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1、概率论与统计全册配套完整课件概率论与统计全册配套完整课件3 第一章第一章 随机事件及其概率随机事件及其概率 自然界和社会生活中的现象大体上可分为两类：一类自然界和社会生活中的现象大体上可分为两类：一类可可事前预知事前预知，如：，如：“ 太阳从东方升起太阳从东方升起”、 “在一个大气压下，在一个大气压下，水水在在100时沸腾时沸腾”等一定会发生；等一定会发生；“同性电荷相吸引同性电荷相吸引”、 “ 太阳太阳从西方升起从西方升起”等一定不会发生。这类现象是等一定不会发生。这类现象是确定性现象确定性现象，也，也叫叫必然现象必然现象。 另一类另一类事前不可预知事前不可预知，如：，如：“抛一枚硬币的结果

2、抛一枚硬币的结果”、 “某地某地区年降雨量的多少区年降雨量的多少”、“打靶时，弹着点与靶心的距离打靶时，弹着点与靶心的距离”等。等。 这类现象是这类现象是偶然性现象偶然性现象，也叫，也叫随机现象随机现象。 随机现象的特点：随机现象的特点：在一定条件下，可能出现这样的结在一定条件下，可能出现这样的结果，也可能出现那样的结果，而在试验之前不能预知确切果，也可能出现那样的结果，而在试验之前不能预知确切的结果人们经过长期实践并深入研究之后，发现这类现的结果人们经过长期实践并深入研究之后，发现这类现象在大量重复试验下，它的结果又呈现出某种规律性象在大量重复试验下，它的结果又呈现出某种规律性统计规律性统计

3、规律性例如，在相同条件下抛同一枚硬币，其结果例如，在相同条件下抛同一枚硬币，其结果可能是正面朝上，也可能是反面朝上，并且在每次抛掷之可能是正面朝上，也可能是反面朝上，并且在每次抛掷之前无法肯定抛掷的结果是什么。但是，如多次重复抛一枚前无法肯定抛掷的结果是什么。但是，如多次重复抛一枚硬币得到正面朝上大致有一半。概率论与数理统计是研究硬币得到正面朝上大致有一半。概率论与数理统计是研究随机现象规律性的数学学科，是科技工作者所必须具备的随机现象规律性的数学学科，是科技工作者所必须具备的一种工具，也是现代经济理论的应用与研究的重要工具。一种工具，也是现代经济理论的应用与研究的重要工具。1.1 样本空间和

4、随机事件样本空间和随机事件 一、一、 随机试验随机试验 为了研究随机现象，就要对客观事物进行观察为了研究随机现象，就要对客观事物进行观察观察观察的过程称为试验的过程称为试验下面举一些试验的例子下面举一些试验的例子E1：抛一枚硬币，观察正面：抛一枚硬币，观察正面H、反面、反面T出现的情况出现的情况E2：抛两枚硬币，观察正面：抛两枚硬币，观察正面H、反面、反面T出现的情况出现的情况E3：抛两枚硬币，观察：抛两枚硬币，观察“正面正面H朝上朝上”的硬币个数的硬币个数. E4：掷一颗骰子，观察出现的点数：掷一颗骰子，观察出现的点数E5：记录电话交换台一分钟内收到的呼唤次数：记录电话交换台一分钟内收到的呼

5、唤次数E6: 盒中有标号为盒中有标号为1到到10的相同小球，任取一的相同小球，任取一 个观察标号个观察标号.E7: 某射手向枪靶射击一发子弹，观察其中靶的环数某射手向枪靶射击一发子弹，观察其中靶的环数. 上述对随机现象进行的试验或观测具有以下特点：上述对随机现象进行的试验或观测具有以下特点： （1）可以在相同条件下重复地进行；）可以在相同条件下重复地进行； （2）每次试验的可能结果不止一个，但能事先明确）每次试验的可能结果不止一个，但能事先明确所有可能结果，且每次试验仅有其中一个结果出现；所有可能结果，且每次试验仅有其中一个结果出现； （3）每次试验进行之前，不能断言哪个结果会出现）每次试验进

6、行之前，不能断言哪个结果会出现 在概率论中，将具有上述三个特点的试验称为在概率论中，将具有上述三个特点的试验称为随机随机试验，试验，简称简称试验试验，常用字母，常用字母E 来表示来表示 我们进行随机试验的目的是要对试验的各种结果出现我们进行随机试验的目的是要对试验的各种结果出现的可能性进行分析，从而找出随机现象的规律的可能性进行分析，从而找出随机现象的规律 二、二、样本空间样本空间 随机试验的所有可能出现的结果所构成的集合称为的随机试验的所有可能出现的结果所构成的集合称为的样本空间样本空间，通常记为，通常记为样本空间的元素，即的每个结果，样本空间的元素，即的每个结果，称为称为样本点样本点下面是

7、前面试验的样本空间：下面是前面试验的样本空间： 1：H,T 2 ：HH,HT, TH,TT 3：0,1,2 4 ：1,2,3,4,5,6 5：0,1,2,. 6 :1,2,3,4,5, ,10 7：0,1,2,3,4,5, ,10注意：样本空间的元素由试验的目的确定如试验注意：样本空间的元素由试验的目的确定如试验E2和和E3同同是抛两枚硬币，由于试验目的不一样，样本空间也不一样是抛两枚硬币，由于试验目的不一样，样本空间也不一样三、三、随机事件随机事件 在进行随机试验时，人们往往关心的是满足某种条件在进行随机试验时，人们往往关心的是满足某种条件的一些样本点所组成的集合例如，在的一些样本点所组成的

8、集合例如，在E4中，令中，令A表示表示“出出现的点数为偶数现的点数为偶数”，则，则A是是4 1,2,3,4,5,6 的子集，它由的子集，它由样本点样本点2,4,6构成，记作构成，记作A2,4,6 一般地，称试验的样本空间一般地，称试验的样本空间的子集为的子集为随机事件随机事件，简称，简称事件事件，通常用大写字母，通常用大写字母A、B、C、表示表示 事件事件 在一次试验中，若某事件中至少有一个样本点出现了，在一次试验中，若某事件中至少有一个样本点出现了，则称则称事件发生事件发生了称试验中必定发生的事件为了称试验中必定发生的事件为必然事件必然事件，不可能发生的事件为不可能发生的事件为不可能事件不可

9、能事件 在每次试验中，样本空间在每次试验中，样本空间中必定有一个样本点会出现，中必定有一个样本点会出现，因此又把样本空间称为必然事件空集因此又把样本空间称为必然事件空集是样本空间是样本空间的一的一个特殊的子集，也可作为一个事件但由于空集不含样本空个特殊的子集，也可作为一个事件但由于空集不含样本空间间中的任何元素，在每次试验中中的任何元素，在每次试验中都不会发生，因此又称都不会发生，因此又称之为不可能事件把必然事件和不可能事件看作随机事件，之为不可能事件把必然事件和不可能事件看作随机事件，是为了事件运算方便是为了事件运算方便 由样本空间的单个元素构成的子集，即样本点，又称为由样本空间的单个元素构

10、成的子集，即样本点，又称为基本事件基本事件 四、四、 事件间的关系和运算事件间的关系和运算 样本空间和事件都是集合，因此事件间的关系和运算实际样本空间和事件都是集合，因此事件间的关系和运算实际上是集合间的关系和运算设样本空间为上是集合间的关系和运算设样本空间为 ，A、B、C和和Ak（k1,2, 3）为）为的子集的子集 1、事件的包含和相等、事件的包含和相等 在一次试验中，若在一次试验中，若A发生必然导致发生必然导致B发生，则称发生，则称B包含包含A。记为记为.BA 如在如在E4中，中，A表示表示“出现的点数为偶数出现的点数为偶数”，B表示表示“出现出现的点的点 数大于数大于1”即即A=2,4,

11、6，B=2,3,4,5,6，则，则BA 实际上，实际上，A 是是B 的子集。的子集。相等，记作相等，记作与与，则称事件，则称事件且且若若BABAABBA 2、事件的和（相当于并集）、事件的和（相当于并集） 在一次试验中，在一次试验中，“事件事件A与与B至少有一个发生至少有一个发生”是一个事是一个事件，称为事件件，称为事件A与与B 的和的和，记作，记作AB，或者，或者AB “n个事件个事件A1 、A2、 An中至少有一个发生中至少有一个发生”称为这称为这n个个事件的和。记作事件的和。记作nkkA1 “可列个事件可列个事件A1 、A2、中至少有一个发生中至少有一个发生”称为这可列称为这可列个事件的

12、和。记作个事件的和。记作 1kkA 如，在如，在E4中，令中，令A表示掷一颗骰子表示掷一颗骰子“出现偶数点出现偶数点”，C表表示示“出现的点数不大于出现的点数不大于1”， Ak表示表示“出现出现k点点”（k1,2,6）那么那么A2,4,6，C1，AC1,2,4,6， 61kkA 又如，在又如，在E5中中，令令Ak表示表示“一分钟内收到一分钟内收到k次呼唤次呼唤”，k0、1、2、，A表示表示“呼唤次数大于呼唤次数大于100次次” ， B表示表示“呼呼唤唤次数小于次数小于150次次”那么那么 kkAA 101kkAB1490 3、事件的积（相当于交集）事件的积（相当于交集） 在一次试验中，在一次试

13、验中，“事件事件A与与B同时发生同时发生” 是一个事件，称是一个事件，称为为事件事件A与与B的积的积，记作，记作AB或者或者ABnkkA1 表示表示“n个事件个事件A1，A2， An同时发生同时发生” 1kkA表示表示“可列个事件可列个事件A1，A2， An ,同时发同时发生生”，中中kkAAE 1015,1490kkAB AB表示表示“一分钟内呼唤次一分钟内呼唤次数大于数大于100次且小于次且小于150次次”，即有，即有ABkkA149101 E4中，中，A2,4,6， B2,3,4,5,6 ， C1，则，则AB表示表示“出现的点数为大于出现的点数为大于1的偶数的偶数”由于由于A是是B的子集

14、，所的子集，所以以AB=A而而AC表示表示“出现的点数为不大于出现的点数为不大于1的偶数的偶数”，这，这是不可能发生的，故是不可能发生的，故AC。 4、互不相容的事件互不相容的事件 若若AB，则称事件，则称事件A与与B为为互不相容互不相容互不相容的互不相容的 事件在一次试验中不能同时发生事件在一次试验中不能同时发生 例如，在例如，在E E4 4中，中，A与与C为互不相容的事件为互不相容的事件 5、事件的差（相当于差集）事件的差（相当于差集） 在一次试验中，在一次试验中，“事件事件A发生而事件发生而事件B不发生不发生” 这一事这一事件件称为事件称为事件A与与B的的差差，记作，记作AB 6、对立事

15、件（相当于余集）对立事件（相当于余集） “A不发生不发生”这一事件称为事件这一事件称为事件A的对立事件，记作的对立事件，记作 AAA 显然，显然，AA )( AA AA .BABA也可记作也可记作 事件的关系和事件的运算可以用文氏图（图事件的关系和事件的运算可以用文氏图（图11）直观）直观地表示事件的关系和运算与集合论的内容对照如表地表示事件的关系和运算与集合论的内容对照如表11 7 7、事、事件运算的主要性质件运算的主要性质（1）交换律）交换律 ABBA，ABBA ；（2）结合律）结合律 (AB)C A( B C)， (A B ) C A (BC)；（3）分配律）分配律 ( A B)CACB

16、C, (AB)C(AC)(BC); (4）吸收律）吸收律 (A B)A=A, (AB)A=A ； （5）对偶律）对偶律BAABBABA 此外还有：此外还有： AAA，AAA ，A ，A A AA，A ，., AAAA 利用事件的关系、事件的运算及其性质，可将复杂的利用事件的关系、事件的运算及其性质，可将复杂的事件用己知的简单事件表示，这在处理问题时会很方便事件用己知的简单事件表示，这在处理问题时会很方便 例例1 一大批产品中有一大批产品中有5件次品，若从中依次任取件次品，若从中依次任取3件，件，令令Ak表示表示“取到的第取到的第k件为正品件为正品”， k1，2，3试用试用A1, A2 ，A3，

17、表示下列事件：，表示下列事件： （1）“取到的取到的3件中至少有一件为正品件中至少有一件为正品”，记为，记为A （2）“取到的取到的3件均为次品件均为次品”，记为，记为B （3）“取到的取到的3件恰好有一件为正品件恰好有一件为正品”，记为，记为C （4）“取到的取到的3件至多有一件为正品件至多有一件为正品”，记为，记为D解解 （1） A A1 A2 A3 321321)2(AAABAAAB 或或321321321) 3(AAAAAAAAAC 321321321321)4(AAAAAAAAAAAACBD 例例2 如图如图12所示的电路中，所示的电路中，以以A表示表示“信号灯亮信号灯亮” 这一事件

18、，这一事件， 以以B、C、D分别表示事件：继分别表示事件：继电器接点电器接点、闭合，则闭合，则,ABC ,ABD ,ABDBC 互不相容。互不相容。与与即即ABAB, 1.2 事件的频率与概率事件的频率与概率 概率论研究的是随机现象量的规律性因此仅仅知道概率论研究的是随机现象量的规律性因此仅仅知道试验中可能出现哪些事件是不够的，还必须对事件发生的试验中可能出现哪些事件是不够的，还必须对事件发生的可能性大小的问题进行量的描述可能性大小的问题进行量的描述 一、一、 概率的统计定义概率的统计定义 人们经过长期实践发现，虽然随机事件在一次试验中人们经过长期实践发现，虽然随机事件在一次试验中可能出现也可

19、能不出现，但在大量重复的试验中它却呈现可能出现也可能不出现，但在大量重复的试验中它却呈现出明显的规律性出明显的规律性频率稳定性频率稳定性 频率的定义：在相同条件下进行的频率的定义：在相同条件下进行的n次试验中，事件次试验中，事件A发生的次数发生的次数nA称为事件称为事件A发生的发生的频数频数比值比值nA n称为事件称为事件 A发生的发生的频率频率，并记为，并记为fn(A),即即fn(A) = nA n 由定义，易知频率具有下述基本性质：由定义，易知频率具有下述基本性质： (1) 0 fn(A) 1； (2) fn() =1， fn() 0 (3) 若若A、B为互不相容的两个事件，则为互不相容的

20、两个事件，则 fn(A B)= fn(A) + fn(B)事实上，若在事实上，若在次试验中，事件次试验中，事件A发生了发生了A次，事件次，事件B发生了发生了B次，由于次，由于A、B为互不相容，故为互不相容，故AB发生的次数发生的次数AB =A B ，根据频率的定义得，根据频率的定义得 fn(A B)= fn(A) + fn(B) 由于事件发生的频率是它发生的次数与试验次数之比，由于事件发生的频率是它发生的次数与试验次数之比，其大小表示发生的频繁程度频率愈大，事件发生愈频繁，其大小表示发生的频繁程度频率愈大，事件发生愈频繁，这意味着事件在一次试验中发生的可能性愈大因而，直这意味着事件在一次试验中

21、发生的可能性愈大因而，直观的想法是用频率来表示事件在一次试验中发生的可能性观的想法是用频率来表示事件在一次试验中发生的可能性的大小但是否可行的大小但是否可行？ 例例1 (抛掷硬币试验抛掷硬币试验)在一组不变的条件在一组不变的条件 (如硬币是匀的，如硬币是匀的，垂直上抛等等垂直上抛等等)下，重复抛掷一枚硬币，考察事件下，重复抛掷一枚硬币，考察事件A出现出现正面正面发生的频率历史上曾经有不少人做过这个试验，表发生的频率历史上曾经有不少人做过这个试验，表13列出了大量投掷硬币的试验结果列出了大量投掷硬币的试验结果 从上表可见，在多次重复试验中，同一事件发生的频率从上表可见，在多次重复试验中，同一事件

22、发生的频率 虽然并不完全相同，但总是在一个固定的数值附近摆动，呈虽然并不完全相同，但总是在一个固定的数值附近摆动，呈 现出一定的稳定性当重复的次数增加时，这种现象就越明现出一定的稳定性当重复的次数增加时，这种现象就越明 显频率的这种稳定性，反映了随机事件本身固有的属性，显频率的这种稳定性，反映了随机事件本身固有的属性， 也就是说，事件的概率是客观存在的。也就是说，事件的概率是客观存在的。实实 验验 者者投掷次数投掷次数正面次数正面次数 频频 率率蒲蒲 丰丰 4040 2048 0.5069皮皮 尔尔 逊逊 12000 6019 0.5016皮皮 尔尔 逊逊 24000 12012 0.5005

23、概率的概率的统计定义统计定义： 在相同条件下，重复进行在相同条件下，重复进行n次试验，当次试验，当n 充分大，事件充分大，事件A发发生的频率生的频率fn(A) = nA n 稳定地在某一数值稳定地在某一数值 p 附近摆动，则附近摆动，则称称 p为事件为事件A 发生的发生的 概率概率，记作，记作P(A) p关于概率的统计定义关于概率的统计定义: (1) 0P(A)1 P()=0 P()=1; (2) 给出了概率的一种近似求法给出了概率的一种近似求法 (频率近似代替概率频率近似代替概率) (3) 频率与概率不同频率与概率不同, 频率与试验次数有关频率与试验次数有关,而而概率是事物的概率是事物的本身

24、属性本身属性. (实际问题中频率可认为是概实际问题中频率可认为是概 率的随机表现率的随机表现) . (4) 频率代替概率的缺点是不能使频率代替概率的缺点是不能使n+1次试验优于次试验优于n次试验所次试验所得得 结果结果.(很多问题中影响并不大很多问题中影响并不大)为此，人们要寻找更精确的定义为此，人们要寻找更精确的定义.二、二、概率的公理化体系概率的公理化体系 在勒贝格测度论和积分理论基础上，前苏联数学家柯尔在勒贝格测度论和积分理论基础上，前苏联数学家柯尔莫哥洛夫在莫哥洛夫在1933年提出了概率的公理化体系年提出了概率的公理化体系 公理公理1 对任一事件对任一事件A有有P(A)0 公理公理2

25、P()=1 公理公理3 对可列个两两互不相容的事件对可列个两两互不相容的事件A1,A2,An,有有)()(11 iiiiAPAP 在此基础上得到概率的理论定义：在此基础上得到概率的理论定义： 设实值函数设实值函数 P P(A)的定义域为所考虑的全体随机事件组成的定义域为所考虑的全体随机事件组成 的集合，且这个集合函数满足公理的集合，且这个集合函数满足公理1、2、3，则称，则称 P P(A) 为事为事件件A的概率的概率 通常将公理通常将公理1、2、3称为概率的三个基本性质，第三条称为概率的三个基本性质，第三条称为称为可列可加性可列可加性 三、三、 性质性质由概率的三个基本性质可以推出其他的重要性

26、质由概率的三个基本性质可以推出其他的重要性质:（1） P()=0证明证明 令令Ai = （i =1,2,），则），则 ,1 iiA).(jiAAji 且且故由公理故由公理3：)()()()(111 iiiiiPAPAPP 而实数而实数P()0，由上式知，由上式知P() = 0(2) (有限可加性有限可加性)设设A1,A2,An为为n个两两互不相容的事件，则个两两互不相容的事件，则)()(11niiniiAPAP 只需令只需令An 1=An2=，利用公理，利用公理3即可证明即可证明 特别地，当特别地，当A、B为两个互不相容的事件，则为两个互不相容的事件，则 P(AB)=P(A)P(B)(3) 设

27、设A为任一事件，则为任一事件，则).(1)(APAP AAAA,证明证明)()()()(1APAPAAPP ).(1)(APAP 从而从而(4) (单调性单调性) 若若A B,则则P(BA)=P(B) P(A)，且，且P(A)P(B) 证明证明 当当A B,有有B =A(BA)，且，且A(BA) =，则，则 P(B)=P(A)P(BA)， P(BA)= P(B) P(A) 由概率的非负性由概率的非负性P(BA)0，故，故P(A)P(B) (5) 两个事件概率的加法公式两个事件概率的加法公式:若若A、B为任意两个事件，则为任意两个事件，则 P(AB)=P(A)P(B)P(AB) (1-7)证明证

28、明 AB = A(BAB)且且A与与BAB互不相容互不相容 P(AB)=P(A)P(BAB) AB B P(BAB) = P(B)P(AB) P(AB) = P(A) P(B)P(AB) 例例1 若事件若事件A、B的概率分别为的概率分别为1/4和和1/3，在下列三种情况，在下列三种情况下分别求下分别求).( ABP (1)A与与B互不相容；互不相容；(2)A B；(3) P(AB)=1/5 解解 (1)若若A、B为互不相容，则为互不相容，则,AB BAB 从从而而3/1)()( BPABP (2)若若A B，则，则12/1)()()()( APBPABPABP (3) 若若P(AB)=1/5，

29、则，则互不相容互不相容与与且且ABAABABA, )()()()(ABPAPABAPBAP 又由加法公式又由加法公式 P(AB) = P(A) P(B)P(AB)，)()()(APBAPABP 15/2)()( ABPBP解法解法2 B = B)()()(ABABAAB )()(ABAB 而而)()()(ABPABPBP )( ABP15/2)()( ABPBP1.3古典概型和几何概型古典概型和几何概型 一、古典概型（一、古典概型（等可能概型等可能概型） 有很多试验都具有两个共同的特点：有很多试验都具有两个共同的特点： (1) 试验的可能结果试验的可能结果(样本空间的样本点样本空间的样本点)有

30、限；有限；(有限性有限性) (2) 每次试验中各样本点出现的可能性相等。每次试验中各样本点出现的可能性相等。(等可能性等可能性)具有以上两个特点的试验称为具有以上两个特点的试验称为等可能概型等可能概型它在概率论发展它在概率论发展初期是主要的研究对象，故也称为初期是主要的研究对象，故也称为古典概型古典概型 古典概型在概率论中占有重要地位一方面它有助于简古典概型在概率论中占有重要地位一方面它有助于简单直观地理解概率论的一些基本概念；另一方面古典概型的单直观地理解概率论的一些基本概念；另一方面古典概型的概率计算在产品质量的抽样检查等实际问题以及理论物理的概率计算在产品质量的抽样检查等实际问题以及理论

31、物理的研究中都有重要的应用研究中都有重要的应用nmAP )( 若试验结果由若试验结果由n个基本事件组成，并且基本事件的发生具个基本事件组成，并且基本事件的发生具有相同的可能性，而事件有相同的可能性，而事件A由其中的由其中的m个基本事件组成，则个基本事件组成，则（事件（事件A含的基本事件数除以含的基本事件数除以试验的基本事件总数）试验的基本事件总数） 此定义通常称为概率的此定义通常称为概率的古典定义古典定义。显然古典概率满足：显然古典概率满足： ( 1 ) 0P(A)1 ( 2 ) P()=0 P()=1; ( 3 ) 若若A 、B为互不相容的两个事件，则为互不相容的两个事件，则 P(AB)P(

32、A)P(B) 例例1 袋内有外形一样的袋内有外形一样的5个白球，个白球，3个黑球，从中任取个黑球，从中任取两个。求取出的两个球两个。求取出的两个球 都是白球的概率；都是黑球的都是白球的概率；都是黑球的概率；概率； 一个白球一个黑球的概率。一个白球一个黑球的概率。 解：设解：设A表示表示“取到两白取到两白”、B表示表示“取到两黑取到两黑”、C表表示示“取到一白一黑取到一白一黑” 试验的基本事件总数试验的基本事件总数 28235 CnA含的基本事件数含的基本事件数 1025 CmAB含的基本事件数含的基本事件数 323 CmB C含的基本事件数含的基本事件数 151315 CCmC1452810)

33、( AP283)( BP2815)( CP 例例2：一批产品共：一批产品共200个，其中有个，其中有6个废品。求（个废品。求（1）这批）这批产品的废品率（任取一件产品是废品的概率）；（产品的废品率（任取一件产品是废品的概率）；（2）任取）任取3个恰有一个废品的概率；（个恰有一个废品的概率；（3）任取）任取3个全非废品的概率。个全非废品的概率。 解：设解：设A、B、C分别表示分别表示(1)、(2)、(3)中三事件，则中三事件，则 03. 02006)( AP0855. 0)(3200219416 CCCBP9122. 0)(32003194 CCCP 例例3：两封信随机投入：两封信随机投入、四个

34、邮筒，四个邮筒，A 表表示恰有一封信投入第二个邮筒，示恰有一封信投入第二个邮筒，B 表示各有一封信投入前两表示各有一封信投入前两个邮筒。求个邮筒。求P(A)、P(B)。 解：基本事件总数为解：基本事件总数为44=16 A含的基本事件数含的基本事件数 61312 CCmA12C表示两封信中任一封投入第二个邮筒表示两封信中任一封投入第二个邮筒 13C表示另一封可投入余下三个邮筒中的一个邮筒表示另一封可投入余下三个邮筒中的一个邮筒B含的基本事件数含的基本事件数 2 Bm8316616)( AmAP于是于是8116216)( BmBP例例4 10件产品中件产品中7件正品，件正品，3件次品，任取两件件次

35、品，任取两件(不放回抽样不放回抽样)，求求“取到一件正品一件次品取到一件正品一件次品”的概率的概率 解：令解：令A表示表示“取到两件正品取到两件正品”，B表示表示“取到两件次取到两件次品品”，C表示表示“取到一正一次取到一正一次” 。 法法1 直接用古典概型的概率计算公式计算直接用古典概型的概率计算公式计算样样本本空空间间中中的的样样本本点点数数中中的的样样本本点点数数事事件件 CCP )(15745212101317 CCCBABAC ：法法2(既非两件正品又非两件次品即一正一次既非两件正品又非两件次品即一正一次)157)(21027 CCAP151)(21023 CCBP A、B互不相容，

36、互不相容， P(AB) = P(A) P(B)=8/15)()(BAPCP =1- P(AB) =7/15 例例5 在在1100中任取一数，求取到的数既不能被中任取一数，求取到的数既不能被6整除，整除，又不能被又不能被8整除的概率整除的概率 解解 令令A表示表示“取到的数能被取到的数能被6整除整除”，B表示表示“取到的取到的数数能被能被8整除整除”那么那么“取到的数既不能被取到的数既不能被6整除，又不能被整除，又不能被8整整除除”可表示为可表示为BABA 100内内6的倍数有的倍数有16个，个，8的倍数有的倍数有12个，个，6和和8的公倍的公倍数有数有4个，故有个，故有 P(A) = 16/1

37、00，P(B) =12/100，P(AB) = 4/100 由由 P(AB)=P(A)P(B)P(AB) = 0.2476. 024. 01)(1)( BAPBAP 二、几何概型二、几何概型 古典概型所研究的随机试验是有限等概率样本空间，对古典概型所研究的随机试验是有限等概率样本空间，对于有无穷多可能结果的试验，古典概率的定义就不适用了于有无穷多可能结果的试验，古典概率的定义就不适用了 向某一可度量的区域向某一可度量的区域G 内投一点，如果所投点落在内投一点，如果所投点落在G 中中任一区域任一区域g内的可能性的大小与内的可能性的大小与g 的度量成正比，而与的度量成正比，而与g 的位的位置和形状

38、无关置和形状无关把具有这种特征的随机试验称为把具有这种特征的随机试验称为几何概型几何概型 这里所说的度量，可以是线段的长度；可求积的平面区这里所说的度量，可以是线段的长度；可求积的平面区域的面积；可求积的空间区域的体积等等域的面积；可求积的空间区域的体积等等 几何概型中样本点可以用几何概型中样本点可以用G 中的点表示，因而样本空间中的点表示，因而样本空间=G事件事件A 的概率的计算公式为的概率的计算公式为的度量的度量的度量的度量 AAP)(显然几何概率具有如下性质：显然几何概率具有如下性质： (1) 0P(A)1 (2) P()=1，P()=0 (3) 若若A1,A2,An,为可列个两两互不相

39、容的事件，则为可列个两两互不相容的事件，则 11)()(iiiiAPAP 例例6 甲乙两人约定在甲乙两人约定在0 时到时到T 时在某地会面，先到者等候时在某地会面，先到者等候t（T）时，过时即可离去，试求两人能会面的概率）时，过时即可离去，试求两人能会面的概率 解解 令令x 和和y 分别表甲和乙到达某地的时刻，那么分别表甲和乙到达某地的时刻，那么x 和和y 均均可能取可能取0，T内任一值即内任一值即0 x T，0y T 如图如图1-3，建立直角坐标系，问题可视为向平面区域，建立直角坐标系，问题可视为向平面区域 =(x,y) |0 xT,0yT内投点内投点 令令A表示表示“两人能会面两人能会面”

40、，则，则A=(x,y) |x-y| t为图中为图中阴影部分阴影部分 22)()(TTTAAP面面积积的的的的面面积积 例例7 平面上画着一些平行线，相邻两条平行线间的平面上画着一些平行线，相邻两条平行线间的距离均为距离均为a，向该平面上任意投一枚长度为，向该平面上任意投一枚长度为l (l a )的针，的针，试求针与平行线中任意一条相交的概率试求针与平行线中任意一条相交的概率 解解 令令x 表示针的中点到最近的表示针的中点到最近的一条平行线的距离，一条平行线的距离， 20 ,0,axx 表示针与此表示针与此线的交角，线的交角， 如图如图14于是投针于是投针问题相当于向平面区域问题相当于向平面区域

41、内投点令内投点令A表示表示“针与平行线相交针与平行线相交”，则，则A发生相当于发生相当于2sin0lxx sin20 ,0| ),(lxxA 即即在平面上建立直角坐标系，如图在平面上建立直角坐标系，如图15ldlSA sin20 alSSAPA2)( aS 21 此问题是是法国科学家蒲丰在此问题是是法国科学家蒲丰在1777年提出的年提出的“投针问投针问题题” 令令 p=P(A)，那么，那么 apl2 此事件的概率此事件的概率p与与有关，因此可用它计算有关，因此可用它计算的近似值的近似值. “投投针问题针问题” 还是找矿中的一个重要概型还是找矿中的一个重要概型 设在给定区域内的设在给定区域内的某

42、某处有一矿脉（相当于针）长为处有一矿脉（相当于针）长为l，用间隔为，用间隔为a的一组平行线的一组平行线进行探测，假定进行探测，假定l a ，那么，那么“找到矿脉找到矿脉”的概率也就相当的概率也就相当于针与平行线相交的概率于针与平行线相交的概率 求求的方法是：投针的方法是：投针N次，记录针与平行线相交的次数次，记录针与平行线相交的次数n，用频率作为概率，用频率作为概率p的值，得到近似计算公式：的值，得到近似计算公式：anlNNnal22 1.4 条件概率条件概率 一、条件概率一、条件概率 直到现在，对直到现在，对P(A)的讨论都是相对于某组确定的条件的讨论都是相对于某组确定的条件S而而言的言的

43、P(A) 就是在条件组实现之下，事件就是在条件组实现之下，事件A发生的概率（为发生的概率（为简略起见，简略起见，“条件组条件组S”通常不再提及）除这组基本条件通常不再提及）除这组基本条件“S”外，有时还要提出附加的限制条件；即要求外，有时还要提出附加的限制条件；即要求“在事件在事件A已经发已经发生的前提下生的前提下”事件事件B发生的概率这就是条件概率的问题条发生的概率这就是条件概率的问题条件概率是概率论中的一个重要而实用的概念件概率是概率论中的一个重要而实用的概念 例例1 将一枚硬币掷两次观察其出现正反面的情况设将一枚硬币掷两次观察其出现正反面的情况设事件事件A“至少有一次为正面至少有一次为正

44、面”，事件，事件B为为“两次掷出同一两次掷出同一面面”现现在来求已知事件在来求已知事件A发生的条件下事件发生的条件下事件B发生的概率发生的概率 这里，样本空间这里，样本空间=HH,HT,TH,TT ,A=HH,HT,TH BHH,TT已知事件已知事件A已发生，有了这一信息，即知试验已发生，有了这一信息，即知试验所有可能结果所成的集合就是所有可能结果所成的集合就是A，A中共有中共有3个元素，其中只个元素，其中只有有HHB于是，在于是，在A已经发生的条件下已经发生的条件下B发生的概率发生的概率 P(B|A)1/3在这里，在这里，P(B)2/4P(B|A)这是因为在求这是因为在求P(B|A)时是限制

45、时是限制在在A已经发生的条件下考虑已经发生的条件下考虑B发生的概率的发生的概率的另外，另外，P(A)3/4， P(AB) 1/4， P(B|A)1/3 故有故有)()()|(APABPABP 当当P(A)0时上式对古典概型都是成立的时上式对古典概型都是成立的 事实上事实上, 设试验的基本事件总数为设试验的基本事件总数为n， A所包含的基本事所包含的基本事件数为件数为nA(nA 0)，AB所包含的基本事件数为所包含的基本事件数为 nAB，即有，即有 AABnAnABABP所包含的样本点数所包含的样本点数事件事件所包含的样本点数所包含的样本点数事件事件 )|()()(/ApABPnnnnAAB 由

46、此给出一般情况下条件概率的定义：由此给出一般情况下条件概率的定义： 设设A、B为两个事件，且为两个事件，且P(A)0，则，则)()()|(APABPABP 称为事件称为事件A已发生的条件下，事件已发生的条件下，事件B发生的条件概率发生的条件概率 可以验证条件概率满足：可以验证条件概率满足： (1)对任一事件对任一事件B，有，有P(B | A)0； (2)P(| A)=1； (3)设设B1，B2，Bn，为两两互不相容的事件，则为两两互不相容的事件，则 11)|()|(iiiiABPABP 例例2 袋中有袋中有5个大小相同的球，其中编号为个大小相同的球，其中编号为1、2、3的是的是红球，编号为红球

47、，编号为4、5的是白球甲乙两人从中各摸一球求下的是白球甲乙两人从中各摸一球求下列事件的概率列事件的概率(1)“甲摸到了红球甲摸到了红球”；“乙摸到了白球乙摸到了白球”；“甲甲摸到红球且乙摸到白球摸到红球且乙摸到白球”；(2)“甲先摸到红球后，乙摸到白甲先摸到红球后，乙摸到白球球”的概率的概率 解解 (1)令令A表示表示“甲摸到了红球甲摸到了红球”，B表示表示“乙摸到了白乙摸到了白球球”，则则AB为为“甲摸到红球且乙摸到白球甲摸到红球且乙摸到白球”将甲、乙两人所摸到将甲、乙两人所摸到的的球的编号用球的编号用(i，j)表示，则样本空间由下列样本点构成：表示，则样本空间由下列样本点构成： (1，2)

48、 (1，3) (1，4) (1，5) (2，1) (2，3) (2，4) (2，5) (3，1) (3，2) (3，4) (3，5) (4，1) (4，2) (4，3) (4，5) (5，1) ( 5，2) (5，3) ( 5，4) 样本空间所含样本点数样本空间所含样本点数n =A52 = 54=20， 事件事件A所含样本点数所含样本点数nA= A31A41=4 3=12， 事件事件B所含样本点数所含样本点数nB= A21A41= 2 4 =8， 事件事件AB所含样本点数所含样本点数nAB= A31A21=2 3=6， P(A) =12/20 = 0.6；P(B)=8/20=0.4； P(AB

49、)=6/20=0.3 (2)“甲先摸到红球后，乙摸到白球甲先摸到红球后，乙摸到白球”的概率是的概率是A发生条件发生条件下，下，B发生的概率发生的概率P(B | A)由（由（1）可见导致）可见导致A发生的样发生的样本点有本点有12个，个，AB同时发生的样本点有同时发生的样本点有6个，故有个，故有 P(B | A)=P(AB)/P(A) =6/12=1/2 对第二问，若利用第一次摸取的所有可能结果作成的样对第二问，若利用第一次摸取的所有可能结果作成的样本空间，即本空间，即=1, 2, 3, 4, 5, 则做法更简洁由于则做法更简洁由于中共有中共有5个元素，已知个元素，已知A发生，即发生，即1,2,

50、3号三个球中已摸走一个，于是，号三个球中已摸走一个，于是，第二次的所有可能结果的集合中共有第二次的所有可能结果的集合中共有4个球，个球，2红红2白，故得白，故得 P(B|A) = 2/4 = 1/2 例例3 在在0至至9这这10个数字中随机取一个，个数字中随机取一个，(1)已知抽到的为已知抽到的为奇数，求该数大于奇数，求该数大于6的概率；的概率；(2)已知抽到的数大于已知抽到的数大于6，求该数，求该数为奇数的概率为奇数的概率 解解 令令A表示表示“抽到的为奇数抽到的为奇数”，B表示表示“抽到的数大于抽到的数大于6”（1）要求）要求P（B | A）；（）；（2）要求）要求P（A | B） =0,