1、 甘肃省靖远县第三中学 2017-2018 学年 高二下学期期中考试（理） 卷 I（选择题） 一、选择题（共 12 小题 ，每小题 5 分 ，共 60 分 ） 1.是虚数单位，复数3+ 1 = ( ) A.1 + 2 B.2 + 4 C.1 2 D.2 2.函数() = ln在点 = 1处的导数为（ ） A.1 B.0 C.1 D.2 3.函数() = 3 32+ 1的减区间为（ ） A.(2, +) B.(, 2) C.(0, 2) D.(, 0) 4.在用反证法证明“自然数，中恰有一个偶数”时的正确反设应为（） A.，都是奇数 B.，都是奇数或至少有两个偶数 C.，都是偶数 D.，中至少有
2、两个偶数 5.若曲线 = 2+ + 在点(0, )处的切线方程是 + 1 = 0，则（ ） A. = 1， = 1 B. = 1， = 1 C. = 1， = 1 D. = 1， = 1 6.设曲线 = 2在点(1, )处的切线与直线2 6 = 0平行，则 = ( ) A.1 B.1 2 C. 1 2 D.1 7.若() = 1 2 2 + ln( + 2)在(1, +)上是减函数，则的取值范围是（ ） A.1, +) B.(1, +) C.(, 1 D.(, 1) 8.类比下列平面内的结论，在空间中仍能成立的是（ ） 平行于同一直线的两条直线平行； 垂直于同一直线的两条直线平行； 如果一条直
3、线与两条平行线中的一条垂直，则必与另一条垂直； 如果一条直线与两条平行线中的一条相交，则必与另一条相交 A. B. C. D. 9.曲线 ycosx(0x2)与 y1 围成的面积是( ) A4 B 5 2 C3 D2 10.若函数() = 2+ + 1 在(1 2,+)是增函数，则的取值范围是（ ） A.1, 0 B.1, C.0, 3 D.3, + 11设函数 )(xf 在定义域内可导， )(xfy 的图象如右图所示，则导函数 )(xfy 的图 象可能为( ) 12.若函数() = ln的图象在 = 1处的切线为，则上的点到圆2+ 2+ 4 2 + 4 = 0上的点的最近距离是（ ） A.2
4、2 B.2 1 C.22 1 D.1 卷 II（非选择题） 二、填空题（共 4 小题 ，每小题 5 分 ，共 20 分 ） 13. 已知复数z = 1+i 1i（i是虚数单位） ，则|z| =_ 14.函数 f(x)=lnxx+1 的极值点是 x=_ 15.一个物体的运动方程为 = 1 + 2其中的单位是米，的单位是秒，那么物体在3秒末 的瞬时速度是_米/秒 16.已知函数 = ()的图象在 （1, (1)）处的切线方程是 = 1 2 + 2 ，(1)+ (1) =_ 三、解答题（共 6 小题 ，需写出解答及证明过程 ） 17 （10 分）证明： (1)如果， 0，则lg + 2 lg+lg
5、2 ； (2)6+ 10 23 + 2 18.（12 分）计算： (1) = sin(22+ )求 (2) = 2ln求 (3) |x|dx 3 4 (4) 1 x1dx e+1 2 19.（12 分）已知函数() = 43+ 2+ + 5在 = 1与 = 3 2处有极值 (1)写出函数的解析式； (2)求出函数的单调区间； (3)求()在1, 2上的最值 20. （12 分）已知函数() = 3 1 2 2 + + (1)若()在(, +)是增函数，求的取值范围； (2)若()在 = 1时取得极值，且 1, 2时，() 0时， 若对任意的 0, +)， 不等式( 1) 2()恒成立， 求实数
6、的 取值范围 参考答案 1.A2.C3.C4.B5.A 6B7.C 8.B 9.D10.D11.D 12.C 13.1 14.1 15.5 16.3 17. 证明：(1)当a，b 0时，有a+b 2 ab， lg a+b 2 lgab， lg a+b 2 1 2lgab = lga+lgb 2 (2)要证6 + 10 23 + 2， 只要证(6 + 10)2 (23 + 2)2 ， 即260 248，这是显然成立的， 所以，原不等式成立 18. 解：(1)y = sin(2x2+ x) y = cos(2x2+ x)(2x2+ x)， y = (4x + 1)cos(2x2+ x)； (2)y
7、 = 2xlnx， y = 2xln2 lnx + 2x 1 x； (3) 3 4 |x|dx = 0 4 xdx + x 3 0 dx = 1 2x 2|40 + 1 2x 2|03 = 8 + 9 2 = 25 2 ；(4) e + 1 2 1 x1dx = ln(x 1)|2 e+1 = ln(e + 1 1) ln(2 1) = 1 19.解：(1)f(x) = 12x2+ 2ax + b，依题意有f(1) = 0，f( 3 2) = 0， 即12 2a + b = 0 27 + 3a + b = 0，得 a = 3 b = 18， 所以f(x) = 4x3 3x2 18x+ 5； (
8、2)f(x) = 12x2 6x 18 0， (1, 3 2)是函数的减区间，(, 1)，( 3 2, +)是函数的增区间； (3)函数在1, 3 2上单调递减，在 3 2, 2上单调递增， f(x)max= f(1) = 16，f(x)min= f(3 2) = 61 4 .20.解：(1)f(x) = 3x2 x + b，f(x)在(, +)是增函数， f(x) 0恒成立，= 1 12b 0，解得b 1 12 x (, +)时，只有b = 1 12时，f( 1 6) = 0，b的取值范围为 1 12, + (2)由题意，x = 1是方程3x2 x + b = 0的一个根，设另一根为x0，
9、则 x0+ 1 = 1 3 x0 1 = b 3 x0 = 2 3 b = 2 f(x) = 3x2 x 2， 列表分析最值： x 1 (1, 2 3) 2 3 ( 2 3 , 1) 1 (1, 2) 2 f(x) + 0 - 0 + f(x) 1 2 + c 递增 极大值22 27 + c 递减 极小值 3 2 + c 递增 2 + c 当x 1, 2时，f(x)的最大值为f(2) = 2 + c， 对x 1, 2时，f(x) 2 + c，解得c 2， 故c的取值范围为(, 1) (2, +) 21.解：当n = 1，2，3，4时， 计算得原式的值分别为：S1= 1 2，S2 = 2 3，S
10、3 = 3 4，S4 = 4 5 观察这4个结果都是分数， 每个分数的分子与项数对应，且分子比分母恰好小1 归纳猜想：Sn= n n+1 证明 1 12 = 1 1 2， 1 23 = 1 2 1 3， 1 n(n+1) = 1 n 1 n+1 Sn= 1 1 2 + 1 2 1 3 + 1 3 1 4+.+ 1 n 1 n+1 = 1 1 n+1 = n n+1 22.解：(1)解法一：因为函数f(x) = x2+ 2|x a| 又函数y = f(x)为偶函数， 所以任取x R，则f(x) = f(x)恒成立， 即(x)2+ 2| x a| = x2+ 2|x a|恒成立 所以|x a| =
11、 |x + a|恒成立， 两边平方得：x2 2ax + a2= x2+ 2ax + a2 所以4ax = 0，因为x为任意实数，所以a = 0 解法二（特殊值法） ：因为函数y = f(x)为偶函数， 所以f(1) = f(1)，得|1 a| = |1 + a|，得：a = 0 所以f(x) = x2+ 2|x|， 故有f(x) = f(x)，即f(x)为偶函数(2)若a = 1 2，则 f(x) = x2+ 2|x 1 2| = x2 2x + 1,x 0 当0 x a时，不等式()化为4(x a) + 2x (1 + a) x2+ 2x 1， 即x2+ 4x + 1 2a 0对任意的x 0
12、, a恒成立， 函数g(x) = x2+ 4x + 1 2a在区间0, a上单调递增， g(0) 0，解得a 1 2， 0 a 1 2 a x 1 + a时，不等式()化为4(x a) + 2x (1 + a) x2+ 2x 1， 即x2 4x + 1 + 6a 0对任意的x (a, 1 + a恒成立， 由中0 1 + a时，不等式()化为4(x a) 2x (1 + a) x2+ 2x 1， 即x2+ 2a 3 0对任意的x (a + 1, +)恒成立， 函数(x) = x2+ 2a 3在区间(a + 1, +)上单调递增， (a + 1) 0， 即a2+ 4a 2 0，解得a 2 6或a 6 2， 结合的结论可得：6 2 a 1 2 综上所述得，a的取值范围是6 2 a 1 2
