1、自动飞行控制系统中国民航大学张旗2015年9月制第二章 飞行器运动方程v飞行器运动方程组v飞机的纵向运动v飞机的横侧向运动2.1飞行器运动方程组v建立飞行器运动方程时作出的假设条件（Ma3）:飞行器为刚体且质量是常数；地面坐标系为惯性坐标系,即假设地坐标为惯性坐标；忽略地球曲率,视地面为平面；重力加速度不随飞行高度而变化；假设机体坐标系的OXZ平面为飞行器的对称平面，飞行器不仅几何外形对称，而且内部质量分布也对称，即惯性积IXY=IZY=0。v飞机运动的自由度：对于飞机，若将其视为刚体，其在空间的运动需要六个自由度来描述。质心的位移（线运动）：飞行速度的增减、升降和侧移运动；绕质心的转动（角运
2、动）：俯仰角运动、偏航角运动以及滚转角运动。v纵向运动（对称平面内运动）：速度的增减、质心的升降，绕y轴的俯仰角运动；v横侧向运动（非对称平面内运动）：质心的侧向移动、绕z轴的偏航角运动，饶x轴的滚转角运动。2.1飞行器运动方程组v飞机运动的特点:飞机的基准运动为等速直线平飞状态，其小扰动线性化方程是常系数。飞机的操纵面有升降舵、副翼和方向舵；飞机的外形通常是左右对称而上下不对称的面对称形体，垂直尾翼安装在机身后上部，便于地面起降。这种布局致使机体水平转弯的效率很低，所以飞机一般采用倾斜转弯。飞机的偏航和滚转运动间的交叉影响显著。2.1.1动力学方程飞机动力学方程可由牛顿第二定律导出,该定律的
3、向量形式为: F外力 m飞机质量 V飞行速度 M外力矩 H动量矩 表示相对惯性空间而言利用前面，m=常数。按假设，地面为惯性坐标系。去掉 ,表示对地面参考系也成立，所以上式可写为:根据理论力学,速度向量对时间的变化率为: 可用机体坐标轴系上的分量表示:HVXV1 ;1iidtHdMVmdtdF)(dtVdmF VdtdVdtVdV1kjiuVkrjqipV;i,J和k分别表示沿机体坐标轴系OX,OY,OZ的单位向量.V上的单位向量速度标量叉积飞机相对于地面坐标轴系总角速度向量.iidtHdM HdtdHdtHdH1动量矩H上的单位向量2.1.1动力学方程由此可得:展开上式可得:将合外力 向机体
4、坐标系内分解:则合外力 对飞机的作用可表示为 :kZjYiXF)()()(uqpkpurjrqiV urqpkjiVkju idtdkdtdjdtduidtdVV1)()()(uqpmZpurmYrqumXFF2.1.1动力学方程如果将总空气动力 和发动机推力T向机体坐标轴系分解为(FX,FY,FZ),再利用重力在机体坐标系内分解公式，上式可写成下列的力方程组: mFgpupmFgpurmFgwqruzyxcoscossincossinRcoscossincossinmgmgmgGGGzyx2.1.1动力学方程下面推导角运动(绕重心的运动)方程.利用假设,可写为:H代表旋转的角动量或动量矩.单
5、元质量dm因角速度所引起的动量等于单元质量绕瞬时转动中心的切线速度Vq乘以dm.Vq又可表示成 因此,切线速度所引起的动量增量为:动量矩等于动量乘以旋转臂长,写成向量形式为:对飞机的全部质量进行积分,可得总的动量矩:式中: rVqdtHdM dmrrHd)( dmrMdr)(dmrrHdH)(krjqipkzjyixrttt表示瞬时转动中心到单元质量dm的距离向量.2.1.1动力学方程所以带如上式后得:定义: 为惯性矩（即：绕X轴的转动惯量）； 为惯性积；其他积分定义依此类推。依据第假设,Ixy=Izy=0,将上式的分量写为: 因为：其中： 1H沿 的单位向量 HdtdHMH1xyIdmxyx
6、Idmzy)(22 xzzzyyxzxxpIrIHqIHrIpIHdmzyqzxpryxkdmyxpyzrqxzjdmxzrxyqpzyiH)()()(222222dtHdM dtHdkdtHdjdtHdidtdHzyzH1H2.1.1动力学方程 的分量是:上式推导中假设飞机是质量刚体,内部质量不在机内移动，则惯性矩和惯性积对时间的变化率为零.而:展开后得: )()()(xyzxyzqHpHkpHrHjrHqHiHzyxHHHrqpkjiH dtdHH1xzzzyyxzxxIpI rdtdHIqdtdHI rIpdtdH2.1.1动力学方程再将外合力矩 向机体坐标系分解后，有：利用前面的一系列
7、式子可得到在机体坐标系中飞机在和外力矩作用下的叫运动方程组:整理上式可以得到下列力矩方程组:式中：. kNjMiLMxzxyxyzxzzxyxzyzxyxqrIIIpqIpI rNIrpIIprIqMpqIIIqrI rIpL)()()()(22NcLcqrcpcrMcrpcprcqNcLcqpcrcp9428722654321)()()(292876543221,;)(;1;)(;)(xzzxxxzyxxyyxzyxzxzzxzzyxXZZzyIIIIcIIIIcIcIICIIICICICIIIIcIIIIcM2.1.1动力学方程两个加框的方程组是描述在操纵面锁定条件下，在机体坐标轴系上建立
8、了合外力 和和外力矩 的作用下飞机非定常运动的两组动力学方程组.v以上推导是研究了动坐标轴系(机体坐标轴系)相对于静坐标轴系(地面坐标轴系)的动力学问题,并未涉及动坐标系相对于静坐标系的空间方位问题。而各力和力矩项都与飞机的空间方位(,)有关,上述两组方程显然是不够的.v在空间运动的飞机有6个自由度,每1个自由度用一个二阶微分方程描述,整个飞机的方程就有12阶.但是上述两个加框的方程组总起来只有6阶,另外6个一阶微分方程可由飞机的运动学方程来补充.v运动学方程描述飞机相对于地面坐标轴系的空间方位. FM2.1.2 运动学方程飞机相对于地面坐标系的位置,可由机体坐标轴系原点相对于地面坐标轴系的三
9、个坐标Xg，Yg，Zg以及这两个坐标轴系之间的三个夹角(俯仰角,滚转角,偏航角)来确定.运动学方程建立了Vx,Vy,Vz,p,q,r与Xg,Yg,Zg,之间的关系. v机体坐标轴系与地面坐标轴系之间的关系:将地面坐标轴系OXgYgZg旋转三次，使其与机体坐标系一致。第一次，地面坐标系OZg轴以角速度 转过角度 （偏航角），OXg和OYg分别转到OX1和OY1；第二次， OX1Y1Z1和绕OYg轴以角速度 转过角度 （俯仰角）， OX1和OZg分别转到OXb和OZ2； ；第三次， OXbY1Z2绕OXb轴以角速度 转过角度 （滚转角），与OXbYbZb 一致。 2.1.2 运动学方程根据机体坐标
10、轴系OXbYbZb和地面坐标轴系OXgYgZg之间的几何关系,可得方向余弦表(1) 机体坐标地面坐标OXbOYbOZbOXgcoscos cossinsin-sincossinsin+cossincosOYgsincoscossin+sinsinsinsinsincos-cossinOZg-sincossincoscos上表说明机体坐标轴系OXb上的单位向量在地面坐标轴系三个轴上的分量各自为: coscos, sincos和-sin.2.1.2 运动学方程其次,还需建立三个姿态角变化率 与三个角速度分量 (p,q,r)间的几何关系.v三个姿态角变化率的方位如下: :沿水平面内与OX轴在水平面上
11、的投影线相垂直,向右为正. :沿OX轴的向量,向前为正. :沿OZ轴的向量,向下为正.为了得到三个姿态角变化率与绕机体轴三个角速度间的转换关系,将三个姿态角变化率向机体轴上投影,得:),(coscossinsincoscossinrqp2.1.2 运动学方程应该指出: 在一般情况下并不是互相垂直的正交向量,但 (p,q,r)却互相正交.故:上式表示飞机三个姿态角变化率或绕机体轴的三个角速度分量都能合成飞机总角速度向量 .一般情况下 与 与 互相垂直,但 与 不互相垂直.只有=0时, 与 才互相垂直.krjqip),(,sincos)sincos(cos1)sincos(rqqrqrtgp由上式
12、可解出 的表达式:,2.1.2 运动学方程由前面表（1）还可以得出飞机质心速度V在机体坐标系上的分量Vx,Vx,Vx与质心对地面坐标系的速度 之间的关系：以上两个带方框的方程组组成飞机的6个一阶的运动学微分方程组。coscossincossin)sincoscossin(sin)coscossinsin(sincossin)sinsincossin(cos)cossinsinsin(coscoscoszyxgzyxgzyxgVVVdtdzVVVdtdyVVVdtdx),(dtdzdtdydtdxggg2.1.2 运动学方程 速度坐标地面坐标OXaOYaOZaOXgcoscoscossinsin
13、-sincos cossincos+sinsinOYgsincossinsinsin+coscossinsincos-cossinOZg-sincossincoscos上表与(1)表形式完全相同,若将,分别换成,表(1)就成为表(2).v速度坐标轴系与地面坐标轴系之间的关系:由于气动力,气动力矩都与,有关,必然涉及速度坐标轴系.根据速度坐标轴系OXaYaZa和地面坐标轴系OXgYgZg之间的几何关系,可得方向余弦表(2)2.1.2 运动学方程v速度坐标轴系与机体坐标轴系之间的关系:根据速度坐标轴系OXaYaZa和机体坐标轴系OXbYbZ之间的几何关系,可得方向余弦表(3) 速度坐标机体坐标OX
14、aOYaOZaOXcoscos-cossin-sinOYsincos0OZsincos-sinsincos2.1.2 运动学方程前面各方向余弦表可看作转换矩阵,通过它们可以从一个坐标轴系转换到另一坐标轴系.利用表(1)转换矩阵可将机体坐标轴系的变量转换到地面坐标轴系上,利用(3)转换矩阵可将速度坐标轴系的变量转换到机体坐标轴系上.若将表(1)转换矩阵用表(3)转换矩阵右乘,得到速度坐标轴系和地面坐标轴系的转换矩阵,由此可得下列有用的几何关系式:)cossinsinsin(coscossinsincoscossin)sinsinsincos(cossin)sincoscossin(sincoss
15、incossincoscoscossin)sinsincoscos(sincossincoscossin2.1.3 飞机动力方程的讨论和线性化处理v前面得出的2组飞机动力学方程共6个联立的非线性运动方程式，再加上那些复杂的结合关系，以及气动力、气动力矩等都是运动参数的非线性函数。因此要直接用这些方程解算飞机的运动，一般不能用解析法,而只能用数值积分法求解，即只能利用计算机。v但是无论如何飞机运动方程都是一组复杂的非线性微分方程, 在研究飞机的稳定性和操纵性时,常根据小扰动原理对这组方程进行线性化处理,以便采用较简便的求解方法.v飞机的飞行运动分为基准运动和扰动运动。而稳定性的关键是扰动运动能否
16、回到基准运动。2.1.3 飞机动力方程的讨论和线性化处理v一般小扰动线性化是相对原点或某点进行的.这里的小扰动线性化则是相对于基准运动进行的.v基准运动(又称未扰动运动):是指在完全理想的条件下,飞机按照驾驶员或飞行控制系统的意图按预定规律进行的运动.v扰动运动:是指飞机在外干扰作用下偏离基准运动,一段时间内违背预定规律的运动.v外干扰可能来自于大气的紊动,发动机工作情况的改变以及驾驶员的偶然操纵等.它可以是瞬时的，也可以是持续性的.v若扰动运动与基准运动之间差别甚小,则称为小扰动运动.由于是小扰动，因此，可将那些含有扰动运动参数与基准运动参数件差值的高于一阶的小量即所谓高阶小项略去，方程变为
17、线性方程。v首先研究最常见的等速直线平飞状态的稳定性问题。基准运动就选择为没有倾斜、没有侧滑的等速直线平飞运动。2.1.3 飞机动力方程的讨论和线性化处理v小扰动原理:设运动方程组中的某一方程为:f(x1,x2,xn)=0式中变量(x1,x2,xn)可以是运动参数或其导数.变量xi（i=1,2n）可表示为基准运动时参数x0与偏差量xi之和,即:xi=x0+xi无论是基准运动还是扰动运动都应满足运动方程f(x1,x2,xn)=0,即: f(x10,x20,xn0)=0 f(x10+x1 ,x20 +x2,xn0 +xn)=0将扰动方程式的左边展成泰勒级数,在小扰动假设下,二阶和二阶以上的小量可略
18、,则得:从上式中减去基准方程得:这就是线性化的小扰动方程.式中系数 是已知的.00201)(,)( ,)(nxfxfxf 0)()()(),(020210102010 nnnxxfxxfxxfxxxf0)()()(0202101 nnxxfxxfxxf2.1.3 飞机动力方程的讨论和线性化处理v飞机运动方程的线性化处理v选取定常直线无侧滑飞行为基准运动,得基准运动参数有:根据小扰动原理,扰动运动参数可用基准运动参数附加一小扰动量来表示,即:同样,可将基准运动和扰动运动的外力和外力矩表示为:00000000NMLZYXaaxppuVu00000000000000; 0; 0; 0; 0; 0;
19、0;eraorqpVurrqqeee0NNMMLLZZYYXX2.1.3 飞机动力方程的讨论和线性化处理将上述扰动运动各参数表示式以及扰动运动外力和外力矩表示式代入飞机的运动方程组：(1) (2)因为 等都是小量，所以取决于运动参数的外力和外力矩可以按照这些参数的增量展成泰勒级数的形式，并且所得式中只保留一阶项，略去高阶小项。作用力和力矩取决于运动参数本身和它们对时间的一次导数。例如方程组(1)中第一式的力X可展成：对其他的外力和力矩也能写出同样的表达式。)()()(uqpmZpurmYrqumXxzxyxyzxzzxyxzyzxyxqrIIIpqIpI rNIrpIIprIqMpqIIIqr
20、I rIpL)()()()(22, pu dtdXdtuduXXXuuXXX000000)()()()()(2.1.3 飞机动力方程的讨论和线性化处理将上述扰动各参数表示式以及扰动运动外力和外力矩表示式带入飞机的运动方程组(前2个加框的方程组),减去其对应的基准运动方程,并略去二阶及以上的小扰动量, 以小扰动量为变量的线性化方程: )()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()(0000000000000000000NNuuNdtpdIdtrdIMMuuMdtqdILLuuLdtrdIdtpdIZZuuZqVdtdmYYuuYrVdtdmXXuuXdtu
21、dmxzzyxyx2.1.3 飞机动力方程的讨论和线性化处理v运动方程的分组前页方程组是常系数线性微分方程,假设飞机外形和内部质量分布对称于XsOZs平面而且有基准运动的左右对称性,那么方程组还可以简化.由于存在这种对称性,我们将运动参数(扰动量)分成对称的和不对称的两类：v前进的速度u,俯仰角速度q等运动参数变化时,并没有破坏绕飞机气流的对称性,是对称的参数,因而这些参数的变化引起的气动力和力矩始终处于飞机对称平面(纵向平面)内.v另一类运动参数(,p,r,等)是不对称的,引起不对称的气动力和力矩.对称的参数不会引起不对称的的气动力和力矩,而不对称的运动参数除了引起不对称的气动力和力矩外，还
22、对纵向平面的力和力矩(X,Z,M等)有一定影响.2.1.3 飞机动力方程的讨论和线性化处理因此,在基准运动对称的前提下,纵向平面的力和力矩在基准点对不对称运动参数的一阶导数必为零，即：应用上述结论就可将方程组分成互不相关的两组方程.1.不论在等式的左边还是右边都只含对称平面内的运动参数(,q,u等),称为纵向扰动运动方程; qqMMuuMdtqdIqqZZuuZqVdtdmqqXXuuXdtudmy0000000000)()()()()()()()()()()(0)()()()M()Z()(000000rMpMpZX2.1.3 飞机动力方程的讨论和线性化处理2.只含不对称的运动参数(p,r,等
23、),称为横侧向扰动运动方程. )()()()()()()()()()()(000000000NrrNppNdtpdIdtrdILrrLppLdtrdIdtpdIYrrYppYrVdtdmxzzxyx另外，几何关系式也应对基准运动线性化,得:rdtdpdtdsincos)sincos(cos1)sincos(rqqrqrtgpqdtd2.2 飞机的纵向运动v2.2.1纵向运动的传递函数 飞机纵向运动只涉及纵向的运动参数和气动力,又由于习惯用速度坐标系来表示空气动力,所以用速度坐标系建立纵向运动一般方程,以此推导纵向小扰动线性运动方程.飞机纵向受力图:2.2 飞机的纵向运动v2.2.1纵向运动的传
24、递函数1.发动机推力T，方向沿发动机轴线，与机身轴线形成发动机安装角T。一般情况下发动机推力线不一定通过飞机重心。重心对推力线的垂距为ZT，当重心在推力线之上ZT为正值时，推力T对重心之矩为正；2.升力L，垂直于飞行速度V，向上为正；3.阻力D，平行于飞行速度V，向后为正；4.俯仰力矩Ma（仅指气动力矩），抬头为正。2.2 飞机的纵向运动 -纵向运动方程qdtdTZMdtdqIdtdIGLTdtdmVGDTdtdVmTyyTT*22cos)sin(sin)cos(沿重心轨迹的切向方程:沿重心轨迹的法向方程:绕OY轴转动俯仰力矩方程:2.2 飞机的纵向运动法向方程左侧推导：由理论力学知，法向（或
25、向心）加速度为：式中：V切向速度 R重心轨迹曲率半径。由于速度为轨迹弧长对时间的导数：微段弧长为： 取微分为：因此：RVan2dtdSV RsRdds dtdVdtdRRVRdtdSVRVVRVan122.2 飞机的纵向运动 -2.2.1纵向运动方程TyTZMdtdIGLdtdmVGDTdtdVm*22cossin实际上，飞机着陆下滑时飞行速度较小,迎角较大。一般情况如巡航飞行,则速度较快迎角较小.发动机安装角T在一般飞机上是一个很小的角度，因此可近似认为:cos(+T)=1;推力远小于重力 (或升力) ,即:Tsin(+T)G(或L),可以忽略。则前式变为:2.2 飞机的纵向运动 -纵向运动
26、方程的线性化处理首先线性化处理方程组中的力(T,D,L)和力矩(M):发动机推力T与飞行速度V,空气密度以及油门位置T有关,可表示为:T=T(V,T).升力L和阻力D与V(包括了空气压缩性效应),空气密度,迎角以及升降舵偏转角e有关,与迎角变化量及q的关系很小,可忽略不计. e对阻力的影响也很小,也可忽.因此表示为:L=L(V,e); D=D(V,);气动力矩M与速度(包括了空气压缩性效应),空气密度,迎角,升降舵偏转角e还有d/dt和q有关,表示为:M =M(V,e, ,q);2.2 飞机的纵向运动 -纵向运动方程的线性化处理以小扰动为前提,基准运动选择等速直线平飞.扰动运动偏离基准运动的高
27、度差不会太大,因而可认为空气密度是常数,由此T,L,D和M*的表达式为;T=T(V,T)L=L(V,e)D=D(V,);M =M(V,e, ,q);以上各函数对基准运动(V0,0,e0,T0)展开泰勒级数并保留一阶小项,得:qqMMMMVVMMMDVVDDDLLVVLLLTVVTTTaaeeaaaaeeTT0000000000000000)()()()()()()()()()()()(2.2 飞机的纵向运动 -纵向运动方程的线性化处理0)(qMMMMVMMMDVDDDLLVLLLTVTTTaqaeaaaVaVeVTVeeT0000式中 表示对基准运动求导,令: .前面各式变为: 000)(;)
28、(;)(qMMLLVTTaaqV2.2 飞机的纵向运动 -纵向运动方程的线性化处理dtVddtdVdtdVdtVddtdVdtVVddtdV; 0)(000TVVmVTVgVgmVDVmTDdtVdT0000)(TVVmTgmDVmDTdtVdT(1) 切向动力方程的线性化:切向加速度为: 基准运动是等速直线平飞,故:又因为基准运动的航迹倾斜角0=0,故:sin =sin(+ 0)=,且有:T0-D0=0, 则切向动力方程和运动学方程线性化方程为:和 =-将=-代入上式得: 式中V=V/V02.2 飞机的纵向运动 -纵向运动方程的线性化处理eVmVLdtdVmLmVLdtde00dtdVdtd
29、VdtdVdtdVdtdVVdtdV000000)()(2)法向动力方程的线性化:法向加速度为: 对于等速直线平飞的基准运动有: 再代入=-,保留一阶小量得:将此式和L的泰勒展开式带入,得法向动力方程的线性化方程:0, 000dtdcos000GLLVLLdtdmVdtdmVeVedtdVdtdVdtdV00基准运动有L0-G=0,而cos=1,则:2.2 飞机的纵向运动 -纵向运动方程的线性化处理TTTVqeVyzTVzTdtdMdtdMMMVMdtdITe2200022TyzTMdtdI(3)绕OY轴转动动力学方程的线性化:基准运动有: 此式的 为基准运动时的俯仰气动力矩。代入中，则俯仰力
30、矩方程的线性化方程为：整理后得：0MTyTeyyqyyyTVVIzTIMdtdIMdtdIMdtdIMVIzTMVTe220qMMMMVMMMaqaeaaaVae02.2 飞机的纵向运动 -纵向运动方程的线性化处理TeqVeVTVTeeTMMPMPMPMVMZPZPVZXXXVXP)()()()(2归纳(1),(2),(3)三式为以下形式.令: 表示微分算子,得: 式中各系数XV,Z,Mq俗称为大导数,(Cm,CDM,CI等气动系数的导数称为小导数).各大导数的意义及计算公式有专门表格列出。dtdP 2.2 飞机的纵向运动 -飞机纵向运动的特征（1）采用系数冻结法将飞机纵向运动线性化方程组变为
31、常系数线性微分方程组。实际上各系数在基准运动中是变化的，若在飞机和飞行控制系统的过渡过程中，相对初始值的变化不超过15-10%，则可认为是常系数。要了解纵向运动的特点，必须解出特征方程的根。 特征方程的根当外输入为零，纵向运动方程为： 0)()(0)(0)(2PMPMPMVMPZPVZXXVXPqVVV2.2 飞机的纵向运动 -飞机纵向运动的特征（2）)()()()()(432231420asasasassMsMsMMsZsZXXXsqVVV 特征方程的根其特征方程为：其中： )()()()()(4321ZMMZXaMXXMXZMZXZXaZXMZXMMZXaMMZXaVVVqVqVVVVqV
32、qV2.2 飞机的纵向运动 -飞机纵向运动的特征（3） 特征方程的根其特征方程为：大量分析表明：升降舵在机翼之后的飞机的四个特征根中有两个大根、两个小根。可近似写成两个二次因式之积：s4+a1s3+a2s2+a3s+a4=(s2+As+B)(s2+as+b) A,B,a,b均为待定系数。可以用逐步近似法来确定其值。 )()()()()(432231420asasasassMsMsMMsZsZXXXsqVVV2.2 飞机的纵向运动 -纵向扰动运动的典型示例、扰动运动的两种模态(1)0)()627. 0()()574. 8248. 0()(898. 00)()()585. 0()(105. 00)
33、(0369. 0)(0057. 0)()016605. 0(2tPPtPtVtPtPtVtttVP设：飞行高度h=11000m，以M=0.9(V0=266m/s)作定常直线平飞.受扰动后,飞机偏离基准运动状态.现计算扰动因素消除后,飞机恢复到基准运动的过渡过程.这完全靠飞机自身稳定性,驾驶员没有进行任何操纵,即:T=0,e=0 根据具体飞机结构参数和大导数表格,得到线性化方程的系数,并带如线性化方程得: 利用前述方法计算特征方程系数，可得：a1=1.4751 a2=8.9317 a3=0.1104 a4=0.01378 2.2 飞机的纵向运动 -纵向扰动运动的典型示例、扰动运动的两种模态(2)
34、5 .193232. 2cos(976. 1)3 .1485.165cos(984. 1)()()5 .89232. 2cos(1968. 0)9 . 185.165cos(9996. 1)()()/()6 .269232. 2cos(4723. 8)5 .6385.165cos(13114. 0)(2663 .571)(00607. 07315. 0100607. 07315. 0100607. 07315. 01tetesLttetesLtsmtetesVLtVtttttt利用近似求解方法解出特征方程的根,由 s2+1.4752s+8.9317=0解得两个大根(近似解):1,2=-0.73
35、75j2.896由 s2+0.01211s+0.001542=0解得两个小根(近似解):3,4=-0.00607j0.03895根据起始条件t=0时,V=0,0=2,解得近似解为:由此可画出扰动运动的过渡过程曲线,见下页.2.2 飞机的纵向运动 -纵向扰动运动的典型示例、扰动运动的两种模态(3)tsV m/s,20406080100V0-1-2210-2426-4-6V, 过渡过程曲线可以看出:迎角在扰动运动的初期阶段变化剧烈,数秒后即平缓下来.速度V则缓慢增长,以后又缓慢减小.俯仰角兼有两者特点,开始阶段变化剧烈,以后又缓慢变化.2.2 飞机的纵向运动 -纵向扰动运动的典型示例、扰动运动的两
36、种模态(4) 两种扰动运动模态及其物理成因: 由前分析可以看出:扰动运动存在两种模态:u 短周期模态:周期短,衰减快.其对应特征方程的一对大共轭复根.u 长周期模态:周期长,衰减慢.其对应特征方程的一对小共轭复根.由此可以得出结论:在外界瞬时扰动作用下,各运动参数随时间变化的规律正是这两种典型模态运动的迭加.周期短,蟀减快的运动模态称为短周期运动.周期长,衰减慢的运动模态称为长周期运动.2.2 飞机的纵向运动 -纵向扰动运动的典型示例、扰动运动的两种模态(5) 两种扰动运动模态及其物理成因: 飞机受到扰动后，出现不平衡的外力和外力矩，使飞机在受扰后的初始瞬间容易产生旋转运动,而其速度不易改变。
37、由运动方程知,t=0时有:200222000/148.17/05292. 0)(sIMMdtdsmgmDXVdtVdya2.2 飞机的纵向运动 -2.2.3纵向扰动运动的典型示例、扰动运动的两种模态(6) 两种扰动运动模态及其物理成因(1): 可见:在扰动运动的初始阶段,飞机的角加速度变化得比飞机速度剧烈得多.一般飞机都是如此.因为一般飞机纵向静稳定力矩M较大,起始迎角0可引起较大的恢复力矩,相比之下,飞机的转动惯量Iy并不大,因而在扰动运动初瞬产生较大的角加速度值;反向的静稳定恢复力矩又使飞机向相反方向转动.于是形成迎角和俯仰角的短周期振荡.另一方面,飞机的阻尼力矩Mq较大,因而飞机短周期振
38、荡运动的衰减较快.一般情况下,在扰动的前几秒就基本结束.飞机的力矩也基本上恢复到原有的平衡状态.2.2 飞机的纵向运动 -纵向扰动运动的典型示例、扰动运动的两种模态(7) 两种扰动运动模态及其物理成因(2): 起始迎角0所产生的阻力和俯仰角变化所产生重力分量,远远小于飞机质量,因而初期线加速度dV/dt很小.但是在力矩基本恢复平衡之后,作用于飞机上的外力仍然处于不平衡状态.飞机的航迹仍未恢复到原有水平直线飞行状态,而是q0.因此,当升力大于重力沿航迹的法向分量时,产生向上的法向加速度使航迹上弯,飞机高度逐渐增加.与此同时重力沿航迹的切向的分力使飞行速度不断减小,升力也就不断减小.当升力小于重力
39、的法向分量时,出现向下的法向加速度,航迹便转为向下弯曲,高度逐渐降低.这时重力的切向分量使飞行速度不断增大,又使升力在下降过程中不断增大,航迹再次上弯.如此反复,就形成飞行速度V和航迹倾斜角q的振荡运动.一般来说,飞机质量较大,而起恢复作用的气动力ZVV和阻尼作用的力XVV较小,因此振荡周期较长,衰减较慢,形成长周期运动模态.此时飞机的重心时升时降,又称为浮沉运动.2.2 飞机的纵向运动 -纵向扰动运动的典型示例、扰动运动的两种模态(8) 综上所述:飞机纵向扰动运动可大致分为两个阶段u 初始阶段:是以迎角和俯仰角速度的变化为代表的短周期运动,飞行速度基本不变.u 以后的阶段:是以飞行速度和航迹
40、倾斜角的变化为代表的长周期运动,飞机的迎角基本不变.2.2 飞机的纵向运动 -2.2.1纵向运动的传递函数 现在研究驾驶员操纵飞机时,也就是操纵升降舵e和油门杆T时,飞机的纵向响应.v纵向运动传递函数-升降舵偏转为输入纵向运动方程令T=0,并认为各变量初始条件为零,经拉氏变换式得:)()()()()()()()()()()(0)()()()(2sMssMssMsMsVMsZsssZssVZsXsXsVXseqVeVVee2.2 飞机的纵向运动 -2.2.1纵向运动的传递函数v纵向运动传递函数-升降舵偏转为输入(1)以e为输入,V为输出的传递函数可写为两个行列式之比:) 12)(12() 1)(
41、1()2)(2()1)(1()()()()()()()(0)()()()(222221222221220sTsTsTsTsTsTKssssTsTsASMsMsMMsZsZXXXssMsMsMMsZsZXXssNssVssspppVVVssspppVVVqVVVqVeeee2.2 飞机的纵向运动 -2.2.1纵向运动的传递函数v纵向运动传递函数-升降舵偏转为输入(2)以e为输入,为输出的传递函数:) 12)(12() 12)(1()2)(2()2)(1()()()()()(0)()()()()(22222212222221220sTsTsTsTsTsTsTKssssssTsASMsMsMMsZs
42、ZXXXssMsMMsZZXXsssNssssspppssspppqVVVqVVVeeee2.2 飞机的纵向运动 -2.2.1纵向运动的传递函数v纵向运动传递函数-升降舵偏转为输入(3)以e为输入,为输出的传递函数:) 12)(12() 1)(1()2)(2()1)(1()()()()()()(0)()()()()(22222122222120sTsTsTsTsTsTKssssTsTsASMsMsMMsZsZXXXsMMsMMZZsZXXsssNssssspppssspppqVVVVVVeeee2.2 飞机的纵向运动 -2.2.1纵向运动的传递函数 纵向运动的初始阶段,短周期运动占主导地位,其
43、过渡过程时间很短,飞行速度变化不大,可以认为速度增量V=0.这样,纵向运动方程式第一式(切向力方程)可以删去,其它两式当V=0时,得:)()()()()()()()(2sMssMssMsMZsssZseqeee2.2 飞机的纵向运动 -2.2.1纵向运动的传递函数 短周期近似传递函数为(1):12) 1(2)1()()()()()()()()()()()(22222220sTsTsTKssTsAMZMsMMZsMZMsZsMsMsMsZssMsMsZssNssssssssqqqqqeeeeeee2.2 飞机的纵向运动 -2.2.1纵向运动的传递函数 短周期近似传递函数为(2):ssTsTsTK
44、sssTsAsMMsMMZsMZMZsMZMsMsMsMsZsMMsMZZsssNssssssssqZqqeeeeeeee) 12() 1()2()1()()()()()()()()()()()()(22222202.2 飞机的纵向运动 -2.2.1纵向运动的传递函数常规飞机的升降舵在距重心较远的平尾上,平尾上的舵面小偏转引起的法向力足以产生较大的纵向控制力矩.因此,从工程近似的意义上来说,可以认为Ze=0,传递函数近一步简化为:ssTsTsTKsssTsAMZMsMMZsZsMssNssssssssqqeee) 12() 1()2()1()()()()()()()(222220122)()(
45、)()()()(222220sTsTKssAMZMsMMZsMssNssssssssqqeee2.2 飞机的纵向运动 -2.2.1纵向运动的传递函数航迹倾斜角增量,和有以下关系: =- 故:ssTsTKssssssssseee) 12()()()()()()(222.2 飞机的纵向运动 -2.2.1纵向运动的传递函数v长周期运动的近似传递函数:纵向长周期模态主要是飞机质心的轨迹运动.与短周期相比,长周期运动响应的各参数变化缓慢得多.因此长周期运动期间,短周期动态过程已基本结束,对短周期模态起重要作用的微分方程组的第三式基本上处于静力矩平衡状态.在简化处理时,将第三式中惯性力矩项和阻尼力矩项忽略
46、,即忽略力矩从不平衡到平衡的动态过程,则飞机微分方程组简化为:eVVVeMMVMPZPVZXXVXP00)(0)(2.2 飞机的纵向运动 -2.2.1纵向运动的传递函数v长周期运动的近似传递函数:显然,上式已简化为二阶系统,切认为Ze=0,由拉氏变换后求得传递函数为:)()()(0)()(0)(00)()()()(20ZMMZXsXXMMXsZXsXXMMMMsZsZXXXsMMsZsXXssNssVVVVVVVVVeeee2.2 飞机的纵向运动 -2.2.1纵向运动的传递函数v长周期运动的近似传递函数:)()()()(0)()(0)(0)()()()()(220ZMMZXsXXMMXsZXZ
47、XsZXsMMMMsZsZXXXsMMMZsZXXsssNssVVVVVVVVVVVVVeeee2.2 飞机的纵向运动 -2.2.1纵向运动的传递函数由长周期运动简化微分方程组第三式得:)()()()(ssVMMMMsseVee将前式代入上式,可得长周期运动的第三个传递函数:)()()()(22ZMMZXsXXMMXsZXsXsMMssVVVVVVee2.2 飞机的纵向运动 -2.2.1纵向运动的传递函数v纵向运动传递函数-油门杆偏转的动力学影响(1)操纵油门杆即改变发动机推力.推力变化对纵向运动方程第一式有直接影响.若考虑一般飞机的发动机推力线都通过重心,或非常接近于通过通过重心,则Me0,
48、那么推力变化对第二,第三式无影响.因此改变推力时,长周期模态的影响将占绝对优势.令:e=0,且认为: MT0,并令:P2=0,以及Mq=M*=0,可得操纵油门杆T的长周期近似运动方程组:000)()(MVMPZPVZXXXVXPVVTVT2.2 飞机的纵向运动 -2.2.1纵向运动的传递函数v操纵油门杆T的长周期近似运动方程组:v将上式经拉氏变换后可得:000)()(MVMPZPVZXXXVXPVVTVT)()()()(2ZMMZXsXXMMXssXssVVVVVTT)()()()(2ZMMZXsXXMMXssXMMssVVVVVeT)()()()()(2ZMMZXsXXMMXsXZZMMsM
49、MssVVVVVVVTT2.2 飞机的纵向运动 -2.2.1纵向运动的传递函数v纵向运动传递函数-油门杆偏转的动力学影响(1)油门杆阶跃偏转的运动参数稳态值由终值定理知:某参数的稳态输出为:油门杆阶跃偏转的拉氏变换为:将上式代入前式得:所以:同理可得:0)(0)(TXXT)(lim)()(lim0ssxxtxststLtLTTT00)( 1)(ssssXsVTpppT0222)(0)(lim)(0sVsVs2.2 飞机的纵向运动 -2.2.1纵向运动的传递函数v前面三个稳定值得出结论:油门杆前推发动机推力加大,但速度和迎角的增量最终值为零,也就是回到了推油门前的状况;只有为正,即飞机抬头.由几
50、何关系知:轨迹角=- 得:()=()-0=().即飞机向上爬升.v实际过程是:增加推力后先是增加速度,随后动压加大使升力增加,因而轨迹上弯.待航迹倾斜角到达一定正值后,重力沿轨迹的分力又使速度减小.在长周期动态过程结束后航迹倾斜角达到某一稳态值(),使: T=TTT0=GsinG即:增加的推力完全用于平衡重力沿轨迹的分力,而速度回原值.此外,由于没有偏转升降舵,迎角只能回原值.如果推油门杆的目的是为增加速度而不是向上爬生,那么就应该配合速度的增加逐渐推驾驶杆,使升降舵下偏以减小迎角,使L=G,这样才能达到加速平飞的目的. 2.2 飞机的纵向运动 -2.2.1纵向运动的传递函数纵向操纵方面的重要
