1、第四章第四章 系统辨识系统辨识常用输入信号常用输入信号Copyright by 东华大学信息学院24.1 随机过程的基本概念及其数学描述随机过程的基本概念及其数学描述 4.1.1 基本概念基本概念 随机过程：大量样本随机过程：大量样本 所构成的总体，其具有统计意所构成的总体，其具有统计意义上的规律性义上的规律性. 在每个孤立瞬间，在每个孤立瞬间， 的取值是的取值是随机的，一维概率密度随机的，一维概率密度 描述不同时刻描述不同时刻 取值之间的关取值之间的关系：二维概率密度系：二维概率密度 概率：概率： 三维，四维三维，四维 数字特征数字特征12( ),( ),x tx t ( )x t1( ,
2、)p x t( )x t21212( ,; , )px x t t2121212( ,; , )px x t t dx dxCopyright by 东华大学信息学院3 4.1.2 随机过程的数字特征随机过程的数字特征 均值和相关函数均值和相关函数 与与 有关的数字特征量有关的数字特征量 与与 有关的数字特征量有关的数字特征量1( , )p x t1( )( )( , )xtE x txp x t dx21212( ,; , )px x t t1212122121212( , )( ) ( )( ,; , )xR t tE x t x tx x px x t t dx dx 自相关函数：自相关
3、函数：协方差函数：协方差函数： 12112211222121212( , )( ,; , )xxxxxC t tEx ttx ttx ttx ttpx x t t dx dx 2221( )( )( )( )( )( , )xxxtEx ttx ttp x t dx均值：均值：方差：方差：Copyright by 东华大学信息学院4 4.1.3 平稳随机过程，各态遍历性平稳随机过程，各态遍历性 平稳随机过程平稳随机过程 如果一个随机过程的统计性质不随时间改变，则称它如果一个随机过程的统计性质不随时间改变，则称它为平稳随机过程为平稳随机过程. 通常考虑的统计性质：通常考虑的统计性质： 对于平稳随
4、机过程：对于平稳随机过程：( )xt12( , )xR t t12( )( )xxxtt3412( , )( , )( )xxxR t tR t tRCopyright by 东华大学信息学院5 4.1.3 平稳随机过程，各态遍历性平稳随机过程，各态遍历性 各态遍历性各态遍历性 上述统计性质为上述统计性质为“集合平均值集合平均值” 具有具有“时间平均值时间平均值”的统计性质：的统计性质： 各态遍历的平稳随机过程：各态遍历的平稳随机过程：1lim( )2TiTTxx t dtT1( ) ()lim( ) ()2TiiTTx t x tx t x tdtTxx( ) ()( )xx t x tRC
5、opyright by 东华大学信息学院6 各态遍历的平稳随机过程各态遍历的平稳随机过程 两个互相关的随机过程两个互相关的随机过程 互相关函数互相关函数 互协方差函数互协方差函数 若若则称两信号互不相关则称两信号互不相关.111lim( )( )2NTxiTTkx t dtx kTN11( )lim( ) ()21( )( )( ) ()TxiiTTN lxxkRx t x tdtTRR lx k x klNl( )( ) ()xyRE x t y t( )( ), ()( )()( )xyxyxyxyCCov x ty tEx ty tR ( )0,xyC Copyright by 东华大学
6、信息学院74.2 最优输入信号最优输入信号 合理选择辨识的输入信号合理选择辨识的输入信号是是获得好的辨识结果的获得好的辨识结果的关键之一关键之一. 为了使系统是可辨识的，输入信号必须满足一定为了使系统是可辨识的，输入信号必须满足一定的条件，其最低要求是在辨识时间内系统的动态的条件，其最低要求是在辨识时间内系统的动态必须被输入信号持续激励。也就是说，在试验期必须被输入信号持续激励。也就是说，在试验期间输入信号必须充分激励系统的所有模态间输入信号必须充分激励系统的所有模态. 更进一步，输入信号的选择应能使给定问题的辨更进一步，输入信号的选择应能使给定问题的辨识模型精度最高，这就引出了最优输入信号的
7、设识模型精度最高，这就引出了最优输入信号的设计问题。计问题。 大多数最优输入信号设计准则中都采用与大多数最优输入信号设计准则中都采用与Fisher信息矩阵相关的指标函数信息矩阵相关的指标函数 J = (M-1), 即选择输入即选择输入信号使得信号使得J最小最小.Copyright by 东华大学信息学院8 常用的常用的最优输入信号具有脉冲式自相关函数最优输入信号具有脉冲式自相关函数： 当当 N 很大时，很大时，白噪声或白噪声或 M 序列序列可近似满足这一要求可近似满足这一要求； 当当 N 不大时，并非对所得的不大时，并非对所得的 N 都能找到这种输入信号都能找到这种输入信号. 在具体在具体工程
8、应工程应用用中，选择输入信号时还应该考虑中，选择输入信号时还应该考虑以下因素：以下因素： 输入信号的功率或幅度不宜过大，以免使系统工作在输入信号的功率或幅度不宜过大，以免使系统工作在非线性区，但也不应过小，以致信噪比太小，直接影非线性区，但也不应过小，以致信噪比太小，直接影响辨识精度；响辨识精度； 输入信号对系统的输入信号对系统的“静静扰动扰动”要小，即应使正负扰动要小，即应使正负扰动机会几乎均等；机会几乎均等； 工程上要便于实现，成本低工程上要便于实现，成本低. 常用的输入信号：白噪声，常用的输入信号：白噪声，M序列等序列等jijijkuikuNNk01)()(11Copyright by
9、东华大学信息学院94.3白噪声及其产生方法白噪声及其产生方法 4.3.1 白噪声的概念白噪声的概念 白噪声过程是由一系列不相关的随机变量组成的一种白噪声过程是由一系列不相关的随机变量组成的一种理想化随机过程理想化随机过程. 白噪声过程没有白噪声过程没有“记忆性记忆性”. 数学描述：如果随机过程数学描述：如果随机过程 w(t) 满足满足则称则称该随机过程为白噪声过程该随机过程为白噪声过程.)()()()(2twtwERw0)(twEwCopyright by 东华大学信息学院10 白噪声过程白噪声过程 的平均功率谱的平均功率谱密度（自相关函数的傅立叶密度（自相关函数的傅立叶变换）：变换）： 上式
10、上式表明功率在表明功率在全频段内均匀分布全频段内均匀分布。基于这一特点，。基于这一特点，借用光学里的借用光学里的“白色光白色光”，由于白光是由各，由于白光是由各种频率种频率（颜色）的单色光混合而成，因而此信号的颜色）的单色光混合而成，因而此信号的这种这种具有平具有平坦功率谱的性质被称作是坦功率谱的性质被称作是“白色的白色的”，所以称这种噪，所以称这种噪声为声为“白噪声白噪声”. 不具有该性质的为有色噪声。不具有该性质的为有色噪声。 总结：总结：白噪声过程是一种最简单的随机过程，是均值白噪声过程是一种最简单的随机过程，是均值为为0，脉冲式自相关函数，功率谱密度为非，脉冲式自相关函数，功率谱密度为
11、非0常数的平常数的平稳随机过程。稳随机过程。2)(wS2( )( )wR Copyright by 东华大学信息学院11 近似白噪声过程：近似白噪声过程： 时域：时域： 远小于过程的时间函数远小于过程的时间函数 频域：频域： 远大于过程的截止频率远大于过程的截止频率 讨论白噪声时，还要涉及到白噪声的概率分布，服讨论白噪声时，还要涉及到白噪声的概率分布，服从正态分布的白噪声称为高斯白噪声从正态分布的白噪声称为高斯白噪声.0002, 0,)(WS0002sin)(WR0低通白噪声过程低通白噪声过程Copyright by 东华大学信息学院12 白噪声白噪声序列序列 从实验的角度讲，连续的白噪声不容
12、易产生，而离散从实验的角度讲，连续的白噪声不容易产生，而离散的白噪声较容易产生的白噪声较容易产生. 白噪声序列就是白噪声过程的一种离散形式白噪声序列就是白噪声过程的一种离散形式. 数学描述：数学描述：如果随机序列如果随机序列 两两不相关，自相关函两两不相关，自相关函数为：数为： 对应的谱密度为：对应的谱密度为：)(kw., 2, 1, 0,)(2kkRkw0, 00, 1kkk2)()(kkjwwekRSCopyright by 东华大学信息学院13 表示定理表示定理 若测量数据所含的噪声为白噪声，只需用较简单的辨若测量数据所含的噪声为白噪声，只需用较简单的辨识方法，就可得到较好的辨识结果，如
13、相关分析法和识方法，就可得到较好的辨识结果，如相关分析法和最小二乘法；最小二乘法； 工程实际中的数据所含的噪声通常是有色噪声，即噪工程实际中的数据所含的噪声通常是有色噪声，即噪声序列中每一时刻的噪声和另一时刻的噪声是相关的声序列中每一时刻的噪声和另一时刻的噪声是相关的. 表示定理阐述的问题就是将有色噪声通过白噪声描述表示定理阐述的问题就是将有色噪声通过白噪声描述. 表示定理：表示定理：可以证明：如果可以证明：如果 的谱密度的谱密度 是是 的有理函数的有理函数，那么一定存在一个成型滤波器，它的脉冲传递函数，那么一定存在一个成型滤波器，它的脉冲传递函数为为且分子、分母且分子、分母的根都在的根都在
14、z 平面的单位圆内平面的单位圆内.)( ke)(eScosddccnnnnzdzdzczczCzDzH111111111)()()(Copyright by 东华大学信息学院14 应用举例：应用举例： 设平稳有色噪声序列设平稳有色噪声序列 的自相关函数为的自相关函数为则相应的功率谱密度函数为：则相应的功率谱密度函数为：要求证明，要求证明，有色噪声序列有色噪声序列 可以看作是由方差为可以看作是由方差为1的的白噪声白噪声 驱动如下成形滤波器的输出：驱动如下成形滤波器的输出：证明：由滤波器得证明：由滤波器得假设假设 e(0)=0，并利用反复迭代，并利用反复迭代 )( ke1;, 2, 1, 0,1)
15、(22alaalRle1;,cos21)(222aaaSe)( ke ( )w k1,1)(11aazzH( )(1)( )e kae kw k( )( )(1)e kw kae k22( )( )( )( )( )0wwwwEw ttR tttCopyright by 东华大学信息学院15)1 () 1()()(1wakawkwkek则则 e(k)的自相关函数为（的自相关函数为（l =0）1121222222( )( ) ()( )(1)(1)()(1)( )(1)11eklk llklllkklR lE e k e klw kaw kawEw klaw kla w kawaaaaaaa 2
16、2222111)(aaaaalRlkle21a k足够大足够大由于相关函数是偶函数，则上式可写成：由于相关函数是偶函数，则上式可写成：1;, 2, 1, 0,1)(22alaalRle证毕证毕.Copyright by 东华大学信息学院164.3.2 白噪声序列的产生方法 如何在计算机上比较经济地产生理想的各种不同分布的白如何在计算机上比较经济地产生理想的各种不同分布的白噪声序列是辨识仿真研究中的一个重要问题噪声序列是辨识仿真研究中的一个重要问题. 目前，已有目前，已有大量成熟的计算方法和应用程序可供查询和调用。大量成熟的计算方法和应用程序可供查询和调用。 白噪声序列白噪声序列 随机数随机数
17、理论上，只要有了一种具有连续分布的随机数，通过函数理论上，只要有了一种具有连续分布的随机数，通过函数变换，就可产生其他任意分布的随机数变换，就可产生其他任意分布的随机数. (0, 1)均匀分布的随机数是最简单、最基本的一种均匀分布的随机数是最简单、最基本的一种. 正态分布的随机数是我们最关心的一种正态分布的随机数是我们最关心的一种.因为根据概率论因为根据概率论中的大数定律，当样本数据足够大时，许多其他分布的随中的大数定律，当样本数据足够大时，许多其他分布的随机序列常可近似看作正态分布随机序列机序列常可近似看作正态分布随机序列.Copyright by 东华大学信息学院17(0,1)均匀分布随机
18、数的产生方法均匀分布随机数的产生方法：产生产生(0,1)均匀分布随机数的方法很多，最简单、最方便的是均匀分布随机数的方法很多，最简单、最方便的是数数学方法学方法。数学方法本质上就是实现递推算法：数学方法本质上就是实现递推算法：每一个每一个(0,1)均匀分布的随机数总是前面各时刻随机数的函数均匀分布的随机数总是前面各时刻随机数的函数.由于计算机的字长有限，严格说来，由于计算机的字长有限，严格说来，无论函数无论函数 f 取何种形式，取何种形式，都不可能产生真正的连续都不可能产生真正的连续(0,1)均匀分布随机数。因此通常用均匀分布随机数。因此通常用数学方法产生数学方法产生(0,1)均匀分布随机数叫
19、做均匀分布随机数叫做伪随机数伪随机数。产生伪随机数的数学方法很多，最常用的是乘同余法和混合同产生伪随机数的数学方法很多，最常用的是乘同余法和混合同余法。所产生的随机数循环周期长，统计性质好（分布的均余法。所产生的随机数循环周期长，统计性质好（分布的均匀性、抽样的随机性、试验的独立性、前后的一致性）匀性、抽样的随机性、试验的独立性、前后的一致性）),.,(111iiifCopyright by 东华大学信息学院18乘同余法：乘同余法：先产生正整数序列先产生正整数序列 ，即，即式中，式中， ；k 为大于为大于2的整数；的整数；再令再令则则 是是循环周期为循环周期为 的的伪随机序列。伪随机序列。例：
20、取例：取 k = 4，A = 3， x0 = 1 ，得到周期为，得到周期为 的伪随机的伪随机序列序列. 所以，所以，k最好取大一些最好取大一些. ,.3 , 2 , 1),(mod1iMAxxiikM2不能太小或AAA),8(mod5)8(mod3100 xx如取正奇数，., 3, 2, 1,iMxiii422k22kCopyright by 东华大学信息学院19 正态分布随机数的产生正态分布随机数的产生 理论基础理论基础：设设 是是(0, 1)均匀分布的随机变量，均匀分布的随机变量，F(x) 是是给定的连续分布函数，它的逆函数记做给定的连续分布函数，它的逆函数记做 ，则，则 是服从是服从 F
21、(x) 分布的随机变量，即：分布的随机变量，即： 以此定理为基础，可以产生任意分布的随机数。以此定理为基础，可以产生任意分布的随机数。 要求分布函数的逆函数的解析式必须存在要求分布函数的逆函数的解析式必须存在. 但正态分布但正态分布函数逆函数的解析式不存在函数逆函数的解析式不存在. 统计近似抽样法：统计近似抽样法： 设设 是是(0, 1)均匀分布的随机数序列，则有：均匀分布的随机数序列，则有： 由中心极限定理，有由中心极限定理，有 若若 ，则有，则有 即即)(1xF)(1 Fi12/12/12iiVarE) 1 , 0(12/2121NNNNNxNiiNii),(2N12/212NNNii12
22、21NNNii2(0,1)N12N Copyright by 东华大学信息学院20用用Matlab生产随机数的函数生产随机数的函数rand(n):生成生成0到到1之间的之间的n阶随机数方阵阶随机数方阵 rand(m,n):生成生成0到到1之间的之间的mn的随机数矩阵的随机数矩阵rand(method, s)：method: different generators: The initial state of that generator. s is a scalar integer value from 0 to 232-1randn(n):生成生成n行行n列均值为列均值为0方差为方差为1的标
23、准正态分布随机数的标准正态分布随机数randn(m,n)normrnd(mu,sigma,m,n)生成生成m行行n列均值为列均值为mu标准差为标准差为sigma的正态分布随机数。的正态分布随机数。Copyright by 东华大学信息学院214.4 伪随机码的产生及其性质伪随机码的产生及其性质 理论分析表明，选用白噪声作为辨识输入信号可以保证获理论分析表明，选用白噪声作为辨识输入信号可以保证获得较好的辨识效果，但工程上不易实现得较好的辨识效果，但工程上不易实现. 最长线性移位寄存器序列（最长线性移位寄存器序列（M序列）具有近似白噪声的性序列）具有近似白噪声的性质，工程上又易实现质，工程上又易实
24、现. M序列是二进制伪随机码序列（序列是二进制伪随机码序列（PRBS, Pseudo Random Binary Sequences ）的一种形式，其自相关函数接近脉冲）的一种形式，其自相关函数接近脉冲函数：函数：000Const10,)()()(TMdttMtMTRM序列波形（周期为序列波形（周期为15）Copyright by 东华大学信息学院22移位寄存器由移位寄存器由 r 个具有移位功能的触发器串联而成个具有移位功能的触发器串联而成； 构成一个状态构成一个状态；每个方框表示一个触发器，方框内的数码表示该触发器的当每个方框表示一个触发器，方框内的数码表示该触发器的当前状态为前状态为0或或
25、1，初始状态可任意设定初始状态可任意设定；在移位脉冲下，触发器的新的状态将等于原来的输入，移位在移位脉冲下，触发器的新的状态将等于原来的输入，移位寄存器就将数码寄存器就将数码 向右平移一位。向右平移一位。),(21rnnnaaa4.4.1 M序列的产生序列的产生Copyright by 东华大学信息学院23将各级状态中的一部分状态进行模将各级状态中的一部分状态进行模2加，反馈到第一级的输加，反馈到第一级的输入端入端那么，在移位时钟脉冲的作用下，就得到一个无限长的周期那么，在移位时钟脉冲的作用下，就得到一个无限长的周期性二位式序列性二位式序列.反馈系数反馈系数 ，分别表示第分别表示第 i 阶参与
26、或不参与逻辑组合阶参与或不参与逻辑组合. 其中其中 表示模表示模2加，加， 表示模表示模2累加。累加。na10或icriinirnrnnnacacacaca12211Copyright by 东华大学信息学院24例例: 设有一个四级移位寄存器，设有一个四级移位寄存器， . 即反馈逻即反馈逻辑为辑为 .试写出试写出输出序列输出序列 . 若初始状态为若初始状态为 ， 输出为全零序列。输出为全零序列。 若初始状态为若初始状态为 （1, 1, 1, 1），则输出序列为），则输出序列为 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 ，周期为周期为15. 若初始状态为若初始状
27、态为（0 0 0 1），则输出为），则输出为 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 只不过是前一站序列的平移而已。只不过是前一站序列的平移而已。1, 04321cccc 43nnnaaa4na)0 , 0 , 0 , 0(),(4321nnnnaaaa:4naCopyright by 东华大学信息学院25由四级移位寄存器产生的序列周期不可能超过由四级移位寄存器产生的序列周期不可能超过 ，而，而全零初态又将导致全零序列，这种情况不应出现。故四级全零初态又将导致全零序列，这种情况不应出现。故四级移位寄存器所能产生的序列的最大周期只能是移位寄存器所能产生的序列的最大周期只能是1
28、5.15.对于对于 r r 级移位寄存器，只要适当地选择反馈逻辑，就能产生级移位寄存器，只要适当地选择反馈逻辑，就能产生最大长度为最大长度为 的二位式周期序列，即的二位式周期序列，即MM序列。序列。用用Matlab编程实现编程实现9位移位寄存器产生的位移位寄存器产生的M序列，参见程序序列，参见程序chap4ex1162412 rCopyright by 东华大学信息学院26Copyright by 东华大学信息学院27 注：注： 移位寄存器任一级的输出均可为移位寄存器任一级的输出均可为M序列序列. 出现全零状态，移位寄存器的各级输出将永远是出现全零状态，移位寄存器的各级输出将永远是0. 要适当
29、选择反馈通道才能产生要适当选择反馈通道才能产生M序列序列. 如何选择反馈通道才能保证生产如何选择反馈通道才能保证生产M序列？该问题要从特序列？该问题要从特征多项式出发来讨论征多项式出发来讨论.Copyright by 东华大学信息学院284.4.2 M序列的性质序列的性质 由由 r 级线性反馈移位寄存器产生的级线性反馈移位寄存器产生的M序列，序列，周期周期为为 移位相加特性移位相加特性：M序列序列 与它的移位与它的移位 后的序列后的序列 按位模按位模2加后，仍为同样的加后，仍为同样的M序列（的某个移位）序列（的某个移位）. 例例: 一个四级一个四级M序列序列 1 1 0 0 0 1 0 0 1
30、 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0与其延迟与其延迟6bit的序列的序列0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 1 1 按位模按位模2加，得到新的序列加，得到新的序列1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1也是也是M序列，不过比原序列，不过比原M序列延迟了序列延迟了：13bit，它们是移位等价的它们是移位等价的.12 rpNnanaCopyright by 东华大学信息学院294.4.3 M序列的自相关函数序列的自相关函数 在在实际应用实际应用中，中，总把总把M序列的序列的逻辑逻辑“0”和和“1” 变换成幅度为变换成幅度为a和和
31、-a的序列的序列.)21 ()(ixaiMtNTppCopyright by 东华大学信息学院30 自相关函数：自相关函数：tNPMPdttMtMtNR01)()()(10)()(1)(PNkPMkMkMNRtNtNatttNNaRPPPPM)(,)(11122M序列的谱密度M序列的自相关函数13Bt频带： 2220 =MPaSN直流成分：逆M序列Copyright by 东华大学信息学院31M序列的序列的Matlab函数函数u = idinput (N, TYPE) ； % 产生产生N个点的个点的TYPE型型序列；序列；例：例：假设系统的传递函数模型为假设系统的传递函数模型为并假设系统的采样
32、周期为并假设系统的采样周期为T = 0.1s，用，用P.R.B.S.信号激励该系信号激励该系统模型，统模型，产生产生系统的输出信号系统的输出信号. G = tf(1 7 24 24,1 10 35 50 24); %原始系统模型原始系统模型 t = 0: .1 :3; % 采用采用31个点个点 u = idinput(31,PRBS); %生成生成PRBS信号，信号，31个点个点 y = lsim(G,u,t); % 计算系统离散输出信号计算系统离散输出信号2450351024247)(23423ssssssssGCopyright by 东华大学信息学院32实验：说明输入信号的选择对辨识效果
33、的影响。实验：说明输入信号的选择对辨识效果的影响。Matlab系统辨识工具箱中的模型辨识函数：系统辨识工具箱中的模型辨识函数：T = arx(y, u, m, n, d) (基于最小二乘法估计的基于最小二乘法估计的ARX模型辨识模型辨识)输入输出信号：输入输出信号：u，y ; 分子多项式阶次：分子多项式阶次： m-1分母多项式阶次：分母多项式阶次：n ; 纯滞后：纯滞后：d自回归遍历（自回归遍历（ARX）模型（离散系统）：）模型（离散系统）：)()(1) 1() 1()()()2() 1()()1(12122112121kuqbqbbqkyqaqaqamdkubdkubdkubnkyakyak
34、yakymmdnnmnCopyright by 东华大学信息学院33用用31个点的个点的M序列辨识上述系统，辨识结果：序列辨识上述系统，辨识结果：用用81个点的正弦信号个点的正弦信号辨识上述系统，辨识结果：辨识上述系统，辨识结果：程序参见程序参见 chap4ex2虽然使用正弦信号的仿真点更多了，但由于未采用有效的输虽然使用正弦信号的仿真点更多了，但由于未采用有效的输入激励信号，所以得出了不准确的辨识结果。入激励信号，所以得出了不准确的辨识结果。2450351024247)(23423ssssssssG2450351069.1584.231326. 003323. 0)(234232ssssssssGCopyright by 东华大学信息学院34例：对于下述离散系统，两个输入信号均采用例：对于下述离散系统，两个输入信号均采用M序列，编程序列，编程产生系统输出数据，并据此辨识系统。产生系统输出数据，并据此辨识系统。程序参见程序参见 chap4ex3 2848. 024. 0469. 14 . 39804. 0764. 154. 02 . 13974. 0084. 169. 034352. 08864. 01235. 05234. 0)(2222zzzzzzzzzzzzzGRef. 控制系统仿真与计算机辅助设计控制系统仿真与计算机辅助设计，薛定宇，第三章，薛定宇，第三章
