03)极点极点O在积分区域在积分区域D的内部的内部 区
3、域特征如图区域特征如图例例1 1 写写出出积积分分 Ddxdyyxf),(的的极极坐坐标标二二次次积积分分形形式式，其其中中积积分分区区域域,11| ),(2xyxyxD 10 x.1 yx122 yx解解在极坐标系下在极坐标系下 sincosryrx所所以以圆圆方方程程为为 1 r,直直线线方方程程为为 cossin1 r, Ddxdyyxf),(.)sin,cos(201cossin1 rdrrrfd解解在极坐标系下在极坐标系下D：ar 0， 20.dxdyeDyx 22 arrdred0202).1(2ae 2ex的原函数不是初等函数的原函数不是初等函数 , 故本题无法用直角故本题无法用
4、直角由于由于坐标计算坐标计算.例例3 3 求求广广义义积积分分 02dxex.解解| ),(2221RyxyxD 2| ),(2222RyxyxD 0, 0 yx0 ,0| ),(RyRxyxS 显显然然有有 21DSD , 022 yxe 122Dyxdxdye Syxdxdye22.222 Dyxdxdye1D2DSS1D2DRR2又又 SyxdxdyeI22 RyRxdyedxe0022;)(202 Rxdxe 1I 122Dyxdxdye Rrrdred0022);1(42Re 同理同理 2I 222Dyxdxdye);1(422Re 当当 R时时,41 I,42 I故故当当 R时时,
5、4 I即即 20)(2dxex4 ,所求广义积分所求广义积分 02dxex2 .,21III );1(4)()1(4222220RRxRedxee 例例 4 4 计算计算dxdyyxD)(22 ，其，其 D为由圆为由圆yyx222 ，yyx422 及直线及直线yx3 0 ，03 xy 所围成的平面闭区域所围成的平面闭区域.解解32 61 sin4 r sin2 rdxdyyxD)(22 36sin4sin22rdrrd).32(15 yyx422 yyx222 03 yx03 xy例例 5 5 计算二重积分计算二重积分 Ddxdyyxyx2222)sin(,其中积分区域为其中积分区域为41|
6、),(22 yxyxD.解解由对称性，可只考虑第一象限部分由对称性，可只考虑第一象限部分， 注意：注意：被积函数也要有对称性被积函数也要有对称性. Ddxdyyxyx2222)sin(4 12222)sin(Ddxdyyxyx 210sin42rdrrrd. 4 14DD 1D例例 6 6 求曲线求曲线 )(2)(222222yxayx 和和222ayx 所围成的图形的面积所围成的图形的面积.解解根根据据对对称称性性有有 14DD 在在极极坐坐标标系系下下)(2)(222222yxayx ,2cos2 ar ,222arayx 1D由由 arar 2cos2, 得得交交点点)6,( aA, 所
7、求面积所求面积 Ddxdy 14Ddxdy 2cos2064aardrd).33(2 a例例7.7.求球体求球体22224azyx被圆柱面被圆柱面xayx222)0( a所截得的所截得的( (含在柱面内的含在柱面内的) )立体的体积立体的体积. . 解解: : 设设由对称性可知由对称性可知20,cos20:arDdd4422rrraVD20d4cos2022d4arrrad)sin1 (3322033a)322(3323axya2DOcos2rxyza2O( , ), ( , ),max ( , ), ( , ),min ( , ), ( , ),sgn ( , )( , )DDDDDf x
8、y df x y df x y g x ydf x y g x ydf x yg x yd等的被积函数均应当做分段（分区域）函数看待，利用积分的可加性分区域进行。注：形如积分注：形如积分二重积分在极坐标下的计算公式二重积分在极坐标下的计算公式（在积分中注意使用（在积分中注意使用对称性对称性）二、小结二、小结 Drdrdrrf )sin,cos(.)sin,cos()()(21 rdrrrfd.)sin,cos()(0 rdrrrfd.)sin,cos()(020 rdrrrfd 交交换换积积分分次次序序: ).0(),(cos022 adrrfdIa思考题思考题,cos022: arDoxy思
9、考题解答思考题解答 cosar Daararccos ararccos .),(arccosarccos0 araradrfdrI 一、一、 填空题填空题: :1 1、 将将 Ddxdyyxf),(, ,D为为xyx222 , ,表示为极坐表示为极坐标形式的二次积分标形式的二次积分, ,为为_._.2 2、 将将 Ddxdyyxf),(, ,D为为xy 10, ,10 x, ,表表示为极坐标形式的二次积分为示为极坐标形式的二次积分为_._.3 3、 将将 xxdyyxfdx32220)(化为极坐标形式的二化为极坐标形式的二次积分为次积分为_._.4 4、 将将 2010),(xdyyxfdx化
10、为极坐标形式的二次积分化为极坐标形式的二次积分为为_._.练练 习习 题题5 5、 将将 xxdyyxdx221)(2210化为极坐标形式的二次积化为极坐标形式的二次积分为分为_,_,其值为其值为_._.二、二、 计算下列二重积分计算下列二重积分: : 1 1、 Ddyx )1ln(22, ,其中其中D是由圆周是由圆周122 yx 及坐标轴所围成的在第一象限内的区域及坐标轴所围成的在第一象限内的区域. . 2 2、 Ddyx )(22其中其中D是由直线是由直线xy , , )0(3, aayayaxy所围成的区域所围成的区域. . 3 3、 DdyxR 222, ,其中其中D是由圆周是由圆周
11、Rxyx 22所围成的区域所围成的区域. . 4 4、 Ddyx 222, ,其中其中D: :322 yx. .三、试将对极坐标的二次积分三、试将对极坐标的二次积分 cos2044)sin,cos(ardrrrfdI交换积分次序交换积分次序. .四、设平面薄片所占的闭区域四、设平面薄片所占的闭区域D是由螺线是由螺线 2 r上一段上一段 弧弧( (20 ) )与直线与直线2 所围成所围成, ,它的面密度为它的面密度为22),(yxyx , ,求这薄片的质量求这薄片的质量. .五、五、 计算以计算以xoy面上的圆周面上的圆周axyx 22围成的闭区域为围成的闭区域为底，而以曲面底，而以曲面22yx
12、z 为顶的曲顶柱体的体积为顶的曲顶柱体的体积. .一、一、1 1、rdrrrfd cos2022)sin,cos(； 2 2、 1)sin(cos020)sin,cos(rdrrrfd；3 3、 sec2034)(rdrrfd；4 4、 sectansec40)sin,cos(rdrrrfd；5 5、 2cossin0401rdrrd, ,12 . .二、二、1 1、)12ln2(4 ； 2 2、414a；练习题答案练习题答案 3 3、)34(33 R； 4 4、 25. .三、三、 4420)sin,cos(drrfrdrIa araraadrrfrdr2arccos2arccos22)sin,cos(. .四、四、405 . .五、五、4323a . .
