1、工程数学全册配套工程数学全册配套精品完整课件精品完整课件2复变函数3第一章 复数与复变函数1 复数及代数运算41. 复数的概念在实数范围, 方程x2=-1是无解的. 因此引进一个新数i, 称为虚数单位, 并规定i2 =-1从而i是方程x2=-1的一个根.对于任意二实数x,y, 称z=x+iy或z=x+yi为复数, x,y分别称为z的实部和虚部, 记作x=Re(z), y=Im(z)5当x=0,y0时, z=iy称为纯虚数; 当y=0时z=x+0i, 将其看作是实数x.两个复数相等, 是指的它的实部和虚部分别相等. 复数z=0, 是指的实部和虚部都是0.2. 复数的代数运算 两个复数z1=x1+
2、iy1, z2=x2+iy2的加法, 减法和乘法定义为(x1+iy1)(x2+iy2)=(x1x2)+i(y1y2) (1.1.1)(x1+iy1)(x2+iy2)=(x1x2-y1y2)+i(x2y1+x1y2)(1.1.2)称上面二式右端为z1,z2的和,差与积当z1,z2为实数时, 上二式与实数的运算一致.6称满足z2z=z1(z20)的复数z=x+iy为z1除以z2的商, )3 . 1 . 1 (,22222112222221212121yxyxyxiyxyyxxzzzzzz-=因此记作复数运算满足交换律,结合律和分配律:z1+z2=z2+z1, z1z2=z2z1;z1+(z2+z3
3、)=(z1+z2)+z3), z1(z2z3)=(z1z2)z3;z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.7把实部相同而虚部绝对值相等符号相反的两个复数称为共轭复数,与z共轭的复数记作z)Im(2),Re(2)iv;)Im()Re()iii;)ii;,) i:,22212121212121zizzzzzzzz zzzzzzzzzzzzzzziyxziyxz=-=-=共轭复数的性质则如果82 复数的几何表示1. 复平面 由于一个复数z=x+iy由一对有序实数(x,y)碓一确定, 所以对于平面上的直角坐标系, 复数的全体与该平面上的点的全体成一一对应关系, 从而复数z=x+iy可以用该平面上的坐标
4、为(x,y)的点来表示, 这是复数的一个常用表示方法. 此时, x轴称为实轴, y轴称为虚轴, 两轴所在的平面称为复平面或z平面. 这样, 复数与复平面上的点成一一对应, 并且把点z作为数z的同义词, 从而使我们能借助于几何语言和方法研究复变函数问题.9在复平面上, 复数z还与从原点指向点z=x+iy的平面向量一一对应, 因此复数z也能用向量OP来表示. 向量的长度称为z的模或绝对值, 记作) 1 . 2 . 1 (|22yxrz=OxyxyqPz=x+iy|z|=r10显然, 下列各式成立|,|,| |,|22zzz zyxzzyzx=OxyxyqPz=x+iy|z|=r11在z0的情况,
5、以正实轴为始边, 以表示z的向量OP为终边的角的弧度q称为z的轴角, 记作Arg z=q这时, 有)2 . 2 . 1 ()tg(Argxyz =OxyxyqPz=x+iy|z|=r12任何一个复数z0有无穷多个幅角, 如果q1是其中的一个, 则Arg z=q1+2kp(k为任意整数) (1.2.3)给出了z的全部幅角, 在z(0)的幅角中, 将满足 -pq0p的q0称为Arg z的主值, 记作q0=arg zOxyxyqPz=x+iy|z|=r13当z=0时, |z|=0, 而幅角不确定.arg z可由下列关系确定:.2argtg20, 0,0, 0,arctg0, 0,20,arctgar
6、gppppp-=xyyxyxxyyxxxyz其中14由复数运算法则, 两个复数z1和z2的加减法和相应的向量的加减法一致.Oxyz1z2z1+z2成立不等式|z1+z2|z1|+|z2| (三角不等式), (1.2.5)15减法:Oxyz1z2z1-z2-z2|z1-z2|z1|-|z2|(1.2.6)16一对共轭复数z和z在复平面内的位置是关于实数轴对称的, 因而|z|=| z |, 如果z不在负实轴和原点上, 还有arg z = -arg zOxyiyxz=iyxz-=17利用直角坐标与极坐标的关系:x = r cosq, y = r sinq,可以将z表示成三角表示式:z = r(cos
7、q +i sinq),(1.2.7)利用欧拉公式eiq=cosq +i sinq得指数表示式:z=r eiq (1.2.8) OxyxyqPz=x+iy|z|=r182. 复球面NSOxyPz19除了复数的平面表示方法外, 还可以用球面上的点来表示复数.取一个与复平面切于原点z=0的球面, 球面上的一点S与原点重合. 通过S作垂直于复平面的直线与球面相交于另一点N. 称N为北极, S为南极.对复平面内任一点z, 用直线将z与N相连, 与球面相交于P点, 则球面上除N点外的所有点和复平面上的所有点有一一对应的关系, 而N点本身可代表无穷远点, 记作.这样的球面称作复球面.20关于的四则运算作如下
8、规定:加法: a+=+a= (a)减法: a-=-a= (a)乘法: a=a= (a0)其它运算不确定但可为除法), 0(0),(, 0:=aaaaa213 复数的乘幂与方根22乘积与商 设有两个复数 z1=r1(cosq1+isinq1), z2=r2(cosq2+isinq2), z1z2=r1r2(cosq1+isinq1)(cosq2+isinq2) = r1r2(cosq1cosq2-sinq1sinq2)+i(sinq1cosq2+cosq1sinq2)= r1r2cos(q1+q2)+isin(q1+q2)于是|z1z2|=|z1|z2|(1.3.1)Arg(z1z2)=Arg
9、z1+Arg z2,(1.3.2)定理1 两个复数乘积的模等于它们的模的乘积, 两个复数乘积的幅角等于它们幅角的和.23z1z2相当于将z1的模扩大|z2|倍并旋转一个角度Arg z2q2q2z2q1z1z1z21Oxy24如果用指数形式表示复数:)(212122112121ee,eqqqq=iiirrzzrzrz为则定理一可简明地表示)4 . 3 . 1 (e)sin()cos(), 2 , 1(),sin(cos)(212121212121nkinnnnnkkkikkrrrirrrzzznkirerzqqqqqqqqqqqq=则由此逐步可证, 如果25按照商的定义, 当z10时, 有121
10、21212112211221122ArgArgArg,|ArgArgArg|,|zzzzzzzzzzzzzzzzzzzz-=于是因此定理二 两个复数的商的模等于它们的模的商, 两个复数的商的辐角等于被除数与除数的幅角之差.26如果用指数形式表示复数:,e,e212211qqiirzrz=)(121212eqq-=irrzz定理二可简明地表示为272. 幂与根 n个相同复数z的乘积称为z的n次幂,记作zn. 个nnzzzz=为负整数时上式也成立则当如定义nzznn,1=-则根据(1.3.4), 对任意正整数n, 我们有zn=rn(cos nq+isin nq).(1.3.7)如|z|=1,则(棣
11、莫弗(De Moivre)公式). (cos q+isin q)n = cos nq+isin nq.(1.3.8)28设z为己知, 方程wn=z的根w称为z的n次根,为整数记作nzznn,/1=1ee1ee11e,e, 1 ,123322332332323=-ppppppiiiiii及这是因为有三个值如n为正整数, 则一个复数的n次根不止有一个, 而是有n个, 这是很麻烦的事情. 例如在几何上, z1/n的n个值就是以原点为中心, r1/n为半径的圆的内接正n边形的n个顶点294 区域301. 区域的概念平面上以z0为中心, d(任意的正数)为半径的圆:|z-z0|d内部的点的集合称为z0的
12、邻域, 而称由不等式0|z-z0|M的所有点的集合, 其中实数M0, 称为无穷远点的邻域.即它是圆|z|=M的外部且包含无穷远点本身. 不包括无穷远点本身的仅满足|z|M的所有点称为无穷远点的去心邻域, 也记作M|z|M32设G为一平面点集, z0为G中任意一点. 如果存在z0的一个邻域, 该邻域内的所有点都属于G, 则称z0为G的内点.如果G内的每个点都是它的内点, 则称G为开集33平面点集D称为一个区域, 如果它满足下列两个条件:1) D是一个开集;2) D是连通的, 就是说D中任何两点都可以用完全属于D的一条折线连接起来.区域z2z1不连通34设D为复平面内的一个区域, 如果点P不属于D
13、, 但在P的任意小的邻域内总包含有D中的点, 这样的点P称为D的边界点. D的所有边界点组成D的边界. 区域的边界可能是由几条曲线和一些孤立的点所组成的.C3C2zg1g2C135区域D与它的边界一起构成闭区域或闭域, 记作D.如果一个区域可以被包含在一个以原点为中心的圆里面, 即存在正数M, 使区域D的每个点z都满足|z|M, 则称D为有界的, 否则称为无界的.xyDO36满足不等式r1|z-z0|0角形域:0arg zjjab带形域:aIm zb382. 单连通域与多连通域平面曲线 在数学上, 经常用参数方程来表示各种平面曲线. 如果x(t)和y(t)是两个连续的实变函数, 则方程组x=x
14、(t), y=y(t), (atb)代表一条平面曲线, 称为连续曲线. 如果令z(t)=x(t)+iy(t)则此曲线可用一个方程z=z(t)(atb)来代表. 这就是平面曲线的复数表示式.39如果在区间atb上x (t)和y (t)都是连续的, 且对于t的每一个值, 有x (t)2+y (t)20这曲线称为光滑的, 由几段依次相接的光滑曲线所组成的曲线, 称为按段光滑曲线.连续不连续光滑不光滑40设C:z=z(t)(atb)为一条连续曲线, z(a)与z(b)分别为C的起点与终点. 对于满足at1b, at2b的t1与t2, 当t1t2而有z(t1)=z(t2)时, 点z(t1)称为曲线C的重
15、点. 没有重点的连续曲线C, 称为简单曲线或若尔当(Jardan)曲线. 如果简单曲线C的起点与终点闭合, 即z(a)=z(b), 则曲线C称为简单闭曲线.z(a)=z(b)简单,闭z(a)z(b)简单,不闭z(a)=z(b)不简单,闭不简单,不闭z(a)z(b)41任意一条简单闭曲线C把整个复平面唯一地分成三个互不相交的点集, 其中除去C外, 一个是有界区域, 称为C的内部, 另一个是无界区域, 称为C的外部, C为它们的公共边界. 简单闭曲线的这一性质, 其几何直观意义是很清楚的.内部外部C42定义 复平面上的一个区域B, 如果在其中任作一条简单闭曲线, 而曲线的内部总属于B, 就称为单连
16、通域, 一个区域如果不是单连通域, 就称为多连通域.单连通域多连通域43作业 第一章习题 第31页第1,8,22题44请提问455 复变函数461. 复变函数的定义复变函数的定义 设设G是一个复数是一个复数z=x+iy的集合的集合, 如果有一个如果有一个确定的法则存在确定的法则存在, 按照这一法则按照这一法则, 对于集合对于集合G中的每一个复数中的每一个复数z, 就有一个或几个复数就有一个或几个复数w=u+iv与之对应与之对应, 则称复变数则称复变数w是复变数是复变数z的的函数函数(简称简称复变函数复变函数), 记作记作w=f(z)47如果如果z的一个值对应着的一个值对应着w的一个值的一个值,
17、 则函数则函数f(z)是是单值单值的的; 否则就是否则就是多值多值的的. 集合集合G称为称为f(z)的的定义集合定义集合, 对应于对应于G中所有中所有z对应的一切对应的一切w值所值所成的集合成的集合G*, 称为称为函数值集合函数值集合.48在以后的讨论中在以后的讨论中, 定义集合定义集合G常常是一个平面常常是一个平面区域区域, 称之为称之为定定义域义域, 并且并且, 如无特别声明如无特别声明, 所讨论的函数均为单值函数所讨论的函数均为单值函数.49由于给定了一个复数由于给定了一个复数z=x+iy就相当于给定了就相当于给定了两个实数两个实数x和和y, 而复数而复数w=u+iv亦同样地对应着亦同样
18、地对应着一对实数一对实数u和和v, 所以复变函数所以复变函数w和自变量和自变量z之之间的关系间的关系w=f(z)相当于两个关系式相当于两个关系式:u=u(x,y), v=v(x,y),它们确定了自变量为它们确定了自变量为x和和y的两个二元实变函的两个二元实变函数数.50例如, 考察函数w=z2令z=x+iy, w=u+iv, 则u+iv=(x+iy)2=x2-y2+2xyi,因而函数w=z2对应于两个二元函数:u=x2-y2, v=2xy512. 映射的概念如用z平面上的点表示自变量z的值, 而用另一个平面w平面上的点表示函数w的值, 则函数w=f(z)在几何上就可以看做是把z平面上的一个点集
19、G(定义集合)变到w平面上的一个点集G*(函数值集合)的映射(或变换). 这个映射通常简称为由函数w=f(z)所构成的映射. 如果G中的点z被映射w=f(z)映射成G*中的点w, 则w称为z的象(映象), 而z称为w的原象.52设函数w=z, xyOuvOABCz1z2ABCw1w2532a设函数w=z2, xyOuvOz1z2w2z3w3aw154假定函数w=f(z)的定义集合为z平面上的集合G, 函数值集合为w平面上的集合G*, 则G*中的每个点w必将对应着G中的一个(或几个)点. 按照函数的定义, 在G*上就确定了一个单值(或多值)函数z=j(w), 它称为函数w=f(z)的反函数, 也
20、称为映射w=f(z)的逆映射.从反函数的定义可知, 对任意的wG*, 有w=fj(w),当反函数为单值函数时, 也有z=jf(z), zG55今后, 我们不再区分函数与映射(变换). 如果函数(映射)w=f(z)与它的反函数(逆映射)z=j(w)都是单值的, 则称函数(映射)w=f(z)是一一的. 此时, 我们也称集合G与集合G*是一一对应的.566 复变函数的极限和连续性571.函数的极限函数的极限定义定义 设函数设函数w=f(z)定义在定义在z0的的去心邻域去心邻域0|z- -z0|0, 相应地必有一正数相应地必有一正数d d(e e)(0d d r r), 使得当使得当0|z- -z0|
21、d d时有时有|f(z)- -A|0, 存在d(e)0, 使得当0|Dz|0时时, Ln z的主值的主值ln z=ln x, 就是就是实变数对数函数实变数对数函数.119znzznznnLn1LnLn)Ln(1 但但21212121LnLnLnLnLn)Ln(zzzzzzzz-=120例例1 求求Ln 2, Ln(- -1)以及它们相应的主值以及它们相应的主值.p pp p解解 因为因为Ln 2=ln 2+2k i, 所以它的所以它的主值就是主值就是ln2. 而而Ln(-1)=ln 1+iArg(-1)=(2k+1) i(k为整数为整数), 所以它的主值是所以它的主值是ln(-1)= i.p
22、pp p121对数函数的解析性对数函数的解析性. 就主值就主值ln z而言而言, 其中其中ln|z|除原点外在其它点都除原点外在其它点都是连续的是连续的, 而而arg z在原点与负实轴上都不连续在原点与负实轴上都不连续. .arglim,arglim00=-=-zzyyp所以所以, 除去原点与负实轴除去原点与负实轴, 在复平面内其它点在复平面内其它点ln z处处连处处连续续. :因为若设因为若设z=x+iy, 则当则当z0)时时, 由于由于)10. 3 . 2 (),2(argsin)2(argcos| |lne)2(arg| |lnep pp pp pkaqpikaqpaqpkaqpiaqp
23、ba = = = =ab具有具有q个值个值, 即当即当k=0,1,.,(q- -1)时相应的各个值时相应的各个值.除此而外除此而外, 一般而论一般而论ab具有无穷多个值具有无穷多个值.126.122的的值值和和求求例例ii2e,)., 2, 1, 0( ,22e22eLne);, 2, 1, 0().22sin()22cos(22e1Ln2e21p pp pp pp pp pp pp pp p- - = = - -= = = = = = = = = = = 它的主值是它的主值是是正实数是正实数由此可见由此可见解解iikkikiiiiiikkikik127)(.)(LneLneLne)(LnLn
24、LneLne,).1,Lne,个个因因子子个个因因子子项项指指数数根根据据定定义义时时为为正正整整数数当当因因为为全全一一致致的的次次根根的的定定义义是是完完的的次次幂幂及及的的时时是是与与数数及及分分为为正正整整数数当当定定义义应应当当指指出出naaanaaanaaaannanbinanannbabba = = = = = = = =128.1,1;,).1( , 2 , 1 , 0)11. 3 . 2(,2argsin2argcos1|2argsin2argcos| |ln1eLn1e1,1)nznzwnzwnnbbzwzanknankainkanankainkaanannanbii= =
25、 = = = = =- -= = = = = = = = 及及幂幂函函数数就就分分别别得得到到通通常常的的时时与与当当函函数数就就得得到到一一般般的的幂幂为为一一复复变变数数如如果果所所以以其其中中有有时时为为分分数数当当p pp pp pp p129zn在复平面内是单值解析函数在复平面内是单值解析函数, (zn)=nzn- -1. .111Ln11,Ln,1- -= = = = = = = = nznznenznzznnznz且且有有也也是是解解析析的的和和负负实实轴轴的的复复平平面面内内的的各各个个分分支支在在除除去去原原点点因因而而不不难难看看出出它它析析的的负负实实轴轴的的复复平平面面
26、内内是是解解和和的的各各个个分分支支在在除除去去原原点点由由于于对对数数函函数数个个分分支支具具有有是是一一个个多多值值函函数数幂幂函函数数130.1)(,.,)1(- -= = = = =bbzbzbnnbbzw并并且且有有是是解解析析的的和和负负实实轴轴的的复复平平面面内内也也点点它它的的各各个个分分支支在在除除去去原原同同样样的的道道理理多多值值的的是是无无穷穷为为无无理理数数或或复复数数时时当当一一个个多多值值函函数数也也是是两两种种情情况况外外与与除除去去幂幂函函数数1314. 三角函数和双曲函数三角函数和双曲函数 根据根据(2.3.5)我们有我们有eiy=cos y+isin ye
27、- -iy=cos y- -isin y将这两式相加与相减将这两式相加与相减, 分别得到分别得到)12. 3 . 2 (.2eesin,2eecosiiyiyyiyiyy- - -= =- - = =现将其推广到自变数取复值的情形现将其推广到自变数取复值的情形, 定义定义)13. 3 . 2 (.2eesin,2eecosiizizzizizz- - -= =- - = =当当z为实数时为实数时, 显然这与显然这与(2.3.12)完全一致完全一致.132由于由于ez是以是以2p pi为周期的周期函数为周期的周期函数, 因此因此cos z和和sin z以以2p p为周期为周期, 即即cos(z+
28、2p p)=cos z,sin(z+2p p)=sin z.也容易推出也容易推出cos z是偶函数是偶函数:cos(- -z)=cos z而而sin z是奇函数是奇函数:sin(- -z)=-=-sin z133由指数函数的导数公式可以求得由指数函数的导数公式可以求得(cos z)=-sin z, (sin z)=cos z由由(2.3.13), 易知易知eiz=cos z+isin z(2.3.14)普遍正确普遍正确, 即对于复数即对于复数, 欧拉公式仍然成立欧拉公式仍然成立.134由定义可知三角函数许多公式仍然成立由定义可知三角函数许多公式仍然成立)15. 3 . 2(12cos2sin2
29、sin1cos2cos1sin)21sin(2sin1sin2cos1cos)21cos( = = = = - -= = zzzzzzzzzzzzzz由此得由此得 cos(x+iy)=cosxcosiy- -sinxsiniy, sin(x+iy)=sinxcosiy+cosxsiniy.135但当但当z为纯虚数为纯虚数iy时时, 我们有我们有)16. 3 . 2 (sh2eesinch2eecos = =- - -= = = - -= =yiiyyiyyyyiy)17. 3 . 2 (.shcoschsin)sin(,shsinchcos)cos(=-=yxiyxiyxyxiyxiyx所以1
30、36.sin1csc,cos1sec,sincosctg,cossintgzzzzzzzzzz=当当y时时, |siniy|和和|cosiy|都趋于无穷大都趋于无穷大, 因此因此, |sinz| 1和和|cosz| 1在复数范围内不再成立在复数范围内不再成立. 其它复变数三角函数的定义如下其它复变数三角函数的定义如下:137与三角函数密切相关的是与三角函数密切相关的是双曲函数双曲函数, 定义定义zzzzzzzzzzz- - - - -= =- - -= =- - = =eeeeth,2eesh,2eech分别称为分别称为双曲余弦双曲余弦,正弦和正切函数正弦和正切函数.138chz和和shz都是
31、以都是以2pi为周期的函数为周期的函数, chz为偶为偶函数函数, shz为奇函数为奇函数, 它们都是复平面内的解析函数它们都是复平面内的解析函数, 导数分别为导数分别为:(chz)=shz,(shz)=chz(2.3.18)不难证明不难证明 chiy=cosy, shiy=isiny(2.3.19)20. 3 . 2 (.sinchcossh)sh(,sinshcosch)ch( = = = = yxiyxiyxyxiyxiyx及及1395. 反三角函数与反双曲函数反三角函数与反双曲函数 反三角函数定义为三角函数的反函数反三角函数定义为三角函数的反函数, 设设z=cos w,则称则称w为为z
32、的反余弦函数的反余弦函数, 记作记作w=Arccos z.140两两端端取取对对数数得得应应理理解解为为双双值值函函数数其其中中它它的的根根为为得得二二次次方方程程由由.12, 12e. 01e22e)e(e21cos- - - = = = - - - = = =zzziwiwziwiwiwwz.Arccos) 1Ln(Arccos2是一个多值函数显然zzziz-=141用同样的方法可以定义反正弦和反正切函数用同样的方法可以定义反正弦和反正切函数, 并且重复上述步并且重复上述步骤骤, 可以得到它们的表达式可以得到它们的表达式: - - - -= =- - - -= =.11Ln2Arctg),
33、1Ln(Arcsin2izizizziziz142反双曲函数定义为双曲函数的反函数反双曲函数定义为双曲函数的反函数. 用与推用与推导反三角函数表达式完全类似的步骤导反三角函数表达式完全类似的步骤, 可以得可以得到各反双曲函数的表达式到各反双曲函数的表达式:zzzzzzzzz- - = =- - = = = =11Ln21Arth) 12Ln(Arch) 12Ln(Arsh反反双双曲曲正正切切反反双双曲曲余余弦弦反反双双曲曲正正弦弦它们都是多值函数它们都是多值函数.143课堂练习课堂练习:0sin21) 1 (= = ziLn求求解解）（）（计计算算144），（）（）（）（）（）（）解法（解法（
34、）（），（）解法（解法（根为根为代入方程得代入方程得由由解解）（210122122111Ln(0| )21Ln(0sin222101212. 12e2)e(esin2 = = = = = - - - - -= =- -= =- -= = - -= =- -= = =- - - -= = = = = = = = =- - -= =kkliliiLnmikiiLniLnizziziArczkkzikLniziziizizzp pp pp pp pp pp pp pp p145练习练习 p67 ex 12, ex15, ex18146常常数数。得得条条件件，内内解解析析，则则由由在在）（，）（若若）
35、= = = = = = = = =- -= =- -= = =- - -= = = =fvuxvyuyvxuxvyuyvxuxvyuyvxuRCDivuzfivuzf002.10147内内为为常常数数。在在）（）知知内内解解析析，于于是是由由在在）（）（且且有有，）（时时，当当。）（时时，则则当当）（若若）DzfDzfCzfzfCzfCCzf220000,|3.10= = = = = =148常常数数。得得条条件件，由由于于是是则则，）（若若）= = = = = = = =- -= = =- -= = = = = = =fvuxvyuyvxuxvyuyvxuRCuyvDuxvDuvDtgCuv
36、Czfyx00arg4.10149第三章第三章 复变函数的积分复变函数的积分1 复变函数积分的概念复变函数积分的概念1501. 积分的定义积分的定义 设设C为平面上给定的一条光滑为平面上给定的一条光滑(或按段光滑或按段光滑)曲线曲线. 如果选如果选定定C的两个可能方向中的一个作为正方向的两个可能方向中的一个作为正方向(或正向或正向), 则将则将C理解为带有方向的曲线理解为带有方向的曲线, 称为称为有向曲线有向曲线. 设曲线设曲线C的两个端点为的两个端点为A与与B, 如果将如果将A到到B的方向作为的方向作为C的正方向的正方向, 则从则从B到到A的方向就是的方向就是C的负方向的负方向, 并记作并记
37、作C- -. 常将两个端点中一个作为起点常将两个端点中一个作为起点, 另一个作为终点另一个作为终点, 则正则正方向规定为起点至终点的方向方向规定为起点至终点的方向. 简单闭曲线的正方向是指当曲线上的点简单闭曲线的正方向是指当曲线上的点P顺此方向沿该顺此方向沿该曲线前进时曲线前进时, 邻近邻近P点的曲线内部始终位于点的曲线内部始终位于P点的左方点的左方.151定义定义 设函数设函数w=f(z)定义在区域定义在区域D内内, C为在区域为在区域D内内起点为起点为A终点为终点为B的一条光滑的有向曲线的一条光滑的有向曲线. 把曲线把曲线C任任意分成意分成n个弧段个弧段, 设分点为设分点为A=z0,z1,
38、.,zk- -1,zk,.,zn=BAz1z1z2z2z3z3.zk-1zkzkDzkBxyO152在每个弧段在每个弧段zk- -1,zk(k=1,2,.,n)上任意取一点上任意取一点z zk, 并作和并作和式式) 1 . 1 . 3()(limd)(,)(,.max,)()(1111111=-=-=-=-=nkkknCnknkkkkkkknkkknkkkknzfzzfCzfSnszzszzzzfzzfSzddzz记作的积分沿曲线则称其为有唯一极限如趋于零无限增加且当的长度记这里153容易看出容易看出, 当当C是是x轴上的区间轴上的区间a x b, 而而f(z)=u(x)时时, 这个积分定义就
39、是一元实函数定积分的定义这个积分定义就是一元实函数定积分的定义.d)(,) 1 . 1 . 3(1)(limd)( = = = = CzzfCnkkzkfnCzzf作作则则沿沿此此闭闭曲曲线线的的积积分分记记为为闭闭曲曲线线如如果果z z1542,积分存在的条件及计算法积分存在的条件及计算法 设光滑曲线设光滑曲线C由参数方程由参数方程z=z(t)=x(t)+iy(t), a a t b b(3.1.2)给出给出, 正方向为参数增加的方向正方向为参数增加的方向, 参数参数a a及及b b对应于起点对应于起点A及及终点终点B, 并且并且z(t) 0, a at0, 存在d0, 当|z-z|d即|D
40、z|d时, 总有|f(z)-f(z)|0, 存在d(e)0, 当|z-z0|d时, |f(z)-f(z0)|e. 设以z0为中心, R为半径的圆周K:|z-z0|=R全部在C的内部, 且Rd.DCKzz0R205)2 . 5 . 3(d)()()(2d)()(d)(d)(d)(000000000-=-=-=-KKKKCzzzzfzfzifzzzzfzfzzzzfzzzzfzzzzf206这表明不等式右端积分的模可以任意小, 只要R足够小就行了, 根据闭路变形原理, 该积分的值与R无关, 所以只有在对所有的R积分为值为零才有可能, 因此, 由(3.5.2)即得要证的(3.5.1)式.ee2dd|
41、 )()(|d)()(0000=-KKKsRszzzfzfzzzzfzf207(3.5.1)式称为积西积分公式.如果C是圆周z=z0+Reiq, 则(3.5.1)式成为)3 . 5 . 3(.d)e(21)(2000=qqiRzfzf即, 一个解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的平均值.) 1 . 5 . 3(.d)(21)(00-=Czzzzfizf208例 求下列积分(沿圆周方向)的值:.d3211)2;dsin21) 14|4|=-zzzzzzzzi解 由(3.5.1)得.62212d32d11d3211)2; 0sindsin21) 14|4|4|04|iiizzzzzzzzzzziz
42、zzzz=-=-=209aiazazidzazazazdzp pp p= = = = = - - = = - -|12c1c222利利用用柯柯西西积积分分公公式式：解解法法aazCcazdzexp= =- - - -:,22)271002106 解析函数的高阶导数一个解析函数不仅有一阶导数, 而且有各高阶导数, 它的值也可用函数在边界上的值通过积分来表示. 这一点和实变函数完全不同. 一个实变函数在某一区间上可导, 它的导数在这区间上是否连续也不一定,更不要说它有高阶导数存在了.211定理 解析函数f(z)的导数仍为解析函数, 它的n阶导数为:) 1 . 6 . 3(), 2 , 1(d)()
43、(2!)(100)(=-=nzzzzfinzfCnn其中C为在函数f(z)的解析区域D内围绕z0的任何一条正向简单曲线, 而且它的内部全含于D.212证 设z0为D内任意一点, 先证n=1的情形, 即,)()(lim)(d)()(21)(0000200zzfzzfzfzzzzfizfzC-=-=先按定义有.0)()(d)()(210020时也趋向于零在-zzzfzzfzzzzfiC因此就是要证213按柯西积分公式有-=-=-=CCCzzzzzzzfizzfzzfzzzzzfizzfzzzzfizfd)()(21)()(d)(21)(.d)(21)(00000000214因此Izzzzzzzzf
44、izzzzzzzfizzzzfizzfzzfzzzzfiCCCC=-=-=-d)()()(21d)()(21d)()(21)()(d)()(2102000200020215现要证当Dz0时I0, 而.| |d| )(|)()(d)(21|020020-=CCzzzzzszfzzzzzzzzzfIDz0dC216f(z)在C上连续, 则有界, 设界为M, 则在C上有|f(z)|M. d为z0到C上各点的最短距离, 则取|Dz|适当地小使其满足|Dz|1.-CzCzzzzzd) 1(e)2;d) 1(cos) 1225p5) 1(cos-zzp.12)(cos)!15(2d) 1(cos51)4(
45、5|izizzzzCpppp-=-=-=221.,.,.) 1()2212122析的所围成的区域内是解和则此函数在由为中心作两个正向圆周和内以在我们处不解析内的在函数CCCCCiiCizCzez-=OC1C2Ci-ixy222根据复合闭路定理,=21d) 1(ed) 1(ed) 1(e222222CzCzCzzzzzzzOC1C2Ci-ixy223证 设A=|f(z0)|, 令e = A/2, 则存在d0使得当 |z-z0|d时, 有|f(z)-f(z0)|0, 相应地能找到一个正数N(e), 使|an-a|N时成立, 则a称为复数列an当n时的极限, 记作aa=nnlim此时也称复数列an收
46、敛于a.定理一 复数列an(n=1,2,.)收敛于a的充要条件是bbaannnn=lim,lim.lim,lim| )()( | | )()( |bbaabbiaaaaibaibannnnnnnnn=-同理所以则ee证 如果 , 则对于任意给定的e0, 就能找到一个正数N, 当nN时,aa=nnlim反之, 如果.lim| )()( |2| ,2|,lim,limaaeaaeee=-=-=nnnnnnnnnnnnnbbaabbiaabbaaNnNbbaa所以从而有时当存在则任给2. 级数概念 设an=an+ibn(n=1,2,.)为一复数列, 表达式=nnnaaaa211.,.lim,11发散
47、称为则级数不收敛如果数列为级数的和称并且极限收敛称为则级数=nnnnnnnsssaa称为无穷级数, 其最前面n项的和sn=a1+a2+.+an称为级数的部分和. 如果部分和数列sn收敛, 定理二 级数 收敛的充要条件是级数 和 都收敛=1nna=1nna=1nnb证证 因因sn=a a1+a a2+.+a an=(a1+a2+.+an)+i(b1+b2+.+bn)= n+it tn,其中其中 n=a1+a2+.+an, t tn=b1+b2+.+bn分别分别为为 和和 的部分和的部分和, 由定理由定理一一, sn有极限存在的充要条件是有极限存在的充要条件是 n和和t tn的极限存在的极限存在,
48、 即级数即级数 和和 都收敛都收敛. = =1nna = = 1nnb = =1nna = =1nnb证证 因因sn=a a1+a a2+.+a an=(a1+a2+.+an)+i(b1+b2+.+bn)= n+it tn,其中其中 n=a1+a2+.+an, t tn=b1+b2+.+bn分别分别为为 和和 的部分和的部分和, 由定理由定理一一, sn有极限存在的充要条件是有极限存在的充要条件是 n和和t tn的极限存在的极限存在, 即级数即级数 和和 都收敛都收敛. = =1nna = = 1nnb = =1nna = =1nnb定理二将复数项级数的审敛问题转化为实数项级数的审敛问题. 0
49、lim, 0lim, 0lim0lim111=nnnnnnnnnnnnnnbabaaaa收敛的必要条件是从而推出复数项级数立即可得和收敛的必要条件和而由实数项级数定理三成立且不等式也收敛则收敛如果=1111|,|nnnnnnnnaaaa22221221| ,|,|nnnnnnnnnnnbabbaabaa=而由于证=11111111111|limlim, |.,|kkkknkknnkknnkknkknnnnnnnnnnbabaaaaaaaa或因此而又因是收敛的则也都收敛和因而都收敛及可知级数.,|11条件收敛级数称为非绝对收敛的收敛级数绝对收敛则称级数收敛如果=nnnnaa., |,|11111
50、11112222绝对收敛与绝对收敛的充要条件是因此收敛也绝对绝对收敛时与所以当因此由于=nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnbabababababaaan nc co os si in nn n2 2）；n ni i）e en n1 1（1 1n n1 1）果果收收敛敛，求求其其极极限限。下下列列数数列列是是否否收收敛敛？如如例例1 1= = = =发发散散n n所所以以n n时时，所所以以，当当n nn nc ch hn n。n nc co os si in nn n2 2）由由于于1 1。n nn nl li im m所所以以0 0n nb bn nl li im m1 1，n
