1、1三、三、 借助冲激响应与叠加原理求解系统的零状态响应借助冲激响应与叠加原理求解系统的零状态响应1. 1. 连续信号的时域分解连续信号的时域分解 ntgnftgftgftgftf220( )f tt0 0()f nn23(0)f( )f t f2f3f0t tg1 nntgnftf nntgnftftf2n f tf t 表明任意波形的信号表明任意波形的信号 f f (t) (t) 可以分解多个可以分解多个连续的冲激信号之加权和。连续的冲激信号之加权和。 nntgnftftfd即，当0n则tntg fnf ntgnftfn0lim则 dtf32. 2. 利用卷积积分求解系统的零输入响应利用卷积
2、积分求解系统的零输入响应 讨论系统在任意波形信号讨论系统在任意波形信号e e(t)(t)激励下的零状态响应激励下的零状态响应y yzs zs (t)(t)，用，用y y (t)(t)代替代替 e tt y th t将上式写成积分式将上式写成积分式 y teh td ntte nthty ntnete nthnety nntnete0lim nnthnety0lim4 与卷积积分的定义比较，有系统在激励信号与卷积积分的定义比较，有系统在激励信号e e(t)(t)作用下的零状态响应作用下的零状态响应y y (t)(t)为激励为激励e e(t)(t)与系统冲激响应与系统冲激响应h h(t)(t)的卷
3、积积分，即的卷积积分，即( )( )( )y te th t对因果系统，对因果系统， 若激励若激励e(t)e(t)在在t t0 0时作用于系统时作用于系统0( )( )( )( ) ()tzsyte th teh td 用卷积积分求零状态响应可避免讨论在用卷积积分求零状态响应可避免讨论在t t0 0时的跳时的跳变问题。变问题。 0, 00thtet时5例例1 1 已知某已知某LTILTI连续系统的连续系统的h h（t t）u(t)(t)，激励信号，激励信号e e(t)(t)u(t-1)，求系统的零状态响应，求系统的零状态响应y y (t)(t) dthethtety*解： dtuu1 111t
4、utdt6四、四、 卷积积分的性质卷积积分的性质1. 1. 卷卷积积的代的代数运数运算算（1 1）交换律）交换律1221( )( )( )( )( )f tf tf tf tf t 在卷积积分中两函数的位置可以互换说明在卷积积分中两函数的位置可以互换说明反折函数可以任选。反折函数可以任选。t0 01( )f t2 22 2t0 02( )ft2 21.51 10 01( )f2 22 21.52()f2 21 12 21()f2 20 02 21.52( )f1 1选反折函数时要考虑选反折函数时要考虑1 1）反折表达式简单的函数计算简便）反折表达式简单的函数计算简便 2 2）反折边界与纵轴重合
5、的函数，）反折边界与纵轴重合的函数，t t、 坐标原点一坐标原点一致，致， 积分限容易确定。积分限容易确定。7（2 2）分配律）分配律1231213( )( )( )( )( )( )( )f tftf tf tftf tf t物理意物理意义义1 ( )( )f th t: a) 若系统的冲激响应23( )( )( )ftfte t系 统 的 激 励:23 ( )( )( )( )( )( )( )y te th tfth tf th t则( )h t( )e t( )y t82323 ( )( )( )( )( )f tf th th th t: 系统的冲激响应1 b) ( )( )fte
6、t若系统的激励:1213 ( )( )( )( )( )( )( )y te th tf th tf th t则( )h t( )e t()y t2( )h t1( )f t()y t3( )h t表明：若某一系统由两个冲激响应分别为表明：若某一系统由两个冲激响应分别为h h2 2(t)(t)和和h h3 3(t)(t)的子系统并联时其冲激响应为的子系统并联时其冲激响应为h h(t)=(t)=h h2 2(t)(t)h h3 3(t)(t)( )h t9（3 3）结合律）结合律123123( )( )( )( )( )( )f tftftf tftft物理意义物理意义1 ( )( )f te
7、t 若系统的激励:22( )( )ftht:子系统的冲激响应33( )( )fth t: 子系统的冲激响应1231231 ()()()()()()()()()y tf th th tf th th tf tht则1( )f t23( )( )( )h th th t( )fy t( )h t2( )h t1( )f t( )y t3( )h t12( )( )f th t( )h t表明：若某一系统由两个冲激响应分别为表明：若某一系统由两个冲激响应分别为h h2 2(t)(t)和和h h3 3(t)(t) 的子系统级联时其冲激响应为的子系统级联时其冲激响应为h h(t)=(t)=h h2 2(
8、t)(t)* *h h3 3(t)(t)10例例1 1：求图所示复合系统的冲激响应为求图所示复合系统的冲激响应为h h(t)(t)( )h t2( )h t( )e t( )y t3( )h t1( )h t4( )h t thththteththteththththtethtety324143214*112. 2. 函数与冲激函数的卷积函数与冲激函数的卷积 (1) ( )( )( )( )( )f tttf tf t结论：结论：111( 2) ( )()()( )()f tttttf tf tt( )f t0( ) ttt0 0( )f t2 21 1t0 02 21 1( )f t( )f
9、 tt0 02 21 10( ) tt1t0 03 31 11 11)1)任意函数任意函数f(t)f(t)与与 卷积的结果为该函数卷积的结果为该函数f(t)f(t)本身。本身。2)2)任意函数任意函数f(t)f(t)与延时与延时t t0 0的冲激函数卷积的结果是把原函的冲激函数卷积的结果是把原函数数f(t)f(t)延时延时t t0 0 t12 ( )( )f tt若 ( )( )( )ttt则11( )()()ttttt1212()()()f ttttf ttt推广推广12( )()()f ttttt12()f ttt重积分重微分:0:0nn tdftutfttftfttf*3111 00*t
10、tftttftfttfnnnn1312 ( )( ) ( )f tf tf t若( )f tt0 01( )f t1 1t0 02( )ft1 10t2 22 2t0 011()f tt1 1t1t0 022()ftt1 1t2012()f t tt tt1 +t22 21121211()( )( )()()f t tf tf tf t tf t t则 1122122112()()()()()f t tf t tf t tf t tf t tt 3. 3. 卷积的时移特性卷积的时移特性14( )TKttkT（0 1 ( )( ) Tf ttT例 求设t0 00( )f t2 222( )Tt0
11、tT2T-T00( )( )( )()Tkf tfttftkT( )f t0tT2T-T本例提供了周期函数的本例提供了周期函数的一种表示方法一种表示方法15 3,12221tutftuetft例 tftftuetutuett2122*121*求：已知： 11221tueetft解 3*1*12221tutueetftft1122122112()()()()()f t tf t tf t tf t tf t tt 3, 121tt 21213*122221tueetftftft解得162( )gtt0 02 21 1 11221 1f tgtftgt而 1212( )( ) ,( )( )ftf
12、tftft例3 和的波形如图所示求 t1( )f t2( )ftt0 02 21 10 01 1-1-11te 1( )gtt0 01 1te解： tuetutgtgtgt121求得 tuetutgtgtgtgtftftft111112121求得173. 3. 卷积的微分和积分卷积的微分和积分1221 ( )( )( )( )( )f tftftftft设112 ( )( )()dftfftddt（ ）则(1)(1)1212 ( )( )( )( ) ftftf tft1 1）卷积的微积分性质）卷积的微积分性质1221 ( )( )( )( )( )f tftftftft设对两函数卷积的结果微
13、分，等于先对其中任一函数微分后再卷积。对两函数卷积的结果微分，等于先对其中任一函数微分后再卷积。对两函数卷积的结果积分，等于先对其中任一函数积分后再卷积。对两函数卷积的结果积分，等于先对其中任一函数积分后再卷积。(1)( ) ( )df tftdt( 1) ( )( ) tftf x dx ()0f 其中设 dxdxfftft211则 tftftftf211121*18 f f1 1(t)(t)与与f f 2 2(t) (t) 卷积的结果等于先对其中任一函数求导数卷积的结果等于先对其中任一函数求导数对另一函数求积分后的结果卷积。对另一函数求积分后的结果卷积。（2 2）利用卷积的微积分性质求卷积
14、）利用卷积的微积分性质求卷积12(1)(1)(1)(1)1212 ( )( )( ) ( )( )( )( ) ftftftftftftft ( )()12 (3) ( )( )( )ijijftftft( )( )( )( )( )()( ) tdf x dxf tdtttdf x dxf xf tff tdt 只有当f(-)=0时上式才成立 ( 1)2121( )( )( )( ) 0f tf tf tftf t 1t-成立的条件：lim191212( )( ) ,( )( )ftftftft例4 和的波形如图所示求 t0 02( )ft1 12 23 3t0 02 2( 1)1( )ft2 20( )f tt21 153 41( )f tt0 01 12 22( )ftt0 02 23 3（1）t0 02 22 23 3( )f t解：5420 tftftututfttutf21214,cos5求例 4cos21121tututtutftftftftf解： 44sinsintutttu 4sinttttu
