1、15.1 拉普拉斯变换拉普拉斯变换一、从傅里叶变换到拉普拉斯变换一、从傅里叶变换到拉普拉斯变换第五章第五章 连续系统的复频域分析连续系统的复频域分析deFtfdtetfFttjj)j (21)( )()j (一个信号一个信号f(t)满足狄里赫利条件时，便可构成一对傅里叶变换式，即满足狄里赫利条件时，便可构成一对傅里叶变换式，即0)(limttetf 当函数当函数 f (t)不满足绝对可积条件时，则其傅里叶变换不一定存不满足绝对可积条件时，则其傅里叶变换不一定存在。此时，在。此时，可采取给可采取给f(t)乘以因子乘以因子e t( 为任意实常数为任意实常数)的办法的办法，这样，这样即得到一个新的时
2、间函数即得到一个新的时间函数 f (t)e t，使其满足条件，使其满足条件则函数则函数 f (t)e t 即满足绝对可积条件了，因而它的傅里叶变换一定存即满足绝对可积条件了，因而它的傅里叶变换一定存在。可见因子在。可见因子e t 起着使函数起着使函数 f (t)收敛的作用办法，收敛的作用办法，故称故称e t为收敛为收敛因子。因子。2dtetfsFts)()(它是它是 +j 的函数，可以写为的函数，可以写为dttfdttftfFtttt)j(je )(ee )(e )( 设函数设函数 f (t)e t 满足狄里赫利条件且绝对可积满足狄里赫利条件且绝对可积(这可通过选取恰当这可通过选取恰当的的 值
3、来达到值来达到)，根据傅里叶变换的定义，则有，根据傅里叶变换的定义，则有dttfFt)j(e)()j(dFFFtfttj1e)j(21)j(e)(dFtft )j(e )j(21)(F( +j )的傅里叶反变换为的傅里叶反变换为令令s= +j ，s为一复数变量，称为复频率。于是有为一复数变量，称为复频率。于是有即即jje )(j 21)(dssFtfst以上两式分别称为双边拉普拉斯变换和双边拉普拉斯反变换以上两式分别称为双边拉普拉斯变换和双边拉普拉斯反变换。3)()(j 21)(tUdsesFyfjjts0 )(j21)(tdsesFtfjjts傅里叶变换建立了信号的时域与频域之间的关系，即傅
4、里叶变换建立了信号的时域与频域之间的关系，即拉氏变换变换对，一般记为拉氏变换变换对，一般记为此时，这样一对拉普拉斯变换称为单边拉氏变换，以后没有特殊说明此时，这样一对拉普拉斯变换称为单边拉氏变换，以后没有特殊说明均指单边拉普拉斯变换。均指单边拉普拉斯变换。0e )()(dttfsFts)()(sFtf 在信号与系统分析中，一般所遇到的总是因果信号，这样拉普在信号与系统分析中，一般所遇到的总是因果信号，这样拉普拉斯变换式就可写为拉斯变换式就可写为或写或写为为)()(LTsFtf拉普拉斯变换建立了信号的时域与复频域之间的关系，即拉普拉斯变换建立了信号的时域与复频域之间的关系，即)j ()(FTFt
5、f4二、拉普拉斯变换存在的条件与收敛域二、拉普拉斯变换存在的条件与收敛域 收敛轴以右的区域收敛轴以右的区域(不包括收敛轴在内不包括收敛轴在内)即为收敛域，收敛轴以左即为收敛域，收敛轴以左的区域的区域(包括收敛轴在内包括收敛轴在内)则为非收敛域。则为非收敛域。0 0)(limttetf欲使欲使F(s)存在，则必须使存在，则必须使 f (t)e t 满足条件满足条件 0值指出了值指出了函数函数 f (t)e t 的收敛条件了。的收敛条件了。 0的值由函数的值由函数 f (t)的性质确的性质确定。定。0j0ee )(e )()(dttfdttfsFttts根据根据 0的值，可将的值，可将s平面平面(
6、复平面复平面)分为两个区域。通过分为两个区域。通过 0 点的垂直于点的垂直于 轴的直线是两个区域的分界线，称为轴的直线是两个区域的分界线，称为收敛轴收敛轴， 0称为称为收敛坐标收敛坐标。 收敛域就是拉氏变换存在的情况下收敛域就是拉氏变换存在的情况下 的取值范围，也就是说的取值范围，也就是说 只只有在有在收敛域内取值，收敛域内取值， f (t)的拉普拉斯变换的拉普拉斯变换F(s)才能存在，且一定存在。才能存在，且一定存在。5解解: 要使该式成立要使该式成立，必须有，必须有 ， 故其收敛域为全故其收敛域为全s平面，平面， 0= 。0 )(e)( (4) )(cos)( )3()()( (2) )(
7、)( ) 1 (0atUtfttUtftUtfttfat0e)(lim ) 1 ( ttt0e)(lim )2( tttU 0时时该式成立该式成立， 故其收敛域为故其收敛域为s平面的右半开平面，平面的右半开平面， 0= 0。0)ecos(lim )3( 0ttt 0时时上式成立上式成立， 故其收敛域为故其收敛域为s平面的右半开平面，平面的右半开平面， 0= 0。0elimeelim )4( )( tatttat要使该式成立要使该式成立，必须有，必须有a+ 0， 即即 a。故其收敛域为故其收敛域为 a以以右的开平面，右的开平面， 0= a。6常用信号的拉氏变换常用信号的拉氏变换 1、 (t) 2
8、、 U(t) 3、 e-at 4、cos( ot ) 5、sin( ot ) 6、 te-ats1202ssas 12020s2)(1as17三、拉氏变换的基本性质三、拉氏变换的基本性质)()( )()(2211sFtfsFtf1、线性性质、线性性质)()()()(22112211sFAsFAtfAtfAA1, A2为任意常数为任意常数若若例：例：的拉氏变换。求 )()cos()( 0tUttf)( ee21)()cos()(00jj0tUtUttftt)j1j1(21)(00sssF0Re 1)(esastUat202ss20200)()sin(stUt则则解解: 则则 同理可得同理可得 8
9、 2、时移性、时移性若若 f (t)U(t) F(s)，则，则stesFttUttf0)()()(002Re 2221sseetftfs) )( () )( (例例:2Re 21)(2sstUet2Re 2)(1ssesFs由时移性，得由时移性，得)()()(22) 1(22tUeetUetftt2Re 2)(22ssesF式中，式中，t0为实常数，且为实常数，且t00。),()( ),1()() 1(22) 1(21tUetftUetftt求 f 1(t)+f2(t) 的像函数。解解: 则则9010Re )()(0sssFetfts 3、复频移性、复频移性解：解：stU1)(的拉氏变换。求例
10、：)()cos( 0tUteat0Re j1)(e , j1)(e0j0j00sstUstUtt202000)j1j1(21)()cos(sssstUt若若 f (t) F(s)，Res 1 则则式中，式中，s0为复常数，且为复常数，且 0=Res0。由复频移性，得由复频移性，得由复频移性，有由复频移性，有asasastUteatRe )()()cos(2020105、时域卷积定理、时域卷积定理 222111Re )()( ;Re )()(ssFtfssFtf),max(Re )()()()(212121ssFsFtftf则则时域卷积定理证明：时域卷积定理证明：dtedtffst)()(21d
11、dtetffst)()(21交换积分次序ddxexfefsxstx)()(21)()(21sFsF（得证）（得证） 4、尺度变换性、尺度变换性若若 f (t) F(s)，Res 则则asasFaatfRe )(1 1) )( (式中，式中，a为实常数，且为实常数，且 a 0。若若 f 1(t)、f2(t)为因果信号，并且为因果信号，并且11根据拉普拉斯变换的定义，有根据拉普拉斯变换的定义，有6、时域微分性、时域微分性00) 1 ()()()(tdfedtedttdftfLstst)0()0()()() 1 ()2(ffssFstfL)0()0()() 1 (2fsfsFs推广推广Re )0()
12、()(sfssFtfRe )0()()()(101)(sfssFstfmnmmnnn若若 f (t) F(s)，Res 则则证明：证明：00)()(dtetfstfestst)0()(fssF同理可得同理可得12。求图示信号)( ),(sFtf解：解：)(2)2(4)(2)( ttttfsseesF242)(2/)2()242(1)(2/) 1 (sseessF)21 ( 2)(2/2sseessF22/2)1 ( 2ses例：例： f (t)的微分如图所示的微分如图所示 根据时域微分性根据时域微分性, 得得13)max(0,Re )()(0sssFdft 7、时域积分性、时域积分性sftUf
13、LfL)0()()0()0()1()1()1(sfssFdft)0()()()1()()()()()()()(0tUtUtfdtUUfdftssFtUtUtfLdfLt)()()()()(0tttdffdfdfdf0)1(00)()0()()()(若若 f (t) F(s)，Res 则则)max(0,Re )0()()()1(ssfssFdft证明：证明：根据时域卷积定理，有根据时域卷积定理，有由于由于14 。求)( ),(sin)(sFtUtattf)(j21sinjjatateeat例：例：解：解：)j1j1(j21)(sinasastatU8、复频域微分、复频域微分Re )()()(sd
14、ssdFtftRe )()()(sdssFdtftnnn 9、复频域积分、复频域积分sdxxFtft)()(1sdxaxatUtat22)(sin22asaasarctan2若若 f (t) F(s)，Res 则则推广推广若若 f (t) F(s)，Res 则则15(1) 初值定理初值定理)()()(1sFsNsF)(lim)0(ssFfs(2) 终值定理终值定理)(lim)(0ssFfs10、初值和终值定理、初值和终值定理注意：初值是注意：初值是f(t)在在t=0+时刻的值，而不是时刻的值，而不是f(t)在在t=0或者或者t=0时刻的值。时刻的值。终值存在的条件：终值存在的条件：F(s)的极
15、点应全部在的极点应全部在s左半平面和在左半平面和在s=0处只有一阶处只有一阶极点。极点。若若 f (t) F(s)，Res 且且F(s)为真分式为真分式, 则则 f (t)的初值的初值如果如果F(s)为假分式为假分式, 可先将其分成多项式与真分式的组合可先将其分成多项式与真分式的组合, 即即其中其中N(s)为多项式为多项式, F1(s)为真分式。然后再将为真分式。然后再将F1(s)代入计算初值。代入计算初值。若若 f (t) F(s)，Res 且且 sF(s)的收敛域包含的收敛域包含j 轴轴, 则则 f (t)的终值的终值16例：例：求下列求下列F(s)反变换反变换 f (t)的初值与终值。的
16、初值与终值。12212)( ) 1 (ssssF105)2(10lim)0( )2(ssfs)5()2(10)( )2( 12)( ) 1 (ssssFsssF解：解：212lim)0(ssfs012lim)(20ssfssF(s)的收敛域包含的收敛域包含j 轴轴, 或者说或者说F(s)的极点全部在的极点全部在s左半平面和在左半平面和在s=0处只有一阶极点。处只有一阶极点。45)2(10lim)(0ssfs17 从已知的像函数从已知的像函数F(s)求出与之对应的原函数求出与之对应的原函数 f (t)，称为拉普拉斯，称为拉普拉斯反变换或逆变换。常用的方法有：查表法、部分分式展开法、留数法反变换或
17、逆变换。常用的方法有：查表法、部分分式展开法、留数法等。等。1、部分分式展开法、部分分式展开法01110111)()()(asasasbsbsbsbsDsNsFnnnmmmm四、拉普拉斯反变换四、拉普拉斯反变换当当mn时，应先将其化成真分式，就是用除法将时，应先将其化成真分式，就是用除法将F(s)表示成一个表示成一个s的多的多项式与一个余式之和，即项式与一个余式之和，即)()()()()()(0sDsNsQsDsNsFQ(s)=Bmnsmn+ +B1s+B0 各项的时间函数是冲激函数的各阶导数与各项的时间函数是冲激函数的各阶导数与冲激函数本身。所以，下面只研究冲激函数本身。所以，下面只研究F(
18、s)已是真分式的情况。已是真分式的情况。18)()()(210111nmmmmpspspsbsbsbsbsFnnpsKpsKpsK2211 (1) 分母多项式分母多项式D(s)=sn+an1sn1+ +a1s+a0的根为的根为n个单个单根根 p1 ，p2 ， ，pi ， ，pn 。其中其中首先将首先将D(s)进行因式分解，再将进行因式分解，再将F(s)展开成部分分式，即展开成部分分式，即 由于由于D(s)=0时，时，F(s)= ，因此称，因此称D(s)=0的根的根 pi (i=1, 2, , n)为为F(s)的极点。的极点。), 3 , 2 , 1( )()()(nipssDsNKipsiin
19、itpitpntptptUeKtUeKtUeKtUeKtfin121)( )()()()(21于是于是19 D(s)=s2+3s+2=(s+1)(s+2)= 0 的根为的根为 p1 = 1, p1= 2。例例:212 2332)(212sKsKssssssF。的原函数求像函数)( 23795)( 223tfssssssF解：解：则则先将其化为真分式，然后再展开成部分分式先将其化为真分式，然后再展开成部分分式其中其中211223)(sssF2)1()2)(1(311sssssK1)2()2)(1(322sssssK)()2()(2)()(2tUeetttftt20例例:ttessssssesF2
20、222212711271 1271)(。的原函数求像函数)( 1271)( 22tfssesFt解：解：则则根据时移性根据时移性其其中中413112712ssss)2(1271)2(4)2(3221tUeeessLtts)()(12714321tUeessLtt)2()()()()2(4)2(343tUeetUeetftttt21例：例：1) 1(2212sss662) 22() 2)(22132ssssKsksk)(sincos)()(2tUttetUetftt？，求已知)()22)(2(662)(22tfssssssF1) 1(2)(2321sksksKsF则根据频移性质得则根据频移性质得
21、2132kk解：解：其中其中1)22(6622221sssssK1) 1(11) 1(121)(22sssssF22)()()()(210111rnrmmmmpspspsbsbsbsbsFrnrnrrpsKpsKpsKpsK2211111)( (2) 分母多项式分母多项式D(s)=sn+an1sn1+ +a1s+a0的根含有重根，的根含有重根，假定有一个假定有一个r重根重根 p1 ，则部分分式可展开为，则部分分式可展开为于是可得于是可得), 3 , 2( )()()(rnipssDsNKipsii而而), 2 , 1( )()()!1(111111risFpsdpdiKpsriiirnrnrr
22、rrrpsKpspsKpspsKKsFps)( )( )()()(1221) 1(1111123 D(s)=(s+1)2(s+3)s= 0 的根为的根为 p1 = 1(二重根二重根), p2= 3，p3=0。故部分分式为。故部分分式为例例:sKsKsKsKsF321221131) 1( )(。的原函数求像函数)( ) 1)(3(2)( 2tfsssssF解：解：则则K2=1/12K3=2/3其中其中sssssF323121143)1(21)(221)1()1)(3(212211ssssssK43)1()3()1(2dd12212sssssssK)()e121e43e2132()(3tUttft
23、tt24 D(s)=(s+2)2+12=(s+2j1)2(s+2+j1)2=0的根为的根为p1= 2+j1 (二重根二重根), p2= 2j1 (二重根二重根)。故部分分式为。故部分分式为例：例：)()90cos(21)45cos(22)(22tUtettetftt。 )()54(1)(22tfssssF，求已知1 j2) 1 j2(1 j2) 1 j2()(2222112211sKsKsKsKsF解：解：其中其中45j1 j2211e42)1 j2(1sssK1 j2e41) 1 j2(e421 j2e41) 1 j2(e42)(09 j245j09 j245jsssssF09j1 j221
24、2e41)1 j2(1sssdsdK45j1121e42KK09j1222e41 KK25闭合回线确定的原则是：必须把闭合回线确定的原则是：必须把F(s)的全部极的全部极点都包围在此闭合回线的内部。可由直线点都包围在此闭合回线的内部。可由直线AB与直线与直线AB左侧半径左侧半径R= 的圆的圆CR组成组成。0 )(j21)(jjtdsesFtftsRes)(j211niiCABstpdsesFR这是一个复变函数的线积分，根据复变函数理论，此线积分可转化为这是一个复变函数的线积分，根据复变函数理论，此线积分可转化为求求F(s)的全部极点在一个闭合曲线内部的全部留数的代数和。的全部极点在一个闭合曲线
25、内部的全部留数的代数和。2、留数法留数法RRCtsABtsCABstdsesFdsesFdsesF)(j21)(j21 )(j21其中其中0)(j21RCtsdsesF26（1）若）若pi为为D(s)=0的单根，则其留数为的单根，则其留数为ipsistipsesFp)()(ResABtsCABstdsesFdsesFR)(j21 )(j21于是于是Res)()(j211jjniitsptfdsesF（2）若）若pi为为D(s)=0的的m阶重根，则其留数为阶重根，则其留数为ipsmistmmipsesFsmp)()(dd)!1(1Res11与部分分式法相比，留数法的优点在于不仅能处理有理函数，也
26、能处理与部分分式法相比，留数法的优点在于不仅能处理有理函数，也能处理无理函数。当有重极点时，留数法求拉普拉斯反变换要更简便一些。无理函数。当有重极点时，留数法求拉普拉斯反变换要更简便一些。27 D(s)=(s+1)2(s+3)s= 0 的根为的根为 p1 = 1(二重根二重根), p2= 3，p3=0。故各极点上的留数为。故各极点上的留数为例例:ttte43e21。的原函数用留数法求)( ) 1)(3(2)( 2tfsssssF)()e121e43e2132(Res)(331tUtptftttii解：解：则则32e)3()1(2ddRes023sstssssp11221e)3(2dd) 1(e
27、) 1)(3(2ddRessstsstssssssssssptsstssssssp3322e121)3(e)3() 1(2ddRes1221e) 3() 32)(2() 3(e) 3(2sstsstsssssstsss28一、基尔霍夫定律的复频域形式一、基尔霍夫定律的复频域形式1、KCL的复频域形式的复频域形式2、 KVL的复频域形式的复频域形式0)(1nkksI0)(1nkkti0)(1nkksU对于集总参数电路中的任一个节点，其时域形式的对于集总参数电路中的任一个节点，其时域形式的KCL方程为方程为0)(1nkktu进行拉普拉斯变换Ik(s)为支路电流为支路电流ik(t)的像函数。即对于集
28、总参数电路中的任一个节点，的像函数。即对于集总参数电路中的任一个节点，所有支路电流像函数的代数和等于零。所有支路电流像函数的代数和等于零。对于集总参数电路中的任一个回路，其时域形式的对于集总参数电路中的任一个回路，其时域形式的KVL方程为方程为进行拉普拉斯变换Uk(s)为支路电压为支路电压uk(t)的像函数。即对于集总参数电路中的任一个回路，的像函数。即对于集总参数电路中的任一个回路，所有支路电压像函数的代数和等于零。所有支路电压像函数的代数和等于零。29二、电路元件伏安关系的复频域形式二、电路元件伏安关系的复频域形式1、电阻元件、电阻元件u(t)=R i(t)U(s)=RI(s)2、电容元件
29、、电容元件dttduCti)()()(1)0(1)(sICsussU)0()()(CusCsUsI的复频域容抗称为电容CCs1tiCutu0d)(1)0()()0(1)(CuCssU的像函数为电容初始电压)0()0(1uus303、电感元件、电感元件tuLiti0d)(1)0()(的复频域感抗称为电感LLs4、耦合电感元件、耦合电感元件dttdiLtu)()()(1)0(1)(sULsissIdttdiLdttdiMtudttdiMdttdiLtu)()()()()()(22122111)0()()(LisLsIsU的像函数为电感初始电流)0()0(1iis时域伏安关系时域伏安关系31将时域伏
30、安关系可写为将时域伏安关系可写为于是得图示的去耦等效电路于是得图示的去耦等效电路dttdiMdttdiMLdttdiMtudttdiMdttdiMdttdiMLtu)()()()()()()()()()(2221221111)0()()0()()()0()()0()()(22221122211111iLssILMisMsIsUMisMsIiLssILsU进行拉普拉斯变换得复频域伏安关系为进行拉普拉斯变换得复频域伏安关系为32三、复频域形式的欧姆定律三、复频域形式的欧姆定律 对于图示的对于图示的RLC串联电路，设电感的初始电流为串联电路，设电感的初始电流为i(0)，电容的初，电容的初始电压为始电
31、压为uc(0)。)()0(1)0()()()(sZusLisZsUsIc则则)0(1)0(1)()(cusLisCsLRsIsU)()()( sZsIsU或sCsLRsZ1)(（复频域阻抗）（复频域阻抗）可作出其复频域的电路模型，根据可作出其复频域的电路模型，根据KVL可得可得s域零输入响应域零输入响应s域零状态响应域零状态响应若若i(0)=0，uc(0)=0，则有，则有)()()(sZsUsI33 由于复频域形式的由于复频域形式的KCL、KVL、欧姆定律，在形式上与相量形式、欧姆定律，在形式上与相量形式的的KCL、KVL、欧姆定律相同，因此关于电路频域分析的各种方法均、欧姆定律相同，因此关于
32、电路频域分析的各种方法均适用于复频域分析。其一般步骤为：适用于复频域分析。其一般步骤为：（1） 根据换路前的电路根据换路前的电路(即即t0时的电路时的电路)的复频域的复频域电路模型；电路模型；（4） 对复频域电路模型列写对复频域电路模型列写KCL和和KVL方程，求解此方程，得到全方程，求解此方程，得到全响应解的像函数；响应解的像函数；（5） 对所求得的全响应解的像函数进行拉普拉斯反变换，得到时域对所求得的全响应解的像函数进行拉普拉斯反变换，得到时域中的全响应解。中的全响应解。34解：解： 例：例： 图示电路，图示电路，u1(0)= 2V， i(0)=1A。求。求t 0时电路的响应时电路的响应u
33、2(t)。 解得解得拉氏反变换得拉氏反变换得ssUssUss14)(21)()2121 (212)(1)()211 ()(21121sUssUssUs83)21(45)21(22ss588216)(22ssssU0V 46sin66546cos2)(222ttetetutt作出作出s域电路模型，按节域电路模型，按节点法列点法列KCL方程方程 35解：解： 例：例： 图示电路，已知图示电路，已知C1=1F，C2=2F，R=3 ，u1(0)= 10V， u2(0)=0。开关于开关于t=0时刻闭合，求时刻闭合，求t 0时的响应时的响应i1(t)，u1(t)，u2(t)。 解得解得得得sssUss11
34、0)()312(2)(10)(121sUssIs91271032019) 16(10)(1ssssI913101930)(2sssU0V 310)()(921tetututt 0时的时的s域电路模型如图所示，域电路模型如图所示，按节点法列按节点法列KCL方程方程 又又0A 2710)(320)(91tettit36 例：例： 图示电路。图示电路。(1) 求求uC(t)的单位冲激的单位冲激响应响应h(t)； (2) 欲使零输入响应欲使零输入响应uCx(t)=h(t)，求，求 i(0)和和uC(0)；(3) 求求以使电路对阶跃输入以使电路对阶跃输入U(t)的全的全响应响应uC(t)仍为仍为U(t)
35、的初始状态的初始状态 i(0)和和uC(0)。(1) f (t)= (t)时的时的s域电路模型如图，域电路模型如图，有有解：解：2) 1()0()0()2(siusCssssH1121)(2) 1(1sV )()(tUtetht(2) 在零输入下电路的在零输入下电路的s域模型如图，得域模型如图，得sussssuisUCCCx)0(112)0()0()(37依据题意要求，应使依据题意要求，应使UCx(s)=H(s)，即，即即即得得22) 1(1) 1()0()0()2(ssiusC1)0()0()2(iusC1)0()0(20)0(iusuCCA1)0( , 0)0( iuC解得(3) 在在 f
36、 (t)=U(t)时的时的s域域电路电路模型如图，得模型如图，得susssusissUCCC)0(112)0(1)0(1)(ssiussssC1) 1()0()0()2() 1(21222)0()0()2(siusC22) 1()0()0()2() 1(1siusssC22) 1()0()0() 2() 1(21siussssC依据题意要求，应使依据题意要求，应使UC(s)=1/s，即，即0)0( ,V 1)0( iuC解得即有即有38 例：例：图示电路，以图示电路，以i(t)为响应。为响应。(1)求单位冲激响应求单位冲激响应h(t)；(2)已知已知 f (t)= U(t)，u1(0)=0，u
37、2(0)=2V，求全响应，求全响应i(t)。 解：解：sssH1111)(211814121ss12) 1(sss211412112111121)(ssssssssI0A 41)(21)(21tettitA )(81)(41)(21)(21tUetttht(1) f (t)= (t)时的时的s域电路模型如图，有域电路模型如图，有(2) s域电路模型如图，故得域电路模型如图，故得39例：例： 线性时不变系统的模型如下，且已知：线性时不变系统的模型如下，且已知：f (t)=etU(t)，y(0)=0， y(0)=1。求系统的零输入响应。求系统的零输入响应yx(t) 、零状态响应、零状态响应yf (
38、t)以及全响应以及全响应y(t)。)(3)(6)(5)(tftytyty 解：解：)(3)(6)0(5)(5)0()0()(2sFsYyssYysysYs对方程两边同时求拉普拉斯变换，有对方程两边同时求拉普拉斯变换，有65)(365)0()0()5()(22sssFssyyssY0)(32teetyttx故故3121ss)()23233()(32tUeeetytttf全响应：全响应：0 21223)()()(32teeetytytytttfx)3)(2(165)0()0()5()(2ssssyyssYx1165365)(3)(22ssssssFsYf12332323sss40 双边拉普拉斯变换
39、为广义的傅里叶变换。当双边拉普拉斯变换为广义的傅里叶变换。当t 0 时，时，f (t)0，双边拉，双边拉普拉斯变换就成了单边拉普拉斯变换。如果要从已知的单边拉普拉斯变普拉斯变换就成了单边拉普拉斯变换。如果要从已知的单边拉普拉斯变换求傅里叶变换，可根据收敛边界的不同分别对待。换求傅里叶变换，可根据收敛边界的不同分别对待。0 . 10 如果如果 00，则，则F(s)的收敛域包含的收敛域包含j 轴轴(虚轴虚轴)，F(s)在在j 轴上收敛。这轴上收敛。这时时 f (t)的傅立叶变换的傅立叶变换F(j )存在，存在， 并且令并且令s=j ，则，则F(s)等于等于F(j ) 。即。即 j)()j (ssF
40、F拉普拉斯变换与傅里叶变换的关系拉普拉斯变换与傅里叶变换的关系41Re )j(1)(0)j(0sstUeLTtRe )j(1)(0)j(0sstUeLTt)j(1)j(1j21)(00sstfLT则则)(j21)()sin()(00jj0tUeeetUtetftttt)Re( )(2020ss解：解：2020j2020j)j ()()()j (ssssFF拉普拉斯变换和傅立叶变换。F(s)的收敛域包含的收敛域包含j 轴轴(虚轴虚轴)，即即 00，则，则F(s)的收敛域不包含的收敛域不包含j 轴轴(虚轴虚轴)，这时，这时 f (t)的傅立叶变的傅立叶变换换F(j )不存在。不存在。 拉普拉斯变换
41、和傅立叶变换。解：解：)(j1)j (2F44本章要点：本章要点： 1、拉普拉斯变换：、拉普拉斯变换： 定义、存在条件、收敛域；单边拉氏变换基本性质；定义、存在条件、收敛域；单边拉氏变换基本性质； 常用信号拉氏变换常用信号拉氏变换； 2、拉普拉斯反变换、拉普拉斯反变换：部分分式展开法；部分分式展开法；留数法；留数法； 3、电路、电路s域分析域分析： s s域元件模型、域元件模型、KCLKCL和和KVLKVL的的s s域形式；电路域形式；电路s s域分析域分析； 4、系统的、系统的s域分析法：域分析法：)()()(sFsHsYf)()()(tfthtyf)()(thLsH系统函数: )(sH45
42、例例1: 求周期矩形脉冲信号的拉氏变换。求周期矩形脉冲信号的拉氏变换。)(0)0 ()(1TttEtf)1 ()(1sesEsF【解】【解】设设 )2()()()(111TtfTtftftf sTsTesFesFsFsF2111)()()()(sTesFsF11)()(1即即sTseesEsF11)()()(tUtUE)1)(21 sTsTeesF46例例2:)21 (1)1()(222ssseessesF)21 (1)1 (1)(32sssseeesessF？，求已知)()1()(2tfsesFs)()1()(0ntUtfnn例例3:)2()2() 1() 1(2)()(tUttUtttUt
43、f？，求已知)()1 (1)(tfessFs利用拉氏变换性质和常用信号变换，有利用拉氏变换性质和常用信号变换，有【解【解】)3()2() 1()()(tUtUtUtUtf【解【解】47。求原函数)( ,) 1()(32tfsssF1321sss132322) 1() 1(! 21) 1Res(sstesssdsd122!21sststtessedsd122222! 21sststststetsstesteetett)2121 (2)(Res)(31kkptf0)2121 (2tettt例例4:【解】根据留数法【解】根据留数法48 例例5： 已知某线性时不变系统数学模型如下已知某线性时不变系统数
44、学模型如下，us(t)=tU(t)，求零状态，求零状态响应响应i(t)。)()(4)(5)(tudxxitidttdits解：解：)()()45(sUsIsss21)(ssUs221)()45(sssIss)45(1)(2ssssI)4)(1(1sss412/113/14/1sss)()1213141()( 4tUeetitt则零状态响应为49例例6 ：图示电路，开关动作前已进入稳态，试：图示电路，开关动作前已进入稳态，试求开关打开后电感支路电流和电感两端电压。求开关打开后电感支路电流和电感两端电压。ssLisusILCL5222)0()0()() 5)(1(5 . 02sss)0()()(LLLLissIsU解：解： t 0，开关打开，根据，开关打开，根据s域电路，有域电路，有)5(8/1) 1(8/3)(sssIL0A)8183()(5teetittL0V)8583()(5teetuttL 2V)(0 ,0.5A )(0 LCui) 5)(1(5 . 2sss
