1、5.3 频域稳定性频域稳定性 Nyquist稳定判据稳定判据劳斯稳定判据缺点: (1)须知闭环系统特征方程，但有些实际系统的写不出； (2)不能指出系统的稳定程度。NyquistNyquist判据特点：判据特点：利用开环传递函数图形，判断闭环系统利用开环传递函数图形，判断闭环系统稳定性。不但可以判断稳定与否，还可以判断稳定的程度。稳定性。不但可以判断稳定与否，还可以判断稳定的程度。开环稳定：开环极点实部均小于或等于零。开环稳定：开环极点实部均小于或等于零。0, 1)0()0( )(KDNsDsKN(s)G(s)H(s)v的根称开环极点 0)(sDsv系统开环传递函数为：开环极坐标图，v0=1=
2、2=3)(sDsKN(s)G(s)H(s)v开环传递函数开环传递函数或或转转正实轴无穷远处顺时针正实轴无穷远处顺时针 90 rad 2/ :)()( 00:on nnpwsHsG+2/- /2 00 0 2/ /2- 0)()( )()( ppeppqqvjvjvsHsGsHsGs-+-0+0-=1=2=3可见可见w w=0 0+ 时，时，G(jG(jw w)H(j)H(jw w) )顺时针转顺时针转 pp/2/2，由由0 00 0 开始顺时针开始顺时针补虚线补虚线（半径（半径 ）：）： =1 转转 -p p/2 =2 转转 -p p =3 转转 -3p p/2而完整而完整图是关于实轴对称图是
3、关于实轴对称w w=0 0+ 时的时的开环极坐标图开环极坐标图 05.3.2 Nyquist稳定判据稳定判据 F(s)=1+G(s)H(s) G(s)H(s)=F(s) -1F(s)绕原点的周数绕原点的周数= G(s)H(s) 绕（绕（-1,-1,j0)j0)点的周数点的周数（R以以逆逆时针为正）：时针为正）： R=P-Z R=P-Z 将将s封闭曲线扩展为整个右半面：封闭曲线扩展为整个右半面：P: P: 开环开环系统在系统在s s右半平面极点的个数右半平面极点的个数【F(s)F(s)的极点的极点】；Z Z： 闭环闭环系统在系统在s s右半平面极点的个数右半平面极点的个数【F(s)F(s)的零点
4、的零点】。F(s)与与G(s)H(s)只差常数只差常数1闭环系统稳定闭环系统稳定 即即Z=0)()(1)(sHsGsF+5.3.2 Nyquist稳定判据稳定判据( (若若P=0,要使要使Z=0,则须则须R=0）即）即当开环传递函数当开环传递函数G(s)H(s)G(s)H(s)在在s s右半平面内没有极点时，闭环系统稳定的充要条件是：右半平面内没有极点时，闭环系统稳定的充要条件是：G(jw)H(jw)G(jw)H(jw)的的NyquistNyquist曲线曲线不包围不包围(-1(-1，j0)j0)点。点。闭环系统稳定的充要条件是：闭环系统稳定的充要条件是： G(jw)H(jw)G(jw)H(j
5、w)的的NyquistNyquist曲线包围（曲线包围（-1-1，j j0 0）点的周数）点的周数R R等于开环等于开环传递函数在传递函数在s s右半平面内的极点个数右半平面内的极点个数P,P,即即R=P从而从而Z=0 。( (即：欲即：欲使使在在s s右半平面内闭环极点的个数右半平面内闭环极点的个数Z=0，则要求，则要求R=P，R逆时针为正逆时针为正）Z=P-RZ=P-R由由R=P-Z例1 设系统开环稳定(即在s右半平面无开环极点，P=0)，判闭环稳定性。解：当-+-000:w则包围次数是完整曲线的一半则包围次数是完整曲线的一半若若+00:w根据图a不包围(-1,j0)点，R=0， Z=0，
6、闭环稳定。图 b顺时针方向包围(-1,j0)点2周， Z0，闭环不稳定。Z=P-R5.3.2 Nyquist稳定判据稳定判据例2 图a,b,c不包围(-1,j0)点R=0，若开环稳定p=0，则闭环稳定。5.3.2 Nyquist稳定判据稳定判据其中b,c只画出+00:w包围圈数是完整曲线的一半正负穿越-1ImRe负穿越，角度变得更负负穿越，角度变得更负正穿越，角度变得更正正穿越，角度变得更正0例3123123( )( )0,0,0,0(1)(1)(1)KG s H sTTTPTsT sT s+222222123|()()|111KG jH jTTTwwwww+0|()()|,()()0G jH
7、 jKG jH jwwwwwoK大大K小小|()()| 0,()()270G jH jG jH jwwwww -o123()()arctanarctanarctanG jH jTTTwwwww -P=0，开环极点均在s左半面；K小时，R=0，闭环系统稳定；K大时，N-=1，R=2N=2(0-1)=-2；则 Z=P-R=2 0，闭环系统不稳定。Im-1Rew=+w=0w=0n n=0解：p=2，当由0， 开环极坐标图在点（-1，j0)左方正、负穿越负实轴次数之差为:N=(N+ - N-)=(2-1)=1，则：Z=P-2N=2-2=0闭环稳定。例4 已知系统有两个正实部开环极点，判定闭环稳定性。5
8、.3.2 Nyquist稳定判据稳定判据bodebode图上的稳定判据图上的稳定判据bode图的图的20lgG(jw w)H(jw w) 0dB的频段的频段相角相角=-1800穿越穿越-1800线（增益线（增益1，幅频特性，幅频特性0db)极坐标极坐标s s平面上（平面上（-1-1，j0j0）点左侧穿越负实轴点左侧穿越负实轴（幅值幅值11, ,相角相角=-1800) )R=2N=2(N+-N-)对应对应20lgG(jw)H(jw) fai(w)（-）（+）-18000-1（-）（+）Z= P-R= P-2N例5 判定闭环稳定性。5.3.2 NyquistNyquist稳定判据稳定判据C)在幅频
9、特性0dB频段内，正、负穿越次数之差N=1-2=-1，Z=P-2N=2-2(-1)=4 0 不稳定。解：a)P=0,在幅频特性0dB频段内，相频没穿越-180线2N=0，Z=0，稳定。b)正、负穿越次数之差=1-1=0，又P=0,Z=0稳定。bodebode图上的稳定判据图上的稳定判据Z= P-R= P-2N例例6 6：已知系统开环传递函数，画出：已知系统开环传递函数，画出bodebode图图, ,在在bode bode 图上判断系统的稳定性图上判断系统的稳定性右半平面开环极点数右半平面开环极点数P=0,负穿越负穿越-180线一次R=2N=2(0-N-) =-2 右半平面闭环极点数：右半平面闭
10、环极点数：Z=P-R=2 0 不稳定1/T-1800(-)-40db/dec-60db/dec-27002( )(1)kGH ssTs+解：有2个积分环节，一个惯性环节w=0， G(jw)H(jw)=0w=0+， G(jw)H(jw)=-180w=+， G(jw)H(jw)=-270注意注意: :开环系统有积分环节时，开环系统有积分环节时，相频特性应增补相频特性应增补=0=00 0+ +部分。部分。00，角度，角度=0=0在正实轴上。在正实轴上。bodebode图上的稳定判据图上的稳定判据5.3.2 Nyquist稳定判据稳定判据Z=P-R=P-2NZ=P-R=P-2N开环极坐标图逆时针方向包
11、围开环极坐标图逆时针方向包围(-1,j0)点的点的周数周数，等于在（，等于在（-1，j0）左方正、负穿越次数之差：左方正、负穿越次数之差：N=(N+ - N-)。令令N G(jw w)H(jw w)的的半半闭合曲线闭合曲线(w w=00+ )穿越（穿越（-1，j0)点点左侧负实轴的左侧负实轴的次数次数，则，则 N= (N+ - N-)R=2N=2(N+ - N-) 若根据若根据 G(jw w)H(jw w)的的半半闭合曲线闭合曲线(w w=00+ )包围包围(-1,j0)点的点的周数来判稳，则实际包围次数应乘以周数来判稳，则实际包围次数应乘以2：R=2N开环传函开环传函完整完整曲线包曲线包围围
12、(-1,0)圈数圈数开环传函开环传函半闭合半闭合曲线穿越次数曲线穿越次数小结小结开环系统在开环系统在S右右半平面极点数半平面极点数闭环系统在闭环系统在S右右半平面极点数半平面极点数相位裕度：开环频率特性幅值相位裕度：开环频率特性幅值GH(jw)=1处所处所对应的相角与对应的相角与-180的差的差 。5.4.1 相位裕度相位裕度 GH(jwGH(jwc c) )=1 =1 20lg20lgGH(jwGH(jwc c) ) =0dB=0dB时，时， =GH(jwGH(jwc c)-(-180)-(-180)=180)=180+ +GH(jwGH(jwc c) )w wc：幅值穿越幅值穿越(剪切剪切
13、)频率，频率， 开环频率特性幅值开环频率特性幅值=1时的角频率。时的角频率。若开环稳定系统，欲使闭环稳定，须若开环稳定系统，欲使闭环稳定，须 0, 0, 通常要求通常要求 = =45450 0 75750 0临界稳定点临界稳定点GH(s)GH(s)平面平面(-1,(-1,j0)j0)点点bodebode图图0 0dbdb和和-180-1800 0相角对应点相角对应点1/Kg-1 0w wc幅值幅值=1的的圆圆幅值裕度：开环频率特性相位幅值裕度：开环频率特性相位=-180时所对时所对应的幅值的倒数应的幅值的倒数 Kg=1/GH(jwg)5.4.2 幅值裕度幅值裕度若若K Kg g 1 1 20l
14、gK20lgKg g0dB0dB，称，称幅值裕度幅值裕度为为正正。 GH(jwg)0w wg极坐标图中极坐标图中与负实轴交与负实轴交点点5.4 控制系统的相对稳定性控制系统的相对稳定性稳定裕度稳定裕度在在bode图上，图上，开环幅频特性开环幅频特性20lg20lgGH(jwGH(jwc c) ) =20lg1=0dB=20lg1=0dB时，时，w wc c( (幅值穿越频率幅值穿越频率) ) 对应相位裕度对应相位裕度 （w wc剪切频率）剪切频率）开环相频特性开环相频特性GH(jwg)=-180时时， w wg g( (相位穿越频率相位穿越频率) ) 对应幅值裕度对应幅值裕度K Kg g =1
15、80+GH(jwc)Kg=1/GH(jwg)或20lgKg=-20lgGH(jwg)小结小结w wgw wc对于最小对于最小相位系统相位系统相角裕度相角裕度 00幅值裕度幅值裕度 Kg1Kg1裕度大裕度大 系统稳定程度好系统稳定程度好系统不稳定系统不稳定相角裕度相角裕度 00幅值裕度幅值裕度Kg1Kg w w2 2段）段）取取w w2前面各环节的前面各环节的 w w( (转折转折) ) 频段频段（即幅值（即幅值 T Tw w的渐进斜线部分的渐进斜线部分, ,忽略忽略1 1）转折频率：转折频率： w w1 1 =0.5 =0.5，w2=1) 1() 12(5 . 0)(2+ssssG若算得若算得
16、w wcw2 ，则需加上则需加上w2后的斜线段重新算后的斜线段重新算w wc2()2 0 lo g 12 0 lo g2 0 lo g 211()2 0 lo g0,.1 / 2,0 .7 0 722cccccL wwwL wwwww-0000001 8 09 020 .5.9 05 4 .7 31 9 .4 71 5 .8cca rctgwa rctgw-) 15 . 0)(12(1) 2)(12(2)(+sssssssG例例2 知单位负反馈系统知单位负反馈系统G(s)，求相位裕度求相位裕度。解：解：1）求幅值穿越频率。因）求幅值穿越频率。因H(s)=1, G(s)H(s)=G(s) 2）求
17、相位裕度）求相位裕度转折频率：转折频率： w w1 1 =1/2=0.5 =1/2=0.5，w2 2=1/0.5=2=1/0.5=2先不考虑先不考虑 w w w w2 2频段频段且只用斜线部分渐近线即且只用斜线部分渐近线即忽略忽略1 1例题例题3 已知单位负反馈最小相位系统，其开环对数幅频特性如图，求开已知单位负反馈最小相位系统，其开环对数幅频特性如图，求开环传递函数，计算稳定裕度环传递函数，计算稳定裕度(王划一教材P227：5-16)22(1)( )(0 .11)ksGsss+-40db/dec-20db/dec-60db/dec1 3.1610根据根据w wc c =3.16=3.16确定
18、确定k k，因为因为 1 w wc 10频段频段22) 11 . 0() 1(16. 3)(+ssssG(可见可见w wg w wr 特别是特别是w w w wb后，闭环幅频特性曲线迅速衰减至后，闭环幅频特性曲线迅速衰减至0)()(1)()(wwwwjHjGjGj+闭环频率特性幅值闭环频率特性幅值M曲线如图曲线如图5.6 开环频率特性与控制系统性能的关系5.6.1 控制系统的性能指标性能指标性能指标时域指标时域指标频域指标频域指标稳态指标稳态指标动态指标动态指标开环指标开环指标闭环指标闭环指标稳态误差稳态误差e essss，无差度，无差度 ，开，开环放大系数环放大系数K K过渡过程时间过渡过程
19、时间t ts s，上升时间，上升时间t tr r，峰值时，峰值时间间t tp p，最大超调，最大超调 p p，振荡次数，振荡次数N N闭环谐振峰值闭环谐振峰值MrMr，谐振频率，谐振频率w wr ，截止频率，截止频率( (带宽带宽) )w wb幅值穿越幅值穿越( (剪切剪切) )频率频率w wc c，相位裕度相位裕度, ,幅值裕度幅值裕度K Kg g5.6.4 开环对数幅频特性与性能指标间的关系开环对数幅频特性与性能指标间的关系(bode图图)wwwlg20lg20)()(lg20 vKjHjG-www)()(jKjHjGvv )()(sKsHsGv对于最小相位系统，主要利用对于最小相位系统，
20、主要利用bodebode图来分析和设计系统图来分析和设计系统对低频、中频、高频段的设计要求分别为：对低频、中频、高频段的设计要求分别为：(1)低频段低频段开环传递函数变为：开环传递函数变为：)lg20lg20 , 1(KGH w)0lg20 , (GHKvw直线，斜率直线，斜率-20n dB/dec，通过两点通过两点开环对数幅频特性的低频段反映稳态性能，即稳态性能指标取决于低频部分开环对数幅频特性的低频段反映稳态性能，即稳态性能指标取决于低频部分开环频率特性开环频率特性对数幅频特性对数幅频特性可确定系统型别可确定系统型别 和开环放大系数和开环放大系数K若最低的转折频率是若最低的转折频率是w w
21、1，则，则w ww w1 的频段为低频段的频段为低频段稳态误差稳态误差e essssccccsssKsGwwww1 . 0arctanarctan90 1 . 0arctanarctan90180) 11 . 0)(1()( -+ooo(2)中频段剪切频率剪切频率w wc附近的频段：附近的频段： w wc越大，响应速度越快越大，响应速度越快中频段具有何形状才能满足相位裕度要求？oooo75 7.8 15.3 66 60 40 40 20 dec/dB40 4 2 0.4 -w斜率c图图(a)中中可见最好以可见最好以-20dB/dec-20dB/dec过过 0 dB0 dB线，线， 最大最大(3)高频段高频段( (比比w wc高许多倍的频率范围高许多倍的频率范围) )，对系统性能指标影响不大，只，对系统性能指标影响不大，只要求衰减快一些。要求衰减快一些。例例（a）（b）11 1 1 lg-lglg 322323-+-rrrrcrrcMMhMMMMhhwwwwwwww建议即设由图由图(b)且中频段要有足够的宽度且中频段要有足够的宽度
