1、第第6章章 测量误差理论的基本知识测量误差理论的基本知识6.1 测量误差概述测量误差概述6.2 评定精度的标准评定精度的标准 （重点重点）6.3 观测值函数的中误差观测值函数的中误差误差传播定误差传播定律律 （重点、难点重点、难点）6.4 同（等）精度直接观测平差同（等）精度直接观测平差6.5 不等精度直接观测平差不等精度直接观测平差6.1 测量误差的概述测量误差的概述一、测量与观测值一、测量与观测值二、观测条件二、观测条件 人（观测者）人（观测者） 仪器（工具）仪器（工具） 外界条件。外界条件。三、观测类型三、观测类型1 1、直接观测与间接观测（直接观测值与间接观测值）、直接观测与间接观测（
2、直接观测值与间接观测值）2 2、独立观测与非独立观测、独立观测与非独立观测3 3、必要观测与多余观测、必要观测与多余观测4 4、等精度观测与非等精度观测、等精度观测与非等精度观测四、测量误差的来源四、测量误差的来源（1 1）仪器误差：仪器精度的局限、因）仪器误差：仪器精度的局限、因装配装配/搬运等搬运等轴系轴系 残余误差等。残余误差等。（2 2）人为误差：判断力和分辨率的限制、）人为误差：判断力和分辨率的限制、工作态度、工作态度、 技术水平、技术水平、经验等。经验等。（3 3）外界条件的影响：温度变化、风、大气折光等）外界条件的影响：温度变化、风、大气折光等 它们是引起观测误差的主要来源，观测
3、条件的好坏与观测它们是引起观测误差的主要来源，观测条件的好坏与观测成果的质量有着密切的联系。成果的质量有着密切的联系。 故：测量误差是不可避免的！故：测量误差是不可避免的！五、几个概念五、几个概念1、真值、观测值、最或然值真值、观测值、最或然值 、真值：任一被观测量客观存在的量的大小，叫做真值。、真值：任一被观测量客观存在的量的大小，叫做真值。 、观测值：、观测值： 、最或然值：、最或然值：2、粗差、粗差 概念概念：超限的误差，也称：超限的误差，也称错误。错误。 原因原因：观测者不当使用仪器或疏忽大意，如测错、读：观测者不当使用仪器或疏忽大意，如测错、读错、听错、算错等或外界条件发生意外的显著
4、变化而产错、听错、算错等或外界条件发生意外的显著变化而产生的错误。生的错误。 剔除掉（应该避免），剔除掉（应该避免），测量粗差是不允许存在的！测量粗差是不允许存在的！ 措施措施：操作细心、多余观测。：操作细心、多余观测。3 3、误差（真误差、误差（真误差）（不可避免）（不可避免） 表达式：真误差表达式：真误差观测值观测值l li真值真值X or or：真误差：真误差真值真值X观测值观测值l li 最或然值误差最或然值误差：与真误差的定义相似，就是观测：与真误差的定义相似，就是观测值与最或然值之差。值与最或然值之差。4 4、改正数、改正数 某量的改正数等于其最或然某量的改正数等于其最或然值值L与
5、直接观测值与直接观测值 的差：的差：iilLVil六、六、 测量误差分类（测量误差分类（重点重点）1.系统误差系统误差 相同的观测条件，误差出现的大小、符号相同，或按规律相同的观测条件，误差出现的大小、符号相同，或按规律性变化性变化特点：具有累积性特点：具有累积性（3）采用适当的观测方法，如测角度时盘左、盘观测；度）采用适当的观测方法，如测角度时盘左、盘观测；度盘配置；水准测量前后视距相等等。盘配置；水准测量前后视距相等等。消除方法：消除方法：（1）检校仪器，如经纬仪竖轴误差。）检校仪器，如经纬仪竖轴误差。（2）加改正数，如计算尺长改正、温度改正、高差改正等。）加改正数，如计算尺长改正、温度改
6、正、高差改正等。偶然误差系统误差举例举例: : 在某测区，等精度重复观测了在某测区，等精度重复观测了358358次三角形的内角之和，得到次三角形的内角之和，得到358358次三角形次三角形闭合差闭合差 i i( (偶然误差，也即真误差偶然误差，也即真误差) ) ，然后对然后对 i i： 进行分析。进行分析。 分析结果表明，分析结果表明，当观测次数很多时，当观测次数很多时，偶然误差的出现，呈现出统计学上的规偶然误差的出现，呈现出统计学上的规律性。律性。而且，观测次数越多，规律性越而且，观测次数越多，规律性越明显。明显。0180)(iiii定义：在相同的观测条件下，若误差在数值和符号上均不相同或从
7、表面看无规律性。如估读、气泡居中判断、瞄准、对中等误差。估读、气泡居中判断、瞄准、对中等误差。2.偶然误差（随机误差或补偿误差）偶然误差（随机误差或补偿误差）误差区间 负误差 正误差 误差绝对值d K K/n K K/n K K/n 03 450.126 46 0.128 91 0.254 36 400.112 41 0.115 81 0.226 69 330.092 33 0.092 66 0.184 912 230.064 21 0.059440.123 1215 170.047 16 0.045330.092 1518 130.036 13 0.036260.073 1821 60.01
8、7 5 0.014 110.031 2124 40.011 2 0.00660.017 24以上 0 0 0 0 0 0 181 0.505 177 0.495 358 1.000 表2-1 偶然误差的统计 1用用频率直方图频率直方图表示的偶然误差统计：表示的偶然误差统计：频率直方图的中间高、两边频率直方图的中间高、两边低，并向横轴逐渐逼近，对称低，并向横轴逐渐逼近，对称于于y y轴。轴。频率直方图中，每一条形的面积频率直方图中，每一条形的面积表示误差出现的频率表示误差出现的频率k/n，区域的，区域的总总面积等于面积等于1。各顶边中点连成光滑各顶边中点连成光滑曲线，表现出偶然误差曲线，表现出偶
9、然误差的普遍规律的普遍规律 -24 -21 -18-15-12-9 -6 -3 0 +3+6+9+12+15+18+21+24 X= k/d特性(1)、(2)、(3)决定了特性(4)，特性特性(4)具有实用意义。具有实用意义。 3.偶然误差的特性偶然误差的特性(1)(1)有界性有界性：在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定的限值；过一定的限值；(2)(2)渐降性渐降性：小误差出现的概率比大误差大小误差出现的概率比大误差大；(3)(3)对称性对称性：绝对值相等的正负误差出现的概率相等绝对值相等的正负误差出现的概率相等；(4)(4)抵偿性抵偿性：
10、当观测次数无限增加时，偶然误差的算术平均当观测次数无限增加时，偶然误差的算术平均值趋近于零值趋近于零： 0limlim21nnnnn粗系偶测量误差可表示为：规范要求：消除或减弱系统误差及粗差的影响，使0粗系故有偶通常提到误差，认为它只包含偶然误差。通常提到误差，认为它只包含偶然误差。提高仪器精度，限制偶然误差的大小。进行多余观测。4.减弱偶然误差的措施求平差值。小小 结结1、几个概念、几个概念 观测条件、观测条件、 （非）等精度观测、（真）（非）等精度观测、（真）误差、改正数误差、改正数2、系统误差：定义，特性，消除或减弱的、系统误差：定义，特性，消除或减弱的措施措施3、偶然误差：定义，特性，
11、减弱的措施、偶然误差：定义，特性，减弱的措施6.2 评定精度的标准评定精度的标准 在测量中，用精确度来评价观测成果的优劣。在测量中，用精确度来评价观测成果的优劣。精确度：精确度：是准确度与精密度的总称。是准确度与精密度的总称。准确度：准确度：观测值与真值的靠近程度，主要取决于系统误差；观测值与真值的靠近程度，主要取决于系统误差；精密度：精密度：观测值的密集（离散）程度，简称精度，主要取决于观测值的密集（离散）程度，简称精度，主要取决于偶然误差。用此来评价偶然误差。用此来评价某组某组观测值质量的优劣。观测值质量的优劣。衡量精度高低表示方法误差分布表数 值频率直方图 在我国，评定精度标准，常用的有
12、中误差、在我国，评定精度标准，常用的有中误差、极限误差和相对误差三种。极限误差和相对误差三种。测量工作中，用测量工作中，用中误差中误差作为衡量观测值精度的标准作为衡量观测值精度的标准。一、一、 中误差中误差: :上式中，偶然误差上式中，偶然误差 为观测值为观测值 与真值与真值X之差：之差：观测次数观测次数n n有限有限时，用时，用中误差中误差m表示偶然误差的离散情形：表示偶然误差的离散情形：nnmn22221i=i - XnnnnnnnlimlimlimM2222212M2_中误差平方中误差平方 一般真误差一般真误差 i i不可求，我们只能根据最或然值不可求，我们只能根据最或然值求出改正数求出
13、改正数式中式中1nvvm即白塞尔公式（真值未知，v为改正数）Vi=L-li式中：例例1 1：试根据下表数据，分别计算各组观测值的中：试根据下表数据，分别计算各组观测值的中误差。误差。解：第一组观测值的中误差：解：第一组观测值的中误差：第二组观测值的中误差：第二组观测值的中误差： ，说明第一组的误差分布比较集中，其精度高于说明第一组的误差分布比较集中，其精度高于第二组。相对地，第二组比较分散，精度低。第二组。相对地，第二组比较分散，精度低。说明：中误差越小，观测精度越说明：中误差越小，观测精度越高高5 . 210) 4(2) 1() 2(34) 3(12022222222221 m2 . 310
14、) 1() 3(017) 1(0) 6(2) 1(22222222222 m21mm 例2：设直线AB进行5次，其结果为40.125，40.123，40.124，40.123，40.125m，求AB的中误差。解：平均值：40.124mV1=-0.001m， V2=0.001m， V3=0， V2=0.001m， V1=-0.001m 1mm1541nvvm 定义： 由偶然误差的特性可知，在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定的限值。这个限值就是容许（极限）误差。二、容许误差（极限误差）二、容许误差（极限误差） 测量中通常取2倍或3倍中误差作为偶然误差的容许误差； 即容=2m 或容=3
15、m 。极限误差的作用：极限误差的作用：区别误差和错误的界限。区别误差和错误的界限。偶然误差分别出现在一倍、二倍、三倍中误差区间内的概率：偶然误差分别出现在一倍、二倍、三倍中误差区间内的概率： P(| | m)=0.683=68.3 P(| | 2m)=0.954=95.4 P(| | 3m)=0.997=99.7 偶然误差的绝对值大于中误差偶然误差的绝对值大于中误差9 9的有的有1414个，占总数的个，占总数的35%35%，绝对值大于两倍中误差绝对值大于两倍中误差18 18 的只有一个，占总数的的只有一个，占总数的2.5%2.5%，而绝对值大于三倍中误差的没有出现。而绝对值大于三倍中误差的没有
16、出现。中误差、真误差和容许误差均是绝对误差。中误差、真误差和容许误差均是绝对误差。注意：9 nm 相对误差K 是中误差的绝对值 m 与相应观测值 D 之比，通常以分母为1的分式 来表示，称其为相对（中）误差。即:mDDmK1三、三、 相对误差相对误差 :角度、高差的误差用m表示， 量距误差用K表示。返回例例3：有一段距离，其观测值及其中误差为：有一段距离，其观测值及其中误差为：345.576m15mm.试估计这个观测值的误差的实试估计这个观测值的误差的实际可能范围是多少？际可能范围是多少？ (提示提示:取三倍的中误差作取三倍的中误差作为容许误差为容许误差)例例4：已知两段距离的长度及其中误差为
17、：已知两段距离的长度及其中误差为：100m5mm,1000m5mm. 试说明这两段距离的真误差是否相等？它们的相试说明这两段距离的真误差是否相等？它们的相对精度是否相等？它们的精度是否相等？对精度是否相等？它们的精度是否相等？参考答案参考答案: （-45mm，45mm）参考答案参考答案:相等，不相等，不相等相等，不相等，不相等 思考题：角度观测是否用相对误差表示？思考题：角度观测是否用相对误差表示？小小 结结1、m定义，表达式（注意：真值未知的情况）定义，表达式（注意：真值未知的情况）2、m容容定义，意义定义，意义3、k定义，意义定义，意义 在测量工作中，有一些测量值并非直接观测得到，而在测量
18、工作中，有一些测量值并非直接观测得到，而是通过一定的函数关系计算而得，因此称这些量为观是通过一定的函数关系计算而得，因此称这些量为观测值的函数。由于观测值中含有误差，使函数受其影测值的函数。由于观测值中含有误差，使函数受其影响也含有误差，此种误差关系，称之为响也含有误差，此种误差关系，称之为误差传播误差传播。 6.3 观测值函数的中误差观测值函数的中误差误差传播定律误差传播定律 误差传播律误差传播律：表述观测值中误差与函数中误差之间：表述观测值中误差与函数中误差之间数学关系的定律，称为误差传播定律。数学关系的定律，称为误差传播定律。 用途：用途：当已知一些量的中误差，来求由这些量构成当已知一些
19、量的中误差，来求由这些量构成的的函数函数的中误差（精度）。（中误差的定义是求的中误差（精度）。（中误差的定义是求直直接观测量接观测量的精度的）的精度的）函数形式函数形式倍数函数倍数函数和差函数和差函数线性函数线性函数一般函数一般函数),(321221121nnnnxxxxfzxkxkxkzxxxzkxz 如如：已知观测高差的中误差（精度），问由：已知观测高差的中误差（精度），问由其计算所得高程的精度？其计算所得高程的精度？一、一、 线性函数的误差传播定律线性函数的误差传播定律设线性函数为：nnxkxkxkz2211式中 为独立的直接观测值， 为常数， 相应的 观测值的中误差为 。 nxxx,2
20、1nkkk,21nxxx,21nmmm,212222222121nnzmkmkmkm 1 . 倍数函数的中误差倍数函数的中误差 设有函数式设有函数式 (x为观测值，为观测值，K为为x的系数的系数) 中误差中误差xZKmmKxZ例例5：量得量得 地形图上两点间长度地形图上两点间长度 =168.5mm 0.2mm, 计算该两点实地距离计算该两点实地距离S及其中误差及其中误差ms：l1000:1m2 . 0m5 .168m2 . 0mm2002 . 01000100010001000SmmddlSlSlS解：解：列函数式列函数式 求全微分求全微分 中误差式中误差式特例特例 2 . 和差函数的中误差和
21、差函数的中误差 函数式：函数式： nxxxZ2122221nZmmmm当等精度观测时：当等精度观测时： 上式可写成：上式可写成：mmmmmn321nmmZ21xxZ2221mmmZ 若若m1=m2=m：mmZ2特例：特例：中误差式：中误差式：例例6：测定测定A、B间的高差间的高差 ，共连续测了，共连续测了9站。设测量站。设测量 每站高差的中误差每站高差的中误差 ，求总高差，求总高差 的中的中 误差误差 。 ABhmm2mhmABh解：解：921hhhhABmm692nmmh设非线性函数的一般式为：式中： 为独立观测值； 为独立观测值的中误差。 求函数的全微分，并用“”替代“d”，得),(321
22、nxxxxfz ixnmmmm,321 nxnxxZxfxfxf )()()(2121式中： 是函数F对 的偏导数，当函数式与观测值确定后，它们均为常数，因此上式是线性函数，其中误差为：ixf), 2 , 1(ni 22222221212)()()(nnZmxfmxfmxfm ix2222222121)()()(nnZmxfmxfmxfm 误差传播定律的一般形式误差传播定律的一般形式例7已知：测量斜边D=50.000.05m，测得倾角=15000030求：水平距离mD解：1.函数式 2.全微分 3.求中误差 dDDddD)sin()(cos cosDD2222203)15sin50(05.0)
23、15(cos)sin()(cos mDmmDD)(048.0mmD注意：单位量纲要统一？此处要？此处要除以除以的的目的是什目的是什么？么？ 1. 1.列出观测值函数的表达式：列出观测值函数的表达式： 2.2.对函数式全微分，得出函数的真误差与观测对函数式全微分，得出函数的真误差与观测值真误差之间的关系式：值真误差之间的关系式： 式中，式中， 是用观测值代入求得的值。是用观测值代入求得的值。 ),(21nxxxfZ nxnxxZdxfdxfdxfd)()()(2121 )(ixf 求观测值函数中误差的步骤：求观测值函数中误差的步骤：小结：小结： （一）运用误差传播定律的步骤（一）运用误差传播定律
24、的步骤 3 3、根据误差传播率计算观测值函数中误差：、根据误差传播率计算观测值函数中误差：注意：在误差传播定律的推导过程中，要求观注意：在误差传播定律的推导过程中，要求观 测值必须是独立观测值。测值必须是独立观测值。 22222221212)()()(nnZmxfmxfmxfm 函数名称函数名称函数式函数式函数的中误差函数的中误差倍数函数倍数函数和差函数和差函数线性函数线性函数一般函数一般函数算术平均值算术平均值nxxxz21nnxkxkxkz2211),(21nxxxfZ kxz xzkmm22221nzmmmm2222222121nnzmkmkmkm2222222121)()()(nnZm
25、xfmxfmxfm nnnnnllllx12111nmmX6-4 6-4 同精度直接观测平差同精度直接观测平差 除了标准实体，自然界中的任何单个未知量的真值除了标准实体，自然界中的任何单个未知量的真值都是无法确定的；都是无法确定的； 只有通过重复测量，才能对其真值做出可靠的估计只有通过重复测量，才能对其真值做出可靠的估计。 重复测量又会导致观测值间产生矛盾；重复测量又会导致观测值间产生矛盾； 于是，就需对观测数据进行处理，这过程称为于是，就需对观测数据进行处理，这过程称为“测测量平差量平差”。u测量平差目的就是对带有误差的观测值给予适当的测量平差目的就是对带有误差的观测值给予适当的处理，以求其
26、最可靠值，并评定其精度。处理，以求其最可靠值，并评定其精度。一、求或是值（平均值）一、求或是值（平均值） 在等精度直接观测平差中，观测值的算术平均值在等精度直接观测平差中，观测值的算术平均值就是未知量的最或是值，即：就是未知量的最或是值，即： 改正数（残差）：最或是值与观测值之差，即改正数（残差）：最或是值与观测值之差，即 改正数性质（用来做计算检核）：改正数性质（用来做计算检核）： 12nllllxnn(1,2, )iivxlin 0vlnx二、评定精度1）观测值中误差）观测值中误差iiiilXvlxmn 1lvvmn p上式为等精度观测值中用改正数计算中误差的公式，又叫“白塞尔”公式。 利
27、用误差传播律，可得： 12nllllxnnnn(1)xvvmn n 222222111xmmmmnnnmn 或： 由此可知，算术平均值的中误差比观测值的中误由此可知，算术平均值的中误差比观测值的中误差差缩小了缩小了 倍倍。 n多次观测多次观测(多余观测多余观测)取平均，是提高观测成果精度最有效的取平均，是提高观测成果精度最有效的方法。但也不能单纯以增加观测次数来提高成果质量！方法。但也不能单纯以增加观测次数来提高成果质量！2）算术平均值的中误差）算术平均值的中误差函数式：函数式：例例8 8：对某水平角等精度观测了对某水平角等精度观测了5 5次，观测数据如下表，次，观测数据如下表， 求其算术平均
28、值及观测值的中误差。求其算术平均值及观测值的中误差。次数观测值VV V备注176 42 49 -416276 42 40 +525376 42 42 +39476 42 46 -11576 42 48 -39平均76 42 45 V =0VV=60 98315601 .nVVm4715983 .nmM76 42451.74例例9：对某距离用精密量距方法丈量六次，求对某距离用精密量距方法丈量六次，求该距离的算术该距离的算术 平均值平均值 ； 观测值的中误差观测值的中误差 ； 算术平均值的中误算术平均值的中误 差差 ； 算术平均值的相对中误差算术平均值的相对中误差 ：xxmmxmx/凡是相对中误差
29、，都必须用分子为1的分数表示。 现有三组观测值，计算其最或然值现有三组观测值，计算其最或然值A组：组： 123.34, 123.39, 123.35B组：组： 123.31, 123.30, 123.39, 123.32C组：组： 123.34, 123.38, 123.35, 123.39, 123.32 各组的平均值各组的平均值 A组：组：3497.1233CBAlllxxAl6.5 不同精度直接观测平差不同精度直接观测平差BlB组：组：123.333ClC组：组：123.356同学们的成绩计算同学们的成绩计算 各组的平均及其权各组的平均及其权 A组：组： 123.360 权权PA=3 B
30、组：组： 123.333 PB=4 C组：组： 123.356 PC=5AlClBlCPBPAPlPlPlPllllllllllxCCBBAACBA5435431212874321x 一、权的概念一、权的概念 对于某量的一组精度不同的观测值对于某量的一组精度不同的观测值i，其中，其中误差为误差为mi，表示某一个观测值的，表示某一个观测值的可靠程度可靠程度的值，的值，称为权。称为权。权的定义权的定义：22221222212121: : 1: 1 : : : : : nnniimmmmmmPPPmP二、权的性质二、权的性质在同一个问题中只能选定一个在同一个问题中只能选定一个值。值。权和中误差都是用
31、来衡量观测值精度的指标，中权和中误差都是用来衡量观测值精度的指标，中误差是绝对的，权是相对的；误差是绝对的，权是相对的；权与中误差的平方成反比；权与中误差的平方成反比；权是对一组观测值而言的，对于单一观测值而言，权是对一组观测值而言的，对于单一观测值而言， 权权无意义；无意义；权的大小随权的大小随的不同而不同，但权之间的比例关系不的不同而不同，但权之间的比例关系不变；变；值为值为1的权为单位权，对应的观测值为的权为单位权，对应的观测值为单位权观测值单位权观测值，中误差称为中误差称为单位权中误差单位权中误差。2、权在距离丈量工作中的应用、权在距离丈量工作中的应用即：距离丈量的权与长度成反比。即：
32、距离丈量的权与长度成反比。3、权在水准测量中的应用、权在水准测量中的应用即：当各测站观测高差为同精度时，各水准路线的即：当各测站观测高差为同精度时，各水准路线的权与测站数或路线长度成反比。权与测站数或路线长度成反比。;iiiiccPpLNsCpS1、同精度观测的算术平均值的权、同精度观测的算术平均值的权即：权与观测次数成正比。 三、测量中常用定权方法三、测量中常用定权方法LPn212211PPlPPPlPlPlPLnnn其改正数为：其改正数为：),.,2 , 1( nilLvii等式两边同乘以相应的权：等式两边同乘以相应的权：iiiiilPLPvPn个等式相加后得：个等式相加后得：PlLPPv
33、所以所以0Pv（计算检核）四、求加权算术平均值四、求加权算术平均值对某量的对某量的n次不等精度观测，观测值为：次不等精度观测，观测值为： ， ， ，其，其权分别为：权分别为：P1，P2， ，Pn ，其最或然值就是加权平均值。，其最或然值就是加权平均值。nlll21nlll21nlll21 例例1010：某水平角同样的经纬仪分别进行：某水平角同样的经纬仪分别进行3 3组观测，组观测，各组分别观测各组分别观测2 2、4 4、6 6个测回，各组观测的算术平个测回，各组观测的算术平均值列于表，计算其加权平均值。均值列于表，计算其加权平均值。说明：先取一个测回角度观测的中误差为单位权中误差，说明：先取一
34、个测回角度观测的中误差为单位权中误差，则则n n个测回观测角度的中误差为个测回观测角度的中误差为1mn五、加权平均值的中误差五、加权平均值的中误差函数式：由于：Pi=u2/mi2按误差传播律： LnPPnLPPLPPPPLx.2211 puuPPuPPPPmPmPmPPmmmmnnnnnx2222122222222121222222221211.1.1PP.PPPP六、单位权中误差的计算 公式为：公式为：1PnPvvnu则：加权平均值中误差公式：则：加权平均值中误差公式： (1)xpvvmnp 1PnPvvn1PnPvvn（当真值未知）（当真值未知）（当真值已知）（当真值已知）上例，求加权平均值的中误差？上例，求加权平均值的中误差？ 9 . 56210372411-npvvm222x p
