1、随机信号分析中国民航大学中国民航大学电子信息工程学院电子信息工程学院贾桂敏贾桂敏随机过程的时域分析平稳过程两个随机过程复过程随机过程的微积分各态历经过程高斯过程随机过程的频域分析功率谱密度维纳-辛钦定理互谱密度白噪声实随机过程的功率谱密度确定信号的频谱1、s(t) 满足狄利克雷条件，即处处连续，只有有限个极值点和有限个第一类间段点。dtts2| )(|dtts| )(|2、 或“非周期”信号s(t) ，其傅立叶变换存在的条件：绝对可积绝对可积信号的总能量有限信号的总能量有限1( )( ) ( )1( )( ) ( )2j tj tSs t edtF s ts tSedFS正变换正变换反变换反变
2、换S()称为信号s(t)的频谱，反映了s(t)中各种频率成分的分布。帕赛瓦尔定理221 ( )| ( )|2s tdtSd证明：21 ( )( )( )2j ts tdts tSed dt反变换代入反变换代入1( )( )2j tSs t edtd交换积分次序交换积分次序正变换正变换性质性质211( )( )| ( )|22SSd dtSd1( ) ()2SSd dt能量谱密度能量谱密度随机过程的频谱( )kx t dt 2( )kxt dt 随机过程样本函数持续的时间是无限的（ t），则有样本函数的频谱不存在。所以随机过程的频谱不存在。能量在频域上的分布(能量谱)不存在，能量谱不存在。21l
3、im( )2TkTTxt dtT 随机过程X(t)的平均功率是有限的一般很少满足非绝对可积随机过程X(t)是能量无限信号平均功率是有限的，可以讨论X(t)平均功率在频域上分布。功率谱功率谱截取函数( )( )TkTkTTxt dtxt dt ( ),| |( )0,| |kkTx ttTxttT 对随机过程的样本函数作些限制后，其傅立叶变换存在。最简单的是应用截取函数截取函数，如图所示：( )kx t中任意截取长为2T的一段 ( )kx t其傅立叶变换存在。( )kTxtTTot当T为有限值时，截取函数 满足绝对可积条件( )kTxt样本函数的平均功率2221( )( )( )2TkTkkTT
4、xt dtxt dtdX2211lim( )lim( )24TkkTTTkTxt dtdTTPX( )kTxt截取函数 的频谱函数若 代表一噪声电压（或电流），则 表示噪声的一个样本在时间（-T,T）内消耗在1欧姆电阻上的总能量。2( )TkTxt dt( )kx t 表示样本函数 消耗在1欧姆电阻上的平均功率。kP( )kx t( )( )(j tkTkkTTxtxt edtX存在傅立叶变换对：由帕赛瓦尔定理，存在如下关系若对此总能量在(-T,T)上求时间平均，并求极限实随机过程的平均功率k某次结果( )kx t样本函数( )kTxt 截取函数kP平均功率12 ,mPP PP所有样本函数平均
5、功率的总体为随机变量2211lim( )lim( )24TTTTTXt dPtXdTT随机过程截取函数的频谱P对随机变量求数学期望2211lim( )lim( ) 24TTTTTE Xt dtE XdTTE PP随机过程X(t)的平均功率实随机过程的功率谱密度 称为随机过程X(t)的功率谱密度。表示随机过程在不同频率上的单位频带内，消耗在单位电阻上的平均功率。( )XG为了描述随机过程X(t)的平均功率在各个频率上的分布状况，定义21( )lim( ) 2XTTGE XT211lim( ) ( )42TXTE XdGdT P功率谱密度的定义21( )lim( )2kkTTGTX样本函数的功率谱
6、密度思路总结样本函数的截取函数，它存在傅立叶变换。样本函数的截取函数，它存在傅立叶变换。样本函数的截取函数的总能量样本函数的截取函数的总能量样本函数的截取函数的平均功率样本函数的截取函数的平均功率( )kTxt( )kTX2( )kTxt dtKP样本函数的截取函数的平均功率序列样本函数的截取函数的平均功率序列12 ,mPP PPE PP定义随机过程的平均功率定义随机过程的平均功率1( )2XGdP定义随机过程的功率谱密度定义随机过程的功率谱密度平稳过程和各态历经过程2221lim( )( )(0)( )(0)2TTTE PE Xt dtE XtRRTE XtP平稳过程 22()( ),()a
7、 ekkPXtxtP随机变量常数平均功率与其样本函数的平均功率以概率1相等。一个样本提取整个过程一个样本提取整个过程( )a ekkE PEPPP ,a eXXkkE GE GGG 各态历经过程功率谱密度与其样本函数的功率谱密度以概率1相等。功率谱密度的性质非负性实函数偶函数可积性有理函数形式21( )lim( ) 02XTTGE XT *1lim( )( )21lim()()2XTTTTTXTGE XXTE XXGT平稳过程平稳过程 21( )2XPE XtGd 2222200222220mmmXnnnaaGGbb00Gnm，实轴无极点维纳辛钦定理实平稳过程的自相关函数和功率谱密度构成一对傅
8、立叶变换。 1( )FXXFRG定理内容一般过程dettRGjXX),()(平稳过程( ,)( )( ,)( )( )XXXXXR t tRR t tRR00( )2( )cos( )( )1( )( )cosXXXXXXGRdRGRGd ，是偶函数1( )( )( )1( )( )( )2jXXXjXXXGRedF RRGedFG维纳辛钦定理P127-128推广0( )( )cos(X tCY tat常随机过程（）或）（数周期信号）222( ) ( ) ()( )XXRE X t X tECCRdC d 时域时域不满足绝对可积条件，傅立叶变换不存在，限制了定理的应用。2200( )cos(
9、)cos22YYaaRRdd 0引入 函数 112 举例（维纳-辛钦定理）1、已知平稳过程的自相关函数，求其功率谱密度？200( )( )cos()2XYaReRa ， ，为常数2、已知平稳过程的功率谱密度，求其自相关函数？4211( ),( )320aXYGGelse物理谱密度22( ),0() (0)0,XXXGGFU由于实际应用中，负频率不存在，所以定义一个仅在正频率上存在的物理功率谱密度。( )XF)(XG01(0)( )2XXPRFd01( )( )2jXXRFed00( )2( )cos( )( )1( )( )cosXXXXXXGRdRGRGd ，是偶函数两个实随机过程的互谱密度
10、互谱密度的定义( )( )X tY t定义实平稳随机过程和的互平均功率1lim( )(2TTTXYE XYTG11lim( ) ( )lim( )( )241( )2TTTTTTXYXYE X t Y t dtE XYdTTGdP互功率谱密度定义（互谱密度）1lim( )(2)(YXTTTETGYX随机过程截取随机过程截取函数的频谱函数的频谱*( )( )XYYXGG维纳-辛钦定理（互谱密度）1,( )FXYXYFRt tG 一般情况：1( ), ( )( )FXYXYFRGX t Y t联合平稳：24( )( )( )( )9( )( )()XXYXYX tY tX tX tY tGRG习题
11、3-10：平稳可导，功率谱密度为和联合明和平稳；求证？( )( )( )( )XXXYXYGRRG思路：( )YXG思考：？互谱密度的性质)()()(YXYXXYGGG1、非偶复函数2、实部为偶函数，虚部为奇函数( )( )( )XYGajb11()()()( )( )( )22XYXYXYXYaGGGGa利用性质利用性质13、正交( )( )0( )( )0XYYXXYYXRRGG4、不相关( )( )( )( )2( )XYYXXYXYYXXYRRm mGGm m 随机过程的频域分析功率谱密度维纳-辛钦定理互谱密度白噪声习题n必做题n3-4n3-7n3-9n3-17n选做题n3-1n3-11两人骑一匹马，总有一个坐在后面。
