1、一、求极限1. 洛必达法则(首选)2. 等价无穷小3. 无穷小量乘有界量4. 两个重要极限(也能用洛必达法则)5. 分段函数求极限(求左右极限)6. 定积分的定义求极限7. 利用泰勒公式求极限8. 极限的反问题(已知极限值,求未知参数)1.0)(lim)(lim) 1xFxfaxax)()(lim)3xFxfax存在 (或为 )()(lim)()(limxFxfxFxfaxax,)()()()内可导在与axFxf20)( xF且定理定理型未定式型未定式00(洛必达法则) 型未定式型未定式)(lim)(lim) 1xFxfaxax)()(lim)3xFxfax存在 (或为)()(limxFxfa
2、x定理定理)()(limxFxfax(洛必达法则),)()()()内可导在与axFxf20)( xF且洛必达法则洛必达法则型00,1 ,0型型0型00型gfgf1fgfggf1111gfy 令取对数例. 求求.arctanlim12xxx解解: 原式 limx型00221limxxx1211x21x11lim21xx思考思考: 如何求 nnn12arctanlim( n 为正整数) ?型310)1sin1tan1(1limxxxx 原式原式310sin1sintan1limxxxxx 301sin1sintanlimxxxxx 301cos)sin1()cos1(sinlimxxxxxx xx
3、xxxxxcos)sin1(1cos1sinlim20 21.21e 原式原式.)sin1tan1(lim310 xxxx 求求例例常用等价无穷小常用等价无穷小: :,0时时当当 xxsin;xxtan;xxcos1;221xxarctan;xxarcsin;x)1ln(x;x1xe;x1xa;lnax1)1 (x;x2. 等价无穷小求极限定理定理( (等价无穷小替换定理等价无穷小替换定理) ).limlim,lim, 则则存在存在且且设设例例.cos12tanlim20 xxx 求求解解.22tan,21cos1,02xxxxx 时时当当22021)2(limxxx 原式原式. 8 不能滥用
4、等价无穷小代换不能滥用等价无穷小代换.对于代数和中各无穷小不能分别替换对于代数和中各无穷小不能分别替换. .注意注意.sintanlim30 xxxx30limxxxx原式30)cos1 (tanlimxxxx2132210limxxxx例例. 求解解: 原式 解1limsinxxx求) ( , 01 lim 无穷小量因为xx) ( , ),( 1 |sin|有界量xx . 0sin1lim xxx故例例. 3. 有界量与无穷小量的乘积有界量与无穷小量的乘积 4. 两个重要极限两个重要极限1sinlim) 1 (0e)11(lim)2(或e1)1(lim0注注: 代表相同的表达式例例. 求极限
5、求极限 xxxx193lim xxxxx111319lim xxxxx 313311lim9990 e xxxx193lim 例例.1,2cos1,1)(的连续性的连续性讨论讨论 xxxxxf 解解改改写写成成将将)(xf 1, 111,2cos1,1)(xxxxxxxf.), 1(),1 , 1(),1,()(内内连连续续在在显显然然 xf5. 5. 分段函数求极限分段函数求极限( (求左右极限求左右极限) ),1时时当当 x )(lim1xfx )1(lim1xx. 2 )(lim1xfx 2coslim1xx. 0)(lim)(lim11xfxfxx .1)(间间断断在在故故 xxf,1
6、时时当当 x )(lim1xfx 2coslim1xx. 0 )(lim1xfx )1(lim1xx. 0 11lim( )lim( )1xxf xf xf.1)(连连续续在在故故 xxf.), 1()1,()(连连续续在在 xf6. 用定积分的定义求极限例例. 求极限求极限 nnnnnn)1(sin2sinsin1lim解解: 原式原式 nnnnnnnnsin)1(sin2sinsin1lim ninnin1sin1limnninin 1sinlim1012sin xdx ix i 121lim)2(ppppnnnnnipn1lim1nixxpd10iix例例. 求下列极限求下列极限:nin
7、nin111lim) 1 (121lim)2(ppppnnn解解:ninnin111lim) 1 (nninin11lim1iixxxd110 x01ni 1ni解解:)(! 3! 21332xoxxxex )(! 3sin33xoxxx 301xxxxexx)(sinlim333332013321xxxxoxxxoxxxx)()(!)(!lim3333032xxoxxx)(!lim317. 利用泰勒公式求极限301xxxxexx)(sinlim例例此题用洛必达法则求解也很方便洛必达法则求解也很方便.（一般不推荐采用）040(arcsin )limsinxxtt dtx 004400(arcs
8、in )(arcsin )limlimsinxxxxtt dttt dtxx 30arcsinlim4xxxx 32201lim24xxxx 124 220111lim12xxx 32201lim24xx 例例解解:在实际中往往需要灵活地运用以上的一些方法求解问题在实际中往往需要灵活地运用以上的一些方法求解问题.如果已知函数的极限值，而函数表达式中如果已知函数的极限值，而函数表达式中含有待定的常数，要求把待定常数定出来，我含有待定的常数，要求把待定常数定出来，我们把这类问题叫做极限的反问题。这类问题的们把这类问题叫做极限的反问题。这类问题的解法，主要涉及到对极限概念的理解。解法，主要涉及到对极
9、限概念的理解。例例. .).(, 1)(lim, 2)(lim,)(023xpxxpxxxpxpxx求求且且是多项式是多项式设设 解解:, 2)(lim23 xxxpx),(2)(23为待定系数为待定系数其中其中可设可设babaxxxxp , 1)(lim0 xxpx又又)0(2)(23 xxbaxxxxp. 1, 0 ab从从而而得得xxxxp 232)(故故23lim8.xaxbxbabxa 已已知知，求求 ， 的的值值例例. .64416aabb 或或例例. .).12111(lim222nnnnn 求求解解,11112222 nnnnnnnnnnnnnn111limlim2 又又, 1
10、 22111lim1limnnnnn , 1 由夹逼定理得由夹逼定理得. 1)12111(lim222 nnnnn9. 极限存在定理极限存在定理(夹逼定理也是求极限的一种方法夹逼定理也是求极限的一种方法)例例. .)(333的极限存在的极限存在式式重根重根证明数列证明数列nxn 证证,1nnxx 显然显然 ;是单调递增的是单调递增的nx, 331 x又又, 3 kx假定假定kkxx 3133 , 3 ;是有界的是有界的nx.lim存在存在nnx ,31nnxx ,321nnxx ),3(limlim21nnnnxx ,32AA 2131,2131 AA解得解得(舍去舍去).2131lim nnx10.应用数列的递归关系求极限
