1、工程优化设计黄正东二0一二年九月内容提要 工程优化问题建模工程优化问题建模 优化数学理论优化数学理论 一维搜索方法一维搜索方法 无约束问题直接搜索方法无约束问题直接搜索方法 无约束问题间接接搜索方法无约束问题间接接搜索方法 约束问题直接搜索方法约束问题直接搜索方法 线性规划与二次规划问题求解线性规划与二次规划问题求解 约束问题间接搜索方法约束问题间接搜索方法 特殊优化问题求解方法特殊优化问题求解方法 启发式算法启发式算法 优化计算与软件系统优化计算与软件系统工程优化问题建模工程优化问题模型工程优化问题模型Find: x=(x1,x2,xn) RnMinimize: F(x)=Subject t
2、o: hi(x)=0, i=1,2, p gi(x)0, i=1,2, q min F(x)s. t. hi(x)=0, i=1,2, p gi(x)0, i=1,2, q )(),.,(),(21xfxfxfmFind xMinimize F(x)Subject to h(x)=0 and g(x) 0 工程优化问题建模工程优化问题模型工程优化问题模型: 三要素三要素1. 设计变量设计变量 x=(x1,x2,xn)2. 目标函数目标函数 F(x)=(f1(x), f2(x), , fm(x)3. 约束条件约束条件 等式约束等式约束 hi(x)=0, i=1,2, p不等式约束不等式约束 gi
3、(x)0, i=1,2, q优化问题分类优化问题分类1. 单目标优化问题单目标优化问题2. 多目标优化问题多目标优化问题工程优化问题建模工程优化问题模型举例一工程优化问题模型举例一: 篱笆围墙设计篱笆围墙设计 Find: x=(L,W)Minimize: F(x)-(+W2/4)Subject to: h(x)=2L+ W=400 g1(x)=-L0 g2(x)=-W0工程优化问题建模工程优化问题模型举例二工程优化问题模型举例二: 阶梯型悬臂粱设计阶梯型悬臂粱设计 截面尺寸截面尺寸弹性模量弹性模量最大容许应力最大容许应力总长总长工程优化问题建模工程优化问题模型举例二工程优化问题模型举例二: 阶
4、梯型悬臂粱设计阶梯型悬臂粱设计 参见参见工程优化问题建模Find: x=(h1, h2, , h6)Minimize: F(x)=( 1(x), y6(x), V(x) )Subject to: bi=hi/20, li=hi/10, i hi 70, -hi-5 i=1,2,6.li1=PLh1/(2I1)y661iiiilhbV6工程优化问题建模多目标优化问题的解多目标优化问题的解被称为被称为“非劣解非劣解”:即每个目标的减小方向上即每个目标的减小方向上均无其它解均无其它解.解可有多个解可有多个.目标目标-1-1目标目标-2-2设计变量设计变量-1-1设计变量设计变量-2-2工程优化问题建
5、模工程优化问题模型举例三工程优化问题模型举例三: 传递转矩的等截面轴的最优设计传递转矩的等截面轴的最优设计1. 1. 设计变量设计变量 x=(x1, x2)=(d, l )2. 2. 设计目标设计目标 轴的质量最小轴的质量最小 F(x)=W= *( d2/4)*l工程优化问题建模工程优化问题模型举例三工程优化问题模型举例三: 传递转矩的等截面轴的最优设计传递转矩的等截面轴的最优设计3. 3. 约束条件约束条件(1)(1) 扭转应力上界限制扭转应力上界限制 =MT/WT MT 轴所传递的最大转矩轴所传递的最大转矩; ;WT 抗扭截面系数抗扭截面系数, ,对实心轴对实心轴: :WT= d 3/16
6、. 许用扭转应力许用扭转应力. .g1(x)=16MT / d 3 - 0.工程优化问题建模工程优化问题模型举例三工程优化问题模型举例三: 传递转矩的等截面轴的最优设计传递转矩的等截面轴的最优设计(2)(2) 扭转变形上界限制扭转变形上界限制 =MT*l /(G*Jp) 扭转角扭转角; ;G 材料的剪切弹性模数材料的剪切弹性模数; ;Jp p 极惯性矩极惯性矩, , 对实心轴对实心轴 Jp= d4/32 许用扭转角许用扭转角g2(x)=32MT*l / Gd 4 - 0. (3) (3) 几何尺寸约束几何尺寸约束dmin d dmaxlmin l lmax工程优化问题建模工程优化问题模型举例四
7、工程优化问题模型举例四: 保证动力稳定性的变截面高转速轴保证动力稳定性的变截面高转速轴的最优设计的最优设计 1. 1. 设计变量设计变量 x=(d1, d2)2. 2. 设计目标设计目标 轴的质量最小轴的质量最小 F(x)=W= *( l /4)* (2d12+ d22 )工程优化问题建模工程优化问题模型举例四工程优化问题模型举例四: 保证动力稳定性的变截面高转速轴保证动力稳定性的变截面高转速轴的最优设计的最优设计 3. 3. 约束条件约束条件(1) (1) 旋转角速度旋转角速度 要小于临界转速要小于临界转速 c c: : 达到临界转速时达到临界转速时, , 轴便处于共振状态轴便处于共振状态.
8、 . 临界转速临界转速 c数数值上等于值上等于 轴的横向振动轴的横向振动( (弯曲振动弯曲振动) )的固有频率的固有频率 n: n= g-重力加速度重力加速度g= = , , E E 是材料弹性模量是材料弹性模量Q是中间轮子质量是中间轮子质量)38. 21(67.1042413ddEQl工程优化问题建模工程优化问题模型举例四工程优化问题模型举例四: 保证动力稳定性的变截面高转速轴保证动力稳定性的变截面高转速轴的最优设计的最优设计 令令: : n= K, K1, 安全系数安全系数, , 给定给定. .这样得约束条件这样得约束条件: :(2) (2) 几何尺寸约束几何尺寸约束d1,min d1 d
9、1,maxd2,min d2 d2,max0)38. 21(67.10),(4241223211ddKQlEgddh工程优化问题建模工程优化问题模型举例五工程优化问题模型举例五: 压杆的最优设计压杆的最优设计 P1. 1. 设计变量设计变量 x=(d1, d2, l )2. 2. 设计目标设计目标 体积最小体积最小 F(x)=V=( /4)* (d22- d12 )* l 3. 3. 约束条件约束条件(1) (1) 应力不超过材料的弹性极限应力不超过材料的弹性极限: : 即单位截面的受力大小受限制即单位截面的受力大小受限制, , 否则否则会出现断裂会出现断裂. . 与长度无关与长度无关. .0
10、)(4),(2122211ddPddg 1, 1, 安全系数安全系数. .工程优化问题建模工程优化问题模型举例五工程优化问题模型举例五: 压杆的最优设计压杆的最优设计 (2)(2) 载荷不超过弯曲临界载荷载荷不超过弯曲临界载荷: :根据欧拉压杆公式根据欧拉压杆公式, , 对于两端均为铰支的对于两端均为铰支的压杆压杆, , 弯曲临界载荷弯曲临界载荷( (与长度有关与长度有关):):22lEJPcE材料弹性模量材料弹性模量; ;J横截面的最小惯性矩横截面的最小惯性矩; ;EJ为弯曲刚度为弯曲刚度. .对于不同的端部约束对于不同的端部约束, , 上式为上式为: : 22) (lEJPc 1, , 安
11、全系数安全系数. . 工程优化问题建模工程优化问题模型举例五工程优化问题模型举例五: 压杆的最优设计压杆的最优设计 (3)(3) 几何尺寸约束几何尺寸约束d1,min d1 d1,max, d2,min d2 d2,max. lmin l lmax Find Find x=(d1, d2, l ) Minimize Minimize F(x)=( /4)* (d22- d12 )* l Subject to Subject to0)(4),(2122211ddPddgd1,min d1 d1,max, d2,min d2 d2,max. lmin l lmax工程优化问题建模工程优化问题模型举
12、例六工程优化问题模型举例六: 汽车转向机构最优设计汽车转向机构最优设计 Ctg=OC/LCtg=OD/LOC-OD=KCtg - Ctg=K/L左轮与左轮与AE杆固定杆固定右轮与右轮与BF杆固定杆固定 = () 随随 变化变化,选择选择ABEF使使 逼近逼近AE摆动摆动 角角 是是右轮与左右轮与左轮同心的角度轮同心的角度四轮都在同心圆上四轮都在同心圆上工程优化问题建模工程优化问题模型举例六工程优化问题模型举例六: 汽车转向机构最优设计汽车转向机构最优设计 由轮子的同心运动要求由轮子的同心运动要求, , 得出理想参数关系得出理想参数关系: :ctg -ctg =K/L所以所以, , =f( )=
13、ctg-1(ctg -K/L)然而然而, , 四联杆能够产生的参数关系是四联杆能够产生的参数关系是: :m=AE=BF 工程优化问题建模工程优化问题模型举例六工程优化问题模型举例六: 汽车转向机构最优设计汽车转向机构最优设计 1. 1. 设计变量设计变量 X=( 0, m )2.2. 设计目标设计目标偏差的加权和最小偏差的加权和最小: :Rmin前外轮最小转弯半径前外轮最小转弯半径. .0工程优化问题建模工程优化问题模型举例六工程优化问题模型举例六: 汽车转向机构最优设计汽车转向机构最优设计 3. 3. 约束条件约束条件四杆机构的转动角四杆机构的转动角 不宜太小不宜太小, , 取取 min=4
14、00, , 据此据此, , 有有: :工程优化问题建模工程优化问题模型举例七工程优化问题模型举例七: 离散变量优化例子离散变量优化例子 旅行商问题旅行商问题(Traveling Salesman Problem, TSP)min s.t. jiijijxd1 , 0,.,2 , 1 , 12 , 1,.,2 , 1 , 1,.,2 , 1 , 1,11ijsjiijniijnjijxnsnssxnjxnix不能有子回路不能有子回路12341234x12=1x23=1x34=1x41=1其余 xij=0 x13=1x32=1x24=1x41=1其余 xij=0工程优化问题建模工程优化问题建模mi
15、ns. t. 工程优化问题建模工程优化问题模型举例七工程优化问题模型举例七: 离散变量优化例子离散变量优化例子 能力约束机器调度问题能力约束机器调度问题(Capacitated machine scheduling)min Ts.t. n个加工量为d1,d2,dn的产品在一台机器上加工,机器在第t个时间段(1天或1周)的工作能力为ct, 求完成所有加工的最少时间段数.1 , 0,.,2 , 1 ,.,2 , 1 , 111ittniitiTtitxTtcxdnixc1c3c2d1d2x23=1, x2t=0, t3 这里目标函数这里目标函数T 比较特殊比较特殊, ,没有表达式没有表达式. .工
16、程优化问题建模工程优化问题模型举例八工程优化问题模型举例八: 结构优化设计例子结构优化设计例子 工程优化问题建模工程优化问题模型举例八工程优化问题模型举例八: 结构优化设计例子结构优化设计例子 离合器盖结构离合器盖结构 工程优化问题建模工程优化问题模型举例八工程优化问题模型举例八: 结构优化设计例子结构优化设计例子 离合器盖结构离合器盖结构 1. 1. 设计变量设计变量X=(Z1,Z2,Z6,t), t厚度厚度 Zi曲线高度坐标曲线高度坐标2. 2. 设计目标设计目标工程优化问题建模工程优化问题模型举例八工程优化问题模型举例八: 结构优化设计例子结构优化设计例子 离合器盖结构离合器盖结构 3.
17、 3. 约束条件约束条件 忽视第一强度理论中的脆断准则忽视第一强度理论中的脆断准则工程优化问题建模工程优化问题模型举例八工程优化问题模型举例八: 结构优化设计例子结构优化设计例子 3. 3. 约束条件约束条件 第三强度理论中的第三强度理论中的屈服准则屈服准则 )( fCu外力应力xuxuu通常变换为位移的方程通常变换为位移的方程, ,变量减少变量减少f s=0f s=0弹性力学方程弹性力学方程 表征物体总势能达到最小的一种力平衡状态表征物体总势能达到最小的一种力平衡状态：SdufdCSdufduETT 21 21)(应变能应变能外力作功外力作功总势能总势能在外力做功条件下在外力做功条件下, ,
18、刚体产生刚体产生动能动能与与势能势能, ,弹性体还产生弹性体还产生应变能应变能. .1.1.在静态时在静态时, ,动能为零动能为零, , 剩下剩下势能与应变能势能与应变能.2. 在静态平衡时在静态平衡时, 势能达到最小值势能达到最小值. ( (直观地讲直观地讲, ,在最低点时才不会自动往高处运动在最低点时才不会自动往高处运动) )上式有个符号变化上式有个符号变化, ,不影响极值性不影响极值性KU=F工程优化问题建模工程优化问题模型举例八工程优化问题模型举例八: 结构优化设计例子结构优化设计例子 结构优化分类结构优化分类: 尺寸优化尺寸优化, 形状优化形状优化, 拓扑优化拓扑优化工程优化问题建模
19、工程优化问题模型举例八工程优化问题模型举例八: 结构优化设计例子结构优化设计例子 工程优化问题建模工程优化问题模型举例八工程优化问题模型举例八: 结构优化设计例子结构优化设计例子 最小柔度的拓扑优化问题最小柔度的拓扑优化问题Find X=(x1, x2, , xn) 单元密度单元密度Minimize C=FTUSubject to V= xivi V* - -体积约束体积约束 F=KU - -结构平衡方程结构平衡方程 0 xi 1xiK 为刚度矩阵为刚度矩阵, K=K(X)F 为载荷向量为载荷向量, U 位移位移, vi 单元单元i体积体积C 为结构总体柔度为结构总体柔度工程优化问题建模工程优
20、化问题建模随机优化模型混凝土钢筋模壳M ：在95%概率下拟承受的弯矩。取值在105, 2*105区间服从均匀分布。fc ：混凝土强度,取值在25, 35MPa区间服从均匀分布。fs ：钢筋强度,取值在500, 550MPa区间服从均匀分布。价格价格随机优化模型DV： x1:=b, x2:= d, x3:= As， 确定量目标：成本)(2)()(213213xxCxxxCxCXffcs约束：强度要求钢筋与混凝土比例要求几何范围工程优化问题建模工程优化问题模型举例九工程优化问题模型举例九: 动力系统控制动力系统控制优化变量优化变量:)(),(ttF目标目标: L=x(tf)约束约束: y(tf)=
21、0, m(tf) 以及ODE工程优化问题建模最优控制数学模型最优控制数学模型 0),( )( )(),(,( . .)(),(),()( min00010ffttffuttxUtuxtxtuxfdtdxtsdttutxfttxuJ状态方程状态方程控制量约束控制量约束终点约束终点约束终点目标终点目标过程性能过程性能x1, x2 火箭位置坐标火箭位置坐标x3=dx1/dt, x4 =dx2/dtx5 火箭质量火箭质量u1, u2 火推力向量方向余弦火推力向量方向余弦u3=-dx5/dt 质量流失率质量流失率c 有效排气速度有效排气速度g 重力加速度重力加速度0)(, 0)( 1,0| ),( ,
22、, . .)( min15155121222221max330504030201353254315342313010txxxtxxxuuuuuUxxxxxxudtdx-guuxcdtdxuuxcdtdxxdtdxxdtdxtsdtxuJttttu，工程优化问题建模不随时间变化不随时间变化取定值时,运动方向与推力方向可能不一致!工程优化问题建模工程优化问题建模xM=vx(t)yM=vy(t)工程优化问题建模工程优化问题建模旋度能量耗散矩阵点乘工程优化问题建模振动系统的材料质量分布优化振动系统的材料质量分布优化p-轴向刚度、 材料密度寻找最优材料质量分布使寻找最优材料质量分布使最小特征值最大、最小
23、特征值最大、最大特征值最小！最大特征值最小！+nkxkhxhxphmkkkkkkk,.,2 , 1)()(工程优化问题建模 0 0)( 0)( :0)( :1.0)( :2 0)( :1 , 00)(0)(0)()(0) () (0) () (11111111211122122233311011122210111111111112121nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkumuuumuuuumuuunkumuuunkumuuukumuuukuuuumuuuumuuuumhuuphuupuhpu
24、puuhpupu+2工程优化问题建模简化约束方程的形式：简化约束方程的形式：同乘同乘A需要求mkvv工程优化问题建模采用另外一种变换：采用另外一种变换：这样，约束都是线性的。工程优化问题建模xxAxxxAxxIATT/0)(, xs.t.优变优变: :, xLagrange转换转换必要不充分必要不充分,但极值但极值是是的上下界的上下界xTx=1二次方程组一次方程组特殊性特殊性: :求鞍点求鞍点工程优化问题建模寻找最优材料质量分布使最小特征值最大！寻找最优材料质量分布使最小特征值最大！取取工程优化问题建模寻找最优材料质量分布使最小特征值最大！寻找最优材料质量分布使最小特征值最大！取取根据根据(
25、(a) )在在a=a0附近的附近的极大极小性决定是极大极小性决定是1还是还是4max min -lamda-1min max -lamda-n这里只用到一阶导数，没用到二阶导数，无法直接确定这里只用到一阶导数，没用到二阶导数，无法直接确定是最大还是最小特征值。需要其它信息来判断。是最大还是最小特征值。需要其它信息来判断。工程优化问题建模寻找最优材料质量分布使最小特征值最大！寻找最优材料质量分布使最小特征值最大！在在n段情况：段情况：工程优化问题建模寻找最优材料质量分布使最小特征值最大！寻找最优材料质量分布使最小特征值最大！工程优化问题建模寻找最优材料质量分布使最小特征值最大！寻找最优材料质量分
26、布使最小特征值最大！工程优化问题建模寻找最优材料质量分布使最小特征值最大！寻找最优材料质量分布使最小特征值最大！+)(,)(kkkkkxhmkhxhxp工程优化问题建模寻找最优材料质量分布使最小特征值最大！寻找最优材料质量分布使最小特征值最大！工程优化问题建模寻找最优材料质量分布使最小特征值最大！寻找最优材料质量分布使最小特征值最大！负质量负质量工程优化问题建模寻找最优材料质量分布使最小特征值最大！寻找最优材料质量分布使最小特征值最大！a1a231极大极小马鞍点非极点马鞍点非极点14极小极大（无图）0转为附近处的非负值结果：质量集中于一点工程优化问题建模寻找最优材料质量分布使最小特征值最大！寻
27、找最优材料质量分布使最小特征值最大！工程优化问题建模x1, x2, x3, , xmf(x)g(x)h(x)y1y1y2y2y3y3yi=yi(x1,x2,xm; y1,y2, yi-1, yi+1,yn)x1xmy1ynyixyyiSoftware近似计算精确计算工程优化问题建模yi=yi(x1,x2,xm; y1,y2, yi-1, yi+1,yn) Y= (x;Y) Y(k+1)= (x;Y(k)不动点迭代算法工程优化问题建模Samplingxyyi工程优化问题建模优化模型总结优化模型总结设计变量设计变量: 连续、离散。连续、离散。目标函数：目标函数：单目标、多目标。单目标、多目标。目标与约束与设计变量的函数关系：目标与约束与设计变量的函数关系：- 数学表达式：可微、不可微（分段函数）数学表达式：可微、不可微（分段函数）- 递归迭代过程：递归迭代过程：- 分析程序：有限元分析分析程序：有限元分析- 仿真程序：离散事件仿真、连续系统仿真仿真程序：离散事件仿真、连续系统仿真其他变量：其他变量：常量，中间变量，状态变量常量，中间变量，状态变量
